解决梯形问题常添加的四种辅助线

梯形是一种特殊的四边形,在解决与之相关的问题时常需要用特殊的方法来处理,即当根据题目的已知条件无法直接求解或证明结论时,就需要我们添加适当的辅助线把它转化成较熟悉的图形(如三角形、矩形、平行四边形等)问题来解决,体现了转化的数学思想。下面结合例题谈谈在解决梯形问题时常添加的四种辅助线。

1 平移腰

例:如图(1)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,若两底只差为6cm,腰长为6cm,求梯形中较小内角的度数。

分析:结合条件,梯形是等腰梯形,若过点D作DE∥AB,则可得等腰△DEC和平行四边形ADEB, 通过分析 可得出△DEC是等边三角形,因此较小内角的度数60°。

例:如图(2)在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F是AD、BC的中点,若AD=a ,BC=b,∠B+∠C=90°,求EF的长。

分析:有些学生看到条件∠B+∠C=90°,想补成以BC为斜边的直角三角形,于是延长BA、CD交于点G,再连接GE,虽然得出的答案是正确的,但没有说明E、F、G三点共线(事实上我们也很难说明这一点),因此这种解题过程是不完整的,若过点E分别作EN∥DC,EM∥AB,可得出∠EMN+∠ENM=∠B+∠C=90°,即△EMN是直角三角形 ,可证EF是直角△EMN斜边MN的中线,变可以求出EF=1/2(b-a)。

评注:平移梯形的一腰或两腰,把梯形转化成三角形和平行四边形,若这个梯形是等腰梯形,则转化的三角形就变成了等腰三角形,若再加上一些特殊条件(如两底只差等于腰长或有一个底角为60°或120°), 那么转化后的三角形就变成了等边三角形;若梯形的两个底角之和是特殊角,则平移两腰得到的三角形就是直角三角形。也就是说通过平移梯形的一腰或两腰,把相对分散的条件都集中到一个图形中来,为问题的顺利解决创造了有利条件。

2 平移对角线

例:如图(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=DB。求证:梯形ABCD是等腰梯形。

分析:根据梯形的判定方法,若不添加辅助线本题的结论很难证明,稍作分析,不难发现,若过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E, 可得平行四边形ADEC和等腰△BDE, 从而∠E=∠ACB,∠E=∠DBC,于是得出∠ACB=∠DBC,进而△ABC≌△DCB,故有AB=CD。

评注:过梯形的一个顶点平移对角线,把两条对角线转移到同一个三角形中来,若对角线相等,则这个三角形是等腰三角形;若对角线垂直,则这个三角形是直角三角形;若对角线相等又垂直,则这个三角形是等腰直角三角形,这些结论的得出,为最终的证明创造了有利的条件,同时又节省了大量的时间,提高了解题的速度和质量。在今后若再遇到类似的条件,首先想到的是平移对角线。

3 作高

例:如图(4)在直角梯形ABCD中,若AD=4,BC=7,DC=5,则AB的长为多少?

分析:结合图形,很容易想到过点A作AE⊥BC交BC于点E, 可得矩形AECD和直角△AEB, 利用勾股 定理求得AB = 。

例:如图(5)在梯形ABCD中,AB∥CD,M、N分别是CD、AB的中点,且MN⊥AB。求证:梯形ABCD是等腰梯形。

分析: 要证梯形ABCD是等腰梯形, 只需证明∠A=∠B或AD=BC,因此需要构造全等三角形 ,故分别过点C、D作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F, 利用SAS证明△ADE≌△BCF, 问题得以解决。

评注:过梯形上底的一个或两个端点向下底作高,将梯形分割成矩形和直角三角形, 从而利用这两种图形的性质来解决有关问题,是解决梯形计算和证明类题型常用的一种方法。

4 过一腰中点作辅助线

例: 如图 (6) 在梯形ABCD中,AB∥CD,CE、BE分别平分∠DCB和∠ABC,E为AD中点,求证:AB+DC=BC。

分析:结合条件E是AD的中点及AB∥CD,若连接CE并延长交BA的延长线于F,可得△DCE≌△AFE,所以CD=AF,因此问题转化为证明BF=BC,很显然,由全等三角形再结合已知条件,可得BE是CF的垂直平分线 ,问题迎刃而解。

评注:结合例子可以看出过梯形一腰中点(或对角线中点)作辅助线,可以构造全等三角形,把证明梯形的有关问题通过证明三角形全等来解决。

通过以上几个例子的分析可以看出, 这四种辅助线的添加是解决梯形问题最常用的。它们的出现,为问题的顺利解决创造了极有力的条件。今后再遇到梯形问题时,我们要积极地、多角度、全方位地探索和思考,多想想常添加的几种辅助线,以寻求快速而简便的解决问题的方法, 从而全面提高自己分析和解决问题的能力。

摘要：梯形是特殊的四边形,由于它的特殊性,在解决与之相关的问题时,往往需要通过添加辅助线才能完成,本文结合例子,通过分析,说明解决梯形问题常添加的四种辅助线及这样添加的理由,希望对同行在教学上以及学生在学习上都能有所帮助。

关键词：梯形,辅助线