浅论高等数学中的极限思想

浅论高等数学中的极限思想（共10篇）

浅论高等数学中的极限思想 篇1

谷亮

（辽宁铁道职业技术学院 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要： 极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学

一、极限的概念

1、数列极限：设{xn}为一个数列，a为一常数，若0，总存在一个正整数N，使得

limxnaxna{x}nNn当时，有，称a是数列的极限。记作n

2、函数极限：设函数f(x)在点a的某去心邻域内有定义，A为一常数，若0，总存在一个正数，使得当的极限。记作xa0xa。

时，有

f(x)A，称A是当x趋向于a时函数f(x)limf(x)Axa,xa,x,x，极限的定义类似。自变量变化过程还包括：在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，„„如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想不仅可以将一些问题简化，开辟解决问题的新途径，通过分析、总结、归纳得出极限概念中各变量具有的变化特征和内在练习，分析变化过程中的各种规律，还可以培养学生的数学思维，提高学生解决问题的素质能力，因此，使学生能够灵活运用极限思想有重要的意义。

三、将极限思想渗透到课堂教学中

1、课堂上介绍一些体现极限思想的典故

比如，中国古代的哲学家庄周在《庄子天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，将木棰长度的变化归结为一个无限的过程中去研究，我国古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细,所失弦少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”，他用圆的内接正n边形的边长代替圆的周长,n越大,正n边形的边长就越接近圆的周长，这都蕴涵了极限思想。通过这些有趣的小故事，小典故，不仅让学生回顾历史，从中体验和感受极限思想的妙处，还能激发学生学习高数的兴趣和积极性。

2、讲授新知识时渗透极限思想

在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，这样可以使学生对新知识有一个更好更深入的的理解，达到很好的教学效果。在教学中能够渗透极限思想的地方有很多，比如求曲线上任一点的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过这种极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，也体现了一种动态的极限思想。

3、体现极限思想的数学概念

高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，不胜枚举，下面就举几个这样的例子：（1）函数连续的概念中就用到极限式：

xx0limf(x)f(x0)

（2）导数的概念中有极限式：

f(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（3）定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：abbf()xf(x)dxlim0ii1bbni

（4）无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：af(x)dxlimf(x)dxba，bbf(x)dxlimaf(x)dxa，0af(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxa0

（5）级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数

un1nlimsns{s}n的部分和数列的极限n存在，称级数un1n为收敛的，否则该级数称为发散的。

（6）无穷小的定义也是用极限来描述的：若有xalimf(x)0，称f(x)为此自变量的变化过程中的无穷小量。

（7）二元函数f(x,y)在有界闭区域D上的二重积分的定义也用到了极限，f(x,y)dlimf(,)Dd0iii1ni

（8）二元函数f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分也是用极限定义的：Lf(x,y)dslimf(i,i)sid0i1n

（9）多元函数偏导数也是用极限来定义的，以二元函数为例，f(x,y)关于x的偏导数为：

f(x0x,y0)f(x0,y0)flimx(x0,y0)x0x，关于y的偏导数类似。

4、解决问题时利用极限思想

高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。（1）如何求平面上曲边梯形的面积？

计算梯形的面积公式是我们所熟知的，但曲边梯形面积是不能依此求得的，可以通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题；（2）如何求圆面积？

我们可以设定情境，就是在不知圆面积公式的情况，是怎么考虑圆面积的，当然，也是利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的；

除了上述两个问题，还有解决物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法来解决的。教师可以在教学中恰当选取问题，让学生逐步紧跟教师思路，利用极限思想一步一步解决问题，不仅是教学效果事半功倍，还能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。

四、结束语

综上所述，极限思想是高等数学教学中的重点与难点，贯穿于整个高等数学体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入其中，通过恰当的方法让学生更好的理解极限的概念和极限的思想方法，让学生体会到极限思想的作用和妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，培养学生对数学的学习兴趣，提高学生应用数学知识，利用极限思想方法解决各种问题。

参考文献：

浅论高等数学中的极限思想 篇2

一、极限的产生和发展是高等数学产生的基础

在西方, 极限观点的萌芽起源于对量的可分性的质疑.早在古希腊时代, 一些智者就提出质疑:它是无限可分的, 还是由无穷多个极微小的不可分的部分组成的?对于两种设想, 不同学派有不同的看法, 但无论哪种看法, 都包含了最朴素的极限思想:无穷逼近.如, 古希腊的数学家欧多克索斯所提出的穷竭法, 他认为量是无限可分的, 并建立了下列原理:

“如果从任一量中减去不小于它的一半的部分, 从余量中再减去不小于它的一半的另一部分, 如此继续下去, 则最后留下一个小于任何给定的同类量的量.”

极限观点在我国古代也有记载, 战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”, 也就是说一根长为一尺的木棒, 每天截去一半, 这样的过程可以无限地进行下去.此外, 《墨经》中“端, 体之无厚而最前者”“端, 无问也”“非半弗斯则不动, 说在端”等都包含了对物体经“化整为零”后的微分思想.随后, 三国时的数学家刘徽在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法.他用正n边形内接于圆, 随着边数不断增加, 正n边形的面积越来越接近圆面积, 其面积之差也越来越小, 当差为无穷小量时, 与圆面积无限逼近.这种当n无限增大, 用差值趋于零的无限逼近思想, 正是现代微积分中的极限思想的本质.

17世纪上半叶, 解析几何的产生标志着变量数学的开端, 结束了希腊时期形成的数学几何化的一统天下;反过来, 用方程表示曲线, 在一定程度上又使数学代数化.同时, 代数符号体系的形成和发展, 都为微积分的建立奠定了基础.伴随着微积分的建立过程, 对无穷小量的探讨也越来越引起人们的注意.17世纪下半叶, 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作, 创立了一个新的学科——高等数学.这个学科的特点是, 需要运用无限过程运算, 即极限运算.高等数学的核心内容是微分学和积分学, 而微分和积分的概念是通过极限来定义的.

18世纪的许多科学家, 如达兰贝尔、欧拉、拉格朗日等都提出了自己的看法, 都不同程度用极限概念作为微积分基础, 但并不成功, 占优势的还是“无穷小方法”, 至于“无穷小”到底是什么, 没有公认的精确定义.在19世纪20年代以后, 柯西在1821—1823年间出版了《分析教程》《无穷小计算讲义》两本书, 在这两本书中, 柯西给出了极限的精确定义, 终于解决了“无穷小”问题, 确立了极限论作为微积分的基础.

由上可见, 在极限的整个发展过程中, 我们确定了微积分在高等数学中的基础地位, 也肯定了极限论在微积分中的重要地位.因此, 极限的产生和发展是与高等数学紧密联系在一起的.

二、极限在高等数学各组成部分的研究中起到了工具作用

高等数学研究的对象是函数, 使用的工具是极限.极限方法是用来研究变量问题的基本方法, 是人们从有限认识无限的一种数学思想.极限概念体现了变量和常量的对立统一, 本质上是客观世界量变转化为质变过程的一种反映.极限是高等数学的理论基础, 用极限可以把连续、导数、积分、级数收敛等高等数学理论中的各组成部分进行统一处理.

本文仅以定积分的定义来阐述极限的工具作用:

极限思想在小学数学教学中的渗透 篇3

一、数学教学中融合极限思想

小学数学作为小学生的启蒙学科，正确教学方法的运用有利于学生在以后高等数学中顺利学习。这就要求教师在教学中融合极限思想，使学生养成良好的思维惯式。

如在四年级下册中有关循环小数的学习中，我首先在黑板中写出１与３两个数相除，运算得出结果为０．３３３……，以此为基准，得出循环小数概念，即在小数点后某一位开始依次不断重复出现的前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数。随后，我再提出“０．９９９……是否等于１”的问题，学生普遍认为：无论小数点后的９的数量如何增加，它也只能无限接近于１，但始终不等于１。于是，我以代数法进行证明：

假设x＝０．９９９……

１０x＝９．９９９……

１０x－x＝９．９９９……－０．９９９……

即９x＝９，所以x＝１。

这种在教授新的知识点中融合极限思想的教学方法，能够使学生在脑海中对无限等概念形成较为直观的印象，并由此加深记忆。

二、数学概念推导中渗透极限思想

数学公式、定理和概念是学生解答题目的前提和关键，但是数学概念和公式定理通常短小精悍，这是小学数学教学中的难题。而在数学概念中渗透极限思想不仅能够加深学生对数学概念的理解，还能够激发学生学习数学的兴趣。

如小学六年级“平面图形的周长和面积”一章中，一般学生需要记住周长和面积的公式，但是公式过于抽象化，容易造成学生不求甚解，生搬硬套。例如在对圆的面积公式进行推导时，以小组为单位，我让学生把一个圆形纸片进行数次对折，并讨论：圆形纸片在对折过程中有什么变化规律。学生在对折过程中发现圆在进行对折后越来越接近于三角形。当把圆形展开后，学生更加惊讶地发现：折痕把一个完整的圆分成了无数个等腰三角形，而且三角形的腰长与圆形的半径是相等的。通过计算三角形的周长和面积，学生最终自己得出了圆形的周长和面积，并且利用这一极限规律，推导出了整个圆形的面积公式。随后，我引导学生对圆形进行剪裁组合。学生发现，把圆形沿折痕进行剪裁后，就可以把圆转化为长方形、梯形等。这样，学生独自推导出的公式自然会深深印在脑海中。

随后，在进行第二单元“圆柱和圆锥”的学习时，不同于平面图形的学习，这里要求学生具有空间想象能力。因此在进行圆柱体积公式推导时，我引导学生在观察有限分割的基础上，建立起无限分割的想象，并通过图形分割拼合的变化趋势，最终想象出图形的最终形态。在教学中，我把学生分成几个小组，要求学生对圆柱体模型进行自主切割拼合，并进行小组成果汇报。有的学生发现，圆柱的底面是一个圆形，那把它平均分成无数份，最终可以拼合成一个长方形，而圆柱体就变成了一个长方体，由此可以得出：圆柱的体积＝底面积×高。另外也有学生从圆柱体的高出发，把圆柱体切割成了无数个细长的长方体，长方体的体积公式是底面积乘以高，无数个长方体的体积和正好是圆柱体的体积，根据乘法分配率，最终也可以得出圆柱体的体积公式。

三、数学练习中运用极限思想

在数学练习中，学生如能体会极限思想并能够在习题练习中灵活运用，不仅能够加强学生的计算熟练度，还能够提高学生学习数学的兴趣和钻研能力。

如在五年级下册“认识分数”这一章节中，在进行分数的基本性质教授后，学生已经初步掌握了分数的概念，因此在进行习题练习时，我在黑板上写下一组分数：４ ／ ５，８ ／ １０，１２ ／ １５……要求学生以此为例，在一定的时间内写出几组等值的分数。接着提问：“如果时间延长，是不是还能够再写一些？如果不限定时间的话，是不是能够一直写下去？”最后学生得出的答案是肯定的，当没有时间限定时，与４ ／ ５等值的分数有无数个。

又如，行程问题的教学练习中，小明与小王相距１００米，两人同向而行，小明每分钟１０米，小王每分钟５米，问：小明什么时候能与小王相遇？答案是小明永远追不上小王。当小明走１０米时，小王走了５米；当小明走１米时，小王同时向前走了０．５米……周而复始，小明永远也追不上小王。

从解题的角度来看，这个答案是简单的，学生并不需要过多地耗费脑力，而且一直写下去也起不到锻炼的效用。但是学生可以由此得到启发，为什么与原分数等值的分数有无数个，为什么小明永远追不上小王，这其中包含着一个怎样的规律？由此，学生能够在初等数学的学习中初步体会到极限的魅力，这为他们以后的数学学习打下了基础，并很好地锻炼了学生的抽象思维能力。

人类的生存与发展离不开数学，正如华罗庚所说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面无处不存在数学的贡献。因此，在教学过程中渗透极限思想对小学数学教学有着潜移默化的作用，不但能够巩固学生的记忆能力，还能增加学生的思维发散能力，从而提高小学教学的有效性。

（责编金铃）

浅论高等数学中的极限思想 篇4

在考研数学中，极限这一块所占的分值大概在10分左右，题目难度值在，算是常规题型里最简单的题目。这10分里平均大概有9.5分考查的是极限的计算。所以，在学习极限时，应重点掌握求极限的方法。

求极限的基本思路是：将不能直接代入的极限通过某种方式转换成可以直接代入的极限，考试的核心考点就在于转换过程。接下来，中公考研数学辅导老师曹严梅将介绍几种常用的求极限的方法。

3.洛必达法则

在使用洛必达法则之前，需要注意以下两点：

(1)使用之前，要先检验条件。

在基础阶段学习时，大家只需检验第一个条件就可以了。

(2)使用之前，要先化简。

化简用到最多的方法就是等价无穷小替换。

除此之外，使用洛必达法则时，会常用到以下几个求导公式:

中公考研

http:// 考研交流学习群【324943679】

小结：

(1)在使用洛必达法则之前，先检验条件，并采用等价无穷小替换，化简函数。

(2)求极限时，涉及到多个无穷大相加时，采用“抓大头”的方法。“抓大头”时，要先抓类型(x→+∞时，指数函数 幂函数 对数函数)，再抓高次。

4.两个重要极限

要求掌握两个重要的极限：

这个极限式适用于求解 型的极限，若题目中的极限与重要极限的形式有所不同，可以通过凑形式的方法求解。

中公考研

http:// 考研交流学习群【324943679】

在考试中，凡是遇到1∞ 型的极限，都要用这种方法来计算。

小结：幂指函数求极限的未定式有三种：第一种是 1∞型，这种类型的极限采用重要极限式来求解;另外两种是 00和 ∞0型未定式，求极限的方法是先采用对数恒等式变形，再求极限。在考试中第一种出现的比较多，应重点掌握。

中公考研

高等数学第一章函数与极限教案 篇5

课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB

全集I、E

补集AC：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)

对偶律

(AB)AB

(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)闭区间

a,b 半开半闭区间

a,b有限、无限区间 cccccca,b

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径



去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射 1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x)xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符号函数

1y01x0x0x04)取整函数 yx

（阶梯曲线）

2x0x1x15)分段函数 y

2、函数的几种特性

1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

函数与反函数的图像关yx于对称

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1(y)x，称此映射f1为f函数的

1)幂函数：yxa

2)指数函数：yax

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

()

ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

5)反三角函数

yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

ee2xxyarccot(x)

shx

chxxxxxee2xx

thxshxchxeeee

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

例 1 数列是这样一个数列xn，其中

n1a2a3a4an

xn也可写为：

1121n，n1,2,3,4,5

131415

1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

limxna

n也可等价表述：

1）0

2）0NNnNnN(xna)

xnO(a)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

定理3：如果limxna且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，xn0x(xn0)

定理

4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在x0点的极限

1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

xx0形式定义为：

0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、x的极限

设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

f(x)A

线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

x

在无穷远点的左右极限：

f()lim关系为： xf(x)

f()limf(x)

xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

xxx

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

1、 则称它为无穷小量，即limxn0

x的意义；

2、xn可写成xn0；(0,xn)

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列xn，如果成立：

G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

1f(x)为无穷大

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

lim0limx1xnx

limlimx1xnx0

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

1、无穷小的性质

设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（4）xn也是无穷小量：

xx0limxn0limxn0

xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx0

2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

3、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

xx0limf(x)f(x)xx0

lim

xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

lim

x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

g(x)u0，则

xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

两个重要极限

定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

xxlimyna

x

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：limx0sinxx1

例：

limx0

例：证明：lim(1xtanxx

limx01cosxxlimx0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1)x的极限

xx1x

第七节：无穷小的比较

定义：若,为无穷小

limlim0c0c01且

limlimlim

K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

1、若,为等价无穷小，则()

2、若～1、～1且

lim1111存在，则： limlim

例：

limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

f(x00)f(x0)f(x00)

或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

limf(x)f(x0)

其形式定义如下：

xx00x(xx0)f(x)f(x0)

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：

f(x00)f(x00)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

xDf是严格单调增加（减少）并且连续

反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

yf1(x)xDf1

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

xx0limf(g(x))f(limg(x))

xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

D1yyf(x),xD

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

xD

类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

二、有界性

xDff(x)称为函数在上的最小值。

有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

f()f(x)f(),亦即

xa,b

f()min xa,bf(x)

f()maxf(x)

xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

零点定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

中值定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

浅论高等数学中的极限思想 篇6

1.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x),x

limP(x),存在A,B,AB,P(A)0,P(B)0,P在[A,B]连续,根据连续函数

x的中间值定理,存在x0(A,B),使得P(x0)0.2.设01,证明对于任意一个y0R,方程y0xsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)xsinx,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f在[|y0|1,|y0|1]连续,由中间值定理,存在x0[|y0|1,|y0|1],f(x0)y0.设x2x1,f(x2)f(x1)x2x1(sinx2sinx1)x2x1|x2x1|0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2(a,b),m10,m20,证明存在(a,b)使得f()

m1f(x1)m2f(x2)

m1m2

.证如果f(x1)f(x2),取x1即可.设f(x1)f(x2),则f(x1)

m1f(x1)m2f(x1)

m1m2



m1f(x1)m2f(x2)

m1m2



m1f(x2)m2f(x2)

m1m2

浅论高等数学中的极限思想 篇7

关键词：小学数学教学,极限思想,渗透

一、极限思想及其历史简介

17世纪微积分创立伊始 , 无限概念便成为人们关注的主题。无穷小的概念是微积分建立的一个基础, 在研究物体运动变化时, 先把它看做是可以无限减少的量, 这时它比零大, 同时又把它看做零而忽略不计, 即认为它是零。数学家们为了消除这种矛盾, 进行了长期不懈的探索。19世纪法国数学家柯西比较完整地阐述了极限概念及其理论, 在柯西的思想中, 函数不会直接趋近于极限, 必须经过含有无穷小的表达式。他把无穷小视为以零为极限的变量, 这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。在变化过程中, 它的值可以是非零, 但它变化的趋向是“零”, 可以无限接近于零。柯西的极限论是一种潜无限的过程, 而极限的完成又表现为实无限。可见, 柯西的理论中潜无限与实无限在某种程度上达到了统一, 但柯西的极限定义中仍有许多不严格的地方, 后经维尔斯特拉斯的进一步改进, 终于用“ε-δ”语言将其精确化了。

二、极限思想在小学数学教学中渗透的必要性

在小学阶段学习的数学相对比较简单, 学生可能在走出校门后不到两年就将所学的数学知识淡忘了, 但是, 那些所学习到的数学思想和数学方法将牢记于心, 不管日后在工作中还是在生活中, 都可以随时发挥作用。所以, 将数学思想和方法不断地渗透给学生, 才是学生掌握知识的关键。

在小学数学教材中, 有很多知识点是与极限思维有关的, 如自然数、奇偶数和循环小数等涉及数量无限多的概念, 以及直线、射线、角的边、平行线的长度等涉及无限延伸性的几何概念等。教师在教学过程中如能刻意挖掘, 并适当地将其蕴涵的极限思想和方法渗透给学生, 那么不仅可以让学生掌握知识点和开拓思维, 而且可以让学生在以后的生活和工作中随时发挥作用。

三、在小学数学教学中的渗透极限思想的重要途径

小学阶段的学生由于正处在身心发展的阶段, 是形象思维向抽象思维转化的阶段, 对极限思想的理解具有局限性, 但并不意味着在教学过程中要淡化对极限思想的渗透。在教学过程中, 教师可以利用推导公式的过程、学习新概念的过程、练习和总复习的过程对学生进行渗透, 提高学生的抽象思维能力。

(一) 在推导公式的过程中渗透极限思想

在小学数学教学中, 会涉及大量的关于数学公式的推导, 有些公式的推导就是运用的极限思维推导出来的, 教师可以利用这一过程潜移默化地对学生进行渗透。最典型的运用极限思想推导出公式的例子就是圆的面积。

案例一:教学“圆的面积”

在教学“圆的面积公式的推导”这节课时, 教师往往让学生把一个圆连续对折, 在不断对折过程中, 学生就可以发现: 对折的次数越多, 所得到对折后的图形越来越接近与三角形, 展开后, 沿折痕把圆平均分成若干个近似等腰三角形, 等腰三角形的两腰就是圆的半径, 而底边就是圆周长的一部分。在这个环节学生能够感受到由曲变直的过程, 领会从近似分割到无限细分的数学思维方法。

在公式推导过程中, 运用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在有限分割的基础上让学生想象无限细分的最终状态, 这样不但使学生能够牢记公式, 而且能将无限逼近的极限思想渗透到他们的脑海中。

(二) 在学习新概念的过程中渗透极限思想

新概念对于小学生来说是新接触的知识, 是一个从无到有的过程, 也是让学生对数学中的专业术语的认识与理解, 也为他们以后的学习奠定一定的基础。有些新概念中蕴含一定的极限思想, 教师在教授的同时可以适当地渗透给学生, 帮助他们更好地理解新概念。

案例二:教学“循环小数的概念”

在教学“循环小数的概念”这节课时, 它的概念性较强, 同时在这节新课中也蕴含着极限的思想。在讲循环小数的概念之前教师往往会让学生讨论:0.999…和1哪个大? 学过方程的学生可能会将0.999…设为x, 那么10x=9.99…, 10x=x+9, 9x=9, 那么x=1, 所以0.999…=1。那么没有学过方程的学生可以在一些算式当中找规律:1-0.9=0.1, 1-0.99=0.01, 1-0.999=0.001, 1-0.999=0.0001…, 1-0.999…=?, 这时学生就可以从这些算式中发现当小数部分的9增加一位时, 其数值就多了一个0, 那如果0.999…中小数部分有无穷多个9, 那么最终结果会无限趋近于0。

(三) 在练习过程中渗透极限思想

数学的学习一定离不开练习, 练习是对所学知识的巩固和训练, 但是在练习中教师往往忽略了对学生数学思想和方法的训练, 数学思想和方法的形成是需要不断积累、不断应用达成的。所以培养学生的数学思想和方法不仅需要老师在讲授新课过程中潜移默化地渗透, 而且要在练习过程中不断巩固和训练。

案例三:练习题:1/2 +1/4 +1/8 +1/16

这道练习题看似很普通, 其实可以对它进行不断的变形, 拓宽它的知识面。大多数学生往往利用通分的方法按照分数加法法则进行计算就可以得出结果。细心的学生会发现这四 个分母之间的关系:任意相邻的两个分数的分母, 前一个分数的分母总是后一个分数分母的一半。如果设。利用代数中常用的消除思想也可以算出来。如果将这道练习题变形为就可以利用极限的思想进行解答, 画一个边长为1的正方形, 如下图所示:

从图中可以直观地看出随着分数分母不断增加, 正方形所划分的空间越来越小, 而空白部分的面积越来越大, 大到不断逼近正方形的面积1, 那么当有无穷多项相加时, 其结果趋近于1。

(四) 在总复习过程中渗透极限思想

总复习是把前面学过的相对独立及零散的知识点聚集起来, 以回顾、归纳、总结等方式梳理知识点, 形成知识网, 明确各个概念之间的联系, 使数学知识在学生头脑之中更加完整化、条理化和系统化。

案例四:教学“平面图形的整理与复习”

在这节课中, 教师把学生所学过的平面图形罗列出来, 包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆, 对它们的特点进行分析。如果借助极限思想以梯形的面积公式为核心进行梳理, 那么又该如何推导出其他图形的面积公式呢? 梯形面积公式:S= (上底+下底) ×高÷2, 假设让梯形的上底无限趋近于0, 那么所得的图形近似于三角形, S=下底×高÷2, 即三角形的面积公式:S= (上底+下底) ×高÷2。同理, 把长方形两腰趋向垂直于底、正方形的四条边趋近于相等、平行四边形党的上下底边趋于相等, 都可以推导出各平面图形的面积公式。

通过构建知识网络系统图, 使学生对所学过的平面图形的面积公式有了更深刻的理解, 让学生知道解决问题并不只有一个方法, 帮助学生形成较完整的认知结构, 使极限思想潜移默化地印在学生的头脑之中。

四、极限思想在小学数学教学中渗透的注意问题

在小学阶段, 学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱, 而极限思想的逻辑性和抽象性都很强, 小学生不易理解。首先, 在教学过程中教师要由浅入深, 从具体到抽象, 从感性到理性, 根据学生在学习各阶段的认识水平和知识特点, 逐步渗透, 螺旋上升。其次, 极限思想方法不像一般数学知识那样, 通过几节课的学习就可以掌握。只有通过不断循序渐进和反复训练, 才能使学生真正有所领悟。最后, 教师要努力挖掘教材中可以进行极限思想渗透的知识点, 将极限思想融合于小学数学教学之中。

参考文献

[1]李军.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].黑龙江教育, 2008.

[2]于雅洁.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].课程教育研究 (新教师教学) , 2013.

[3]王宪昌.数学思维方法[M].人民教育出版社, 2004.

[4]李至艳.极限思想在小学数学中的渗透[J].小学教学研究, 2009.

浅论高等数学中的极限思想 篇8

关键词：数学思想方法 过程 解决问题

《高等数学》作为小学教育专业的一门必修课程，其目的是提高学生的文化素质，但大多数的学生认为：今后我们是小学教师，在小学数学教学中根本不可能用上《高等数学》所学的知识，没有学习的必要。这是因为他们看不到高等数学的重要作用，其中之一便是学习其中的数学精神和数学思维方法。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键，单纯的数学知识是“死”的，唯一能激活它的只有与之相应的数学思想方法。这正如日本著名数学教育家米山国藏所说：“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所学到的数学知识，因为这种作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们生活和工作中发挥着重要作用。”但这些使人终身受益的东西——数学思想方法，它的呈现形式是隐蔽的，是学生难以从教材中直接获得的。

数学思想方法是人们通过数学活动对数学知识形成的一个总的看法或观点，它是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的导航器，同时也是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。能否有意识地正确运用数学思想方法解决问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。[1]古人云：“授之以鱼，莫若授之以渔。”与其纯粹地教给学生知识，倒不如教给其知识的同时教给其相应的数学思方法，让学生学会数学地思考。通过带学生实习，我们不难发现不论学生上课多精彩，但还是缺乏深度。作为一名数学教师，在高等数学教学中，不仅要重视知识的传授，更应重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，把注重数学思想方法的教学作为一种自觉的行为，唯有这样，才能切实提升学生的数学思维素质，进而提高学生的数学素养，为学生的终身学习打下坚实的基础。

一、 在探索知识的发生、形成过程中渗透数学思想方法

恩格斯说：“世界不是一成不变的事物的集合体，而是过程的集合体。”对数学来说，概念的形成过程、方法的思考过程、问题的发现过程等都隐含着许多重要的数学思想方法。在教学中，如果能有效地引导学生经历知识的发生、形成过程，让学生在观察、实验、分析、概括的过程中，看到数学知识背后所蕴藏的思想方法，那么学生所掌握的知识才是活的，学生的数学学习才能得到质的飞跃。

如“函数”概念，学生已不陌生，大学生在初中阶段已经了解函数的简单概念，接触过最基本的一些函数（正、反比例函数，一次函数，二次函数），高中阶段进一步学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，在高等数学中，给出了函数更一般化的定义，更注重函数概念的产生和形成过程，使学生明确函数的概念和理论都来源于实践，反过来又运用于实践，就如芝加哥大学的尤什斯金（Usiskin）教授所说：现代社会人们最常用并且将会普及的数学方法是函数观念。在教学中应从实例引人：例1 由实验测出大气中空气的密度ρ（单位体积空气的质量）随着大气高度h的变化情况如下：

例2 人们到商店去买某种商品，单价是每千克8元，购买的千克数x与总价y互相联系着，对任意的x∈[0，+∞]，y与x之间的对应关系是y=8x.

例3 气温随时间的变化规律。时间t的变化范围是0≤t≤24，对于这个范围内的每一个确定时刻t，就有一个确定的温度T和它对应。

引导学生分析这三个例子中问题的具体意义虽然不一样，但从数量关系的角度来看，它们有着共同的特征：在变化过程中的两个变量之间存在着某种对应关系，当一个变量在其允许的变化范围内取某一个值时，另一个变量就有确定的值与之对应，两个变量间的这种对应关系就涉及到了数学中的函数方法，而不必管它对应的具体方法是通过公式计算的或由图上量得的或由表上给出的，为了能同时反映上述例子的共性，在数学中就用函数关系式来表示，给出函数的定义：设A是非空实数集，x和y是两个变量，如果存在一个对应法则f，按照它，当变量x取A中任意一个给定的值时，都有一个确定的实数值y相对应，则称y是x的函数，f称为A上的一个函数关系.记作y=f(x),x∈A.。然后让学生自己分析函数概念中的三大要素：定义域、值域、对应法则，通过判断两个函数是否相同，求函数的定义域，解决实际问题等过程，使学生进一步了解自然界中有许多现象是可以用函数方法来解决的，高等数学是变量的数学，它主要研究运动与变化，而函数是描写运动的有力工具，是微积分创立的基础，认识到函数思想方法的重要性。

定积分的概念具有广泛的直观背景，要让学生了解：它是为了解决实际问题的需要而产生的一个数学概念，如求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等，从解决这些实际问题的过程中产生分割、近似求和、取极限这一数学思想，把待算的量（如曲边梯形的面积等），在一个区间上（如曲边梯形的底边所在区间[a，b]）与一个函数[如曲边梯形的曲边方程y=f(x)]相联系，运用分割、求和、取极限的方法便产生定积分的概念：.这样，学生学到的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法在学生头脑中的形成，从而为学生学会数学地思考打下基础。

二、 在探索解题思路过程中体会数学思想方法

解数学题的技巧在于寻求解法，正如爱因斯坦所说：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”这里的精神，就是方法的本质认识——数学思想。一般化、特殊化、归纳法、类比法、几何直观法、物理模拟法等都是解题思路分析中必不可少的思想方法。

微分中值定理是从导数到应用的桥梁，拉格朗日中值定理（一般化）的证明就体现了数学的许多思想方法，教学中应让学生先通过观察图形（几何直观），找到一个比较简单的特殊情况——罗尔定理（特殊化），先证罗尔定理，然后构造一个辅助函数，使用罗尔定理证明拉格朗日中值定理。这种“一般化——特殊化”方法和“几何直观”方法是数学中常用的思维方法，必须让学生在解题、证明过程中进一步体会。在高等数学中，还有一些定理的证明是从特殊到一般的，如牛顿——莱布尼茨公式的证明，证明的关键先把公式一般化：用x代替公式中的b，原公式两边均是常数，一般化后，原公式的两边都变成了x的函数，好处在于可以在变化中去寻找变量之间的关系。这种将待解的特殊问题推向一般化， 从而猜得问题的解法，是数学学习和研究中常用的方法，在教学中必须有意识地渗透，如可让学生计算：

计算，然后相加，自己发现这样做太麻烦，如果项数再增加，此方法行不通，引导学生从原有的认知结构出发，通过回忆、观察、思考等方法找到该题的突破口，得到一般项（即第k项）.

到该题的解法关键在于找出一般项ak的表达式，求出一般和Sn的结果，从而使学生进一步明确把特殊情况一般化的重要数学思想方法，正如美国著名的数学教育家波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法。”[2]

三、 在解决实际问题中领悟数学思想方法

数学是源于生活，然而又应用于生活。为了加强学生的数学应用意识，鼓励学生运用所学的数学知识去分析解决生活实际问题，引导学生抽象、概括、建立数学模型，探究解决问题的方法，使学生在应用数学知识解决实际问题的过程中进一步领悟数学中的定义、概念、定理、公式等是从现实世界中经过逐步抽象、概括而得到的数学模型，同时反过来应用于现实世界来解决各种实际问题。生活中常常遇到怎样才能做到“节约”材料、“费用”最少等问题，在高等数学中利用导数就能很好地解决这一问题，如教学中可以让学生解决“要做一个圆柱形有盖铁桶，其容积是V，问其底半径和高应为多少，才能使所用铁皮最少？”学生在解决这一问题时，要先把实际问题转化为数学问题，也就是要用函数思想方法列出函数关系式，设圆柱形铁桶的底半径为r，高为h，总表面积为S，则S=2πr2+2πrh,而容积已知是V,故h=V/πr2所以S=2πr2+2V/r通过求导S1，令其等于0，解得唯一稳定点，再根据极大值、极小值定理，稳定点是极小值点，也就是最小值点，问题得以解决；还可以让学生解决一些经济上的实际问题如“某厂生产的商品年销售量为60000件，每批生产的准备费用为200元，每件商品的年库存费用为0.24元，若年销售率是均匀的（此时商品平均库存量为批量的一半），问应分几批生产才能使总费用最小？”使学生在解决这些实际问题中去深刻领悟数学中的“优化思想”。

学生学习定积分这一知识后，教师要有意识让学生了解定积分在科研、工程技术以及经济等方面有着广泛的应用，运用定积分解决实际问题的第一步是将实际问题转化、归纳为数学问题，实现这一转化的有力工具就是定积分的微元法，利用定积分的微元法解决实际问题的过程中用到数学的重要思想——化归思想，教师在教学中要注重化归思想的渗透，引导学生归纳出用化归法解题的思路：待解决的问题A 已解决或易解决的问题B→解答B解答A。学生只有深层次地掌握这一思想，在以后的教育教学工作中就会自觉主动地运用它去解决问题。

估算意识也是学生应具备的一种重要数学思想方法，在日常生活中会常常遇到这样的问题：半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径伸长了0.05厘米，其面积增大了多少？按照实际计算比较麻烦，但在学生学习微分后，可引导学生利用微分来作近似计算，当△x很小时，有 ，学生只要先写

（平方厘米）。为了使学生能较好地解决各种实际问题，还可考虑组织学生开展一些“研究性学习”活动，如何在生产实际中应用微分估计误差；导数在经济生活中的应用等。让学生在研究的过程中进一步去体会数学思想方法的广泛应用。

总之，在數学教学过程中，教师要注重挖掘教材所隐含的数学思想方法，把握渗透数学思想方法解决问题的时机，逐步使学生增强主动运用数学思想方法的意识，这不仅是提高学生数学素养的需要，也是促进学生全面可持续发展的必经之路。

参考文献：

[1]王建宏．概率教学中数学思想方法的挖掘与渗透.数学教学[M]．2004（10）

[2]李叶明主编．高等数学（文科版）[M]．桂林：广西师范大学出版社，2001（9）

浅论高等数学中的极限思想 篇9

摘要：数学建模是为改变传统高职高等数学教学中存在的内容陈旧和理论脱离实际的缺陷而产生起来的课程，它着重于学生能力和素质的培养、知识的应用和创新。在高等数学教学中引进数学模型，渗透数学建模的思想与方法，不仅能大大激发学生学习数学的兴趣，提高他们学习数学和应用数学的能力，而且能够提升教师的教学水平，丰富现有的教学方法，拓宽课堂教学的内涵，有效提高高等数学的教学质量。

关键词：数学建模;高等数学;教学方法

高等数学是高职理、工、经济、管理等专业的一门必不可少的基础课程，为其他专业课程的学习，以及将来的技术工作，奠定了必要的数学基础。然而各类高职院校学生高等数学的学习情况却不容乐观，多数学生反映高等数学太难，数学课枯燥，成绩不理想，有些学生甚至跟不上教学进度。要想改变这种状况，高职院校必须对高等数学教学的传统思想观念和教学方法加以改革，教师不仅要教会学生一些数学概念和定理，更要教会他们如何运用手中的数学武器去解决实际问题。数学建模就是将现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释和指导现实问题。数学建模对于提高学生运用数学和计算机技术解决实际问题的能力，培养创新能力与实践能力，培养团结合作精神，全面提高学生的素质具有非常积极的意义。

一、在高等数学教学中渗透数学建模思想的必要性

在高等数学教学中，帮助学生去发现问题、分析问题并想办法利用所学数学知识解决问题非常重要。在传统的高等数学教学中，学生基本处于被动接受状态，很少参与教学过程。教师在教学过程中常常把教学的目标确定在使学生掌握数学理论知识的层面上。通常的教学方法是：教师引入相关概念，证明相应定理，推导常用公式，列举典型例题，要求学生记住公式，学会套用公式，在做题中掌握解题方法与技巧。当然，在高等数学教学中这些必不可少，但这只是问题的一个方面。目前，高等数学的题目都有答案，而将来面对的问题大多预先不知道答案，这就要让学生了解如何用数学去解决日常生活中或其他学科中出现的实际问题，提高用数学方法处理实际问题的`能力。

在高等数学课程教学中积极渗透、有机融合数学建模的思想方法，积极引导、帮助学生理解数学精神实质，掌握数学思想方法，增强运用数学的意识，提高数学能力，对培养学生的数学素养，全面提升教育教学质量有着积极的实际意义。

二、在教学内容中渗透数学建模思想和方法的探究

事实上，高等数学中很多概念的引入都采用了数学建模的思想与方法，比如，从研究变速直线运动的瞬时速度与曲线切线的斜率出发引入导数的概念，从研究曲边梯形的面积出发引人定积分概念，从研究空间物体的质量出发引入三重积分概念等。教师在讲课过程中要适时、适当、有意识地加以引导，考虑到学生实际的数学基础，在授课前应有针对性地结合现行教材的各个章节，搜集相关内容的实例，尽可能将高等数学运用于实际生活。讲授内容时适当介绍相关的一些简单模型，不仅能丰富大学数学的课堂内容，而且能很好地活跃课堂气氛，调动学生的学习积极性。以下就在高等数学实际教学中应用数学建模思想的实例加以说明。

1.微分方程

微分方程数学模型是解决实际问题的有力工具，在了解并掌握了常见的常微分方程的建立与求解后引人人口模型：人口增长问题是当今世界最受关注的问题之一。著名的马尔萨斯模型是可分离变量的微分方程，很容易求解，其解说明人口将以指数函数的速度增长。该模型检验过去效果较好，但预测将来问题很大，因为它包含明显的不合理因素。这源于模型假设：人口增长率仅与人口出生率和死亡率有关且为常数。这一假设使模型得以简化，但也隐含了人口的无限制增长。Logistic模型也是可分离变量的微分方程。该模型考虑了人口数量发展到一定水平后，会产生许多影响人口的新问题，如食物短缺、居住和交通拥挤等，此外，随着人口密度的增加，传染病增多，死亡率将上升，所有这些都会导致人口增长率的减少，根据统计规律，对马尔萨斯模型作了改进。作为中长期预测，Logistic模型要比马尔萨斯模型更为合理。 另外，微分方程模型还有很多，例如与生活密切相关的交通问题模型、传染病模型等。

2.零点定理

闭区间上连续函数的性质理论性较强，严格的证明在一般的高等数学教材中均略去。零点定理是其中易于理解的一个，该定理有很好的几何直观。但其应用在教学中也仅限于研究方程的根的问题。“方桌问题”：四条腿长度相等的方桌放在不平的地面上，四条腿能否同时着地?这个问题是日常生活巾遇到的实际问题，在一定的假设条件下，该问题可抽象为数学问题。通过构造辅助函数，利用零点定理便可得问题答案是肯定的。教学中还可提出若桌子是长方形的，是否结论还成立?利用这个模型，学生们不仅了解了数学建模的过程，很好地掌握了闭区间上连续函数的性质，而且提高了学习高等数学的积极性。

此外，与生活实际相关的拉橡皮筋问题、巧切蛋糕问题、登山中的上山下山问题都可归结为零点定理来建立数学模型。这些模型的建立，对于学生消化理解零点定理甚至介值定理都有很大的益处。

3.极值与最值问题

最值问题是实际生活中经常碰到的问题，用导数解决实际生活中的最值问题是高等数学的重要内容，学好导数，重视导数应用是学好高等数学基础。在讲完导数应用的理论内容后，引人“光学中的折射定理”：光在由一种介质进人另一种介质时，在界面处会发生折射现象。折射现象造成的结果是所谓的“最短时间”效应，即光线会走最短的路径。经过一定的条件设定，这样最短时间效应对应的优化问题为求传播时间的最小值问题，经计算可得光学中著名的折射定理。该定理是学生在高中物理中学习过的重要定理，通过建立数学模型，并利用导数问题加以解决，加深了学生对折射定理的认识，并进一步理解导数应用问题。

另外，运输问题、森林救火费用最小问题、最佳捕鱼方案问题等都是生活中的实际问题，这些问题模型的建立、解决都能使学生对导数应用起到加深理解的作用。

4.几何概率

现实世界中充满了不确定性，我们所研究的对象往往受到诸多随机因素的影响，因此所以建立的数学模型涉及的变量是随机变量，甚至变量间的关系也非确定的函数关系，这类模型称为随机模型。几何概率模型就是涉及“等可能性”的概率问题。著名的蒲丰问题便是几何概率的一个早期例子：平面上画着一些平行线，它们之间的距离均为定值，向此平面投一长度小于平行线间距离的针，试求此针与任一平行线相交的概率。值得注意的是，通过对此问题建立概率模型，可以看到它与某个我们感兴趣的量――圆周率有关，然后设计适当的随机试验，并通过试验的结果来确定这个量。

随着计算机的发展，按照蒲丰问题的思路建立起一类新的方法，称为蒙特卡罗方法，并取得广泛应用。约会问题也是几何概型问题，即：两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求两人能会面的概率。

合理安排理论教学恰当引入数学建模的思想和方法，主动引导学生运用所学数学知识去分析和解决实际问题，就能充分调动学生学习高等数学的积极性，让学生发挥学习的主观能动性，感受学习高等数学的乐趣。

三、在数学建模活动中提升学生的数学综合素质

数学建模活动主要包含数学建模课程、数学建模培训与竞赛等。参加过数学建模活动的学生基本能通过采集、整理和分析数据与信息，找出量和量之间的关系，针对问题合理的假设将其转化为一个数学问题，建立数学模型，利用计算机对所建模型求解，最后对结果进行分析处理，检验和评价，从而解决问题，最终完成一篇或报告。数学建模活动着重培养了学生下面几项能力：应用数学方法和思想进行综合分析推理的能力(创造力、想象力、联想力和洞察力)、数学语言与生活语言的互译能力、查阅文献资料并消化和应用的能力、使用计算机及相应数学软件的能力、的撰写能力和表达能力、团队合作的能力。

浅论高等数学中的极限思想 篇10

【关键词】概率思想 高等数学计算 应用分析

【中图分类号】G641【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）01-0141-02

在高等数学的计算中，其运算过程不再是单纯的纸笔计算，而更要加强自身的思考，其中概率思想便是为较大多数人采用的方法，概率思想在高数计算中的运用，可以减少抽象化的程度，从而加强对运算过程的可控性，这对于高等数学计算是起到很大的帮助的。

一、概率思想在高等数学计算中的必要性

1.高等数学计算的复杂性与抽象性

在中学数学学习中，一般偏重与实物参照，或者可以在图画上进行演算，这都给计算提供了很大的参考，但是高等数学不一样，它减少了中学数学中具像的成分，而添加了更多抽象性的东西，更加注重逻辑思维能力。因此，在学习的过程中，重点培养的是学生对于抽象实物的理解，而不再是局限于具体事务的分析，在高等数学的计算中，更是把这一原则应用其中，高等数学的问题中极少具体的数字运算，而更多地是不确定的字母以及表达符号，所以在进行运算时，无法再像从前一样机械的数字运算，而更要通过已知的字母进行未知的推理。

2.概率思想的补充作用

概率思想的补充作用，即概率思想可以对传统计算方法起到一个很好的补充作用，高等数学在计算中通常要进行演算，而且由于其抽象性，更多的要求想象力的提高，具体的计算方式是不可能长久的在高等数学中运用的，高等数学其本身性质决定了普通的计算方法是不适用的，而概率思想在计算的时候，可以通过对计算结果的估测进行计算，这样极大的弥补了机械计算的缺陷。

二、概率思想在高等数学计算中运用的意义

1.降低运算难度

在高等数学的学习中，计算是一个必不可少的过程，所以在学习的过程，是一个很关键的部分，然而高等数学在计算过程中是相对复杂的，并且很难有具体的形象，都是比较抽象的，所以在行进行高数运算的时候往往要经历一个相对复杂的过程，但概率思想在高等数学的运用中可以很大程度上减少机械运算的频率，从而最大程度上降低高等数学计算中的难度，有利于减少学习高数的难度。

2.节约高数学习的时间

在高数的学习中，由于其本身的性质，本来就比较艰难，学习者要花费较多的时间去学习，所以在学习的过程中，时间是比较重要的，由其在进行高数题目运算时，不宜在这方面花费过多的时间，运用传统的机械计算会花费较多的时间，然而在概率思想引入之后，可以很大程度上减少其复杂程度，从而节约很多在学习高数上花费的时间。

三、如何促进概率思想在高等数学计算中的运用

1.提高概率思想思维

如果要提高概率思维在高数计算中的利用状况，就必须要提高概率思维，只有拥有较强的概率思维能力，才能在高等数学计算的过程中充分的运用，然而在此过程中，概率思维的学习又显得尤为重要，高等数学本来就是相对复杂的一门学科，所以即使是在用概率思维进行计算，也要有相对强的概率思维，因此要培养较强的概率思维，多利用概率思维进行系统的锻炼，形成较强的概率思维意识，避免思维定势，促使概率思维可以在高数解题中最大的发挥作用。

2.加强题型练习

在有关于数学的学习中，有一个原则是被普遍认同的，那就是熟能生巧，多练习提高解题能力，虽然这一种方法看起来不是那么的科学，但是在学习数学的时候，它却普遍具有较大的效益，发挥着巨大的作用，从之前一开始就进行有计划目的的题目训练，是有利于巩固对现有方法的掌握的，同时对于了解新题型进行新的解题过程也是有很大的帮助的，在高等数学的计算当中，由于高等数学自身的复杂性，即使是运用概率思维来进行计算，也要拥有较丰富的背景知识，对于两者的结合要相对熟悉，才能在用概率思维计算时较好对应，而这一切的实现，很大程度上都可以依靠一定的题型训练，从而更好的掌握概率思维在高等数学计算中的细则。

3.教师加强在这方面的指导

在高等数学的学习中，最好是有一个导师在一旁进行相应的指导，这样可以最大程度的减少不必要的时间浪费，在利用概率思维进行高数问题计算时，同样需要一定的指导，从而更好地掌握其中的规律，提高其使用的准确率，更大程度上发挥其在解题过程中的作用。要促进这样态势的形成，首先就应该在高数学习过程中加强对学生在概率思维运用上的指导，减少一些不必要的思维定势，形成更为广阔开放的思维视角，拒绝单方面的思考问题，杜绝唯一思想的蔓延，使得学生在进行高数解题时，灵活的运用概率思维。

在进行高数计算中，传统的机械运算必然是相对繁杂的，而概率思维的运用可以在最大的程度弥补这一不足，这是毋庸置疑的，而我们现在就必须不断完善这一方法在高数计算中的运用，通过在题型练习和思维培养，不断掌握这一方法的运用，促进对高等数学的学习。

参考文献：

[1]杨海群.概率思想方法在数学教学中的应用[J]；才智；2013年03期.

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