【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道（推荐9篇）

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道 篇1

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道

考研数学是考研公共课中的必考科目，根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种：其中针对工科类的为数学

一、数学二；针对经济学和管理学类的为数学三。

对于很多考生来说，考研数学是一门比较难的科目，很多同学为了取得更好的分数都会选择报考研数学辅导班!但面对市场上如此多的考研数学辅导机构，应该如何选择呢?到底哪个考研数学辅导班比较好呢?考生又该如何选择呢？小编只推荐启道考研数学辅导班.距离2019考研大纲的发布还有几个月，为了便于现阶段各位考生的备考，启道小编特此整理出2018考研数学一的大纲。基本上每年的大纲不会有太大的变动，各位2019考研er可以参照去年的大纲进行复习备考。

►考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 ►考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

三、试卷内容结构 高等数学约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22%

四、试卷题型结构

单选题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分 ►高等数学

一、函数、极限、连续 考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段

函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则．

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径

考试要求

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面

曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．

4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数． 5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．

6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．

7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．

8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．

9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． 三、一元函数积分学 考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用

考试要求

1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．

3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分． 4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式． 5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．

6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、

旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．

四、向量代数和空间解析几何 考试内容

向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

考试要求

1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件．

3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法．

4．掌握平面方程和直线方程及其求法．

5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题．

6．会求点到直线以及点到平面的距离． 7．了解曲面方程和空间曲线方程的概念．

8．了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程． 9．了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．

五、多元函数微分学 考试内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件

多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、

最小值及其简单应用

考试要求

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义．

2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．

4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法． 5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法． 6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．

7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程． 8．了解二元函数的二阶泰勒公式．

9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．

六、多元函数积分学 考试内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

考试要求

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理． 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．

3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系． 4．掌握计算两类曲线积分的方法．

5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．

6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的

方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分．

7．了解散度与旋度的概念，并会计算．

8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．

七、无穷级数 考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数

考试要求

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．

2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件．

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法． 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系． 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法． 8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．

10．掌握及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．

11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式．

八、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用

考试要求

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念． 2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．

4．会用降阶法解下列形式的微分方程：和． 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．

7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．

8．会解欧拉方程．

9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道 篇2

1. 函数的极值和最值模型

函数的极值和最值的应用问题主要分为一元函数和多元函数的极值和最值的应用, 解决这类问题的思路是:第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式及求出函数的定义域;第二利用求函数极值和最值的方法求解。

例1 (91年数4) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1, p2;销售量分别为q1和q2;需求函数分别为q1=24-0.2p1, q2=10-0.05p2;总成本函数为C=35+40 (q1+q2) 。试问:厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?

分析:这是一个典型的二元函数求最值问题.首先要根据题意求出总利润函数:

总利润=总收益-总成本;其次求出函数的定义域;最后根据二元函数求最值的方法求解即可。

问题归结为求总利润函数的最大值问题。解方程组

2. 积分模型

在积分的应用过程中关键要解决好两个问题:一是什么样的量可以用积分来表达;二是用什么样的积分表达, 即确定积分区域和被积表示式。

例2 (03年数1) 某建筑工程打地基时, 需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打, 都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为kk>0) 。汽锤第一次击打将桩打进地下am。根据设计方案, 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r (0<r<0) 。问:

(1) 汽锤击打桩3次后, 可将桩打进地下多深?

(2) 若击打次数不限, 汽锤至多能将桩打进地下多深?

(注:m表示长度单位米)

分析:本题属变力做功问题, 可用定积分进行计算, 而击打次数不限, 相当于求数列的极限。

解: (1) 设第n次击打后, 桩被打进地下xn, 第n次击打时, 汽锤所作的功为Wn (n=1, 2, 3…) 。由题设, 当桩被打进地下的深度为x时, 土层对桩的阻力的大小为kx, 所以

3. 微分方程模型

应用微分方程解决实际问题, 其实就是建立微分方程数学模型, 通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律。应用微分方程解决具体问题时, 首先将实际问题抽象, 建立微分方程, 并给出合理的定解条件;其次求解微分方程的通解及满足定解条件的特解;最后由所求得的解或解的性质, 回到实际问题。

例3 (04年数1) 某种飞机在机场降落时, 为了减少滑行距离, 在触地的瞬间, 飞机尾部张开减速伞, 以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为9000kg的飞机, 着陆时的水平速度为700km/h。经测试, 减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为k=6.0×106) 。问从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少?

注:kg表示千克, km/h表示千米/小时。

分析:本题是以运动力学为背景的数学应用题, 可通过利用牛顿第二定理, 列出关系式后再解微分方程即可。

解:由题设, 飞机的质量m=9000kg, 着陆时的水平速度v0=700km/h.从飞机接触跑道开始记时, 设t时刻飞机的滑行距离为x (t) , 速度为v (t) 。

4. 概率模型

关于概率论的应用题主要集中在古典概型、随机变量的分布以及随机变量的数字特征等方面。应用概率论的知识解决具体问题时, 首先要分析实际问题, 找出随机变量的关系及其分布;下来是列出它们的函数关系, 利用概率论的有关知识求解。

例4 (08年数4) 设某企业生产线上产品的合格率为0.96, 不合格产品中只有3/4的产品可进行再加工, 且再加工的合格率为0.8, 其余均为废品。已知每件合格品可获利80元, 每件废品亏损20元, 为保证该企业每天平均利润不低于2万元, 问该企业每天至少应生产多少产品?

分析:本题为概率论中的数学期望在经济中的应用, 有关数字特征的应用题主要是随机变量函数的数学期望、方差等, 求解这类问题的关键是找出函数关系.根据题设列出方程求解.

解:进行再加工后, 产品的合格率为

所以企业每天至少生产256件产品。

以上对高等数学研究生入学考试中的有关数学应用题的类型及其解法作了一些探讨, 主要以考研真题为例对历年来的研究生入学考试的命题特点进行了分析, 总结了考研数学应用题的解决方法。

参考文献

[1]刘三阳, 王世儒等.高等数学辅导[M].西安电子科技大学出版社.2000.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社.1993.

[3]张伟, 张华祝等译.经济数学[M].中国人民大学出版社.2006.

数学学院考研数学辅导班预告 篇3

烟台大学数学与信息科学学院预期于2007年继续举办理工类考研数学辅导班（春季一期、暑假两期）、经管类考研数学辅导班（暑假一期）。本班已有十余年历史，是烟威地区办班历史最长、影响辐射最广、管理最规范、最受考生欢迎的辅导班。本班以全院的资源为后盾，集中长期从事考研辅导的最强师资力量，给历届考生提供了良好规范的学习环境，使考生获得显著的复习效果。本班以稳定的师资队伍、丰富的辅导经验、深刻的规律把握、准确的趋势预测，在考生中留下倍受称誉的口碑。本届辅导班将一如既往注重把握科学的考研规律，严格按照考研大纲讲授，发扬我们的优势和特长，进一步加强师生互动，为帮助考生获得最佳的复习效果而努力。

特别提醒：本班授课教师均为我校长期从事公共数学教学工作的中年骨干，年富力强、精力充沛，从事公共数学课程教学的教龄都在18年以上，皆以标准普通话授课，对我校考生的状态把握最准确。

授课教师简介：

侯仁民—首届于维纮青年教师教学竞赛一等奖获得者，《高等数学》首席教师。赵旭强—《高等数学》优秀课程首席教师，高等数学教研室主任。

李鸿儒—两届省级优秀教师称号获得者，主编教材获省级优秀教材奖。

方小娟—《线性代数》优秀课程首席教师，参编教材获国家级优秀教材奖。王炳章—《概率统计》首席教师，《概率论与数理统计》省级精品课负责人。王宪杰—《高等数学》首席教师，《高等数学》省级精品课负责人。

春季辅导班预定于2007年4月至7月的周六、周日上课；暑期辅导班分期举办，在校内教学楼上课。三期理工类辅导班的授课教师、授课内容、授课学时数相同，考生可根据自己的实际情况任选一期参加，辅导班期间有固定教师在固定答疑教室为给考生提供答疑，随时解决复习过程中的疑难问题并提供复习指导。采取上述安排，是本班总结以往的经验，采纳考生合理化建议的结果，充分体现本班“以考生为本，为考生服务”的宗旨，为考生的复习安排提供更为灵活的空间。为适应辅导班的快节奏、高强度和大信息量，准备应考的同学应该将《高等数学》、《线性代数》、《概率统计》三门课的教材扎实复习一遍，为参加辅导班打下良好基础，以期进入最佳复习状态，提高复习效率。

预定于2007年3月下旬开始报名，具体细节另行通知。

咨询电话：6902406

学时与资费：理工类计划授课26次4学时=104学时，收费280元整(数二资费240元);经管类暑期计划授课32次4学时=128学时，收费310元整。

免收报名费、资料费；免收冲刺阶段模拟考试与讲评费用（凭听课证参加）。

注意事项：务请考生准备一寸彩色照片一张到场报名，自选座位；请考生留意校园张贴的通知或到烟台大学主页的通知公告栏查询本班的信息。

考研数学辅导班3~4月活动安排：

一．系列辅导讲座

1）《考研数学复习与考题趋势分析之一》（高等数学）

报告人：考研数学辅导班授课教师赵旭强

2）《考研数学复习与考题趋势分析之二》（线性代数）

报告人：考研数学辅导班授课教师侯仁民

3）《考研数学复习与考题趋势分析之三》（概率统计）

报告人：考研数学辅导班授课教师王炳章

4）《全国各类院校与专业考研动态技术分析2008年报考策略咨询》

报告人：考研数学辅导班授课教师王宪杰

二．2007年3月5日开学后将举行系列说明会，请同学们留意本院相关通知（往年的办班信息可到烟台大学主页通知公告栏查询）。

烟台大学数学与信息科学学院

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道 篇4

感谢凯程郑老师对本文做出的重要贡献

1、函数、极限与连续。主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数、讨论函数连续性和判断间断点类型、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。求分段函数的复合函数；求极限或已知极限确定原式中的常数；讨论函数的连续性，判断间断点的类型；无穷小阶的比较；讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。

2、一元函数微分学。主要考查导数与微分的定义、各种函数导数与微分的计算、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值、方程的的个数、证明函数不等式、与中值定理相关的证明、最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用、用导数研究函数性态和描绘函数图形、求曲线渐近线。求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；利用洛比达法则求不定式极限；讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，此类问题证明经常需要构造辅助函数；几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

3、一元函数积分学。主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算、变上限积分的求导、极限等、积分中值定理和积分性质的证明、定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；关于变上限积分的题：如求导、求极限等；有关积分中值定理和积分性质的证明题；定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；综合性试题。这一部分主要

以计算应用题出现，只需多加练习即可。

4、向量代数和空间解析几何。计算题：求向量的数量积，向量积及混合积；求直线方程，平面方程；判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角；建立旋转面的方程；与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。这一部分的难度在考研数学中应该是相对简单的，找辅导书上的习题练习，需要做到快速正确的求解。

5、多元函数的微分学。主要考查偏导数存在、可微、连续的判断、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数、多元函数极值或条件极值在与经济上的应用、二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续；求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数；求二元、三元函数的方向导数和梯度；求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习；多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题；求一个二元连

续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，在复习时要引起注意，可以找一些题目做做，找找这类题目的感觉。

6、多元函数的积分学。包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序；第一型曲线积分、曲面积分计算；第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用；第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用；梯度、散度、旋度的综合计算；重积分，线面积分应用；求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

7、微分方程。主要考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解；综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道 篇5

第一章函数、极限与连续

本章函数部分主要是从构建函数关系,或确定函数表达式等方面进行考查.而极限作为高等数学的理论基础,不仅需要准确理解它的概念、性质和存在的条件,而且要会利用各种方法求出函数(或数列)的极限,还要会根据题目所给的极限得到相应结论.连续是可导与可积的重要条件,因此要熟练掌握判断函数连续性及间断点类型的方法,特别是分段函数在分段点处的连续性.与此同时，还要了解闭区间上连续函数的相关性质(如有界性、介值定理、零点定理、最值定理等),这些内容往往与其他知识点结合起来考查.本章的知识点可以以多种形式(如选择题、填空题、)考查,平均来看,本章内容在历年考研试卷中数学

一、数学三大约占10分,分

本章重要题型主要有：

1、求极限;2;3;

4、间断点类型的判断。

第二章一元函数微分学

本章按内容可以分为两部分：第一部分是导数与微分,可导性与可;确定函数的二阶导数。,以凹凸性以及方程根的题..平均来看,本章内12分,分,数学三大约占10分.本章重要题型有：;

2、复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确定的函数的求导;

3、;

4、利用导数研究函数的形态(判断单调、求极值与最值、求凹凸区间与拐点);5;

6、渐近线;

7、求边际和弹性(数三)。

第三章一元函数积分学

本章内容中，不定积分和定积分是积分学的基本概念，不定积分和定积分的计算是积分学的基本计算，利用定积分表示并计算一些几何、物理、经济量是积分学的基本应用。这一部分要特别注意变限积分，它的各种性质都是我们考查的重点。变上限积分函数跟微分方程结合的一个点也可以出题的。还有定积分的应用，求平面图形面积，求旋转体的体积，一定要熟悉，要掌握好微元法。

本章对概念部分的考查主要是出现在选择题中，对运算部分的考查通常出现在填空题和解答题中，而定积分的应用和有关定积分的证明题大多出现在解答题中.平均来看，本章内容在历年考研试卷中，数学一大约占15分，数学二大约占33分，数学三大约占20分。

本章重要题型有：

1、不定积分、定积分和反常积分的基本运算;

2、定积分等式或不等式的证明;

3、变上限积分的相关问题;

4、利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。

第四章向量代数与空间解析几何(数一)

本章内容不是考研重点，很少直接命题。直线与平面方程是多元函数微分学的几何应用的基础，常见二次曲面的图形被应用到三重积分、曲面积分的计算中，用于确定积分区域。

考研数学复习方法探讨 篇6

1 数学考研复习要重视基础

根据大纲, 可以发现数学考研最近几年来一直强调重视基础, 包括基本概念、基本理论、基本运算, 数学本来就是一门基础的学科, 如果基础、概念、基本运算不太清楚, 运算不太熟练那你肯定是考不好的。对极限、导数、不定积分、定积分、一元微积分的应用, 中值定理、多元函数、微分、线面积分等内容, 要熟悉其中的基本概念、基本方法、基本的定理。从最近的试题中也能发现, 综合题中直接考相关的基本定理的证明, 比如积分中值定理, 微积分基本公式, 拉格朗日中值定理等的证明。所以在开始复习时, 广大考生不要搞题海战术, 一般情况下把教材基本概念搞清楚, 该背的公式和方法理解性记下来, 书上的重要定理的证明要弄懂, 注意选择合适的教材, 很多高校都在用的教材难度比较适中。《高等数学》可以选用同济大学主编 (第五版) ;《线性代数》选用同济大学主编 (第四版) ;《概率论与数理统计》选用浙江大学主编 (第三版) 。一般同学可以用这本书, 或者自己学校里学的教材也可以。三本教材在平时的学习中, 一般学校讲课都作为选用教材, 但其中的知识点, 有些考研作要求, 但在平时的讲课中, 由于课时关系, 不一定详细讲解, 因此, 有些内容还得自己补课, 比如在我们学校, 高等数学中的泰勒公式、曲率、曲率圆、对弧长的曲线积分等内容;线性代数中的二次型;概率统计中的方差分析等内容在讲课中就没有系统讲解, 因此在复习班的开始阶段, 我们辅导班根据相应的情况, 先给同学们补上这一课。在后面的复习中, 大家就很容易理解相关的知识点。

2 选好辅导书

数学学科是逻辑性较强的学科, 要求考生自己将所有的解题思路都琢磨出来是十分困难的, 为了节约时间, 也可以根据复习讲义和考研数学复习书本中的总结来复习, 这方面通常可以通过求教有经验的老师, 参加有较好信誉的辅导班, 或者阅读有关的辅导书解决。个人推荐对高数把握不是很好的同学 (功底不好的) 可以用李永乐的复习全书, 在这本复习书中对各种方法进行了详细的归纳和总结, 该书注重的是基础和概念, 十分贴进考研真题, 许多例题选取的就是历年来考研数学真题, 从历年真题来看, 数学试题尽管变化较大, 但有许多知识点还是有规律可循的, 例如在概率统计部分, 最后的综合题, 一般出在极大似然估计和二维随机变量的分布的情况较多, 只要根据复习书上总结的形式和最近的真题很容易掌握相关的方法, 这部分难度不是很高。在熟悉了各种理论和方法的基础之上, 也可以适当看看陈文登的复习指南, 该书注重的是方法和技巧, 但随着考研重点的改变, 此书中的许多怪题和偏题需要花较多的时间去理解和消化, 所以数学基础较薄弱和时间较少的同学可以适当参看。不一定将该书作为复习的重点, 但该书中很多的证明例如:关于中值定理的证明, 不等式的证明等方法还是较好的。

3 注意归纳和总结

在大量做习题的基础之上, 一定要注意对知识进行归纳和总结, 这种归纳和总结可以自己进行总结。另外在做题时, 不必每道题都要写出完整的解题步骤, 特别是类似的题一般只要看出思路, 熟悉其运算过程就可以, 这样可以节省时间, 提高做题的效率。考生在做题的同时还要注意各章节之间的内在联系, 数学考试会出现一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。比如在高等数学微积分部分, 积分的应用问题中求体积和面积可以和切线, 也可以和微分方程问题相联系。通过这些问题的分析, 可以对多个章节的内容和知识点有较好的了解。可以对各知识点之间、各科目之间的联系有更好的理解。通过这种训练, 也可以积累解题思路, 将书本上的知识转化为自己的东西。另外考生在做题目时, 要养成良好的做题习惯, 将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来, 平时翻看, 久而久之, 自己的解题能力就会有所提高。求稳而不求多、不求快, 力争做到做完此阶段应该做完的题, 对每个题的知识点和相应的题型都有一定掌握, 要多思考, 做到举一反三。由于每个同学的复习情况不完全一样, 但是要提醒你的是数学复习一定要养成一个好的习惯, 拿到的数学题一定要有始有终把它算出来, 这是一种计算能力的训练。另外, 考生在看这些辅导书的时候应以例题当习题, 做完后想想做错的原因到底是什么, 然后回头看提示, 紧紧抓住题型。

考研数学课复习尽管是一个艰苦的过程, 相信经过有计划的复习, 每个考生都可以使自己的综合解题能力有一个质的提高, 从而在最后的战场中考出好的成绩。

摘要：在考研中, 数学的所占的分值比例是较高的。本文主要探讨了考研数学复习的主要方法:要重视基础, 要选取好的辅导书, 要注意归纳和总结。

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道 篇7

在考研数学中，极限这一块所占的分值大概在10分左右，题目难度值在，算是常规题型里最简单的题目。这10分里平均大概有9.5分考查的是极限的计算。所以，在学习极限时，应重点掌握求极限的方法。

求极限的基本思路是：将不能直接代入的极限通过某种方式转换成可以直接代入的极限，考试的核心考点就在于转换过程。接下来，中公考研数学辅导老师曹严梅将介绍几种常用的求极限的方法。

3.洛必达法则

在使用洛必达法则之前，需要注意以下两点：

(1)使用之前，要先检验条件。

在基础阶段学习时，大家只需检验第一个条件就可以了。

(2)使用之前，要先化简。

化简用到最多的方法就是等价无穷小替换。

除此之外，使用洛必达法则时，会常用到以下几个求导公式:

中公考研

http:// 考研交流学习群【324943679】

小结：

(1)在使用洛必达法则之前，先检验条件，并采用等价无穷小替换，化简函数。

(2)求极限时，涉及到多个无穷大相加时，采用“抓大头”的方法。“抓大头”时，要先抓类型(x→+∞时，指数函数 幂函数 对数函数)，再抓高次。

4.两个重要极限

要求掌握两个重要的极限：

这个极限式适用于求解 型的极限，若题目中的极限与重要极限的形式有所不同，可以通过凑形式的方法求解。

中公考研

http:// 考研交流学习群【324943679】

在考试中，凡是遇到1∞ 型的极限，都要用这种方法来计算。

小结：幂指函数求极限的未定式有三种：第一种是 1∞型，这种类型的极限采用重要极限式来求解;另外两种是 00和 ∞0型未定式，求极限的方法是先采用对数恒等式变形，再求极限。在考试中第一种出现的比较多，应重点掌握。

中公考研

【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道 篇8

2012-1-31 11:34 论坛 【大 中 小】【我要纠错】

考研数学主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算，数学本来就是一门基础的学科，如果基础、概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练那你肯定是考不好的，所以基础一定要打扎实。高等数学是考研数学内容最多的一部分，所以高等数学这部分是相当重要的。高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容。

此外，数学要考的另一部分是简单的分析综合能力和解应用题的能力。近几年，高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。解应用题要求的知识面比较广，包括数学的知识比较要扎实，还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用，在力学中的应用，在物理中的吸引力、电力做功等等这些方面。数学要考的第四个方面就是运算的熟练程度，换句话说就是解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分就不会是难事了。那么，同学们在具体的复习过程中要怎么做呢？

数学复习是要保证熟练度的，平时应该多训练，应该一抓到底，经常练习，一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，像骑自行车一样。尽管你原来骑得非常好，但是长时间不骑，再骑总有点不习惯。所以经常练习是很重要的，天天做、天天看，一直到考试的那一天。这样的话，就绝对不会生疏了，解题速度就能够跟上去。

如果现在你已经开始了高数初级阶段的复习，那么在之后的更加细密的复习过程中同学们需要注意哪些问题呢？

首先要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章“函数极限和连续”的重点就是不定式的极限，考生要充分掌握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容；对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充分理解函数连续的定义和掌握判断连续性的方法。

对于导数和微分，其实重点不是给一个函数考导数，而重点是导数的定义，也就是抽象函数的可导性。对于积分部分，定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型，总而言之看上不好处理的函数的积分常常是考试的重点。而且求积分的过程中，一定要注意积分的对称性，我们要利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。还有中值定理这个地方一般每年都要考一个题的，多看看以 往考试题型，研究一下考试规律。对于多维函数的微积分部分里，多维隐函数的求导，复合函数的偏导数等是考试的重点。二重积分的计算，当然数学1里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和，主要是间接的展开法。重点主要就是这些了。

要充分把握住这些重点，同学们在以后的复习的强化阶段就应该多研究历年真题，这样做也能更好地了解命题思路和难易度。

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09考研高等数学第三章

新东方考研高等数学电子教材

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听 老师的讲解效果会更好。

严禁翻印、在上网任意传播！

第三章

一元函数积分学

§3.1 不定积分

（甲）内容要点

一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

设函数fx和Fx在区间I上有定义，若Fxfx在区间I上成立。则称Fx为fx在区间I的原函数，fx在区间I中的全体原函数成为fx在区间I的不定积分，记为fxdx。

原函数：

其中fxdxFxC

称为积分号，x称为积分变量，fx称为被积分函数，fxdx称为被积表达式。

2．不定积分的性质

设fxdxFxC，其中Fx为fx的一个原函数，C为任意常数。新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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则（1）FxdxFxC或dFxFxC或d[F(x)C]F(x)C 

（2）fxdxfx或dfxdxfxdx

fxgxdxfxdxgxdx

（3）kfxdxkfxdx

（4）3．原函数的存在性

一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。可导要求比连续高。

exdx 这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来

设fx在区间I上连续，则fx在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如22sinxdxcosxdx，，sinxcosxdxx2dx，dx，，edx等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，xxlnx故这些不定积分均称为积不出来。

二、基本积分表（略）补充公式：

(1)(2)x(a0)arcsinC

aa2x2dxdx1x(a0)arctanC 22aaaxdx1ax(3)2(a0)ln||C

2aaxax2(4)secxdxln|secxtanx|C(5)cscxdxln|cscxcotx|C

(6)dxx2a2ln|xx2a2|C

三、换元积分法和分部积分法

1．第一换元积分法（凑微分法）

设

则

fuduFuC，又x可导，fxxdxfxdx

令uxfuduFuCFxC这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。

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1x21u1x2221uedueCeC 例：xedxed(x)ux2222x2口诀（30）第一换元经常用；微分方程要背熟。

2．第二换元积分法 例：(1)dxx1令xt262tdt t1(2)6t5dt令xt

32ttx3xdx（3）遇a2x2令xasint 假如令axt；xat；x222222a2t2；dx?（不行）

令xasint；a2a2sin2ta1sin2tacos2tacost

dxacostdt

；遇a2x2令xatant；遇x2a2令xasect

133311xx2dx(x)2()2(x)2；xtant

22422

设xt可导，且t0，若

则

fttdtGtC，fxdx令xtfttdtGtCG1xC

1其中tx为xt的反函数。

33口诀（31）第二换元去根号；规范模式可依靠。

111212x1dx2x1d(2x1)令2x1uudu..u2(2x1)2

22233

3．分部积分法

设ux，vx均有连续的导数，则

uxdvxuxvxvxdux或 uxvxdxuxvxuxvxdx

x例1：xedxxdexxexexdxxexexC

1x212x12x12x12x2edx2xe2xde2xe2xedx

口诀（32）分部积分难变易，弄清u,v是关键

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100x例2：xedx x1001x1011101lnxdxlnxdxlnxx101dlnx 101101101x1011x1011100lnxxdxlnxx101C 2101101101(101)

（1）Pnxeax，Pnxsinax，Pnxcosax情形，Pnx为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为vx；多项式部分为ux。ax

（2）Pnxlnx，Pnxarcsinx，Pnxarctanx情形，Pnx为n次多项式取Pnx为vx，而lnx，arcsinx，arctanx为ux，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。

（乙）典型例题

例1．求下列不定积分（测试题，限15分钟）

（1）dxx2e1x

1解：（1）原式ed()exC

x1x1（2）xlnxlnx1dx

23532(lnx1)dxd(xlnx)

2解：（2）原式(xlnx)d(xlnx)(xlnx)2C

5（3）lnxx215x12dx

1x21原式dxd[ln(xx215)

2ln(xx1)5d[ln(xx15)][ln(xx21)5]2C

3223 4 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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（4）xlnx1lnx2dx

lnx1lnx)dx 2xx1lnxlnxd(1)21xx解：原式dxC

lnx2lnx2lnx(1)(1)(1)xxxd(cos2xsinx（5）dx sinxcosx1cosxed(cosxesinx)sinxesinxcos2xesinx

(cos2xsin2x)esinx解：原式dx sinxsinxcosxe(1cosxe)ucosxesinxdu11|Cln||C []duln|sinx1uu(1u)uu11cosxe（6）sin2xa2cos2xb2sin2xdx

（b2a2常数）

d(a2cos2xb2sin2x)2a2cosxsinx2b2sinxcosx2sinxcosx(b2a2)sin2x(b2a2)

21d(a2cos2xb2sin2x)解：原式2b2a2ba2a2cos2xb2sin2x

例2．求下列不定积分

a2cos2xb2sin2xC

2x3xdx

（1）x94x

（2）xaxb2dx2

ab

（3）dx ab

x2a2x2b2x21dx

（4）4x

1解：

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3xx232dx

（1）xdx32x94x123d12

332xln1223112lnxC

2ln3ln2312xxx13x2x

lnxC x2ln3ln232

（2）xaxb2dx21ab2111dx xaxb112dx 22xbxaxbxa11211dx 3xaxbxaxbab2lnxaC xb2

ab21

ab2

2xabab2xaxbab3

（3）dx111dx 2222x2a2x2b2b2a2xaxb

11x1xarctanarctanC 22abbbaa1111dxxx211xx2xC

（4）4dxdx2arctan1x1221x2x2xx

例3．求 dxxx3 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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解：

dx66t5dtt3t3x3x令xt11t3t26t1dt6t1dt

6t2t11t1dt2t33t26t6lnt1C

2x33x66x6ln6x1C

例4．求1x24x2dx

解一：



14x2dxx2tant1x212dt 2dt4tan2t2cos2dxtcos2tcost

cost14x24sin2tdt4sintC4xC（这里已设x0）

解二：倒代换

1x24x2dx1dx

x314x2

1x3dx112dx2

原式=11d4144x282114x4x21C4xCx0 x2

例5．求arcsinx2dx

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解一：

xarcsinx2222arcsinxdxxarcsinxxdarcsinxxarcsinx2dx 21x2

=xarcsinx2arcsinxd1x

2

=xarcsinx21x22

=xarcsinx21xarcsinx221x2darcsinx

arcsinxdx



=xarcsinx21x2arcsinx2xC 2

解二：令arcsinxt，则xsint，222arcsinxdxtdsinttsint2tsintdt 22

=tsint2tdcosttsint2tcost2costdt 

=tsint2tcost2sintC

=xarcsinx21x2arcsinx2xC 22

例6．设fx的一个原函数Fxln2x

解：I

x21，求Ixfxdx

xdfxxfxfxdxxFxFxC

2xx12lnxx21ln2xx21C 

例7．设Fxfx，当x0时fxFxxex21x2，又F01，Fx0，求fxx0

2解：2fxFxdx2FxdFxFxC1 x11exdexex

而dxdxdx 2221x1x1x1xxexexexexex

dxdxC2 221x1x1x1xexC，Fx1x2

F01，8 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

09考研高等数学第三章

C0，又Fx0，因此Fxee 1x1xxxxx2121xe1xe2xe2221x

则fxFx 31x21x2

例8．设fsinx2xx，求Ifxdx sinx1x

解一：令usinx，则sinx2u，xarcsinu，fuarcsinuu

则Iarcsinx1xdxarcsinx1xd1x2arcsinxd1x

11xdx

=21xarcsinx21x

=21xarcsinx2xC

解二：令xsint，则

则I

=2tcost2costdt2tcost2sintC

=21xarcsinx2xC 2x1xsint，dx2costsintdt，costsinttcostsint2sintcostdt2tdcost

§3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法

（甲）内容要点

一、定积分的概念与性质

1．定积分的定义及其几何意义

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baf(x)dxlimd0f()x

i1iin

2．定积分的性质

中值定理，设fx在a,b上连续，则存在a,b使得

fxdxfba

ab1bfxdx为fx在a,b上的积分平均值。

定义：我们称baa

二、基本定理

1．变上限积分的函数

定理：设fx在a,b上连续，则Fxftdt在a,b上可导，且Fxfx推广形式，设

axFx2x1xftdt，1x，2x可导，fx连续，

则Fxf2x2xf1x1x

2．牛顿一莱布尼兹公式

设fx在a,b上可积，Fx为fx在a,b上任意一个原函数，则有

三、定积分的换元积分法和分部积分法

1．babfxdxFxFbFa

abafxdxfttdt（xt在,上有连续导数，单调，a，b）

bb

2．uxvxdxuxvxvxuxdx

aaab

四、广义积分

定积分

又fx在a,b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或fxfxdx的积分区间a,b是有限区间，ab推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。

1．无穷区间上的广义积分

定义：afxdxlimfxdx

bab

若极限存在，则称广义积分afxdx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分afxdx是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。

fxdxlimfxdx

aabb

同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。

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09考研高等数学第三章

fxdxfxdx1ccfxdxlimfxdxlimfxdx

aabccb0xdx，x0时无意义，称 x0为瑕点

2．无界函数的广义积分（瑕积分）

fx，则称b为fx的瑕点。

（1）设fx在a,b内连续，且limxb

定义limafxdx0abbfxdx

若极限存在，则称广义积分bafxdx收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分fxdx发散。

ab发散的广义积分没有值的概念。

fx，则称a为fx的瑕点

（1）设fx在a,b内连续，且limxa

定义bafxdxlim0bafxdx

若极限存在，则称广义积分fxdx收敛，且它的值就是极限值，ab若极限不存在，则称广义积分fxdx发散，它没有值。

ab1xdx2x

11x30dx

（3）设fx在a,c和c,b10a皆连续，且limfx，则称C为fx的瑕点定义

xcbafxdxfxdxfxdxlimaccbc1fxdxlim20bc2fxdx

（乙）典型例题 一、一般方法

例1．计算下列定积分

1e1

（1）1lnxdx1lnxdxlnxdxxlnxx1xlnxx21

11eeeee1e

（2）

（3）322min1,xdxdxxdxdx2112112311 311 22maxx,x2dxx2dxxdxx2dx201012 11 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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（4）201sin2xdx20sinxcosx2dx20sinxcosxdx

20sinxcosxdx24cosxsinxdxxcosxdxsin420

4

二、用特殊方法计算定积分

例1．计算下列定积分



（1）I2fsinx0fsinxfcosxdx（f为连续函数，fsinxfcosx0）

（2）I40ln1tanxdx



（3）I2dx01tanxa（a常数）（tanxa1）

（4）I4ln9x22ln9xlnx3dx

解：（1）令x2t，则sinxsin(2t)cost



I2fcots0fcotsfsintdt，

2I20dt2，I4

（2）令x4t，则

I＝0102ln1＋－tantd（－t）＝lndt, 41＋tant41＋tant

4ln2I，2I4ln2，I8ln2

（3）令x2t，则

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I0dttantat21cota201tantadt，

2I2101tantatanta1tantadt20dt2，I4

（4）令9xt3，则x39t，于是

I2lnt34lnt3ln9tdt4lnt32lnt3ln9tdt

因此，2I42dx2，则I1

例2．设连续函数fx满足fxlnxefxdxe1，求1fxdx

解：令e1fxdxA，则fxlnxA，两边从1到e进行积分，得

efee1xdx1lnxdx1Adxxlnxxe1Ae1

于是Aee1Ae1，eA1，A1e，则e1fxdx1e

例3．设fx连续，且xtf2xtdt102arctanx2，f11，求21fxdx

解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u2xt，则

xtf2xtdtx2xufudu2x2x2x02xxfuduxufuduu0

代入条件方程后，两边对x求导，得

22xxxfudu2x2f2xfx2xf2x2xfx1x即

22xxfudux1x4xfx

令x1代入，化简后得21fxdx34

三、递推方法



例1．设In20sinnxdx

n0,1,2,

（1）求证当n2时，In1nnIn2（2）求In

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sin2xdx12(1cos2x)dx

sin4xdx12(1cos2sin2x)dx12[1cos2(12(1cos2x)]dx sin3xdxsin2xd(cosx)(1cos2x)d(cosx)



解：（1）In1n1n20sinxdcosxsinxcosx220cosxdsinn1x

0

n122n2n20cosxsinxdxn1201sin2xsinxdx

n1In2n1In

nI1nn1In2，则InnnIn

2n2 I820sin8xdx

I78I7575375317531868.6I48.6.4I28.6.4.2I08.6.4.2.2 I66464264277I57.5I37.5.3I17.5.3



（2）I0220dx2，I10sinxdx1，当n2k正偶数时，I2k1nI2k2kI2k12k312k!2k22k2k22I02kk!222k!22kk!22

当n2k1正奇数时，I22nI2k2k1I2k2k222kk!22kk!2k12k12k12k13I12k1!2k1!

例2．设Jn20cosnxdx

n0,1,2,，求证JnIn n0,1,2,

证：令xt, J0nn2ncostdt2220sintdt

则 JnIn n0,1,2,



例3．设Kn40tan2nxdx n1,2,3,，求证 K1n2n1Kn

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

解：Kn40tan2n1xsecx1dx4tan2n1xdtanxKn1201Kn1 2n1

例4．计算Gnx1121dx（n为正整数）n

解一：令xcost

Gn1nsin2n1tdt122sinn2n1n2122n1n! tdt12I2n1n002n1!

解二：G111nx1nx1ndxn11x1ndx1n11

1nn1111nn1x1x11n11x11nx1n1dx

n1n1n21x1n1dx1n2

1nn!1n1n22n1x12ndx

1nn!22n11n22n12n1!x1112n1!n!2

四、广义积分

例1．计算Ixex01ex2dx

x

解：Ixex10ex12dxxde0ex12dxxd01ex1

x1ex100ex1dxI1I2

I1xlimxex1用洛必达法则xlim1ex0

Iex2exex1dx令exudu01uu1

11u1u1dulnuu11ln1ln12ln

215 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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（这里limlnuln10）于是 II1I2ln2

uu1dx例2．计算I（难度较大，可不看）

01x41注：可以化为最简分式的形式，41x1x412x2x42x2(1x2)2(2x)2(12xx2)(12xx2)

但这样做太繁，故用其它技巧

1dt220t1t

解：令x，Idt 401t4t11t0x2dx 1x

4由于 0dxx2dx 4401x1x11dx111x21x21x

 Idxdx2201x42021201x2x2xx1x1xarctan

lim 0222  1 222222§3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题

一、有关变上（下）限积分

例1．设fxax0，求Ifxdx et2atdt（a常数）

0a

解：Ixfxa0a0xfxdxxeax2aax1dx

0a 16 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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a0xea2x2dx12a0ea2x2da2x2

1a2x2a1a2ee1

0225，对所有x0,，t0,，2t1

例2．设fx在0,内可导，f1

均有 xtxfudutfuduxfudu，求fx

11口诀（33）：变限积分双变量；先求偏导后求导。

解：把所给方程两边求x求导，tfxttfx求导，得fttftt1t5fudu 把 x1 代入，得tfttfudu 再两边对t125ft 25155于是ft，则ftlntC，令t1 代入得 Cf1，所以fxlnx1

2t22

2例3．设fx为连续函数，且满足

2x0 xftdt2tf2tdt2x3x1，求fx在0,2上的最大值与最小值。

x0

解：先从方程中求出fx，为此方程两边对x求导

2x02xx

xftdt2tf2tdtxftdt2tf2tdt 0x00

2x02ftdt2xf2x2xf2xftdt

02x

而2xx18x6x 33

因此2x0ftdt8x36x2

两边再对x求导，得

2f2x24x212x62x62x fx3x3x 2

 fx6x3，令fx0得驻点 x1 2

又在0,2上fx没有不可导点，比较f00，f123，f26可知fx 在0,2上最大值为431f26，最小值为f

42 17 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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tf(t)dt

例4．设f(x)在0,上连续，且f(x)0，证明g(x)在(0,)内单调增加 f(t)dt0x0x

证：当x0时，因为

g(x)xf(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt00xxf(t)dt0x2f(x)(xt)f(t)dt0xf(t)dt0x20

g(x)在(0,)内单调增加



二、积分证明题

例1．设f(x)在0,上连续，0f(x)dx0，f(x)cosxdx0，求证存在

01(0,)，2(0,)，12，使f(1)f(2)0

证：令F(x)

又0x0f(t)dt，(0x)则F(0)0，F()0，00f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosxF(x)sinxdx

000

F(x)sinxdx

如果F(x)sinx在(0,)内恒为正，恒为负则

0F(x)sinxdx也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在(0,)使F()sin0，而sin0，所以F()0于是在0,和,区间上分别用罗尔定理，则存在1(0,)使f(1)F(1)0，存在2(,)，使f(2)F(2)0，其中12

例2．设f(x)在0,1上有连续的一阶导数，且f(0)f(1)0，试证：

证：用拉格朗日中值定理

f(x)f(x)f(0)f(1)x，其中1(0,x)

f(x)f(x)f(1)f(2)(x1)，其中2(x,1)

由题设可知f(x)f(1)xMx；又f(x)f(2)(1x)M(1x)

因此

10fxdxM，其中Mmaxf(x)

0x1410f(x)dxf(x)dx111M12012112f(x)dxMxdx1(1x)dx

02

M

884 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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例3．设f(x),g(x)在a,b上连续，证明

2baf(x)g(x)dxb2b2af(x)dxag(x)dx

证一：（引入参数法）

设t为实参数，则bf(x)tg(x)2adx0

b2ag(x)dxt22baf(x)g(x)dxtbaf2(x)dx0

作为t的一元二次不等式At22BtC0，则B2AC0

即B2b2AC，因此b2baf(x)g(x)dx2af(x)dxag(x)dx

证二：（引入变上限积分）

2令F(u)uaf(x)g(x)dxuaf2(x)dxuag2(x)dx

于是

F(u)2f(u)g(u)uf(x)g(x)dxf2(u)ug2(x)dxg2(u)uf2aaa(x)dx

u2f(u)g(u)f(x)g(x)f2a(u)g2(x)g2(u)f2(x)dx

uaf(u)g(x)g(u)f(x)2dx0

(ua)

则F(u)在a,b上单调不增

故ba时，F(b)F(a)0，2

即bb2b2af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx0

证三：（化为二重积分处理）

令Ib2af(x)dxbag2(x)dx，则Ib2baf(x)dxag2(y)dyf2(x)g2(y)dxdy，D

其中区域D:axbayb，同理If2(y)g2(x)dxdy

D

2If2(x)g2(y)f2(y)g2(x)dxdy

D

a2b22ab，故2I2f(x)g(y)f(y)g(x)dxdy

D 19 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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因此，Ibaf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dxaa2b2bbabf(y)g(y)dyf(x)g(x)dx a2口诀（34）：定积分化重积分；广阔天地有作为。

bb2

例4．设f(x)在a,b上连续，证明f(x)dx(ba)f(x)dx

aa2

证：在例3中，令g(x)1，则

于是

2bag2(x)dxba

bf(x)dxbf(x)g(x)dxbf2(x)dxbg2(x)dxbabf2(x)dx

aaaaa

例5．设f0(x)在a,b上连续，且f0(x)0，证明

2baf0(x)dxba1dx(ba)2 f0(x)

证：在例3柯西不等式中，取f(x)为

f0(x)，g(x)为

b1f0(x)

则baf(x)dxf0(x)dx，g(x)dxaa2bb2a1dx，f0(x)2

而abbf(x)g(x)dxf0(x)a221dx(ba)2 f0(x)

因此babaf0(x)dxba1dx f0(x)

例6．设f0(x)在a,b上具有连续导数，且f0(a)f0(b)0，bb1222f(x)dxxf(x)dx

求证：0 0aa4baf0(x)dx1，2

证：在例3柯西不等式中取f(x)为f0(x),g(x)为xf0(x)

22bbb22

于是f0(x)dxxf0(x)dxxf0(x)f0(x)dx

aaa

21ba2x2b1b2112xdf0(x)f0(x)f0(x)dx

a2a42222 20 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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§3.4 定积分的应用

（甲）内容要点

一、平面图形的面积

1．直角坐标系

模型I S1yxyxdx，a21b

其中

y2xy1x，xa,b

模型II S2

xyxydy，c21d

其中

x2yx1y，yc,d

注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型II加以计算，然后再相加。

2．极坐标系 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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1

2模型I S1rd

2

模型II S2122d rr212

3．参数形式表出的曲线所围成的面积

设

曲线C的参数方程

xt

t yta，b，t在,（或,）上有连续导数，且t不变号，t0且连续。

b

则曲边梯形面积（曲线C与直线xa，xb和x轴所围成）

Saydxttdt



二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）（略）

三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积

（1）平面图形由曲线yfx0与直线xa，xb和x轴围成绕x轴旋转一周的体积

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Vxbaf2xdx

dVxf2(x)dx

2xf(x)dx

绕y轴旋转一周的体积

Vy2xfxdx

dVaby

（2）平面图形由曲线xgy0与直线yc，yd和y轴围成绕y轴旋转一周的体积

Vydcg2ydy

d

绕x轴旋转一周的体积

Vx2cygydy

四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）（略）

（乙）典型例题

一、在几何方面的应用

例1．求曲线y2x在点,1处法线与曲线所围成图形的面积 212 23 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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解：先找出法线方程

2yy2，y1

,1211

yy11 2

法线方程 y11x

xy3 2399的另一交点为,3 ,3 222

曲线y22x和法线xy2316y

所求面积Sy dy332

21例2．设fx在a,b上连续，在a,b内fx0，证明a,b，且唯一，使得yfx，yf，xa，所围面积S1是yfx，yf，xb所围面积S2的三倍。

证：令FtS1(t)3S2(t)

bftfxdx3fxftdx

attbFa3fxfadx0

a 24 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

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Fbfbfxdx0

ab

由连续函数介值定理的推论可知a,b使F0再由fx0，可知fx的单调增加性，则唯一

例3．设yfx在0,1上为任一非负连续函数。

（自己阅读）

（1）试证：x00,1，使0,x0上以fx0为高的矩形面积等于x0,1上以yfx为曲边的曲边梯形面积。

（2）又设fx在0,1内可导，且fx2fx，证明（1）中x0唯一。x

（1）证：设Fxxftdt，则F0F10，且Fxftdtxfx，对Fx在0,1上用罗尔定理xx11x00,1，使Fx00，即ftdtx0fx0证毕

x01

（2）证：令x

ftdtxfx，当x0,1时，x1xfxfxxfx

2fxxfx0（由（2）的已知条件）

因此在0,1内，x单调减少，x0是唯一的

2例4．求由曲线yx2x和直线y0，x1，x3所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

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09考研高等数学第三章

解一：yx22x解出x11y，平面图形A1绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V11011ydy211 6

平面图形A2绕y轴旋转一周所得旋转体体积

V2271301ydy243 6

所求体积VyV1V29

解二：Vy231xx22xdx

2322x2xxdxxx22xdx

2123x42x4233

23x4143x29

22

例5．设D1是由抛物线y2x和直线xa，x2及y0所围成的平面区域；D2是由抛物线y2x和直线

（自己阅读）xa，y0所围成的平面区域，其中0a2。

（1）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴而成的旋转体体积V2（如图）

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09考研高等数学第三章

（2）问当a为何值时，V1V2取得最大值？试求此最大值

解：（1）V1432a 2xdx52225

V2 a2a

或

V22222a20ydy a4 2a0x2x2dx a4

432a5 a4（2）VV1V2

由V4 a31a0，得区间a,2内的唯一驻点a1。

又Va140, 因此a1是极大值点，也是最大值点。此时V1V2的最大值为

129 5

二、物理和力学方面应用（数学一和数学二）（自己阅读）

例：为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起污泥重2000N，提升速度3m/s，提升过程中污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

说明：（1）1N1m1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳。

（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

解：所需作功WW1W2W3

W1是克服抓斗自重所作的功W14003012000

W2是克服缆绳重力作的功W2

W3是提取污泥所作的功W33005030xdx22500

3200020tdt57000

010

所以WW1W2W391500J

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09考研高等数学第三章

三、经济方面应用（数学三和数学四）（自己阅读）

例1．设某商品每天生产x单位时固定成本40元，边际成本函数为Cx0.2x2（元/单位），求总成本函数Cx，最小平均成本。若该商品的销售单价为20元，且产品全部售出，问每天生产多少单位时才能获得最大利润，最大利润多少？

解：（1）Cx0.2x2，Cx

Ctdt40

0x0.2t2dt40

02x

0.1x2x40

Cx0.1x2

令

Cx0.1

Cx40，x400x120，x220（舍去），2xx120800，x3x120406。xx20

故生产20单位时平均成本最小为C200.1x2

（2）总收益

Rx20x，总利润

Lx20x0.1x2x40

2

18x0.1x40，令

Lx180.2x0x90，L900.20，因此，每天生产90单位时，才能获得最大利润。

最大利润为L9018x0.1x4022x90270（元）

t3A 96e（元）

例2．由于折旧等因素，某机器转售价格Pt是时间t（周）的减函数Pt，其中A是机器的最4A 48初价格。在任何时间t，机器开动就能产生Re的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？

4t 28 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列

09考研高等数学第三章

xA 3A 96

解：假设机器使用了x周后出售，此时的售价为Pxe，在这段时间内机器创造的利润是e48dt，044xt购买机器的价格为A。

xA 3A 96

所以，总利润Lxee48dtA，044xt

令 Lx0，得出x96ln32333，L96ln320，所以，机器使用了大约333 周后转售出去会使总利润最大。

例3．假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤鱼的捕捞成本是

2000kg，问从鱼塘中元，已知鱼塘中现有鱼1000010xkg鱼需花费多少成本？ 捕捞6000

解：设已经捕捞了x公斤鱼，此时鱼塘中有10000xkg鱼，再捕捞xkg鱼的成本为

C2000x，1010000x

所以，捕捞6000公斤鱼的成本为

C

60000200010010dx2000ln1829.59（元）。