高考数学三角函数知识点

高考数学三角函数知识点（精选8篇）

高考数学三角函数知识点篇1

【解析】　2x2－x<4，即2x2－x<22，∴x2－x<2，即x2－x－2<0，∴(x－2)(x＋1)<0，解得－1

【答案】　{x|－1

1．(2013·北京，5，易)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()

A．ex＋1

B．ex－1

C．e－x＋1

D．e－x－1

【答案】　D　f(x)向右平移一个单位之后得到的函数应该是g(x)＝e－x，于是f(x)相当于g(x)向左平移一个单位的结果，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，选D.思路点拨：把握函数f(x)的图象与函数y＝ex的图象的关系是解题的关键．

2．(2011·山东，3，易)若点(a，9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为()

A．0

B.C．1

D.【答案】　D　由题意有3a＝9，则a＝2，所以tan＝tan＝.3．(2012·山东，3，易)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】　A　函数f(x)＝ax在R上是减函数，等价于0＜a＜1(符合a＞0且a≠1)；

函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数，等价于2－a＞0，又a＞0且a≠1，故0＜a＜1或1＜a＜2.故选A.4．(2012·浙江，9，难)设a＞0，b＞0.()

A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b

B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b

C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b

D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

【答案】　A　设f(x)＝2x＋2x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由2a＋2a＝2b＋3b及b＞0，得2a＋2a＞2b＋2b，即f(a)＞f(b)，故有a＞b，即A正确，B错误．

对于命题C，D，令a＝2，则2b－3b＝0，即b为g(x)＝2x－3x的零点．而g(0)＝1＞0，g(2)＝－2＜0，g(4)＝4＞0，故0＜b＜2或b＞2，即0＜b＜a或b＞a，即命题C，D都是错误的，故选A.考向　指数函数的图象与性质

1．指数函数的图象与性质

a>1

图象

性质

定义域：R

值域：(0，＋∞)

当x＝0时，y＝1，即过定点(0，1)

当x>0时，0

当x<0时，y>1

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

在R上是减函数

在R上是增函数

2.指数函数图象的特点

(1)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．

(2)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势；

当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势．

(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0＜c＜d＜1＜a＜b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

当指数函数的底数大于1时，底数越大，图象上升越快；当底数大于0且小于1时，底数越小，图象下降越快．

(1)(2012·四川，5)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是()

(2)(2015·山东聊城模拟，12)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________．

(3)(2012·山东，15)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．

【思路导引】　解题(1)的方法是利用分类讨论，即分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，然后逐项排除；解题(2)的关键是正确画出y＝|3x－1|的图象，然后数形结合求解；解题(3)的关键是结合a的不同取值情况分类讨论函数的最值．

【解析】(1)函数y＝ax－由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．

(2)曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0＜k＜1.(3)当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，∴a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意；

当0

与指数函数有关问题的解题思路

(1)求解指数型函数的图象与性质问题

对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．

(2)求解指数型方程、不等式问题

一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．

(3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．

(2014·山东济宁三模，10)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()

A．a＜0，b＜0，c＜0

B．a＜0，b≥0，c＞0

C．2－a＜2c

D．2a＋2c＜2

【答案】　D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图．

∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.∴1＜2c＜2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选D.1．(2015·黑龙江哈尔滨模拟，5)函数f(x)＝的图象()

A．关于原点对称

B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称

D．关于y轴对称

【答案】　D　f(x)＝＝ex＋，∵f(－x)＝e－x＋＝ex＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于y轴对称．

2．(2015·山东日照一模，5)若x∈(2，4)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系是()

A．a＞b＞c

B．a＞c＞b

C．c＞a＞b

D．b＞a＞c

【答案】　B　∵b＝(2x)2＝22x，∴要比较a，b，c的大小，只要比较当x∈(2，4)时x2，2x，2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2＞2x＞2x，则a＞c＞b.3．(2015·河北邯郸质检，6)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是()

【答案】　B　由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0，0＜a＜1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1

A．K的最大值为0

B．K的最小值为0

C．K的最大值为1

D．K的最小值为1

【答案】　D　根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.5．(2014·吉林长春模拟，12)已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是()

A．(，4)

B．(，＋∞)

C．(，5)

D．(，2)

【答案】　B(数形结合法)作出函数f(x)＝的图象，如图所示．

直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m＞0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y＝mx与函数y＝x2＋1(x＞0)的图象有两个公共点，即方程mx＝x2＋1在x＞0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2＞0，解得m＞.故所求实数m的取值范围是(，＋∞)．故选B.6．(2015·江苏连云港一模，4)当x＞0时，函数y＝(a－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．

【解析】　由题意知，a－8＞1，解得a＞9.【答案】(9，＋∞)

7．(2015·河南信阳质检，15)若不等式(m2－m)2x－＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．

【解析】(m2－m)2x－＜1可变形为m2－m＜＋.设t＝，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.【答案】(－2，3)

8．(2015·皖南八校联考，15)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号)

①函数f(x)的图象关于原点对称；

②函数f(x)在R上不具有单调性；

③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；

④当0＜a＜1时，函数f(|x|)的最大值是0；

⑤当a＞1时，函数f(|x|)的最大值是0.【解析】　∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a＞1时，f(x)在R上为增函数，当0＜a＜1时，f(x)在R上为减函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③真；当0＜a＜1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④真；当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.【答案】　①③④

1．(2015·四川，8，易)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】　B　由3a>3b>31，得a＞b>1，∴log3a＞log3b＞0.由换底公式得，＞＞0，即loga3＜logb3.而由loga3b>1，例如，当a<1，b>1时，满足loga33b>3”是“loga3

2．(2015·浙江，12，中)若a＝log43，则2a＋2－a＝________．

【解析】　∵a＝log43＝log23，∴2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝(2log23)＋(2log23)－＝3＋3－＝＋＝.【答案】

3．(2015·福建，14，中)若函数f(x)＝(a>0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

【解析】　当x≤2时，f(x)＝－x＋6，此时f(x)∈[4，＋∞)．

∴当x>2时，f(x)＝3＋logax的值域为[4，＋∞)的子集．

①当a<1时，不符合题意；

②当a>1时，需满足3＋loga2≥4，∴loga2≥logaa，∴a≤2.综上可得1

1．(2013·浙江，3，易)已知x，y为正实数，则()

A．2lg

x＋lg

y＝2lg

x＋2lg

B．2lg

(x＋y)＝2lg

x·2lg

C．2lg

x·lg

y＝2lg

x＋2lg

D．2lg

(xy)＝2lg

x·2lg

【答案】　D　由指数、对数的运算法则得2lg(xy)＝2lg

x＋lg

y＝2lg

x·2lg

y，故选D.2．(2014·福建，4，易)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()

【答案】　B　由题图可知y＝logax过点(3，1)，∴loga3＝1，∴a＝3.对A，y＝在R上为减函数，错误；

对B，y＝x3，符合；

对C，y＝－x3在R上为减函数，错误；

对D，y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误．

3．(2013·课标Ⅱ，8，中)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()

A．c＞b＞a

B．b＞c＞a

C．a＞c＞b

D．a＞b＞c

【答案】　D　由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D.4．(2014·四川，9，难)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有下列命题：

①f(－x)＝－f(x)；②f

＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()

A．①②③

B．②③

C．①③

D．①②

【答案】　A　∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，∴①正确；

∵f

＝ln－ln

＝ln－ln，∵x∈(－1，1)，∴f

＝2ln(1＋x)－2ln(1－x)

＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，∴②正确；

当x∈[0，1)时，|f(x)|＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，2|x|＝2x，令g(x)＝ln－2x，则g′(x)＝≥0，∴g(x)在[0，1)上为增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，即|f(x)|≥2|x|；当x∈(－1，0)时，|f(x)|＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－ln，2|x|＝－2x，令h(x)＝2x－ln，则h′(x)＝＜0，∴h(x)在(－1，0)上为减函数，∴h(x)＞0，即|f(x)|＞2|x|.∴当x∈(－1，1)时，|f(x)|≥2|x|，故③正确．

5．(2014·陕西，11，易)已知4a＝2，lg

x＝a，则x＝________．

【解析】　∵4a＝2，∴a＝，即lg

x＝＝lg，∴x＝.【答案】

6．(2013·山东，16，难)定义“正对数”：

ln＋x＝现有四个命题：

①若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝bln＋a；

②若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；

③若a＞0，b＞0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；

④若a＞0，b＞0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln

2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

【解析】　对于①，当0＜ab＜1时，有

此时ln＋(ab)＝bln＋a＝0；

当ab＝1时，有

此时ln＋(ab)＝bln＋a＝0；

当ab＞1时，有

此时ln＋(ab)＝ln

ab＝bln

a，而bln＋a＝bln

a＝ln＋(ab)，综上，ln＋(ab)＝bln＋a，故①正确；

对于②，令a＝2，b＝，则ln＋(ab)＝ln＋＝0；

而ln＋a＋ln＋b＝ln

2＞0，故ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b不成立，故②错误；

对于③，当0＜＜1时，有

或或

经验证，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立；

当＞1时，有或

或

经验证，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立；

当＝1时，ln＋≥ln＋a－ln＋b成立，故③正确；

对于④，分四种情况进行讨论：

若a＋b<1，则ln＋(a＋b)＝ln＋a＝ln＋b＝0，故ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln

2；

若a＋b≥1，则ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)；

若a>1，0

2＝ln

a＋ln

2＝ln

2a>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)；

若a>1，b>1，则ln＋a＋ln＋b＋ln

2＝ln

a＋ln

b＋ln

2＝ln

2ab，又(a＋b)－2ab＝a(1－b)＋b(1－a)<0，故a＋b<2ab，因此ln＋a＋ln＋b＋ln

2>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)．

综上，ln＋a＋ln＋b＋ln

2≥ln＋(a＋b)，故④正确．

所以命题①③④为真命题．

【答案】　①③④

考向1　对数的运算

对数的性质、换底公式与运算性质

性质

①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N(a＞0且a≠1)

换底公式

公式：logab＝(a，c均大于零且不等于1，b＞0).推论：①logab＝；②loganbn＝logab；③loganbm＝logab

运算性质

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)

对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等错误．

(1)(2013·四川，11)lg＋lg的值是________．

(2)(2014·安徽，11)＋log3＋log3＝________.【解析】(1)lg

＋lg＝lg＝lg

10＝1.(2)原式＝＋log3＝＋log31＝.【答案】(1)1(2)

对数运算的一般思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

(2013·陕西，3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()

A．logab·logcb＝logca

B．logab·logca＝logcb

C．loga(bc)＝logab·logac

D．loga(b＋c)＝logab＋logac

【答案】　B　利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，故B正确．

考向2　对数函数的图象与性质

1．对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

过点(1，0)，即x＝1时，y＝0

当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0

当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0

是(0，＋∞)上的增函数

是(0，＋∞)上的减函数

2．对数函数图象的特点

(1)当a＞1时，对数函数的图象呈上升趋势；

当0＜a＜1时，对数函数的图象呈下降趋势．

(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限．

(3)在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．

3．常见的结论

(1)函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称；

(2)函数y＝ax与y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

(1)(2013·湖南，5)函数f(x)＝2ln

x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()

A．3

B．2

C．1

D．0

(2)(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．

【思路导引】　题(1)画出f(x)与g(x)的图象，根据特殊点对应的函数值，判断两图象的位置关系，从而判断交点个数；题(2)利用对数的运算法则及性质，对函数解析式进行化简，通过换元化归为二次函数求最值．

【解析】(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln

x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．

∵f(2)＝2ln

2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.(2)依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.【答案】(1)B(2)－

1.利用对数函数的图象可求解的两类问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

2．与对数函数有关的复合函数问题的求解策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，首先要确定函数的定义域，所有问题必须在定义域内讨论；其次分析底数与1的大小关系，底数大于1与底数小于1的两个函数的性质截然不同；最后考虑复合函数的构成，分析它是由哪些基本初等函数复合而成的．

(2015·山东威海月考，13)已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．

【解析】　由已知可得ax2－x＞0在[3，4]上恒成立，故9a－3＞0，解得a＞.若0＜a＜1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递减，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为减函数，故≥4，解得a≤，这与a＞矛盾，不合题意；

若a＞1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为增函数，故≤3，解得a≥，因为a＞1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．

【答案】(1，＋∞)

考向3　指数函数、对数函数的综合应用

(1)(2014·辽宁，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则()

A．a>b>c

B．a>c>b

C．c>a>b

D．c>b>a

(2)(2012·课标全国，11)当0

A.B.C．(1，)

D．(，2)

【思路导引】　解题(1)的关键是掌握比较实数大小的方法；解题(2)的关键是寻找临界位置，画出两者图象，数形结合求解．

【解析】(1)由于0<2－<20，所以0log＝1，所以c>1.综上，c>a>b.(2)由题意得，当0

又当x＝时，4＝2，即函数y＝4x的图象过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需

当a>1时，不符合题意，舍去．

所以实数a的取值范围是.【答案】(1)C(2)B

1.对数值大小比较的主要方法

(1)化同底数后利用函数的单调性；

(2)化同真数后利用图象比较；

(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．

2．解决不等式有解或恒成立问题的方法

对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：

(1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；

(2)在同一坐标系下作出两函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象；

(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．

(2013·课标Ⅰ，11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()

A．(－∞，0]

B．(－∞，1]

C．[－2，1]

D．[－2，0]

【答案】　D　∵|f(x)|＝

∴由|f(x)|≥ax，分两种情况：

①恒成立，可得a≥x－2恒成立，则a≥(x－2)max，即a≥－2，排除选项A，B.②恒成立，根据函数图象可知a≤0.综合①②得－2≤a≤0，故选D.1．(2015·山东日照质检，3)2lg

2－lg的值为()

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】　B　2lg

2－lg＝lg

4＋lg

25＝lg

100＝2.2．(2015·浙江温州三模，5)函数y＝的值域为()

A．(0，3)

B．[0，3]

C．(－∞，3]

D．[0，＋∞)

【答案】　D　当x＜1时，0＜3x＜3；当x≥1时，log2x≥log21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)．

3．(2015·江西吉安模拟，5)如果logx＜logy＜0，那么()

A．y＜x＜1

B．x＜y＜1

C．1＜x＜y

D．1＜y＜x

【答案】　D　因为y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，所以x＞y＞1.4．(2015·辽宁沈阳质检，5)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则()

A．f(3)＜f(－2)＜f(1)

B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(－2)＜f(1)＜f(3)

D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

【答案】　B　因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)．

又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)．

5．(2015·河北沧州一模，7)已知关于x的方程＝有正根，则实数a的取值范围是()

A．(0，1)

B．(0.1，10)

C．(0.1，1)

D．(10，＋∞)

【答案】　C　当x＞0时，0＜＜1，∵关于x的方程＝有正根，∴0＜＜1，∴解得－1＜lg

a＜0，∴0.1＜a＜1.故选C.6．(2014·广东广州一模，6)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()

A．0＜a－1＜b＜1

B．0＜b＜a－1＜1

C．0＜b－1＜a＜1

D．0＜a－1＜b－1＜1

【答案】　A　令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga[g(x)]是单调递增的，所以必有a＞1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.故选A.方法点拨：已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，以此为突破口．

7．(2015·山西大同二模，13)若f(x)＝ax－，且f(lg

a)＝，则a＝________.【解析】　f(lg

a)＝alg

a－＝＝，∴alg

a＝(10a)，两边取常用对数，得(lg

a)2＝(1＋lg

a)，∴2(lg

a)2－lg

a－1＝0，解得lg

a＝1或lg

a＝－，∴a＝10或a＝.【答案】　10或

8．(2015·湖北十堰联考，14)若函数f(x)＝loga(2－ax)(a＞0，a≠1)在区间(1，3)内单调递增，则a的取值范围是________．

【解析】　∵f(x)＝loga(2－ax)，∴令y＝logat，t＝2－ax，∵a>0且a≠1，x∈(1，3)，∴t在(1，3)上单调递减，∵f(x)＝loga(2－ax)在区间(1，3)内单调递增，∴函数y＝logat是减函数，且2－ax＞0在(1，3)上恒成立，∴x

9．(2015·河南安阳模拟，15)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．

【解析】　画出函数f(x)的图象，如图．

不妨令a＜b＜c，由已知和图象可知，0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2.∵－ln

a＝ln

b，∴ab＝1.∵ln

b＝2－ln

c，∴bc＝e2，∴a＋b＋c＝b＋(110．(2014·安徽合肥模拟，13)若不等式x2－logax＜0在内恒成立，则a的取值范围是________．

【解析】　∵不等式x2－logax＜0，即x2

易错点拨：本题易忽视≤loga中的等号而导致错误．

1．(2015·四川，9，中)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()

A．16

B．18

C．25

D.【答案】　B　∵f

′(x)＝(m－2)x＋(n－8)，要使f(x)在区间上单调递减，需满足f

′(x)≤0在上恒成立，则f

′(x)max≤0.当m≥2时，f

′(x)max＝2m－4＋n－8≤0恒成立，∴2m＋n≤12.∴mn＝×2mn≤×≤18，当且仅当2m＝n，2m＋n＝12，即m＝3，n＝6时，等号成立；

当0≤m＜2时，f

′(x)max＝(m－2)×＋(n－8)≤0恒成立，∴m＋2n≤18，∴mn＝×2mn≤×≤，当且仅当m＝2n，m＋2n＝18，即n＝，m＝9时，等号成立，而m＝9与0≤m＜2矛盾，故不符合题意．

综上可知，mn的最大值为18.故选B.2．(2015·浙江，18，15分，中)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．

(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；

(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．

解：(1)证明：由f(x)＝＋b－，得对称轴为直线x＝－.由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．

当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.(2)由M(a，b)≤2得

|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝

|f(－1)|≤2，故

|a＋b|≤3，|a－b|≤3.由|a|＋|b|＝得

|a|＋|b|≤3.当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值为2，即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.1．(2013·重庆，3，易)(－6≤a≤3)的最大值为()

A．9

B.C．3

D.【答案】　B　易知函数y＝(3－a)(a＋6)＝－a2－3a＋18的两个零点是3，－6，对称轴为a＝－，y＝－a2－3a＋18的最大值为f＝，则的最大值为，故选B.2．(2013·江苏，13，难)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．

【解析】　设P，则

|PA|2＝(x－a)2＋

＝－2a＋2a2－2，令t＝x＋≥2(x＞0，当且仅当x＝1时取“＝”)，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.①当a≤2时，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，由题意知，2a2－4a＋2＝8，解得a＝－1或a＝3(舍)．

②当a＞2时，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.由题意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍)．

综上知a＝－1或.【答案】　－1或

3．(2014·辽宁，16，难)对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．

【解析】　设2a＋b＝t，则2a＝t－b.由已知得关于b的方程(t－b)2－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，即6b2－3tb＋t2－c＝0有解．

故Δ＝9t2－24(t2－c)≥0，所以t2≤c，所以|t|max＝，此时c＝t2，b＝t，2a＝t－b＝，所以a＝.故－＋＝－＋

＝8＝8－2≥－2.【答案】　－2

思路点拨：先换元，利用方程的判别式求出|2a＋b|取最大值的条件，再消去字母，配方处理．

考向1　二次函数的图象、性质及应用

1．二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标．

(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．

2．二次函数的图象与性质

函数

y＝ax2＋bx＋c(a>0)

y＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象(抛物线)

定义域

值域

对称轴

x＝－

顶点坐标

奇偶性

当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性

在上是减函数；

在上是增函数

在上是增函数；

在上是减函数

最值

当x＝－时，当x＝－时，ymin＝

ymax＝

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略．

(1)(2013·辽宁，12)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()

A．a2－2a－16

B．a2＋2a－16

C．－16

D．16

(2)(2012·福建，15)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．

【思路导引】　解题(1)的方法是数形结合，在同一坐标系中画出函数的图象，由图象求解；解题(2)时注意数形结合思想方法的应用，同时注意二次函数图象的对称性及基本不等式的应用．

【解析】(1)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．

由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.(2)由定义可知，f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示．

设y＝m与y＝f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3.由y＝－x2＋x＝－＋得顶点坐标为.当y＝时，代入y＝2x2－x，得＝2x2－x，解得x＝(舍去正值)，∴x1∈.又∵y＝－x2＋x的对称轴为x＝，∴x2＋x3＝1，且x2，x3＞0，∴0＜x2x3＜＝.又∵0＜－x1＜，∴0＜－x1x2x3＜，∴＜x1x2x3＜0.【答案】(1)C(2)

与二次函数图象有关问题的求解策略

(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．

(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．

(2015·河南鹤壁质检，6)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()

A．②④

B．①④

C．②③

D．①③

【答案】　B　因为图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；

对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；

结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．

考向2　二次函数在给定区间上的最值

(2015·山西阳泉模拟，17，12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．

【思路导引】　解本题的关键是判断二次函数的对称轴与所在区间的关系，然后结合二次函数的图象与性质求解．

【解析】　①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增．

∴f(x)min＝f

＝－＝－.当>1，即0

∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减．

∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝

求二次函数在给定区间上最值的方法

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值的求法如下：

(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f

＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．

(2)当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在[m，n]上是单调函数．若－

(3)当不能确定对称轴－是否属于区间[m，n]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．

若将典型例题2中的函数改为f(x)＝x2－2ax，其他不变，应如何求解？

解：∵f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为x＝a.①当a＜0时，f(x)在[0，1]上是增函数，∴f(x)min＝f(0)＝0.②当0≤a≤1时，f(x)min＝f(a)＝－a2.③当a＞1时，f(x)在[0，1]上是减函数，∴f(x)min＝f(1)＝1－2a.综上所述，f(x)min＝

考向3　幂函数的图象、性质及应用

1．五种幂函数的图象

2．五种幂函数的性质

函数

特征

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

定义域

[0，＋∞)

{x|x∈R且x≠0}

值域

[0，＋∞)

{y|y∈R且y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

当x∈[0，＋∞)

时，增；

当x∈(－∞，0]

时，减

增

当x∈(0，＋∞)

时，减；

当x∈(－∞，0)

时，减

定点

(0，0)，(1，1)

(1，1)

(1)(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是()

(2)(2011·北京，13)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．

【思路导引】　解题(1)的关键是掌握幂函数、对数函数图象的特征及性质；解题(2)的方法是作出函数图象，利用数形结合的思想求解．

【解析】(1)因为a＞0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，故A不符合；在B中，由f(x)的图象知a＞1，由g(x)的图象知0＜a＜1，矛盾，故B不符合；在C中，由f(x)的图象知0＜a＜1，由g(x)的图象知a＞1，矛盾，故C不符合；在D中，由f(x)的图象知0＜a＜1，由g(x)的图象知0＜a＜1，相符．

(2)作出函数y＝f(x)的图象如图．

则当0＜k＜1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．

【答案】(1)D(2)(0，1)

幂函数的图象与性质问题的解题策略

(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．

(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．

(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．

(2014·山东潍坊模拟，13)当0＜x＜1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．

【解析】　如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)．

【答案】　h(x)＞g(x)＞f(x)

1．(2015·四川成都一模，5)方程|x2－2x|＝a2＋1(a∈(0，＋∞))的解有()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】　B　∵a∈(0，＋∞)，∴a2＋1＞1，∴y＝|x2－2x|的图象与直线y＝a2＋1总有两个交点，∴方程有两解，故选B.2．(2015·河北衡水二模，10)函数y＝x－x的图象大致为()

【答案】　A　由题意知函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C，D；当x＝1时，y＝0，当x＝8时，y＝8－＝8－2＝6＞0，排除B，故选A.3．(2015·江西九江模拟，6)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是()

A．f(x1)＜f(x2)

B．f(x1)＞f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)

D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定

【答案】　A　∵1

4．(2015·甘肃兰州模拟，6)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：

①x1

(x1)＞x2

(x2)；②x1

(x1)＜x2f

(x2)；

③＞；④＜.其中正确结论的序号是()

A．①②

B．①③

C．②④

D．②③

【答案】　D　设函数f(x)＝xα，由点在函数图象上得＝，解得α＝.故f(x)＝x.故g(x)＝xf(x)＝x为(0，＋∞)上的增函数，故①错误，②正确；而h(x)＝＝x－为(0，＋∞)上的减函数，故③正确，④错误．

5．(2014·湖北武汉质检，7)设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是()

A．(－3，1)∪(3，＋∞)

B．(－3，1)∪(2，＋∞)

C．(－1，1)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，3)

【答案】　A　方法一(分类讨论)：∵f(1)＝12－4×1＋6＝3，∴⇒

⇒0≤x＜1或x＞3；

⇒⇒－3＜x＜0.∴f(x)＞f(1)的解集为(－3，1)∪(3，＋∞)，故选A.方法二(图象法)：∵f(1)＝3，画出f(x)的图象，如图所示，易知f(x)＝3时，x＝－3，1，3.故f(x)＞f(1)⇔－3＜x＜1或x＞3.6．(2015·天津质检，13)当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．

【解析】　方法一：设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1，2)时，f(x)＜0恒成立⇔⇒⇒m≤－5.方法二：∵不等式x2＋mx＋4＜0对x∈(1，2)恒成立，∴mx＜－x2－4对x∈(1，2)恒成立，即m＜－对x∈(1，2)恒成立，令y＝x＋，则函数y＝x＋在(1，2)上是减函数，∴4＜y＜5，∴－5＜－＜－4，∴m≤－5.【答案】(－∞，－5]

7．(2015·河南南阳质检，16)已知对于任意的自然数n，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴相交于An，Bn两点，则|A1B1|＋|A2B2|＋|A3B3|＋…＋|A2

014B2

014|＝________.【解析】　令(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AnBn|＝

＝＝

＝－，因此|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2

014B2

014|＝＋＋…＋＝1－＝.【答案】

思路点拨：解题时可先利用根与系数的关系和两点间距离公式，求出|AnBn|，再利用裂项法求和．

(时间：90分钟__分数：120分)

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)

1．(2014·天津，4)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则()

A．a＞b＞c

B．b＞a＞c

C．a＞c＞b

D．c＞b＞a

【答案】　C　∵π＞2，∴log2π＞1.∵π＞1，∴b＝logπ＜0.又π＞1，∴0＜π－2＜1，即0＜c＜1，∴a＞c＞b.思路点拨：利用指数函数与对数函数的性质判断出a，b，c的取值范围，然后再比较大小．

2．(2012·安徽，3)(log29)·(log34)＝()

A.B.C．2

D．4

【答案】　D(log29)·(log34)＝2(log23)·2(log32)＝4log23·log32＝4.3．(2014·四川，7)已知b＞0，log5b＝a，lg

b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()

A．d＝ac

B．a＝cd

C．c＝ad

D．d＝a＋c

【答案】　B　∵log5b＝a，lg

b＝c，∴5a＝b，b＝10c.又5d＝10，∴5a＝b＝10c＝(5d)c＝5dc，∴a＝cd.4．(2015·河北唐山质检，5)已知函数h(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上是单调函数，则k的取值范围是()

A．(－∞，40]

B．[160，＋∞)

C．(－∞，40]∪[160，＋∞)

D．∅

【答案】　C　函数h(x)的对称轴为x＝，要使h(x)在[5，20]上是单调函数，应有≤5或≥20，即k≤40或k≥160，故选C.5．(2015·辽宁沈阳模拟，6)函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()

A．y＝

B．y＝|x－2|

C．y＝2x－1

D．y＝log2(2x)

【答案】　A　函数f(x)＝ax－1的图象恒过点A(1，1)，对函数y＝来说，当x＝1时，y＝0，即图象不经过点A(1，1)，其余函数图象均过点(1，1)．

6．(2015·河南洛阳模拟，4)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1

D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

【答案】　B　②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.7．(2015·广东深圳三模，7)已知函数g(x)是偶函数，f(x)＝g(x－2)，且当x≠2时其导函数f

′(x)满足(x－2)

′(x)＞0.若1＜a＜3，则()

A．f(4a)＜f(3)＜f(log3a)

B．f(3)＜f(log3a)＜f(4a)

C．f(log3a)＜f(3)＜f(4a)

D．f(log3a)＜f(4a)＜f(3)

【答案】　B　∵(x－2)f

′(x)＞0，∴x＞2时，f

′(x)＞0，x＜2时，f

′(x)＜0.∴f(x)在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g(x)是偶函数，∴g(x－2)关于x＝2对称，即f(x)关于x＝2对称．∵1＜a＜3，∴f(3)＜f(log3a)＜f(4a)．

8．(2015·山东德州联考，8)若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有()

A．f(2)＜f(3)＜g(0)

B．g(0)＜f(3)＜f(2)

C．f(2)＜g(0)＜f(3)

D．g(0)＜f(2)＜f(3)

【答案】　D　∵f(x)－g(x)＝ex且f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，∴f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，解得f(x)＝，g(x)＝－.易知f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0.又g(0)＝－1，∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故选D.9．(2014·湖北黄冈一模，9)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)．若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为()

A.，2

B.，4

C.，D.，4

【答案】　A(数形结合求解)f(x)＝|log2x|＝

根据f(m)＝f(n)(m＜n)及f(x)的单调性，知mn＝1且0＜m＜1，n＞1.又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，由图象知：f(m2)＞f(m)＝f(n)，∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]．

故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.10．(2015·安徽六安高三调研，10)若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：

①M，N都在函数y＝f(x)的图象上；

②M，N关于原点对称．

则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)

已知函数f(x)＝此函数的“友好点对”有()

A．0对

B．1对

C．2对

D．3对

【答案】　C　由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知，g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x≤0时f(x)＝－x2－4x的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的数量为2，故选C.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11．(2015·湖北鄂州统考，13)已知2a＝5b＝，则＋＝________.【解析】　∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，∴＋＝＋＝2(lg

2＋lg

5)＝2lg

10＝2.【答案】　2

12．(2015·湖南株洲模拟，13)已知函数f(x)＝则f(log23)的值为________．

【解析】　∵log23＜log24＝2，∴f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝log26＝.【答案】

13．(2015·山东临沂一模，13)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围是________．

【解析】　∵f(a)＞－1，∴g(b)＞－1，∴－b2＋4b－3＞－1，∴b2－4b＋2＜0，∴2－＜b＜2＋.【答案】(2－，2＋)

14．(2014·陕西咸阳模拟，14)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

【解析】　方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点．结合下面函数图象可知a＞1.【答案】(1，＋∞)

三、解答题(共4小题，共50分)

15．(12分)(2015·湖北十校联考，17)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．

(1)求f(x)的表达式；

(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)∵f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，∴

∴a2＝4.又a＞0，∴a＝2，∴b＝3.∴f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]时恒成立．

又∵y＝与y＝均为减函数，∴y＝＋也是减函数，∴当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.16．(12分)(2015·湖南长沙模拟，18)已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－.(1)求函数f(x)在[0，1]上的值域；

(2)若x∈(0，1]，g(x)＝f2(x)－f(x)＋1的最小值为－2，求实数λ的值．

解：(1)设x∈(0，1]，则－x∈[－1，0)，∴f(－x)＝－＝－2x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴当x∈(0，1]时，f(x)＝－f(－x)＝2x，∴f(x)∈(1，2]．又f(0)＝0，∴当x∈[0，1]时，函数f(x)的值域为(1，2]∪{0}．

(2)由(1)知，当x∈(0，1]时，f(x)∈(1，2]，∴f(x)∈.令t＝f(x)，则＜t≤1，g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1

＝＋1－.①当≤，即λ≤1时，g(t)＞g，无最小值．

②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g(t)min＝g＝1－＝－2，解得λ＝±2(舍去)．

③当＞1，即λ＞

2时，g(t)min＝g(1)＝2－λ＝－2，解得λ＝4.综上所述λ＝4.17．(12分)(2014·安徽阜阳高三联考，18)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1

450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？

解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1

000x万元，依题意得，当0

000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1

000x)－51x－＋1

450－250＝1

200－.所以L(x)＝

(2)当0

当x≥80时，L(x)＝1

200－

≤1

200－2

＝1

200－200＝1

000.此时，当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1

000万元．因为950<1

000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1

000万元．

18．(14分)(2015·福建泉州模拟，20)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，f(x)＝g(|x|)．

(1)求实数a，b的值；

(2)若不等式f(log2k)>f(2)成立，求实数k的取值范围；

(3)定义在[p，q]上的一个函数m(x)，用分法T：

p＝x00，使得和式

|m(xi)－m(xi－1)|≤M恒成立，则称函数m(x)为[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f(x)是否为[1，3]上的有界变差函数．若是，求M的最小值；若不是，请说明理由.解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故解得

(2)由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x2－2|x|＋1为偶函数，所以不等式f(log2k)>f(2)可化为|log2k|>2，解得k>4或0

(3)函数f(x)为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f(x)在[1，3]上单调递增，且对任意划分T：

1＝x0

高考数学三角函数知识点篇2

例1 (2007年四川理11)如图1,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1、 l2、l3上,则△ABC的边长是()

解:过B作三条平行直线的垂线,如,图1所示,则有

即

将①代入②,可得

①2+③2,得,即.

故,选(D).

例2 (2008年重庆理4)已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为()

(A)(B)(C)(D)

解:由,可设(0°≤θ≤90。),则.由0°≤θ≤90°,得45°≤θ+45°≤135°,

从而.

故,选(C).

例3 (2008卷Ⅰ10)若直线通过点M(cosα,sinα),则()

解:由题意,有,即

所以

因为|sin(θ+φ)|≤1,

所以

平方后可得,选(D).

例4 (2008年江苏21C)在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆上的一个动点,求s=x+y的最大值.

解:已知椭圆的参数方程为

当θ=30°时,smax=2.

例5 (2009年全国卷Ⅰ理6)设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为()

解:依题意,可设a=(1,0),b=(0,1),c=(cosθ,sinθ).于是

故选(D).

例6 (2009年全国卷Ⅱ理16)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为______.

解:如图2,设∠OME=θ,则.

所以BD=2BE

例7 (2009年安徽理14)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,如图3所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动,若,其中x、y∈R,则x+y的最大值是______.解:如图3建立平面直角坐标系,则

设∠AOC=θ,则.

所以(cosθ,sinθ)

所以并且有x,y∈R+.

故(x+y)max=2,填2.

例8 (2009年浙江理17)如图4,在长方体ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是______.

解:因为平面ABD⊥平面ABC,DK⊥AB,所以DX⊥平面ABC.

作KH⊥AF于H,连结DH,由三垂线定理有DH⊥AF.

设∠BAF=θ,由折之前的图形有tan∠BAC

在Rt△AHK中,KH=tsinθ,AH=t·cos△;在Rt△AHK中,AD=1,∠DAH=90°-θ,

所以DH=ADsin(90°-θ)=cosθ.

在Rt△ADK与Rt△DKH中,

故,填(,1).

浅谈高考三角函数知识的复习篇3

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数在高考试卷中占据了至少20分，并且三角函数一般都比较简单，是考试中最容易取得分数的知识点。因此，三角函数的解题在高考总复习中应当得到教师的充分重视。针对这种情况，笔者就高考复习阶段如何复习三角函数做出一定的解析，希望给学生以及同仁们提供借鉴。

一、掌握数学三角函数公式是学好三角函数知识的基础

要学好三角函数必须要将函数的公式烂熟于心，能够做到信手拈来。众所周知，高中数学教学中，三角函数的公式最多，限制条件也多。但是，不可否认的是，三角函数的题目也相对较为简单。因此，就应当引导同学们积极记住相关的公式，当然公式仅仅记住是不管用的，记住了却把它束之高阁是不能解决问题的，因此就要将所学的公式付诸应用。在记忆公式方面没有什么固定的窍门，但是教师可以引导学生通过象限来记忆公式，将公式的推导过程向同学们解释清楚，这样使学生做到“知其然，知其所以然”，这样必然利于同学们掌握公式，学以致用。

二、利用图形解题是解决三角函数题型的关键

在三角函数的解题过程中，题和图是不分家的，二者相辅相成、相得益彰。题目若是解决不了，画个图形往往能收到意想不到的效果。在实际的教学工作中，我们不难发现，作图往往是解决三角函数问题的一个重要突破口。当然，我们知道，三角函数也往往以图形的形式进行设题，考察同学们题图结合的综合能力。事实证明，只有将题和图掌握得都很好的同学，才能又好又快地解决这类问题。

三、解决三角函数问题，举一反三是学习的重要着力点

我们知道，在三角函数的教学过程中，出题人出题的突破点往往就是几个而已，不会有太大的突破，变化大多是数据或者顺序。针对三角函数出题万变不离其宗的特点，教师就应当引导学生们总结出三角函数出题的特点，这样不管题目如何变化，学生总能从这种变化中找出教师帮助同学们总结出的模板，这样学生们就可以轻易地取得分数。例如下题：

已知，且。

求：的最大值，并求出相应的α、β的值。

根据题意，我们就可以求解了。

解：

＝ -

＝-

＝--

＝-

，

，，；

，

，；

当时，y取最大值，

这样以后同学们再遇到这样的问题，就会很容易地解出来。

四、准备错题本，随时纠错

在数学教学中，千万不要忽略错题的重要作用，错题反映了学生数学学习中的薄弱环节，教师要让学生准备一些错题本，准备纠错。纠错本并不是纠完错就可以放在一边了，教师应当时时敦促学生们翻看纠错本，从错题中找到自己的软肋，做到温故知新。这样，学生们就能够在重新遇到相似问题时正确而又快速地解答出来，做到更加游刃有余地掌握三角函数的知识。

高考数学三角函数知识点篇4

锐角三角函数的定义

锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边

余弦等于邻边比斜边

正切等于对边比邻边

余切等于邻边比对边

正割等于斜边比邻边

余割等于斜边比对边

正切与余切互为倒数

它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

(斜边为r，对边为y，邻边为x。)

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 coversθ =1-sinθ

锐角三角函数的性质

1、锐角三角函数定义

锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数

2、互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

3、同角三角函数间的关系

平方关系：sin2α+cos2α=1

倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)

商的关系：tanα= , cotα=.

(这三个关系的证明均可由定义得出)

4、三角函数值

(1)特殊角三角函数值

(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

(3)锐角三角函数值的变化情况

(i)锐角三角函数值都是正值

(ii)当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时，

0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°<α<90°间变化时，

tanα>0, cotα>0.

数学的学习思维方法

1比较法

通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。

比较法要注意：

(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。

(2)找联系与区别，这是比较的实质。

(3)必须在同一种关系下(同一种标准)进行比较，这是“比较”的基本条件。

(4)要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出。

(5)因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错。

2公式法

运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效，也是孩子学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让孩子对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

数学勾股定理知识点

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

高中数学函数知识点篇5

高中数学函数知识一、一次函数定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx(k为常数，k≠0)

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表;

(2)描点;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;

当b=0时，直线通过原点

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

高中数学函数知识2

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax’2+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b’2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b’2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b’2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax’2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

高中数学函数知识3

反比例函数

形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

高一数学知识点：对数函数篇6

南通仁德教育数学朱老师总结了高一知识点：对数函数，仅供同学们参考；

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

高考数学三角函数知识点篇7

“锐角三角函数”是北师大版九年级下册第一章的内容甘肃地区考卷分值在12—16分,本知识点考查分为两类:第一类,特殊角的三角函数的识记;第二类,用三角函数解决现实生活中的问题.相比较初中所学的其他函数,三角函数相对简单,大部分同学对于第一类考题能轻易解答,少数同学出错主要在于对三角函数概念理解不到位, 对锐角三角函数不能对号入座, 第二类主要在于对实际问题没办法抽象为几何中直角三角形的有关问题.因此,针对中考试题研究分析,总结出三角函数知识点出题的特点和规律, 期待能预测今后本知识点考查的方式.

2.研究方法

以14套中考题为研究对象,从题量分布,题型分布,所占分值,与其他知识点的联系,蕴含的数学思想方法,考察目的进行分析,期待能总结出考查的特点,规律,以及解答此类题的技巧,并能预测今后考查的方向.

3.研究结果的分析讨论

3.1题量分布 ,题型分布 ,所占分值.

从题量分布来看,14套中考题中,涉及本知识点的考题共有29道,2012年题量在1—2道 ,2013年有四套题都涉及了两题,兰州卷涉及3题,2014年3套试题涉及2题,兰州卷和通用卷都涉及3道,说明题量稳重有所增加.预测今后甘肃地区本知识点还是以两道题进行考查.

从题型分布来看,2013、2014两年10套卷子有9套卷子以计算题和解答题考查,2014年天水卷以解答题考查,2012年兰州卷和通用卷用计算题和解答题考查,其余2套卷子只是出现在解答题的某一问中考查.除此之外,近三年兰州卷都用选择题对本知识点进行了考查,2014年通用卷用填空题进行了考查.预测今后主要还是以计算题和解答题为主进行考查.

从所占分值来看,2012年分值在10到15分之间,2013年分值在13到18分之间,2012年分值在13到18分之间,预测今后所占分值在15分左右.

3.2两类重点题型的考查形式与解答技巧

第一类:计算题.

例1(2013·甘肃通用卷)(本题6分)

(1)计算

(2014·兰州)(本题5分)

(1)计算

计算题是特殊角的三角函数和实数的运算,包括立方,开方,零次幂,负指数幂,绝对值,以及乘法运算结合起来考查这类题很容易丢分,需要考生对以上知识点都要熟知,而且要仔细,不能眼高手低,对学生的要求比较高,建议做两遍保证得分.熟记特殊角的三角函数值.

对于实数的相关运算,涉及以下6个方面,具体见表1.

第二类:解答题..

例2(2014·兰州24)本题8分如图,在电线杆上的C处引拉tanα31槡3线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).

解:过点A作AH⊥CD,垂足为H,

由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,

答:拉线CE的长为米.

此题主要考查解直角三角形的应用. 要求学生借助仰角关系构造直角三角形, 并结合图形利用三角函数解直角三角形.

例3(2012·兰州22)本题8分在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度,如图(1),虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高;如图(2),设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角θ1减至θ2,这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2,已知d=4m,∠θ1=40°,∠θ2=36°,求楼梯占用地板增加的长度(计算结果精确到0.01m,参考数据:tan4=0.839,tan36°=0.727).

解:由题意可知可得,∠ACB=∠θ1,∠ADB=∠θ2

答:楼梯占用地板的长度增加了0.62米.

此题主要考查了解直角三角形中坡角问题, 根据图像构建直角三角形, 进而利用锐角三角函数得出d2的值是解题关键.

这类题考查锐角三角函数的实际应用,解此类问题时,往往需先将实际问题抽象成数学问题,建立数学模型,再根据解直角三角形的有关知识进行求解, 正确作出辅助线也是解题的关键,然后将题目中的信息转化为数学文字,并将所得信息转化为直角三角形的边和角, 利用解直角三角形的方法进行求解.

解答题主要和以下知识点结合考查:(1)仰角俯角问题(2)方位角问题 ;(3)坡度坡角问题 ;(4)测量问题等.

3.3蕴含数学思想与考查目的

(1)在探索直角三角形中边角之间关系 ,以及特殊角的三角函数的过程中,发展观察、分析、解决问题的能力.

(2)能够解决与直角三角形有关的实际问题 ,把实际问题转化为数学问题,形成模型思想,培养分析问题和解决问题的能力.

(3)体会数形之间的联系 ,学会利用数学结合 ,从特殊到一般,转化等数学思想分析和解决问题.

(4)在实际生活中 ,学会利用本知识点解决问题 ,培养学生的数学应用能力.

4.结语

三角函数是甘肃省中考必考内容之一, 主要以计算题和解答题这两类题型为主, 也可能在某一道解答题的某一问题来考查,分值在15分左右,题目难度适中.主要考查学生对特殊角三角函数的识记,以及三角函数的实际应用.今后还是以计算和解答两类题型为主进行考查,分值还是在15分左右,与我们的生活热点问题相结合.

摘要：为了解甘肃地区中考数学对“锐角三角函数”知识点出题的特点和规律,并以此预测今后本考点考查的形式,采用内容分析法,以2012—2014年甘肃省14套中考题为研究对象,对本知识点所占分值,题量设置,与其他知识点的联系,重点题型的解题技巧,所蕴含的数学方法,以及考查目的进行了分析.结果表明,在中考数学中本知识点以多种题型进行考查,主要考查特殊角的三角函数,以实际生活中的实例为载体考查学生解决问题的能力,主要方法是建立数学模型,蕴含的数学思想,数形结合,转化思想.

高考数学三角函数知识点篇8

【关键词】高中数学函数有效教学策略

深化学生对函数知识的掌握，在高中数学课程的教学中非常重要，这部分知识也是重要的数学基础。教师要让学生对函数的概念与性质有良好认知的基础上，深化对学生函数应用能力的培养，要引导大家逐渐利用函数性质来解决很多综合性的复杂问题。这样才能够真正体现函数的应用价值，这也是高效的知识教学的一种直观体现。

一、深化学生对于函数概念的认知

函数课程在高中数学课本中占据着较大的篇章，教师要让函数内容的教学循序渐进的展开。首先，要保障学生们对于各种函数概念形成一定的认知，要让学生对不同的函数的定义有很好的领会。学生们会慢慢接触到各种不同的函数，教师首先要保障大家对每一种函数的概念有较好的理解与掌握，才不会混淆相关的概念，这也是保障学生们对于这部分知识有更好的理解与吸收的前提所在。

教师要尽可能地让概念的教学更为丰富形象，如果只是简单地从文字层面来解释概念，效果并不明显。教师可以将概念融入到具体的问题情境中来深化学生的理解与体会。例如，一学校打算建设矩形围栏，现有栏杆300米，求矩形栏杆的面积S和矩形长度x的关系？在解这一题时，学生会得出解析式为S=x（150-x），但有许多同学会因对函数概念不够熟练而忘记了对长度x定义域的分析，除上述概念以外，还有函数的单调性与定义域、函数的奇偶性与定义域、函数和不等式等概念，这些重要函数概念是学好函数的关键，在教学中教师应重视相关函数概念的教学。

二、让学生对函数性质有更好的应用

函数教学中，不仅要让学生们对不同函数的概念有准确把握，还要让学生们对于每一种函数的性质有深刻认知，这同样是教学中很重要的一个任务。对于函数性质的理解与掌握是这部分知识的教学中很重要的一项内容，这也是让学生能够灵活的应用函数来解决实际问题的基础。随着学生们接触的函数种类的不断增多，大家很容易将函数的性质弄混淆。教师可以透过一些灵活的教学模式，帮助学生更好的进行函数性质的区分。无论是对于函数的对比教学，还是在实际问题的解答中，深化大家对于函数性质的领会，这些方法都会起到很好的教学效用。

函数的性质主要有单调性、周期性、奇偶性及函数图象的性质，教师在重视函数概念教学的同时，也应当适当对这些性质作出一定的归纳和总结，让学生有条理性的理解这些性质。教师还可以就一些学生们容易混淆的内容进行有针对性的对比教学，这不仅能够帮助学生梳理自己的思路，这也能够避免知识间的混乱。此外，教师应重视“一题多解”教学，让学生在同一个问题中应用到多个函数性质。如在解决一些关于解方程、解不等式、值域的题目时，可以通过函数模型利用单调性解题，同一个问题同样也可以利用函数的周期性、奇偶性解题，这充分体现了函数性质在解决实际问题时可以发挥的功效，这个教学过程也能够避免学生对性质间的相互混淆，进而深化学生对于知识的理解与掌握。

三、对于数学思想方法的灵活渗透

函数性质能够在很多实际问题的解答中起到非常积极的效用，和函数有关的一些经典的数学思想，也是函数教学中学生们应当深化掌握的知识点。函数的知识在高中数学课本中更像是一个非常实用的工具，由之衍生出的各种数学思想在很多实际问题的解答中也能够发挥很好的效用。教师要有意识的在数学课堂上深化这些思想方法的教学，要让学生们更灵活地应用学到的知识点。这不仅能够促进学生解题能力的全面提升，也是学生数学素养的一种良好体现。

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