高等数学上证明题（精选13篇）
证明题是高等数学教学中的一个重点和难点,专转本考试中,证明题是必考题. 而学生遇到证明题时总是束手无策,故此类题目得分率低. 本文以专转本历年试题为例,总结了常见证明题的类型,即: 不等式证明和方程根的存在性证明两大类. 并归纳出解决上述两类问题常用的方法,与大家分享.
1. 不等式的证明
不等式的证明方法虽灵活多样、技巧性较强,但专转本考试中,方法是可寻的. 主要有以下几种常用方法:
( 1) 利用函数的单调性证明
利用函数的单调性证明不等式是专转本考试中最常见的一种方法,其步骤为: 1) 作差,使不等式一端为零. 令辅助函数f( x) = 另一端. 此时问题转化为证明f ( x) ≥0 ( 或f( x) ≤0) ,但此时一般要明确一端点的函数值或已知其符号; 2) 求f'( x) ,通过f'( x) 的符号确定f( x) 的单调性; 3) 根据单调性定理得出结论.
例1证明: 对于任意的实数x,有( 1 - x) ex≤1.
证明令f( x) = ( 1 - x) ex- 1,则f( 0) = 0.
因为f'( x) = - xex,
所以( 1) 当x > 0时,
f'( x) < 0,则f( x) 单调减少,f( x) < f( 0) = 0,
即( 1 - x) ex< 1.
( 2) 当 x < 0 时,
f'( x) > 0,则f( x) 单调增加,f( x) < f( 0) = 0,
即( 1 - x) ex< 1; 当 x = 0 时,f( x) = 0,
即( 1 - x) ex= 1,综上,( 1 - x) ex≤1,不等式成立.
利用函数的单调性证明不等式的关键是构造函数. 当遇到较复杂的不等式时,需作适当变形来构造函数,使问题简化; 一阶导函数无法判断符号时,需要二阶导函数甚至更高阶导数来判断函数的单调性. 最近几年,利用单调证明不等式基本上都需要用到二阶导数.
( 2) 利用函数的最值证明
当所证不等式具有f( x) ≥A( 或f( x) ≤A) 、A≤f( x) ≤B等结构,且f( x) 在某区间上不具有单调性时,可考虑A、B是否是f( x) 在某区间上的最值.
例3证明: 当| x|≤2时, |3x - x3|≤2.
分析所证不等式即: 当 - 2≤x≤2时,- 2≤3x -x3≤2.
证明令f( x) = 3x - x3,则f( x) 在闭区间[- 2,2]上连续. 因为f' ( x) = 3 - 3x2,在[- 2,2]上不具有单调性. 令f'( x) = 0得驻点x1= - 1,x2= 1,求极值点、区间端点处的函数值得f( - 2) = 2,f( - 1) = - 2,f( 1) = 2,f( 2) = - 2,所以f( x) 在闭区间[- 2,2]上最大值为2,最小值为 - 2,即3x - x3≤2,不等式得证.
( 3) 利用曲线的凹凸性证明
根据函数曲线凹凸性的定义,结合函数图形,易得结论: ( 1) 若函数y = f( x) 的曲线在区间[a,b]上是凸的,且有x0∈( a,b) ,f'( x0) = 0,则x∈[a,b]有f( x) ≤f( x0)( 2) 若函数y = f( x) 的曲线在区间[a,b]上是凹的,且有x0∈( a,b) ,f'( x0) = 0,则x∈[a,b]有f( x) ≥f( x0) . 巧妙利用该结论,可简化某些不等式的证明.
例4证明: 当x > 0时,x2011+ 2010≥2011x.
证明令f( x) = x2011+ 2010 - 2011x ( x > 0) ,则f'( x) =2011x2010- 2011,有
f'( 1) = 0. 又因为f″( x) = 2011·2010x2009> 0 ( x > 0 ) ,即y = f( x) 为凹曲线. 所以当x > 0时,f( x) ≥f( 1) = 0,即x2011+ 2010 - 2011x≥0,不等式得证.
( 4) 利用中值定理证明
高职高等数学中微分中值定理主要研究罗尔定理和拉格朗日中值定理,特别是拉格朗日中值定理在不等式证明中有极其重要的作用.
例5当0 < a < b时,证明不等式
分析因为0 < a < b,故不等式可变形为类似于拉 格朗日中 值定理公 式中的. 又所证不等式是一个双向不等式,结合经验,采用拉格朗日中值定理证明.
2. 根的存在性证明
证明方程在某个区间有根,在专转本考试中也经常出现. 纵观历年真题,主要涉及方程f( x) = 0及方程f'( x) = 0有根两种问题.
这两种问题采用的定理不同,证明方程f( x) = 0有根,一般采用根的存在性定理; 证明方程f'( x) = 0有根,一般采用罗尔定理.
这两种问题的共同点都是构建函数f( x) ,进而说明f( x) 满足相应定理的条件. 构建函数是问题的关键,也是难点. 下面结合具体的实例对这两种问题进行分析:
( 1) 证明方程f( x) = 0有根.
根的存在性定理设函数f( x) 在闭区间[a,b]上连续,且f( a) ·f( b) < 0,则至少使得f( ξ) = 0.
这种问题只要先将方程转化为f( x) = 0,则f( x) 为所要构造的函数; 然后说明f( x) 在某个区间上满足根的存在定理即可,比较简单. 在专转本考试中经常考查根的存在定理结合函数单调性,证明有且仅有一实根的情况.
例6证明: 方程xln( 1 + x2) = 2有且仅有一个小于2的正实根.
证明令f( x) = xln( 1 + x2) - 2,根据题意讨论区间[0,2],则f( x) 在区间[0,2]上连续; 又f( 0) = - 2 < 0,f( 2) = 2ln5 - 2 > 0,所以由根的存在定理得至少ξ∈ ( 0,2) ,使得f( ξ) = 0. 因为,所以f( x) 在区间[0,2]上单调增加; 故方程xln( 1 + x2) = 2有且仅有一个小于2的正实根.
( 2) 证明方程f'( x) = 0有根.
罗尔定理设函数f( x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间( a,b) 内可导,且端点处f( a) = f( b) ,则至少使得f'( ξ) = 0.
因此要证明方程f'( x) = 0有根,只要证明f( x) 在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件,f( x) 就是要构造的函数.
例7设函数f( x) = ( x - 1) ( x - 2) …( x - n) ,求方程f'( x) = 0有多少个实根?
解显然f( x) 在[1,n]上连续、可导,且f( 1) = f( 2) =… = f( n) = 0,根据罗尔定理至少、ξ2∈( 2,3) ,…,ξn - 1∈( n - 1,n) 满足f'( ξi) = 0( i = 1,2…n - 1) . 同时,f'( x) 为n - 1次函数,至多有n - 1个根,所以方程f' ( x) = 0有n - 1个实根.
例8设函数f( x) 在[0,1]上连续,在( 0,1) 内可导,且f( 0) = 1,f ( 1 ) = 0,证明: 至少
分析即可变形为c·f'( c) + f( c) = 0,转化为x·f'( x) + f( x) =0,再进一步观察,可写成x·f'( x) +x'·f( x) = 0. 等式的左边即 ( x·f ( x) ) ',所以可设g( x) =x·f( x) ,所证方程即为g'( x) = 0.
证明: 令g( x) = x·f( x) ,因为f( x) 在[0,1]上连续,在( 0,1) 内可导,所以g( x) 在[0,1]上连续,在( 0,1) 内可导,又g( 0) = 0,g( 1) = f( 1) = 0,根据罗尔定理,至少c∈( 0,1) 使得g' ( c) = 0,即c·f' ( c ) + f ( c ) = 0,从而
3. 结语
关键词：初中数学；几何证明题；提高质效
提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。 对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。 如何針对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。
一、尊重教材
苏教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。 与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。 要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。
教材是一切教学工作的根源。 教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。 现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。 这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。
二、做好细节的规范书写
初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。 教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。 其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。
有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。 比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。
如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。 其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。 如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。
三、抓好强化训练
初中几何证明题的教学，离不开强化训练。 这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。 比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。
要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。 这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。 比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。
通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。
总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。 同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。
1．C如图，在△ABC中，BF、CE相交于点O，AE＝AF，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
A
E
B
2．C如图，AD＝AE，∠D＝∠E，∠1＝∠2，BE、CD相交于点O．求证：OB＝OC．
A
D
B
3．C如图，AC、BD相交于点O，AB = CD，∠BAD =∠ADC，求证：△ABO≌△DCO．D
B
4．C如图，B、C是线段AD上的两点，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
求证：⑴∠E＝∠F；⑵OB＝OC．
EF
CDB A
5．C如图：已知AD = BC，AC = BD，求证：∠1 =∠2．
DC
AB
6．C如图：已知AC、BD的交点O平分AC、BD，过点O引直线EF交AB、DC于点E、F，求证：OE = OF．
AD
EF
证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论:
⑴b≤a或c≤a
⑵a≤b且a≤c
如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c)
如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c)
无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.一.线性插值(一次插值)
已知函数f(x)在区间的端点上的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个一次函数y=p1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其几何意义是已知平面上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一条直线过该已知两点。
1.插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
把此式按照yk和yk+1写成两项:
记
并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：
从而
p1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与yk、yk+1无关，而由插值结点xk、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值。
解:f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设
x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010
则插值基函数为：
于是,拉格朗日型一次插值多项式为:
故:
即lg12由lg10和lg20两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二次插值多项式
已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个次数不超过二次的多项式p2(x),使其满足,p2(xk-1)=yk-1,p2(xk)=yk,p2(xk+1)=yk+1.其几何意义为:已知平面上的三个点
(xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。
1.插值基本多项式
有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足：
(1)基本多项式为二次多项式;(2)它们的函数值满足下表：
因为lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设
lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),又因为
lk-1(xk-1)=1==>a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=
1得
从而
同理得
基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。
2.拉格朗日型二次插值多项式
由前述,拉格朗日型二次插值多项式:
p2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),p2(x)
是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
p2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)。
例2已知：
xi101520
yi=lgxi11.17611.3010
利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。
解：设x0=10,x1=15,x2=20,则:
故:
所以
7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。
三、拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为
y0,y1,…,yn,求一个次数不超过n的多项式pn(x),使其满足:
pn(xi)=yi,(i=0,1,…,n),即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
1.插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
l0(x),l1(x),…,ln(X)
每个插值基本多项式li(x)满足：
(1)li(x)是n次多项式;
(2)li(xi)=1,而在其它n个li(xk)=0,(k≠i)。
由于li(xk)=0,(k≠i),故有因子:
(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)
因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:
li(x)=a(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)
由li(xi)=1,可以定出a,进而得到：
2.n次拉格朗日型插值多项式pn(x)
pn(x)是n+1个n次插值基本多项式l0(x),l1(x),…,ln(X)的线性组合,相应的组合系数是y0,y1,…,yn。即:
pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x),从而pn(x)是一个次数不超过n的多项式,且满足
pn(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n).例3求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解用4次插值多项式对5个点插值。
所以
四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在上用多项式pn(x)来近似代替函数f(x),其截断误差记作
Rn(x)=f(x)-pn(x)
当x在插值结点xi上时Rn(xi)=f(xi)-pn(xi)=0,下面来估计截断误差：
定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n)=f(n)(x)在上连续，y(n+1)=f(n+1)(x)
在(a,b)上存在;插值结点为:
a≤x0
pn(x)是n次拉格朗日插值多项式;则对任意x∈有：
其中ξ∈(a,b),ξ依赖于x：ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)
证明：由插值多项式的要求：
Rn(xi)=f(xi)-pn(xi)=0，(i=0,1,2,…,n);
设
Rn(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn)=K(x)ωn+1(x)
其中K(x)是待定系数;固定x∈且x≠xk，k=0,1,2,…,n;作函数
H(t)=f(t)-pn(t)-K(x)(t-x0)(t-x1)…(t-xn)
则H(xk)=0，(k=0,1,2,…,n),且H(x)=f(x)-pn(x)-Rn(x)=0,所以，H(t)在上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在ξ∈(a,b),使;因pn(x)是n次多项式，故p(n+1)(ξ)=0,而
ωn+1(t)=(t-x0)(t-x1)…(t-xn)
是首项系数为1的n+1次多项式，故有
于是
H(n+1)(ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x)
得：
所以
设,则：
易知，线性插值的截断误差为:
二次插值的截断误差为:
下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差：
在例1中，用lg10和lg20计算lg12,p1(12)=1.0602,lg12=1.0792
e=|1.0792-1.0602|=0.0190;
在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。 对不起啊 我不知道怎么把画的.图弄上来 所以可能麻烦大家了 谢谢
1.
过D作DH∥AC交BC与H。∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∵DH∥AC，∴∠DHB=∠ACB，∴∠B=∠DHB，∴DB=DH.∵BD=CE，∴DH=CE.∵DH∥AC，∴∠HDF=∠FEC.∵∠DFB=∠CFE，∴△DFH≌△EFC，∴DF=EF.
2.
证明:过E作EG∥AB交BC延长线于G
则∠B=∠G
又AB=AC有∠B=∠ACB
所以∠ACB=∠G
因∠ACB=∠GCE
所以∠G=∠GCE
所以EG=EC
因BD=CE
所以BD=EG
在△BDF和△GEF中
∠B=∠G，BD=GE，∠BFD=∠GFE
则可视GEF绕F旋转1800得△BDF
故DF=EF
3.
解:
过E点作EM∥AB,交BC的延长线于点M,
则∠B=∠BME,
因为AB=AC,所以∠ACB=∠BME
因为∠ACB=∠MCE,所以∠MCE=∠BME
所以EC=EM,因为BD=EC,所以BD=EM
在△BDF和△MEF中
∠B=∠BME
BD=EM
∠BFD=∠MFE
所以△BDF以点F为旋转中心,
旋转180度后与△MEF重合,
所以DF=EF
4.
已知：a、b、c是正数，且a>b。
求证：b/a
要求至少用3种方法证明。
(1)
a>b>0;c>0
1)(a+c)/(b+c)-a/b=[(a+c)b-a(b+c)]/[b(b+c)]=(ab+ac-ab-bc}/(b^2+bc)
=(ac-bc)/(b^2+bc)=c(a-b)/[b(b+c)]
a>b--->a-b>0; a>0;b>0;c>0--->b(b+c)>0
-->c(a-b)/[b(b+c]>0--->(a+c)/(b+c)>a/b
2)a>b>0;c>0--->bc
---ab+bc
--->a(b+c)
--->a(b+c)/[b(b+c)]
--->a/b<(a+c)/(b+c)
3)a>b>0--->1/a<1/b;c>0
--->c/a
--->c/a+1
--->(c+a)/a<(c+b)/b
--->(a+c)/(b+c)>a/b
(2)
make b/a=k<1
b=ka
b+c=ka+c
(b+c)/(a+c)=(ka+c)/(a+c)=(ka+kc-[k-1]c)/(a+c)=k(a+c)/(a+c)-(k-1)c/(a+c)
一、利用数学归纳法证明不等式
若不等式中含有“变量为自然数”的条件, 可以尝试用数学归纳法.
例1 证明不等式undefined为自然数.
证明 当n=2时, 因为undefined,
故不等式成立.
设n=k时, 不等式成立, 即undefined
则对于n=k+1时, 有
undefined
由于undefined由贝努力不等式) , 从而有
undefined,
故原式获证.
二、利用取对数法证明不等式
若不等式中含有幂指函数, 可以考虑用取对数法.
例2 证明不等式undefined为自然数.
证明 由undefined, 不等式的两边取对数, 得
undefined, undefinedundefinedundefinedundefined, 即
undefined
所以undefined
于是undefined, 即undefined
下面证明undefined
设undefined, 则有
undefined,
所以 (注意到undefined, 从而证得undefined
三、利用无穷小的性质证明不等式
若x→+∞时, undefined为无穷小, 即undefined, 且g (x) >0 (x>M1>0) , 则存在M2>0, 当x>M2时, 有undefined, 从而f (x)
例3 试证:当x充分大时, x10ex
证明 因为当x→+∞时, undefined,
所以, 当x充分大时, 有undefined, 即x10ex
四、利用拉格朗日中值定理证明不等式
若f (x) 在[a, b]上连续、在 (a, b) 内可导, 则undefined.利用ξ与a, b的关系, 对ξ进行合理缩放即可得不等式.
例4 若0
证明 显然等式当且仅当a=b>0时成立.
下面证0
作辅助函数f (x) =lnx, 则f (x) 在[a, b]上满足拉格朗日中值定理, 即存在ξ∈ (a, b) 使undefined成立.
由于0
由上述两式可得undefined,
所以undefined
五、利用泰勒定理证明不等式
泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式 (或麦克劳林展开式) , 从而利用它的局部展开式证明不等式.
例5 证明:undefined
证明 令f (x) =ln (1+x) , 则
undefined
于是f (x) 在x=0处的三阶泰勒展开式为:
undefined
由于undefined,
所以undefined
六、利用函数的凹凸性证明不等式
通过函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性, 从而证明一些不等式, 特别是含两个或两个以上变元的.
例6 证明:undefined
证明 设f (t) =tn, t>0, 则
f′ (t) =ntn-1, f″ (t) =n (n-1) tn-2.
当n>1, t>0时, 有f″ (t) >0, 所以f (t) 在 (0, +∞) 内是凹函数.
根据凹凸性的定义, ∀x, y∈ (0, +∞) , x≠y,
有undefined, 即undefined
七、利用变上限积分证明不等式
在不等式的两端取变上限积分, 可以得到新的不等式.
例7 设f (x) 在 (0, +∞) 上具有连续的可微函数, 且f (0) =1.当x≥0时, f (x) >|f′ (x) |.试证:ex>f (x) , (x>0) .
证明 由已知可得-f (x)
两边从0到x积分, 得∫undefinedundefined∫undefineddt, 其中x>0.
注意到f (0) =1, 从而得到lnf (x)
不等式的证明因题而异, 灵活多变.只有在多思考、多总结的基础上, 才能迅速把握问题的本质, 灵活运用各种证明技巧, 提高解题水平.
摘要：人们对高等数学的印象通常是复杂的公式和繁杂的计算, 事实上通过用心的总结和归纳, 高等数学中的许多知识点是有规律可循的.本文就以多年教学经验为依据, 通过一些实例, 对高等数学中不等式的证明方法进行了探讨, 希望能给读者以启迪.
关键词：高等数学,不等式,证明方法
参考文献
[1]邵瑞珍, 皮连生.教育心理学[M].上海:上海教育出版社, 1988.
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[4]陈琼, 翁凯庆.试论数学学习中的理解学习[J].数学教育学报, 2003, 12 (1) .
[5]张定强.剖析高等数学结构, 提高学生数学素质[J].数学教育学报, 1996, 5 (1) .
关键词：数学证明题 联系性 严密性 反证法 归谬法
笔者从事高中数学教学多年,发现数学证明题令中学生特别头痛。无论大考小考，学生失分多在数学证明题上面。近年来，笔者在教学思路和教学方法上稍做了些调整，发现调整后学生数学证明能力大有提高。笔者认为，要提高学生的数学证明能力，就应加强培养学生以下几个方面的素质：
一、培养各知识点的联系性思想
数学是一门具有严格逻辑体系的学科，各知识点的联系是非常密切的。例如立体几何中的公理1：直线上的两点在一个平面上，那么这条直线也在这个平面上。这是典型的点线关系，一条直线可以由两点来确定位置。再例如证明面面平行应先从线面平行出发，证明面面垂直应先从线面垂直出发。可见线面关系可以用来证明面面关系，反之已知面面关系可以显现线面关系，这就是各知识点的密切联系。在教学中我们要让学生高度认识到这一点。把各个零散的知识串联成一个完整的知识模块，这样有利于对数学知识的整体把握，夯实基础知识，是解答数学证明题的保障。
二、培养逻辑推理的严密性思想
学生在证明过程中，极容易想当然，而忽视推理的严密性，从而导致推导缺乏理论依据，条理不清，思维混乱。这是数学证明题的大忌。因此，在学习定理或性质的时候，教师要讲明这种逻辑关系，实现推理的层层推进，不急不躁。这样才能实现完善的数学证明。
造成推理不够严密的主要原因在概念模糊、判断失误、推理错误等几个方面，因此我们要帮助学生强化对概念的理解，从而提高判断与推理的准确性。在平时的训练中，我们还要及时对学生做题时的错误判断和不够严密的推理进行纠错、反思和归纳，培养学生逻辑推理的严密性思想，最后达到数学证明推理的无隙可乘。
三、培养间接证明的反证法思想
反证法是数学证明的上乘方法，是在综合法、演绎法等方法难于证明的时候惯用的方法。例如，证明面面平行的判定定理：“一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”很难正面证明，因此我们要用反证法，要让学生从两点正确认识它的依据：第一点，证明P成立，等价于证明非P不成立；第二点，证明P则Q，等价于证明非Q则非R（R可以是原命题的条件P，也可以是已知的定理或性质、法则）。对于第二点，有些学生误认为反证法就是证明原命题的逆否命题,这是错误的认识。教学中我们应让学生了解这两者之间本质的区别。把握好这两者之间的区别与联系,有利于学生深刻理解反证法思想，从而运用好反证法思想证明数学题。
四、培养间接否定的归谬法思想
归谬法与反证法有不同之处，归谬法是论证某一论题为假的反驳方法。为了反驳某一论题，首先假定它是真的,然后由此却推出一个荒谬的结论,最后根据充分条件假言推理的“否定后件就要否定前件”的规则。这种思想如运用得好，可以大大提高我们的数学思维能力，从而提高数学证明能力。
五、培养数学证明的良好思想情操
数学证明题对众多学生来讲是难题，主要是因为学生缺少对待数学证明题的良好思想情操。数学证明虽说没有诗与画的美妙，可它的构思确像艺术一样灵巧。打开数学思维的闸门，用巧妙的方法，把各知识点按照特定方式组织起来，构筑成一个完美的“数学建筑”。在这个过程中，只要形成良好的数学思维习惯，就能享受到完成数学证明的成就感。培养好这种良好思想情操，即培养了数学证明的兴趣，还从而提高了证明的效率。
以上几种思想笔者认为在数学证明过程中非常重要。把握各个知识的联系，吃透各个知识点，这是实现证明的基础；利用严密的推理，培养学生逻辑思维的能力，这是完善数学证明过程的要求；运用恰当的证明方法与思路，这是实现数学证明的必然选择；培养良好的数学证明情操，提高学习数学证明题的兴趣，这样才能让学生轻松、快乐地学习数学证明，进而提高学习数学学科的兴趣。
2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。
3.。如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。
4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。
5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？
6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。
1.求证四边形ABCD是菱形。
2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。
在教学过程中指导学生用教学方法中的分析法，从而一步步对证明思路进行探究。教师可以用那种提问的方式来指导学生，学生会在教师的指导下经过认真的分析、思考、比较等进行问题的解决。然而，关于证明题的相关分析，有以下三种思考方式：1. 正向思维。对于那种相对来说比较简单的题目，我们可以通过正向对其解题思路进行考虑，这样可以轻而易举的做出相关题目。2. 逆向思维。也就是说，在进行思路分析时，要从相反的方向进行问题的思考，运用这种逆向思维进行解题，可以使学生从不同角度来思考问题，探索解题方法，从而拓宽解题思路，这种逆向思维的方法是需要学生进行掌握的。
在教学过程中，逆向思维是一种很重要的思维方法，在证明题中体现得非常明显。数学这门科目知识点很少，关键是如何将所学的知识进行运用，对于几何证明题来说，最好的方法就是逆向思维法。如果学生在一定程度上没有那所谓的做题思路，那就该引起高度重视了，比如：有些同学非常认真的读完一道题后，不知道该如何进行思路分析，不知道该如何下手，针对这一现象，建议从得出的结论出发。例如：要想证明相等的两条线段在同一个三角形内，这种题型主要是考虑等角对等边，就比如这种题型：在三角形ABC中，AE是ABC的外角DAC的平均线，并且AE平行BC，证明AB=AC，那么，在对它进行相关分析时，如果想要证明两条边相等，就得考虑等腰三角形的定义来证明。
证明思路为：因为AE平分角DAC，角DAE=角EAC，又因为AE平行BC，所以角DAE=角B，角EAC=角C，所以角B=角C，所以三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC。这样，一个证明题就完了。因此，在做这种证明题的时候，要结合所给出的条件，去看还缺少什么样的条件与需要证明，证明这些条件的过程中又需要什么，是否需要在此基础上做辅助线，按照这样的思路思考下去，就能够找到解题的方法，然后将过程写出来就可以，这是解题过程中最好用的方法。3. 正逆结合。对于从结论中很难分析出思路的那种题目，可以通过结合已知条件进行认真分析，在几何证明题中已知的条件都会在证明解题过程中用到，比如要想证明角平分线，就要想到哪两个角相等，或者根据角平分线的相关性质得到哪两条线段相等等等。用这样正逆结合的方法来得出解题思路，也是教学中经常用到的，正所谓，正逆结合，百战百胜。
(二)书写
关键词：函数,L'Hospital法则,Taylor公式
高等数学考试中客观题中的一种是填空题。从目前情况看, 学生在这部分得分率较低, 分析其原因主要在于很多学生没有很好地掌握做填空题的解题方法和技巧。填空题绝大部分是计算题, 但填空题不像一般计算题, 它只看结果, 不看过程。所以, 若做计算题的准确率不高, 填空题很容易失分。填空题大部分主要考查基本概念和基本理论, 如果基本概念和基本理论没有吃透, 填空题部分也很容易失分。另外, 同一道题出成填空题后往往会有更巧妙、更简单的解题方法。当然, 填空题用我们平时求解主观题的方法也能求解, 但这种一般方法往往要浪费大量的时间。要想既提高填空题部分的得分率, 又能快速做出这部分题, 一方面要提高做计算题的准确率, 吃透基本概念和基本理论;另外一个很重要的方面, 就是要掌握一定的做填空题的解题方法和技巧。做填空题常用的方法和技巧主要有四种:1) 利用函数图像的几何意义;2) 利用函数的物理意义;3) 利用函数图像的对称性、奇偶性和周期性;4) 利用函数的相关性质。下面结合具体问题来说明如何利用这四种方法快速求解填空题。
一、利用函数图像的几何意义
分析:这种题型的常规解法是把根号里面先平方, 再用三角代换, 但计算量太大。实际上, 根据定积分的几何意义可知, 该定积分在几何上表示圆心在 (2, 0) , 半径为2的圆 (x-2) 2+y2≤4的, 面积为2π, 因此立即可知此空应填2π。
分析:直接做也可以, 但较复杂。根据重积分的几何意义可知, 该积分在几何上表示球体x2+y2+z2≤a2的体积的一半, 因为球体x2+y2+z2≤a2的体积为。所以该空应填写。
[例3]设L是以点 (1, 0) 为中心, R为半径的圆周 (R>1) , 取逆时针为正方向, 则
分析:此题若按一般计算题来做较繁, 但只要注意到12C矣xdyydx为椭圆C:4x2+y2=a2所围成图形的面积, 该题就好做了, 做法如下:
(x, y≠0, 0) 。C:4x2+y2=a2 (逆时针为正方向) , 则由Green公式可得
[例4]若随机变量ξ服从均值为4, 方差为σ2的正态分布, 且P{4<ξ<8}=0.4, 则P{ξ>8}=____。
分析:根据正态分布的密度函数的图像是关于均值x=4对称, 所以由对称性可知P≤ξ>4≤=0.5, P{ξ>8}=P{ξ>4}-P{4<ξ≤8}=0.5-0.4=0.1。
二、利用函数的物理意义
利用这种技巧求解有关积分方面的题, 一般要求积分具有三个特点:被积函数为积分变量的一次式;积分区域具有对称性;积分区域对应的面积容易计算。
[例5]设D={ (x, y) |x2+y2≤x+y+1}, 则
分析:若按照二重积分的一般计算题来计算, 较复杂。考虑到本题中的积分区域为圆域, 形心显然是圆心, 面积为。由平面图形的形心公式:
[例6]设D是由直线x=-2, y=0, y=2及曲线所围成的平面区域, 则
分析:设区域的形心坐标为 (x, y) , 该区域的面积为SD, 则可
三、利用函数的对称性、奇偶性和周期性
定积分的积分区间若是关于原点的对称, 首先应考虑被积函数的奇偶性, 若被积函数为奇函数时, 积分为零;若被积函数为偶函数时, 该定积分的值应为一半积分区间上的定积分的两倍。若定积分的积分区间虽无对称性, 但被积函数的图像具有对称性或周期性, 在计算时, 也只需计算部分定积分即可。
分析:由于被积函数x6s inx为奇函数, 且积分区间≤-π, π≤关于原点对称, 故应填0。
四、利用函数的其它性质
(一) 利用L'Hospital法则
在利用L'Hospital法则求极限时, 可以将非零极限的因子先计算出来, 并要注意与等价无穷小代换方法结合起来。
(二) 利用Taylor公式
利用带peano余项Taylor公式, 将极限中的函数适当展开, 能够大大简化计算过程。
作者简介:赵普军, 1974年生, 男, 洛阳理工学院教师, 讲师, 主要从事高等数学的教学及研究。
参考文献
[1]刘书田.高等数学 (第二版) [M].北京:北京大学出版社, 2005.
[2]丁家泰.微积分解题方法[M].北京师范大学出版社, 1981.
[3]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社, 1997.
纵观近十年考研数学真题，大家会发现：几乎每一年的试题中都会有一个证明题，而且基本上都是应用中值定理来解决问题的。但是要参加硕士入学数学统一考试的同学所学专业要么是理工要么是经管，同学们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的，这就导致数学考试中遇到证明推理题就发怵，以致简单的证明题得分率却极低。除了个别考研辅导书中有一些证明思路之外，大多数考研辅导书在这一方面没有花太大力气，本人自认为在推理证明方面有不凡的效绩，在此给大家简单介绍一些解决数学证明题的入手点，希望对有此隐患的同学有所帮助。
一、结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。
知道基本原理是证明的基础，知道的程度（即就是对定理理解的深入程度）不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。
二、借助几何意义寻求证明思路
一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点（正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点）之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F（x）=f（x）-g（x）有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题（1）是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。
三、逆推
从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多（这里所举出的例子就属非正常情况），这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要证的不等式。
BCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分DAB和CBA． 25．如图10，在A
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；（2）比较DP与PC的大小；
cm，（3）画出以AB为直径的O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD
5AP8cm，求证△AEF∽△APB，并求tanAFE的值．
2007年
图10
25．如图12，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(2，0)B(8，0)，以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）求C，M两点的坐标；
（2）连接CM，试判断直线CM是否与
P相切？说明你的理由；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2008年 25．如图11，P与O相交于A，B两点，P经过圆心O，点C是P的优弧AB上
任意一点（不与点A，B重合），连结AB，AC，BC，OC．（1）指出图中与ACO相等的一个角；
（2）当点C在P上什么位置时，直线AC与O相切？请说明理由；（3）当ACB60时，两圆半径有怎样的大小关系？说明你的理由．（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．
图1
12009年
25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，BE2.（1）求EC∶CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
P
FB E C B E C图13-1 图13-
22010年
25．如图11-①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CECB.（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点（如图11-②所示）.若ABAD2，求线段BC和EG的长.A D AB 图11-①
C B C 图11-② G
25．如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交
于点B．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线．
(2)当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．
B
2012年
25．如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
25、如图13，在ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DEAC于点E，BE交O于点F，连接AF的延长线交DE于点P。
（1）求证：DE是O的切线。
（2）求tan∠ABE的值；
一、相交线与平行线
1、平行线的性质
（1）两线平行，内错角相等（2）两线平行，同位角相等（3）两线平行，同旁内角互补
2、平行线的判定
（1）内错角相等，两线平行（2）同位角相等，两线平行（3）同旁内角互补，两线平行（4）同平行于一线的两线平行（5）同垂直于一线的两线平行
二、角平分线
1、角平分线的性质
定义：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2、角平分线的判定
（1）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.（2）把一个角分成相同角度的线叫做角平分线。
3、三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.三、垂直平分线
1、垂直平分线的意义及性质
（1）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（3）三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、垂直平分线的判定
线段的中线并且垂直于这条线段 四、三角形全等
1、全等三角形的判定
（1）定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）（2）定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）（3）定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）
（4）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等.(AAS)（5）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)
2、全等三角形的性质
全等三角形对应边相等、对应角相等.五、相似三角形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形． 2．相似比定义：相似三角形对应边的比． 3．相似三角形的判定
（1）对应边相等，对应角成比例。（2）两角对应相等的两个三角形相似。AA（3）两角对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。SAS（4）三边对应成比例的两个三角形相似。SSS 4．相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
5、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
六、勾股定理
222（1）若三角形三边长a，b，c满足abc，那么这个三角形是直角三角形三角形
222（2）若abc，时，以a，b，c为三边的三角形是三角形； 222（3）若abc，时，以a，b，c为三边的三角形是三角形；
（4）用含字母的代数式表示n组勾股数：
2n1,2n,n1（n2,n为正整数）；
2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）
七、等腰三角形
1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
八、等边三角形
1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：
（1）具有等腰三角形的所有性质。
（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
3、等边三角形的判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
九、直角三角形
1、直角三角形的性质
（1）定理：直角三角形的两个锐角互余.（2）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
2、直角三角形的判定
（1）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.（2）定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.十、平行四边形
1、平行四边形的性质
（1）定理：平行四边形的对边相等.（2）定理：平行四边形的对角相等.（3）定理：平行四边形的对角线互相平分.（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.2、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.十一、特殊平行四边形
菱形
1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
2、菱形的性质：具有平行四边形的所有性质。还有以下个性：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
3、菱形的判定
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：是一个平行四边形；两条对角线互相垂直．（2）四边都相等的四边形是菱形．
矩形
1、矩形定义：有个一角是直角的平行四边形叫做矩形（1）矩形是特殊的平行四边形；（2）有一个角是直角．
2、矩形的性质：具有平行四边形的所以性质。还有以下个性： 性质1 矩形的四个角都是直角； 性质2 矩形的对角线相等。
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
3、矩形的判定：
（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（定义法）（2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等（3）都是直角的四边形是矩形．
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形
1、正方形的定义：有一组对边直平行且相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
注意：
1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等；（3）有一个角是直角．
强调：正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（菱形），②有一个角是直角的平行四边形（矩形）。
说明：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形．
2、正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质：（1）边：两组对边平行且相等；（2）角：四个角都是直角；
（3）对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．（4）正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；
（5）正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
3、正方形的判定方法：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)对角线互相垂直的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)对角线相等的菱形是正方形.注意：要确定一个四边形是正方形，应先确定它是矩形或是菱形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.十二、梯形
1、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3、直角梯形定义：一条腰和底边垂直梯形叫做直角梯形。
4、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
6、等腰梯形的判定：同一同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。十三、三角形高，中线，角平分线，中位线
三角形的角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2、性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。
三角形的中线：
1、定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
2、性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。三角形的高线：
1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；
三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.3、由三角形的三条中位线，可以得出以下结论：
三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半； 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形； 三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.十四、三角形内角和，补角，余角，外角
1、三角形的内角的关系：
三角形三个内角和等于180°。直角三角形的两个锐角互余。
2、余角、补角和对顶角（1）余角：
定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。性质：同角或等角的余角相等。（2）补角：
定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。性质：同角或等角的补角相等。（3）对顶角：
定义：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。
3、外角
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
十五、多边形的内角和与外角和
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