浅谈如何运用数学思想培养学生的解题能力

数学思想是对数学概念、原理和方法的本质认识, 是数学知识的精华, 是解题的灵魂、核心。只有准确把握数学思想, 才能提高解题能力。中学数学常用的数学思想有转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想等。本文着力探讨运用这些思想, 来培养生的解题能力。

1 转化思想的运用

辩证唯物主义告诉我们:任何事物内部都存在着矛盾, 一切矛盾着的事物总是相互联系着的, 不但在一定条件下可以共处于一个统一体中, 而且在一定条件下可以相互转化。解决数学问题的实质就是一个不断化繁为简、化难为易、将未知化为已知的过程。在多年教学中, 笔者深深体会到:在综合性较强、难度较大的题目中, 若能运用转化的数学思想, 恰当的利用一些转化技巧, 往往能收到事半功倍的效果。

例如图在梯形ABCD中, AB∥CD, 又DE∥AC, BE∥AD,

求证:S△ABC=S△CDE

本例要用常规的证明方法, 显然难达到目的, 但若能把“平行线”的条件转化为“平行线之间的距离处处相等”, 从而使用“等级变换”的方法实现转化, 就不难

解决了。

证明:连结BD, AE

∵AB∥CD, DE∥AC, BE∥AD

∴S△ABC=S△ABD, S△ABD=S△ADE, S△ABE=S△CDE (等底等高的两个三角形面积相等)

∴S△ABC=S△CDE (利用等积变换实现转化)

2 数形结合思想的运用

在数学问题中, 数量关系和图形位置关系是两类主要的研究对象。在许多问题上, 这两者间有着许多密切却又较隐蔽的相互联系。解题时既要注意数量关系所反映出的位置关系, 又要注意通过图形挖掘隐含的数量关系, 努力做到由数想形、由形推数, 相互结合、化难为易。这就是常说的数形结合思想。初中阶段的数轴上的点与实数的一一对应关系, 直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系就是数形结合思想的具体事例。数形结合思想在解代数、几何综合题或由图像求待定系数的取值范围或由待定系数的取值范围确定大致图像的题中, 起着致关重要的作用。

例如:已知二次函数y=ɑx2+bx+c的图像

如图, 且2|OA|=|OC|

(1) 试判断b的符号。

(2) 求a、b、c满足的条件。

分析:研究函数的问题要注意数和形的结合与转化, 对于二次函数y=ɑx2+bx+c来说, 系数a的符号决定抛物线的开口方向, 对于a、b来说, 它们的符号解决了抛物线对称轴的位置是位于y轴的左侧还是右侧。

解: (1) ∵抛物线的顶点M在第一象限内, 开口向下

(2) |OC|=c>0, 又∵2|OA|=|OC|

∵点A位于x轴的负半轴上

∴点A的坐标为 (由形助教)

∵点A在抛物线上

从图像可知c≠0

∴ac-2b+4=0

3 方程思想的运用

方程思想就是把已知与未知通过相等关系转化为方程或方程组求解的思想方法。方程 (组) 不仅能解决代数问题, 还能巧妙解决几何的证明、计算, 如用待定系数法求函数的解析式、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系, 勾股定理等问题常用方程思想来解决。

俗话说;“良好的开端等于成功的一半。”笔者认为用方程思想分析处理问题简捷, 成功率高, 特别是在一些数量关系复杂或图形位置尚未分明, 乍看无从下手的综合问题中, 若能巧设关键未知数, 通过解方程 (组) , 确定一些未知数或图形的关系, 然后再层层递进分析, 问题就会迎刃而解, 自然也就成功了一半。这里仅以一例说明。

例:在直角坐标系中一次函数的图像与x轴, y轴分别交于A、B两点, 点C的坐标 (1, 0) , 点D在x轴上, 且∠BCD和∠ABD是两个相等的钝角。求经过B、D两点的直线解析式。

分析:此例的条件较多, 关系较复杂, 特别是点D虽在x轴上, 但具体位置并不确定, 初学者往往无从下手。但我们知道, 只要能确定B、D两点的坐标, 就能用待定系数法求其解析式。据题中的条件B点的坐标易求, 因此问题就转化为了求D点的坐标。为此, 可设D的坐标为 (a, 0) , 至此如何求a就是关键了。结合题意建立a的方程不难, 因为易证△ABD∽△BCD, 从而可得。到此, 问题也就自然解决了。

略解:设点D的坐标为 (a, 0) , 据题意点B的坐标为, A点的坐标为 (-3, 0) , 且a>1则

设经过B、D两点的直线的解析式为y=kx+b (k≠0)

4 分类讨论思想的运用

分类讨论是一种重要的数学思想, 在解决一些数学问题时, 当符合题意的各元素之间的关系 (如数量关系、位置关系、对应关系等) 不确定时, 需要先对各种可能存在的关系进行分类, 再分别进行讨论, 得到相应的结果, 否则就会走入误区, 导致答案残缺不全。作分类时, 应做到标准相同, 不漏不重。

例如:已知m为实数, 解关于x的方程 (m-1) x2+ (1-2m) x+m+1=0

分析:学生遇到此题往往不分情况, 直径按一元二次方程的求根公式得出其解

这就错了, 因为m为实数, 形式上的一元二次方程可能退化为一次方程, 同时即使是二次方程, 由于m的取值不同, 判别式△=-4m+5还有可能小于0, 这时无解。为此要正确解此题必须进行分类讨论。

略解:当m-1=0, 即m=1时原方程变为x+2=0, 解得x=2。

当m-1≠0, 即m≠1时原方程是一元二次方程

总之, 在数学解题过程中, 引导学生恰当而灵活的运用相关数学思想, 就一定能收到事半功倍的效果, 同时也更能很好地培养学生的数学解题能力。

摘要：本文探讨了如何运用转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想, 培养学生的数学解题能力。

关键词：数学思想,转化,数形结合,方程,分类讨论