必修一数学函数单调性

必修一数学函数单调性（精选11篇）

必修一数学函数单调性 篇1

北京景山学校 许云尧 【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数变化时，函数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

① ②若函数 ③若函数数．

在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

．

．

在区间(1,3)上为增函④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴ ∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究： 上是增函数．(1)证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且

有．

(2)研究函数 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

必修一数学函数单调性 篇2

一、有关函数单调性的分析

1．苏教版高中教材中关于函数单调性的概念解释

一般的，设函数y=f(x)的定义域为A，区间ⅠA．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间．如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性．

2．函数单调性的作用

高中学生通过一次函数和二次函数的学习，已经初步的了解了函数的增减性问题．高中数学中的单调函数的学习要从函数的定义和概念出发进行了解和学习，函数的单调性是高中学生学习函数的最初了解，利用数学的符号和例子进行解释是最佳的方法，函数的单调性是一种变量的变化，学生会通过直观感受、文字描述和严格定义进行了解．函数的单调性是学习函数其他作用的基础，同时，函数的单调性也是解决一些数学问题的基础．

二、函数单调性的解题方法研究

1．用导数的知识来进行解答

可导函数的解题方法是在求导的基础上发展起来的，通常是比较简单的方法．求导是解析函数单调性的前提．高次函数和含参函数的单调性问题，也是利用求导解析函数单调性的最好方法．

比如2013年江苏高考中有这样一道题目:设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a为实数．求:(1)若函数f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范围．

解:因为f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x，考虑到函数f(x)定义域为(0，+∞)，且f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，所以a>0．令f'(x)<0得x>1/a，所以f(x)在区间(1/a，+∞)上是单调减函数．由于f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，故(1，+∞)(1/a，+∞)，从而1/a≤1，所以得a≥1．令g'(x)=ex-a=0得x=lna，当x<lna时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>lna时，g'(x)>0,g(x)单调递增;又g(x)在(1，+∞)上有最小值，所以lna>1，得a>e．所以，a的取值范围为(e，+∞)．

2．复合函数的解题技法

如果出现内外函数单调性相反，那么复合的函数就是一个减函数．如果内外函数的单调性相同就是增函数．在复合函数的解题过程中，可以把复合函数进行分解，分解成为内外两种函数，再对这两种函数的单调性进行分别的分析和研究，能够快速的得出复合函数的单调性，对于复合函数来说，分解是比较好的方法之一．

比如，判断复合函数f(x)=4x2+1的单调性，要首先区分出外层函数f(t)=4t，内层函数t=x2+1．由于内层函数是关于对称的偶函数，在(-∞，0)上递减，在(0，+∞)上递增;外层函数f(t)=4t作为指数函数，在(-∞，+∞)上递增．因此依据复合函数同增异减的特性可知，当x在(-∞，0)取值时，f(x)=4x2+1单调递减，当x在(0，+∞)取值时，f(x)=4x2+1单调递增．

3．用函数的图象解答

运用函数的图象可以看出函数区间的增减性趋势，然后进行解题．在单调的区间上如果图象中出现上升的形式，并且x值一直的增大，那么这种函数就是增函数．在函数单调性的教学过程中，教师可以让学生对常见的函数图象进行记忆，这对于解题是非常有帮助的．在函数的图象解题中还涉及到函数的奇偶性．奇函数在原点对称的区间上单调性相同，而偶函数在原点对称上单调性相反．

已知,(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证f(x)>0．在判断此函数为偶函数的前提下，在对第二问进行求证的时候，要证明x>0时，f(x)>0，也就是对进行验证就能减少运算的步骤．

4．函数的定义法解题技巧

已知函数f(x)=x3+sinx,x∈(-1,1)，若f(1-m)-f(m2-1)<0，求m的取值范围．

解:由函数的单调性定义可知，若函数y=f(x)在区间I上为单调增函数，且f(x1)<f(x2)，那么x1<x．判断出f(x)在区间(-1,1)上是单调增函数，因此，f(1-m)-f(m2-1)<0，可化为f(1-m)<f(m2-1)，根据单调性的定义可得1-m<m2-1,-1<1-m<1,-1<m2-1<1，从而求出m的取值范围为

浅谈高中数学函数的单调性 篇3

关键词：高中；函数；单调性

G633.6

函数是高中数学的函数学习当中的重点，所以在学习有关函数的知识时，我会从多个方面对函数进行认识与理解，包括函数的概念与定义、函数的性质等。其中很重要的一条性质便是函数的单调性，学好函数的单调性对于学好函数是必不可少的一步。函数的单调性在函数中具有很广泛的应用。比如，可以利用函数的单调性比较函数值的大小，也可以转化为比较自变量的大小；利用函数的单调性可以求函数的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函数的单调性

函数的单调性是函数的一条重要性质，它反映了函数值的变化规律。学习函数单调性的重点在于函数的单调性的有关概念。

1.增函数与减函数定义

对于函数 的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ：若当 < 时，都有 < ，则说 在这个区间上是增函数；

若当 < 时，都有 > ，则说 在这个区间上是增函数。

因而，判断一个函数为增函数还是减函数，是相对于定义域内某个区间而言的。有的函数在某个区间上是增函数，而在另一个区间上可能变成减函数。有这样特性的最典型的函数便是函数 ，当 时为增函数，当 时是减函数。

2.单调性与单调区间

若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

需要注意的是函数的单调区间是其定义域的子集，应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、函数单调性的应用

函数的单调性在高考试卷上必不可少，而且对其的考查各式各样，考查的深度也远远高于课本。在考试中，对于函数单调性的考查难点往往在于证明或判断函数的单调性。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集。接下来我想谈谈函数单调性的应用。

1.函数单调性的判别

2.定义法

在数学中，解题过程中最基本的方法就是依靠定义。万变不离其宗，无论是什么解题方法，都是由最基本的定义衍生而来的。因此，函数单调性判别的定义法为，自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数。

3.函数变换法

由上面的定义法我们可以得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若 、 都是单凋增（减）函数，则 + 也是单凋增（减）函数；若 单凋递增， 单凋递减，则 - 单调递增；若 单凋递减， 单凋递增，则 - 单调递减.

4.复合函数法

设函数 由两个函数 与 复合而成，则 与 单调性相同时， 单调递增； 与 单调性不同时， 单调递减，这就是通常所说的同增异减。多层复合，依此类推。

4.作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：（1）设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量 、 ，且 < ；（2）比较：即比较 ）与 大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论。

5.等价变形法

三、函数单调性学习过程中的学习难点

了解了函数单调性的概念与定义，也知道了通过哪些方法可以判别函数的单调性，但是往往在应用中无法将这些定义与判别方法融会贯通，函数单调性经常是解题的关键点，如果无法将函数的这一性质运用得当，就无法轻松快速地解题，这也是我曾经在函数学习过程中遇到的一大困扰。我根据自己的理解，总结了一下这些问题的症结所在。

1.没有掌握数形结合的解题方法

華罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合的方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题，数形结合可以有效地解决许多数学问题。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化，我觉得这也很关键。

因为函数的单调性只凭想象是不好理解的，所以需要依靠直观的几何图形，把数与形一一结合起来，才能使得抽象问题具体化，优化解题步骤，解出正确答案。而我们在学习数学过程中，尤其是学习函数时，总是没有数形结合的习惯和意识，这给我们学习带来不利的因素。培养数形结合的解题意识，掌握好数形结合的解题方法，不但可以使我们学习函数单调性时遇到的问题迎刃而解，更对我们在以后学习数学的过程有很大的帮助。

2.不能深刻理解定义域的内涵

定义域也是函数中非常重要的一部分，而定义域与函数的单调性也是密不可分的，因为定义域决定了函数的单调性。而在平时的学习过程中，我们对定义域的理解往往太过于抽象，没办法深刻理解定义域的内涵，就不能在解题过程中得到正确的答案。因此，深刻理解函数的定义域，对于我们更好得运用函数的单调性有重要的意义。

若是在学习函数单调性的过程中遇到瓶颈，大家可以在这两个方面找原因，找突破口，问题也就迎刃而解了。以上便是我自己对函数单调性的认识与理解。

.

必修一数学函数单调性 篇4

三维目标定向 〖知识与技能〗

理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。〖过程与方法〗

借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。〖情感、态度与价值观〗

渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。教学重难点

函数最值的意义及求函数的最值。教学过程设计

一、引例

画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

（1）f(x)2x3；（2）f(x)x2x1。1）说出yf(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

y y 2o o x x

二、核心内容整合

1、函数的最大（小）值的概念

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最大值。学生类比给出函数最小值的概念：

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设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最小值。注意：

（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。

2、一元二次函数yaxbxc(a)的最值：

2b24acb2（1）配方：ya(x；)2a4a（2）图象：（3）a > 0时，ymin

二、例题分析示例

例

1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t14.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系：

（1）f(x)在[a , b]上为增函数，则f(a)为最小值，f(b)为最大值；（2）f(x)在[a , b]上为减函数，则f(a)为最大值，f(b)为最小值。

例

3、已知函数y24acb24acb2；a < 0时，ymax。4a4a2(x[2,6])，求函数的最大值和最小值。x1分析：证明函数在给定区间上为减函数。

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三、学习水平反馈：P36，练习5。补充练习：

1、函数f(x)x4ax2在区间(– ∞，6] 内递减，则a的取值范围是（）（A）a ≥ 3（B）a ≤ 3（C）a ≥ – 3（D）a ≤ – 3

2、在已知函数f(x)4xmx1在(,2]上递减，在(2,]上递增，则f(x)在[1，2]上的值域是____________。四、三维体系构建

1、函数的最大（小）值的含义。

2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数yf(x)在x = a处有最小值

22f(a)，在x = b处有最大值f(b)；

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数yf(x)在x = b处有最小值f(b)；

五、课后作业：P39，习题1.3，A组5，B组2。教学反思：

必修一数学函数单调性 篇5

教案

概念反思：

数学是一种工具：通过它可以很好的分析和解决问题。数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。

2为了研究自然界中量与量之间的变化关系发明了函数……同样为了进一步研究函数值的增减变化情况发明了单调性的概念……导数概念的发明使我们对函数性质的了解在单调性的基础上又更深入一步……增减变化的快慢

概念回顾:

函数单调性的定义

方法梳理:

函数单调性的判断及运用：

①观察法：

同增异减

②导数法：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．

③图像法：变换

④用定义来判断函数的单调性

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f＜f，那么函数f就是区间I上的增函数

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f＞f，那么函数f就是区间I上的减函数

在函数=f比较复杂的情况下，比较f与f的大小并不很容易

体验回顾:

下列说法正确的是

．）定义在R上的函数满足，则为R上的单调增函数

2）定义在R上的函数在上是单调增函数，在上是单调增函数，则为R上的单调增函数

3）定义在R上的函数在上是单调减函数，在上是单调减函数，则为R上的单调减函数

4）定义在R上的函数满足，则为R上不是单调减函数

2求下列函数的单调区间

．

①；

②

3函数的单调减区间是

．

4函数

，单调区间

函数的最小值是

经典探究:

例:已知函数,对于上的任意,有如下条：①；②；③其中是的充分条是

___________

②,③

变式：已知函数

与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,求证 分:

在上为减函数

变式：函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围。

解：设且，则

而在上是单调函数，在上恒正或恒负。

又，由知只有符合题意，时，在上单减

变式：若函数f＝4xx2＋1在区间上是单调递增函数，则∈__________

解析 ∵f′＝42，令f′>0，得－1

又∵f在上单调递增，∴≥－1，2＋1≤1，∴－1≤≤0

∵区间中2＋1>，∴>－1

综上，－1<≤0

答案

①若，当时，则在I上是增函数

②函数在R上是增函数

③函数在定义域上是增函数

④的单调区间是

2若函数的零点，则所有满足条的的和为?

3已知函数

．

（1）若，求的单调区间；

（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解析：

2分

∴的单调增区间为，,的单调减区间为，由于，当∈[1,2]时，0

即

即

即时

综上可得

在区间[1,2]上任取、，且

则

∵

∴

∴可转化为对任意、即

0

当

由

得

解得

得

必修一函数奇偶性教案 篇6

一、课前回顾

1、（1）增函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

（2）减函数定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。

注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

2、函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

3、判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。○

二、知识要点

1、函数的奇偶性定义：

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整○体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定○义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

2、具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

三、典型例题

1．判断函数的奇偶性 方法一：定义法

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数．

方法二：图像法

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

例

1、函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是

（）

A．奇函数非偶函数

C．奇函数且偶函数

例

2、下列四个命题：（1）f（x）=1是偶函数；

（2）g（x）=x3，x∈（－1，1]是奇函数；

（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函数；（4）函数y=f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1

2、（1）利用函数的奇偶性补全函数的图象：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称

（2）利用函数的奇偶性补全函数的解析式：转移代入法

例

3、（2013年山东高考理科）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x2+错误！未找到引用源。,则f(-1)=()（A）-2

例

4、(2006春上海)已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则 当x∈(0.+∞)时，f(x)=.3．函数的奇偶性与单调性的关系

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（B）0

（C）1

（D）2 B．2

C．3

D．4

B．偶函数非奇函数 D．非奇非偶函数

例

5、（1）已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数。

（2）若f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上也是增函数还是减函数？

例

6、f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

四、课堂练习

1.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）

A．奇函数

B．偶函数

C．既奇又偶函数

D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）

1，b＝0

B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0

D．a3＝3，b＝0

A．a3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）

A．y＝x（x－2）

B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）

D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）

A．－26

B．－18

C．－10

D．10 5．函数f(x)x221x2的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）

6.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．

五、课后作业

1．函数f(x)x1是（）

21xx11x2

A．偶函数

B．奇函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

2．若(x)，g（x）都是奇函数，f(x)abg(x)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）

A．最小值－5

B．最大值－5

C．最小值－1

D．最大值－3

3．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 4．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)g(x)的解析式为_______．

5.（2005山东）下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()

1A.f(x)sinx

B.f(x)x1C.f(x)axax

21x1，则f（x）D.f(x)ln 2x

2x6.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

复合函数的单调性 篇7

首先给出函数单调性的一个等价定义: 设D是函数y =f ( x) 定义域上的一个子区间, 对于任意x1, x2∈D, 当x1≠x2时, 都有: ( x1- x2) ( y1- y2) > 0 ( 或< 0) , 其中y1= f ( x1) , y2= f ( x2) , 我们就称y = f ( x) 在D上严格单调递增 ( 或递减) , 根据函数单调性的定义容易验证该结论成立, 这里证明从略. 从此定义可知, 函数值对应增量和自变量增量同号为增函数, 异号为减函数; 反之亦然.

注: 上述定义中, 如果存在当x1≠x2时y1= y2, 则y =f ( x) 在D上不是严格单调, 需要把D细分.

下面我们来证明复合函数y = f ( φ ( x) ) 的单调性, 设复合函数由y = f ( u) 和u = φ ( x) 复合而成, 令u1= φ ( x1) , u2=φ (x2) , y1=f (u1) , y2=f (u2) .

( 1) 如果内外层函数单调性相同, 则 ( x1- x2) ( u1- u2) 和 ( u1- u2) ( y1- y2) 同号, 且都不为0, 所以 ( x1- x2) ( u1- u2) 2 ( y1- y2) > 0, 又 ( u1- u2) 2> 0 则 ( x1- x2) ( y1-y2) > 0 故复合函数单调递增.

( 2) 如果内外层函数单调性相异, 则 ( x1- x2) ( u1- u2) 和 ( u1- u2) ( y1- y2) 异号, 且都不为0, 所以 ( x1- x2) ( u1- u2) 2 ( y1- y2) < 0, 又 ( u1- u2) 2> 0, 则 ( x1- x2) ( y1-y2) < 0, 故复合函数单调递减.

最后让我们看几个应用的实例:

例1 求函数y = x4- 3x2+ 2 的单调区间.

解令u = x2则y = u2- 3u + 2, 原函数由它们复合而成. 内层单调性分界点x = 0, 外层单调性分界点. 由得.

当时, , 内层减, 外层增, 原函数递减;

当时, , 内层减, 外层减, 原函数递增;

当时, , 内层增, 外层减, 原函数递减;

当时, , 内层增, 外层增, 原函数递增.

故函数递增区间有和, 递减区间有和.

注: 对复合函数的单调性, 同学们要特别注意内外层区间的对应关系.

例2 已知a > 0 且a≠1, 试讨论函数的单调性.

解令内层u = x2+ 6x + 17, 则外层为f ( u) = au. 内层在 ( - ∞ , - 3]递减, 在 ( - 3, + ∞ ) 递增; 外层当a > 1 时递增, 当0 < a < 1 时递减. 故原函数当a > 1 时, 在 ( - ∞ , - 3]递减, 在 ( - 3, + ∞ ) 递增;

当0 < a < 1 时, 在 ( - ∞ , - 3]递增, 在 ( - 3, + ∞ ) 递减.

例3 若函数y = loga ( 2 - ax) 在[0, 1]上是减函数, 则a的取值范围是 () .

A. ( 0, 1) B. ( 0, 2) C. ( 1, 2) D. ( 2, + ∞ )

解因为a > 0, 则内层u = 2 - ax在[0, 1]递减, 又复合函数y = loga ( 2 - ax) 在[0, 1]上是减函数, 则外层y = logau是关于u的增函数, 所以a > 1; 又2 - ax > 0 在定义域上恒成立, 且内层u = 2 - ax递减, 故只需x = 1 处成立, 则2 - a> 0, 即a < 2, 所以1 < a < 2, 故选C.

注讨论函数单调性, 大家千万不要忽视函数的定义域.

函数单调性定义应用例谈 篇8

（1） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

（2） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

现找出其中的核心内容:① x1

本文就三种情形分别谈谈函数单调性定义的简单应用.

1． ①②③,即根据定义判断或证明函数的单调性

例1 确定函数f(x)=11-2x的单调性.

简解:由1-2x＞0,得x＜12.

设x1＜x2＜12,由f(x1)-f(x2)=11-2x1-11-2x2=1-2x2-1-2x11-2x1•1-2x2

=(1-2x2-1-2x1)(1-2x2+1-2x1)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)=2(x1-x2)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)＜0,得f(x1)＜f(x2).

∴f(x)在-∞,12上是增函数.

点评:根据定义判断或证明单调性的一般步骤:设数→作差→变形→判号→结论.关键是“变形”要到位.本例中变形运用了“分子有理化”这一运算方法.

2． ①③②,即利用单调性比较函数值大小

例2 若偶函数f(x)在［0,π］上单调递增,则f(-π),f-π2,flog214的大小关系为 .

简解:∵f(-π)=f(π),f-π2=fπ2,flog214=f(-2)=f(2),

而fπ2＜f(2)＜f(π),

∴f-π2＜flog214＜f(-π).

点评:此应用是三种应用中最简单的一种.

3． ②③①,即利用单调性“脱去”f,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系

例3 已知定义在［-1,1］上的函数f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.

简解:易得f(a2-a-1)＞-f(4a-5)=f(5-4a)

∴-1≤a2-a-1≤1-1≤5-4a≤1a2-a-1＜5-4a,解之得,1≤a＜-3+332.

点评:（1） 要将f(a2-a-1)+f(4a-5)>0标准化为单调性定义中f(x1)＞f(x2)的形式;

（2） 不要遗忘函数的定义域要求.

例4 已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时,f(x)＞1.（1） 求证:f(x)是R上的增函数;（2） 若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

简解:（1） 设x1＜x2,由f(a+b)=f(a)+f(b)-1,可得

f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1,

∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

（2） 令a=b=2,∴f(2)=3.

∵f(x)在R上是增函数

∴当且仅当x=2时f(2)=3.

∴f(3m2-m-2)＜f(2)

∴3m2-m-2＜2,解之得-1＜m＜43.

能力提升 函数单调性 篇9

函数单调性

1.（1）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是.（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是.ax12.函数f(x)在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）x2

11A.0aB.aC.a<-1或a>1D.a>-2 22

ax4.判断f(x)2。(a0)在[1,)上的单调性并给出证明．．．．．x1

5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f（（1）求f(1)的值．

（2）若f(6)= 1，解不等式 f(x＋3)－f（(3)设f（2）=1，解不等式f(x)f(1)＜2 ． xx)= f(x)－f(y)y1)2x3

3.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，2f(1)＝－3(1)求证：f(x)在R上是减函数；

函数单调性与奇偶性教案 篇10

教学目标

1。了解函数的单调性和奇偶性的概念，把握有关证实和判定的基本方法。

(1)了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间，奇函数，偶函数等概念。

(2)能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性。

(3)能借助图象判定一些函数的单调性，能利用定义证实某些函数的单调性;能用定义判定某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程。

2。通过函数单调性的证实，提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合，从非凡到一般的数学思想。

3。通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度。

教学建议

一、知识结构

(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系。

(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像。

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与熟悉。教学的.难点是领悟函数单调性， 奇偶性的本质，把握单调性的证实。

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证实是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证实，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证实自然就是教学中的难点。

三、教法建议

(1)函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数，，二次函数。反比例函数图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性熟悉出发，通过问题逐步向抽象的定义靠拢。如可以设计这样的问题：图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来。在这个过程中对一些关键的词语(某个区间，任意，都有)的理解与必要性的熟悉就可以融入其中，将概念的形成与熟悉结合起来。

(2)函数单调性证实的步骤是严格规定的，要让学生按照步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，非凡是在第三步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以断号，在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准，以便帮助学生总结规律。

函数的单调性单元教学设计 篇11

关键词：高中数学  函数教学  单调性 单元教学设计

单元教学设计是指对某一单元的教学内容作具体的教学活动设计，这里的单元可以是一章，也可是以某个知识内容为主的知识模块。单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性、综合性。下面我就以人教A版高中数学函数的单调性为例进行单元教学设计，设计内容包括单元教学目标、要素分析、教学流程设计、典型案例设计、反思与改进等。

一、单元教学目标

一是理解函数的单调性概念;二是会利用代数法和导数，“定性”“定量”多角度研究函数的单调性;三是理解函数的单调性在认识函数性质中的作用和地位。

二、要素分析

（一）数学分析

一是函数的单调性在高中数学中的地位。首先，函数是高中数学的一条主线。克莱因说：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分的综合。”函数是客观世界的一个基本数学模型，用于刻画“变化”，体现两个变量的依存关系。其次，函数有很多性质，高中阶段单调性最重要。第三函数单调性贯穿整个数学教学，初中以具体函数为载体，“感性”认识函数值随自变量的变化如何变化。高中利用代數法和导数，“定性”“定量”多角度研究函数的单调性。二是函数的单调性刻画“变化”，而变化无处不在。

（二）标准分析

在必修阶段，学生要经历从“具体到抽象”，“图形语言到自然语言，再到符号语言”的思维过程。这一过程不但有利于学生对函数单调性定义的理解，而且还有利于培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。首先，归纳总结能力的培养。学生对基本初等函数已非常熟悉，如何将学生对函数的单调性的原有认知，转化为以导数为依据的认知是不可忽视的问题。其次，逻辑思维的培养，教材只给出了函数单调性的充分条件，但在研究具体函数的单调性时并不够，如何处理这部分教材是教师要重点思考的问题，而这一问题也正是培养学生逻辑思维能力的优良载体。

（三）学习者特征分析

学生对一次、二次、反比例函数等已有较好的认识，印象应该是深刻的;学生的直觉思维优于逻辑思维，感性认识胜于理性思考;学生的演算、恒等变形的能力有待加强，此处也正是培养学生这方面能力的载体。

（四）重点难点分析

函数的性质是研究函数问题的基石，对函数的定性和定量分析是研究函数的两个不同角度，但同等重要。在必修中，函数的单调性的定义的形成过程是重点，将学生对已熟知函数的单调性从感性认识上升至理性认识是核心;在选修中，理解导数为何可以“定量”刻画函数的变化是基础，理解导数与函数单调性之间的关系是重点，能利用导数研究函数的单调性是目的。

（五）教材对比分析

现行教材有六个版本，分别为人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版和鄂教版，以前四个版本使用较多。教材的多样性为教师的教学提供了充足的材料，教师可以根据自己学生的特点、认知水平，选择合适的教学手段和方法。下面以前四种教材为例，谈谈在函数单调性定义方面，各教材在处理上的不同之处。一是定义引入的方式不同。人教A版和人教B版以具体的函数引出函数单调性的描述，而北师大版和苏教版则以实践中的具体实例引出函数单调性的概念。引入方式的不同，无所谓“优”与“劣”，教师可以结合学生的实际情况，采用不同的处理方法。定义的方式不同：人教A版、北师大版和苏教版采用了传统教材对单调性的定义方式，即在通过自变量的增大过程中函数值的增大或减小来定义;人教B版的教材则采用自变量具有正增量时函数值增量的符号加以定义。人教B版在其后安排了“探索与研究”，定义了平均变化率，希望学生能探究函数的单调性与增长快慢之间的联系，为选修系列导数做了铺垫。

（六）教学方式分析

这一过程可以灵活采用各种教学方法，我们学校主要采用五环节教学法，即：师生共同探究、学生独立思考、小组合作交流、学生精彩展示、老师精彩点评。

三、教学流程设计

基于函数的单调性在中学数学中的特殊地位，对函数单调性的教学可以分为以下几个阶段。第一课时：以理解函数的单调性概念为主要教学目标，学生对单调性的认识能依据函数图象指出其单调区间;初步理解用代数法证明（确定）单调区间的理论依据。第二课时：在理解函数的单调性定义的基础上，能熟悉、巩固证明函数单调性的方法，从“判定”和“性质”两个方面进一步理解函数的单调性。基本初等函数和数列学完之后（1课时），这个阶段以梳理基本初等函数和数列的单调性为主，让学生进一步理解函数的单调性及其在认识函数性质中的作用和地位。不等量关系后的梳理（1课时）。选修阶段（2课时）。第一课时：以基本函数为载体，结合曲线切线的几何意义，学生能借助直观初步理解函数的单调性与导数符号之间的关系;第二课时：在认识和理解函数的单调性和导数符号之间关系的基础上，学生能利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间。高考备考阶段（1课时）学生对用代数法和导数两种方法研究函数的单调性有了比较全面和系统的认识。

四、典型案例设计

必修时期：必修一，函数的单调性（概念课）;选修时期：选修2-2，导数的应用;高三复习时期，专题复习，函数的单调性。（略）

五、反思与改进