中学数学教材中的信息技术和函数内容

[摘要]推进信息技术与教育教学的深度融合是新时代高中数学课程改革的任务之一。研究以2019年国家教材委员会审定通过的6个版本教材为研究对象，研究了信息技术与函数内容的融合，发现：(1)高中数学教材不仅都落实了课标关于信息技术的要求，且对信息技术与内容的融合进行了探索;(2)信息技术与数学内容的深度融合是可行的、可操作的;(3)教材中的信息技术功能丰富，但各种功能使用的分布不均衡，主要用于计算和画图;(4)信息技术拓展栏目设置的目的多元，但不同目的栏目数量差异较大，主要集中在学习任务的设置;(5)教材中使用的信息技术工具种类多样，出现的位置主要在习题和例题部分。建议：(1)课标增加与信息技术融合的内容，对与信息技术融合的内容提出更明确的要求;(2)教材中信息技术与课程内容融合的深度需进一步加强;(3)教材编写者应针对使用信息技术学习数学的特点对学生进行学法指导。

[关键词]信息技术;数学教材;函数教材;课程融合;三角函数

一、背景与研究问题

人们的生活和学习越来越离不开信息技术，信息技术不仅可以为学生提供新的学习机会，还可以改变教师的教学方法和学生的学习体验，特别是大数据、云计算、人工智能和“互联网”+教育。[1][2]2000年以来，我国课程改革中一直强调，要努力推进信息技术与其他学科教学的融合，通过课程把信息技术与学科教学有机地结合起来。教育部在2018年发布了《教育信息化2.0行动计划》，指出信息技术与学科教学深度融合不够。[3]《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“课标(2017)”)全文有21处提到信息技术，[4]在教学理念中指出“注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性”;在“教学建议”中强调要“重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合”;在教材建议中提出“可以通过信息技术与课程的深度融合实现教材呈现形式的丰富性”。可以看到信息技术在高中课程中非常重要。有研究认为使用信息技术完成作业为对学生数学、阅读及科学素养有显著的正向影响。[5]然而，在真实的数学课堂中，或者很少使用信息技术，或者信息技术使用效率低下，把教育信息化的目的理解为使用技术，而不是支持数学学科教学。

教材是教学实施的主要参考资料，也是学生最重要的学习资源。教材中信息技术与数学内容的融合情况既影响教师的教也影响学生的学。但是关于这方面的研究目前还非常少，在中国知网中检索篇名中含有“信息技术”且“数学教材”的文章共有8篇，其中一篇介绍新加坡数学教材与信息技术的整合，[6]一篇是从中美比较的视角谈信息技术在教材中的地位和作用，[7]有两篇是对信息技术与数学教材融合的思考，[8][9]还有一篇是三个版本高中数学教材(实验版教材)中“信息技术应用”的比较研究，[10]另外2篇是“中学数学课程教材与信息技术整合研究”项目组的成果。[11][12]我们可以看到，在多篇文章中举例时都谈到了函数内容，可见在学习函数的过程中，信息技术可以用于画函数图象、探究函数的性质、解决与函数有关的实际问题，最能体现信息技术在高中数学教材中的地位和作用。2019年，依据课标(2017)编写的6个版本高中数学新教材通过了审定，这6版新教材中信息技术与函数内容是怎样融合的呢?本研究将探讨这一问题。

二、研究设计

(一)研究对象

1.教材选择。本文以2019年依据课标(2017)编写的6版高中数学新教材的函数部分为研究对象。6个版本教材分别是：人民教育出版社出版的高中数学教材A版、[13]人民教育出版社出版的高中数学教材B版、[14]北京师范大学出版社出版的高中数学教材、[15]湖南教育出版社出版的高中数学教材、[16]江苏凤凰教育出版社出版的高中数学教材、[17]湖北出版社出版的高中数学教材[18](以下分别简称为：人教A版、人教B版、北师大版、湘教版、苏教版、鄂教版)。

2.内容选择。选择函数部分是因为在学习函数的过程中，信息技术可以用于画函数图象、探究函数的性质、解决与函数有关的实际问题，该部分最能体现信息技术在高中数学教材中的地位和作用。具体来讲，本文研究的是高中数学必修课程中的函数内容，包括：函数的概念和性质、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。

(二)研究方法

本文采用量化和质化相结合的方法进行研究，首先，从量化的角度对信息技术与函数内容的融合整体有一个宏观的认识;其次，从质化的角度对具体案例进行深入分析。

1.量化方法。参考雷沛瑶、胡典顺等人在《三个版本高中数学教材中“信息技术应用”的比较研究》一文[10]中使用的框架，以及Taylo在《TheComputerintheSchool：Tutor，Tool，andTutee》[19]一文中的指标体系，提出以下框架，如表1所示。

数据编码。首先，标出文中所有与信息技术有关的词语，如：“信息技术”“计算工具”“计算机”“计算器”“Geogebra”“互联网”等等;其次，将与信息技术有关的词语编码，编码长度为5，编码规则如下。第一位：信息技术工具的类型，二级指标分别用Y或R表示。第二位：信息技术出现的位置，二级指标分别用1、2、……、5表示。第三位：信息技术呈现的功能，二级指标分别用1、2、……、6表示。第四位和第五位：与信息技术融合的内容，二级指标分别用01、02、……09、10、……、23表示。

举例：Y1203表示的是：工具类型为硬件，信息技术出现的位置为新知部分，信息技术呈现的功能是计算，与信息技术融合的内容是函数的单调性与最值。

数据分析。在文中使用SPSS22.0进行数据统计、检验等。

2.质化方法。本研究使用案例分析法，根据不同内容在各版本教材中与信息技术融合的情况，选择了“函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质”这一内容进行研究。6个版本教材在讲解该内容时都提到了信息技术，因此，选择该内容有利于弄清楚信息技术与数学内容融合的情况如何?

三、研究结果

(一)数学教材中信息技术工具的种类

不同类型的信息技术工具，可以反映信息技术工具与课程内容融合的程度，信息技术工具一般分为硬件和软件。6个版本教材中出现的信息技术硬件工具有以下5类：计算机、科学计算器、图形计算器、计算器、传感器;软件有以下13种：Geogebra、互联网、Excel、Mathematica、Matlab、Maple、SPSS、Word、LaTex、几何画板、超级画板、Sage、网络画板。具体如表2所示。

由表2可以看到在硬件方面：6个版本教材都有计算机和计算器，北师大版和苏教版还有图形计算器，湘教版有提到用传感器;在软件方面：6个版本教材都用到了“互联网”;除湘教版外的5套教材都用到了Geogebra软件，其中，人教B版、苏教版和鄂教版4个版本都使用了Excel;人教B版和北师大版2个版本教材还提到了使用Mathematica、Matlab、Maple等软件;北师大版和湘教版2个版本教材提到了超级画板;网络画板、SPSS、Word、LaTex、Sage5种软件只出现在一套教材中。

(二)数学教材中信息技术出现的位置

教材中新知(包括引入新知、讲解新知)、例题、习题(包括练习题、习题和复习题)、旁白、拓展栏目中涉及到了信息技术，不同的位置可以反映对使用信息技术的要求程度。这里的拓展栏目包括：信息技术应用

(用信息技术……，信息技术链接、信息技术)、阅读(拓展阅读、阅读材料、阅读与讨论)、学习指导、数学实验等栏目。根据编码的第二位进行数据整理得到6版教材中信息技术出现的位置分布频数，见表3。

表3六版教材中信息技术出现的位置分布频数

从表3可以看出，6个版本教材中信息技术出现频数最高的是在习题中为77次，平均12.8次;旁白中出现的频数最低为14次，平均为2.3次。信息技术在人教A版的新知、例题、习题三个部分出现的频数均最高，在苏教版旁白部分出现的频数最高，在人教B版拓展栏目部分出现的频数最高。6个版本教材在信息技术出现位置的分布上差异显著(Fisher确切检验，p=0.000<0.001)。再对任意两个版本教材中信息技术出现的位置进行Fisher确切检验，得到P值见表4。可见除了人教A版与湘教版、人教A版与苏教版、北师大版和人教B版、湘教版与苏教版无显著差异(Fisher确切检验，p>0.05)之外，其他两两之间均有差异。

在新知部分，信息技术出现的次数最多的是人教A版，最少的是北师大版和苏教版;在例题部分，明确使用信息技术题目数量最多的是人教A版，最少的则是人教B版和北师大版;在习题部分，人教A版的频数最高，鄂教版的频数最低;在旁白部分，关于信息技术的旁白，苏教版的频数最高，人教B版最低;在拓展栏目部分，与信息技术有关的栏目最多的是人教B版，最少的是人教A版和湘教版。具体拓展栏目设置情况如下。

(三)数学教材中信息技术呈现的功能

在前文我们看到，高中数学教材中使用的硬件和软件非常丰富。那么，数学教材在使用这些硬件或软件时，主要体现了它们的什么功能呢?根据对函数部分教材文本的分析，发现信息技术使用时体现出来的功能主要有以下6种：作图、计算、列表、检验、情境、探究。分别举例如下：

作图：如果出现“用信息技术画图”等字样，则认为是体现了作图功能。

计算：如果写到“利用计算工具可得”“借助计算器可得”“用计算器求值”等字样，则认为是体现了计算功能。

列表：如果写到“利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表”等字样，则认为是体现了列表功能;(列表是多次计算，算列表就不算计算了)。

检验：如果写到“用计算工具验证”等字样，则认为是体现了检验功能。

情境：如“有些计算器上只有对数键‘LOG’和自然对数键‘LN’，……，如何要求logab呢?”则认为是体现了情境功能。

探究：如“利用信息技术探究指数函数的性质”“探究y=Asin(ωx+φ)的图象”等等。

另外，如果是“利用计算工具，列出函数y=f(x)的对应值表，并画出图象”则同时具有作图、计算、列表三种功能。如果在1道例题中多次出现“用信息技术计算”，也不再重复计算，只算1次。

实际上，对于计算和画图来说，很多时候很难准确地界定是否使用了信息技术，本文的依据是教材有没有明确提到使用信息技术，如果有，则计算，如果没有，则不计算。比如有时候可以做到手动计算，但是教材又明确说了“利用计算工具”之类的话，就认为是使用信息技术，对于同样的计算，如果没有明确要求，则认为没有使用计算工具。根据编码的第三位进行数据整理得到不同版本教材体现信息技术功能的分布频数，见表5。

从表5可以看出，信息技术在教材中用于计算的频数最高为106次，其次是作图为75次，与信息技术有关的探究活动有23个，列表时用到信息技术的有15次，用信息技术进行检验的有12次，用作情境的频数最低为6次。可见，信息技术用于计算功能的占比为44.7%，与课程对学生信息技术应用要求以使用计算器进行数值计算[20]为主是一致的。6个版本教材在信息技术功能的分布上差异显著(Fisher确切检验，p=0.000<0.001)，但任意两个版本之间均无显著差异(Fisher确切检验，p>0.05)，任意两个版本教材中信息技术功能分布的Fisher确切检验P值见表6。

(四)数学教材中融合信息技术的内容分布

首先，结合课标(2017)对必修函数部分的要求，将函数内容进一步细化，分为23个内容要点，逐个分析各版本教材在这些内容要点上(包括正文、例题、习题、课后栏目)是否融合了信息技术，分析编码中的第四位和第五位，得到不同内容要点与信息技术融合的教材版本数量，具体见表7。

我们可以看到，6个版本的教材对课标要求使用信息技术的内容落实的非常到位，同时，各版本教材对课标没有要求但使用信息技术效果比较好的内容也进行了融合，如“正弦函数的图象与性质”“y=Asin(ωx+φ)的图象与性质”“无理数指数幂”“换底公式”“函数的单调性与最值”“对数的概念”“弧度制”。

(五)融合信息技术的函数内容案例分析

课标(2017)要求“结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响”。函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是三角函数一章的核心内容[21]。由表6知道，“y=Asin(ωx+φ)的图象与性质”在6个版本教材中都与信息技术进行了融合。相比于其他与信息技术融合的内容来讲，该内容更重要，且与信息技术的融合具有典型性和代表性，主要体现在通过信息技术展示的动态图象进行探究。

研究发现，6个版本教材对“函数y=Asin

()的图象和性质”的处理有以下种方式：

由表7可知，函数部分的23个内容要点中有一半以上(12个)的内容要点同时在3个及以上版本教材中与信息技术融合。对课标(2017)在必修函数部分中要求的与信息技术融合的4个内容(指数函数的图象，对数函数的图象，用二分法求方程近似解，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异[4])在分别在5个版本的教材中都有落实。另外，6个版本的教材都将“正弦函数的图象与性质”“y=Asin(ωx+φ)的图象与50第一种，正文中借助信息技术探究参数ω，φ，A的意义以及它们对函数y=Asin(ωx+φ)〗图象的影响，如人教A版;第二种，正文中不用信息技术探究参数ω，φ，A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，在拓展栏目中再借助信息技术进行讨论，如湘教版、北师大版、人教B版、鄂教版、苏教版。

第一种处理是我们期待的信息技术与课程的融合方式。人教A版借助信息技术让学生完成3个数学实验，来探索参数φ，ω，A的意义，以及它们对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响。是以点M在圆上的匀速圆周运动为背景，借助信息技术探索“运动时间x与动点M到x轴的位移y之间的函数关系式及其图象”，分别设置限制条件，如(1)探索φ对y=sinM(x+φ)图象的影响时，限制点M的角速度相同，起点不同;(2)探索ω对y=sinM(ωx+φ)图象的影响时，限制点M的起点相同，角速度不同;(3)探索A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响时，限制点M的角速度相同、起点相同(即φ相同)，圆的半径不同。

教材编写者制作并提供了相应的数字资源供教师和学生使用。[22]以“探索φ对y=sin(x+φ)图象的影响”为例，动态资源内容的截图如图1。

在这个过程中，函数y=sinM(x+φ)的现实背景以及参数φ的意义都很清楚。可见，人教A版将信息技术与函数y=Asin(ωx+φ)的图象进行了深度融合，使函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景看得见、摸得着，使参数φ，ω，A的意义更加直观。

第二种处理方式，是5套教材均采用的，是现阶段的主流方式。其中，北师大版用5页的篇幅设置了拓展栏目，分5个步骤详细指导学生如何使用Geogebra软件研究参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，可操作性强，学生可以自学;湘教版用1页的篇幅设置了拓展栏目，让学生调整函数y=Asin(ωx+φ)的参数，使其函数图象与虚线(y=cosx的图象)尽可能重合，问这时三个参数的值分别是多少?湘教版的任务更有新意，对学生来说也更有挑战;人教B版在习题中设置了一道题目，要求使用计算机软件画图并理解A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象变化的影响，可见人教B版在此处并没有真正借助信息技术探究参数的影响;鄂教版和苏教版用0.5页左右的篇幅，呈现了拓展栏目，可操作性稍差，任务设置有待创新。

总的来说，人教A版教材实现了信息技术与数学课程内容的深度融合;北师大版教材信息技术使用的可操作性强、学生可以自学;湘教版教材的探究任务设置相对新颖;人教B版没有真正借助信息技术进行探究，只发挥了信息技术的静态作图功能;鄂教版和苏教版的信息技术使用栏目篇幅短，可操作性稍差，任务设置有待创新。

四、结论与建议

(一)结论

1.教材不仅都落实了课标关于信息技术的要求，且对信息技术与内容的融合进行了探索。研究发现，6个版本的教材在课标明确提出要求的4处内容上都很好地使用了信息技术，而且还有拓展，对课标没有明确要求使用信息技术的内容也进行了探索。函数部分的23个内容要点中有一半以上(12个)的内容要点同时在3个及以上版本教材中与信息技术融合，同时，各版本教材对课标没有要求但使用信息技术效果比较好的内容进行了创造性融合，如“正弦函数的图象与性质”“y=Asin(ωx+φ)的图象与性质”“无理数指数幂”“换底公式”。

2.信息技术与数学内容的深度融合是可行的、可操作的。信息技术与学科教学的“深度融合”包含三个基本属性，即营造信息化教学环境，实现新型教与学方式，变革传统的课堂教学结构。[23]我们看到人教A版在研究“函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质”时营造了信息化教学环境，突出了函数的背景、参数的意义、抓住了数学本质，可以实现教学方式的变化、课堂教学结构的变革。可见，信息技术与数学内容的融合是可行的、可操作的。

3.教材中的信息技术功能丰富，但各种功能使用的分布不均衡，主要用于计算和画图。信息技术在教材中的功能有：作图、计算、列表、检验、情境、探究。研究发现，新教材中信息技术功能主要体现在计算、画图上，两者的频数占到了76.37%以上，分别占44.7%、31.6%，用作情境的占比最低占2.5%。另外，信息技术在不同版本教材中使用的频数差异较大，人教A版教材使用的频数是人教B版教材的3.34倍。

4.信息技术拓展栏目设置的目的多元，但各类目的栏目数量差异较大，主要集中在学习任务的设置。6个版本教材与信息技术有关的拓展栏目目的多元，主要有：学习任务的设置、介绍数学软件、指导学生使用信息技术学习数学。其中，设置学习任务的栏目有31个，介绍软件的栏目和指导学习的栏目分别有2个和1个。而且，部分教材中的拓展栏目集中体现“信息技术与具体数学知识融合”，没有体现“介绍数学软件”“指导如何使用信息技术学习数学”功能，特别是只有北师大版教材有设计“指导学生使用信息技术学习数学”。

5.教材中使用的信息技术工具种类多样，出现的位置主要在习题和例题部分。研究发现，6个版本教材中出现的信息技术工具种类多样，硬件工具有：计算机、科学计算器、图形计算器、计算器、传感器;软件有：Geogebra、互联网、Excel、Mathematica、Matlab、Maple、SPSS、Word、LaTex、几何画板、超级画板、Sage、网络画板。在信息技术出现的位置方面，6个版本教材中频数最高的是在习题中，其次是例题，最低的是旁白。

(二)建议

1.课标增加与信息技术融合的内容，对要求与信息技术融合的内容提出更明确的要求课标(2017)对函数图象的画法、用二分法求方程近似解、比较几类函数增长速度的差异等内容与信息技术融合提出了明确要求，6版教材都有很好的落实。除此之外，各教材还积极地将“正弦函数的图象与性质”“y=Asin(ωx+φ)的图象与性质”“换底公式”“无理数指数幂”“对数的概念”“弧度制”等内容与信息技术进行融合。特别是借助信息技术探究参数ω，φ，A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，可以在教材正文落实。因此，在课标修订时，可以考虑适当增加与信息技术融合的内容。同时，可以看到对信息技术功能的发挥、信息技术在教材中出现的位置等，不同教材的差异较大，课标可以提出更明确的要求。

2.开发信息技术的探究功能，进一步加强与课程内容的深度融合

“信息技术与数学课程融合”的本质是鼓励学生运用信息技术进行探索和发现。[24]目前我们看到信息技术的使用是为了减少计算量、精确画图等，与课程内容的深度融合不能很好的体现。以“函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质”为例，我们看到第一种方式中教材在正文中让学生在技术环境下进行实验方案的设计、操作、分析并得出结论，要求教师教学时使用信息技术;第二种方式教材将信息技术的使用放在拓展栏目或者习题中，属于拓展内容，教师可以灵活处理，不利于在教学中落实。在其他内容中，更多的是使用信息技术进行计算和画图，用于探究的内容基本都放在拓展栏目中。因此，教材还有很大的空间可以进一步加强与课程内容的深度融合。

3.教材编写者应针对使用信息技术学习数学的特点对学生进行学法指导

信息技术与课程内容的深度融合，要求在新的环境下进行学习，信息技术环境下的学习有其自身的特点，教材可以针对这些特点对学生进行学法指导。教材要对学生可以使用的软件及其特点进行介绍，目前只有北师大版和苏教版做了专门介绍;介绍使用数学软件学习的意义、价值、功能、注意事项等，目前只有北师大版做了专门介绍。因此，建议教材编写者针对学生使用的信息技术特点对学生进行学法指导。

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