根据函数的单调性我们可得到函数f (x) 与已知特殊值f (x0) 之间的大小关系, 从而证明不等式。而这里的x0往往取的是区间端点。
例1:证明当x∈ (0, 2π) 时,
f' (x) =-sin x+x, f' (x) =-cos x+1, 因为当x∈ (0, 2π) 时f' (x) >0, 所以f' (x) 在[0, 2π]内严格单调递增。
而f' (0) =0, 所以当x∈ (0, 2π) 时
f' (x) >f' (0) =0。
从而得到f (x) 在[0, 2π]内严格单调递增, 而f (0) =0, 因此, 当x∈ (0, 2π) 时f (x) >f (0) =0, 即, 移项即得结论。
很多情况下, 不等式的证明往往可以通过求出函数在相应区间内的最值来解决, 特别是当函数在讨论区间内不是单调函数的时候。
故f (x) 在x=0处取极小值。
由单峰原理知, 当时, f (x) 在x=0处取最小值f (0) =0。
利用拉格朗日中值定理证明不等式的关键是构造辅助函数, 确定f' (ξ) 的取值范围。
例3:证明|sinx-siny|≤|x-y|
证当x=y时, 显然成立。
当x≠y时, 不妨假设x>y。
令f (t) =sint, 则f (t) 在[y, x]上连续, 在 (y, x) 上可导。由拉格朗日中值定理知,
至少存在一个ξ∈ (y, x) 使得
所以|sinx-siny|≤|x-y|。
关于根的证明分为两部分, 一部分是证明根的存在性, 常用零点定理和罗尔定理证明;一部分是证明根的唯一性, 常用函数的单调性证明。下面通过两个典型例题说明解法。
例4:证明方程x 2-3x+1=0在[-1, 1]上有且仅有一个实根。
证:存在性:令
f (x) =x2-3x+1, x∈[-1, 1]。
f (x) 在区间[-1, 1]上连续,
f (-1) =3>0, f (1) =-1<0,
由闭区间上连续函数零点定理知f (x) 在 (-1, 1) 上至少有一个实根。
唯一性:f' (x) =3x2-3<0, x∈ (-1, 1) , 所以f (x) 在区间[-1, 1]上单调递减。
因此f (x) 在区间[-1, 1]上有且仅有一个实根。
例5:设f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, f (a) =f (b) =0, λ是常数, 证明存在ξ∈ (a, b) 使f' (ξ) +λf (ξ) =0。[3]
证:要证存在ξ∈ (a, b) 使
f' (ξ) +λf (ξ) =0,
即证eλξf' (ξ) +λeλξf (ξ) =0,
即 (eλξf (ξ) ) '=0。
令g (x) =eλxf (x) , 则g (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, g (a) =g (b) =0。
由罗尔定理知, 至少存在一个ξ∈ (a, b) 使得g' (ξ) =0。原命题得证。
不等式的证明和根的证明是高等数学中两个重要的研究方向, 它的证明方法很多。鉴于篇幅有限, 本文仅根据高职高专院校教学大纲的难度要求, 介绍了其中常用的几种方法。
摘要：针对高职高专院校学生基础薄弱的特点, 结合实例, 按照不同的题型和不同的方法阐述了《高等数学》中证明题的解法与技巧。
关键词：高职高专,高等数学,证明
[1] 《高等数学》编写组.高等数学[M].苏州:苏州大学出版社, 2003.
[2] 杨天明.高等数学[M].南京:南京大学出版社, 2009.
[3] 杨天明.高等数学精讲精练[M].南京:南京大学出版社, 2008.
推荐阅读：
高职高专院校学风问题探析06-20
河南省征集志愿院校河南高职高专排名06-17
电子商务高职高专06-02
论高职院校英语教学改革的新思路与方法05-29
1,什么是高职高专人才培养工作水平评估06-05
高职院校教学方法06-01
浅谈高职院校公共英语教学06-03
高职院校室内设计教学论文06-25
浅析高职院校学生就业心理的论文05-29
高职院校语言文字培训工作诌议05-30
