数学史融入高等数学教学的有效途径

数学史是研究数学学科产生、发展历史的学科, 它是数学的一个分支, 又是科学史的一个分支, 它是数学和历史的交叉学科, 涉及社会学、经济学、哲学以及自然科学等。数学史以数学发展进程与规律为研究对象, 追溯数学的渊源、进展, 并在一定程度上可以预见到数学的未来.透过数学史, 可以认真探索先人的数学思想, 而这往往比掌握单纯的数学结论更为重要, 更有意义.在数学教学中有意识的引入数学史实, 乃至于运用数学史实对课堂教学进行改造将有指导意义。

将数学史融入数学教学早就不是什么新鲜事。国际上研究数学史与数学教学关系的主要组织是HPM, HPM的原名为“与ICMI共同合作的数学史与数学教学之间关系研究群” (Intemational Study Group on Relations between history and Pedagogy of Mathematies, 简称ISGHpM) 。它隶属于国际数学教育委员会 (the Intemational Connssion Mathematical Instruetion, 简称ICMI) , 是国际上一个专门研究数学史与数学教育之间关系的组织。

在我国, 数学史的教育教学价值也早己被一些学者所认识, 张奠宙先生认为应用数学史有助于将数学的“学术形态”转化为“教育形态”[1]。但总体来说, 我国关于HPM的研究现状不容乐观, 一些研究者的调查表明, 我国绝大多数教学老师对数学史掌握不到位或掌握很少, 以至于存在对数学史认识不深, 应用不当的现象。关调查显示, 数学史知识的掌握和数学学习成绩关系不大 (在同一份测试题分别对初中、高中、师专和本科院校进行的测试数学史知识的测试分数于数学测试的分数的相关系数分别为r3=0.11, r4=0.08, r1=0.05, r2=0.07相关性甚低[2]) , 这表明仅仅把数学是当作知识来讲授或者只是用来激发学生的学习兴趣, 其意义并不是很明显。

高等数学是大学重要的基础课程, 它为学生日后的学习、工作打下了基础, 是学生在学习其后继课程或其他理工科时用到的一个工具;更重要的是通过学习该门课, 学生的自主创新能力得到提高。同时, 我们还要兼顾一个问题, 一些数学基础薄弱的文科生在学习高数时感到很吃力。对教师的教学和学生学习都是非常有益的;从教师方面来说, 在讲数学史时, 能够活跃课堂气氛, 同时, 将这些内定穿插于课堂中, 要求教师对时间把握得当并达到一定的效果, 因此在一定程度上, 能够提高教师的教学能力。从学习方面来说:单一的接收数学知识比较乏味, 引入数学史知识能够激发他们学习兴趣。笔者对过去一年的数学教学经验进行总结分析, 提出自己的几点见解。

1 高等数学课程中融入数学史的几种方法途径

笔者认为在高等数学课程中融入数学史可以采用以下几种方法途径。

(1) 在教学中穿插数学家的故事和言行。

(2) 在讲授某个数学概念公式时, 先介绍它的历史发展。

(3) 在课堂内容里渗透历史发展的观点。

对于途径 (1) , 例如在上到麦克劳林公式时, 可以顺势引入主人公的身历, 麦克劳林这位著名的数学家一生是很传奇的, 他11岁考上大学, 15岁取得硕士学位, 19位主持马里沙学院数学系, 这在当时来说, 他是第一个做到这么到受人瞩目的人物;他一生中第一本重要著作在他21岁时发表了, 几年后, 他成为了爱丁堡大学数学教授的助理, 当时的他年仅27岁, 牛顿对他的评价相当高。

我们在讲到与该课相对应的人物时, 不妨引入该人物的故事, 以提高学生学习兴趣及加深学生对该知识点的认识, 并把该知识点与历史相联系, 如此, 能让数学课更加补充而非单调无味。比如介绍阿贝尔定理时, 先介绍阿贝尔一生的遭遇:阿贝尔的一生是短暂且艰辛的, 在他27岁时与世长辞, 但他却在方程论方面做出了杰出的贡献, 并且还是椭圆函数论的创始人之一。欧拉的故事是很多老师在讲到欧拉方程时会讲到的一个故事, 讲这个故事, 可以启发学生思维, 让学生感触良深, 从而激励自己努力学习。欧拉是历史上写论文最多的数学家, 但在他28岁时噩运降临在他身上:一只眼睛失明;在56岁那一年, 欧拉双目失明, 妻子逝世, 这样的双重打击并没有减少他对数学的热忱, 他依然在奋斗。通过口述, 他儿子记录的形式计算, 他坚持了20年直到最后一刻。

对于途径 (2) , 例如:在介绍牛顿一莱布尼茨公式时, 可以讲述牛顿和莱布尼茨的追随者之间的争论。双方对于微积分发明的优先权问题进行了激烈争论, 导致英国与欧洲大陆国家在数学发展上意见分歧, 时间长达上百年。优先权的争论阻碍了数学发展进程, 这无疑是科学史上的不幸。

对于途径 (3) , 比如初学高等数学时, 有部分同学会对极限, 连续等概念不很理解, 甚至觉得有些“多此一举”, 因为很直观的概念, 却要用枯燥的ε-δ语言等来定义, 真应了鲁迅的那句话“你不说我倒明白, 你越说我越糊涂。”。这时, 通过渗透数学史向其解释严格定义的重要性是很好的方法, 事实证明, 由无穷小引起的第二次数学危机也是由于没有严格的定义导致的。18世纪, 微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用, 大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但1734年, 英国哲学家、大主教贝克莱将矛头指向微积分的基础——无穷小的问题, 他发表了《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》, 提出了所谓贝克莱悖论。其中对牛顿做了违反矛盾律的手续“他认为无穷小dx既等于零又不等于零, 召之即来, 挥之即去, ”的做法提出了质疑。由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。

数学思想是在发展中逐渐成熟、严密的, 但在18世纪还没达到这个程度。当时的思想是:直观的强调计算而不管基础的可靠。其中最明显的体现是:由于没有清楚的无穷小概念, 导致导数、微分、积分等概念也不清楚;同时还有无穷大概念不清楚, 以及发散级数求和的任意性, 符号的不严格使用, 不考虑连续就进行微分, 不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。经过那么长时间的分歧与争论, 在19世纪20年代, 微积分的严格基础才得到一些数学家的关注, 在经历了半个多世纪, 矛盾基本上解决了, 而且为数学分析奠定了严格的基础。

大多数学生对数学存在畏惧心理, 归其原因, 一般有两个:数学很抽象, 逻辑很严密;公式的记忆和习题练习使学生觉得数学枯燥无味。因此, 如何激发学生的学习兴趣就成了教师的首要任务。数学史则是激发学生学习兴趣的一个很好的载体。上面提到的途径 (1) 、 (2) 、 (3) 的作用主要就体现在激发学生学习兴趣上。

另外, 在高等数学教学中融入数学史我们还可以采用以下几种更具有现实意义的途径, 从知识, 情感, 能力等各方面促进学生的学习。

(1) 应用数学历史名题讲授数学概念根据数学史上典型的错误帮助学生克服学习困难。

(2) 应用数学史文献设计课堂教学。

(3) 以数学史为指引设计整体课程。

2 高等数学课程中融入数学史的需要注意的两点

最后需要指出的是, 在高等数学教学中渗透数学史要注意。

(1) 结合课程, 以史为线。数学史可以作为讲课的线索, 但不必去重复数学史。我们需要的是少走弯路, 更重要的是当课堂结束后, 学生不仅要有该门学科的历史认识也要掌握该课的要点。

(2) 史不宜繁, 点到为止。不可大篇幅讲述数学史, 偏了教学重点, 把学生思维带到历史研究上去, 而是要把数学史与数学内容巧妙结合, 而史料应简明扼要。

摘要：将数学史融入数学教学从提倡到推广, 已有百年历史, 而高等数学是大学重要的基础课程。本文就将数学史融入高等数学教学提出几条具有现实意义, 且能够从知识、能力、情感等几个方面促进学生学习的有效途径, 同时也指出高等数学教学中渗透数学史要注意得几个方面。

关键词：数学史,高等数学,有效途径

参考文献

[1] 李文林.数学史与数学教育[C]//李兆华, 汉字文化圈数学传统与数学教育—第五届汉字文化圈及近邻地区数学史与数学教育国际学术研讨会论文集.北京:科学出版社, 2004 (10) .

[2] 张小明.数学教学中融入数学史的行动研究[D].华东师范大学教育硕士论文, 2005.

[3] 俞宏毓.数学史融入高等数学教学初探[C]//北京:第三届数学史与数学教育国际研讨会论文集, 2009 (5) .