逆向思维也叫求异思维, 它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”, 让思维向对立面的方向发展, 从问题的相反面深入地进行探索, 树立新思想, 创立新形象。当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时, 而你却独自朝相反的方向思索, 这样的思维方式就叫逆向思维。它是数学思维的一个重要原则, 是创造思维的一个组成部分, 也是进行思维训练的载体, 培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程。人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实, 对于某些问题, 尤其是一些特殊问题, 从结论往回推, 倒过来思考, 从求解回到已知条件, 反过去想或许会使问题简单化。课堂教学结果表明:许多学生之所以处于低层次的学习水平, 有一个重要因素, 即逆向思维能力薄弱, 定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用, 缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此, 加强逆向思维的训练, 可改变其思维结构, 培养思维灵活性、深刻性和双向能力, 提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力, 正是数学能力增强的一种标志。因此, 我们在课堂教学中务必加强学生逆向思维能力的培养与塑造。
传统的教学模式和现行数学教材往往注重正向思维而淡化了逆向思维能力的培养。为全面推进素质教育, 本人在多年教学实践中常注重以下几个方面的尝试, 获得了一定的成效, 现归纳如下。
数学概念、定义总是双向的, 我们在平时的教学中, 只秉承了从左到右的运用, 于是形成了定性思维, 对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中, 除了让学生理解概念本身及其常规应用外, 还要善于引导启发学生反过来思考, 从而加深对概念的理解与拓展。例如:在讲清楚数列极限的定义之后, 还必须引导学生从逆向理解定义就得到“对于数列{xn}与常数A, 若存在某个正数µ, 总存在正整数N, 使得对于n>N时的一切xn, 不等式xn-A<µ不都成立, 则常数A不是数列{x n}的极限”。从该定义出发作进一步理解, 正向理解:收敛数列是有界的。逆向理解:有界数列不一定收敛;无界数列必定发散。正向理解:收敛数列的极限是唯一的。逆向理解:趋向于不同数值的数列是发散的。又如, 双曲线的定义:“双曲线是到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹。”从正向理解, 就意味着双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的实轴之长。而从逆向理解定义就得:双曲线内部任意一点到两个焦点的距离之差大于双曲线的实轴之长;而双曲线外部任意一点到两个焦点的距离之差小于双曲线的实轴之长。在定义、定理的教学中, 渗透一定量的逆向思考问题, 强调其可逆性与相互性, 对培养学生推理证明的能力大有裨益。例如:“函数在某点处连续时, 此函数在该点处既左连续又右连续。 (正向思维) 。函数在某点处既左连续又右连续时, 此函数在该点处连续 (逆向思维) ”。当然, 在平常的教学中, 教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题, 才能适时给学生以训练。
公式从左到右及从右到左, 这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现。因此, 当讲授完一个公式及其应用后, 紧接着举一些公式的逆应用的例子, 可以给学生一个完整、丰满的印象, 开阔思维空间。在高等数学中公式的逆向应用比比皆是。如多项式的乘法公式的逆用用于因式分解;求幂级数的和函数与把函数展开成幂级数是两个互逆的思维过程。如果这些公式能够灵活运用, 对于解决一些难度较大求极限问题、求常数项级数的和的问题是十分有效的。例如, 求级数的和。
所以
以上两题如果按照求常数项级数和的一般方法来计算是十分困难的。故逆向思维可充分发挥学生的思考能力, 有利于思维广阔性的培养, 也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣性。
每个定理都有它的逆命题, 但逆命题不一定成立, 经过证明后成立即为逆定理。在平面几何中, 许多的性质与判定都有逆定理。如:平行线的性质与判定, 线段的垂直平分线的性质与判定, 平行四边形的性质与判定等, 注意它的条件与结论的关系, 加深对定理的理解和应用, 重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野, 活跃思维大有益处。罗尔定理中的三个条件是缺一不可的, 否则结论就不一定成立。为了加深对该定理的理解, 引导学生分别对下面三个函数进行分析: (1) f (x) =x, x∈[-.11] (在x=0处不可导) ; (2) (在闭区间内不连续) ; (3) f (x) =x, x∈[0 1, ] (区间端点的函数值不相等) 。逆命题是寻找新定理的重要途径。例如, 罗尔定理中, “区间端点处的函数值相等”这个条件是相当特殊的, 它使罗尔定理的应用受到了限制。拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究, 取消了罗尔定理中这个条件的限制, 但仍保留了其余两个条件, 得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理。
“逆向变式”即在一定的条件下, 将已知和求证进行转化, 变成一种与原题目似曾相似的新题型。在教学中, 要经常有意识的引导学生依据熟悉化原则、简单化原则、直观化原则, 采用逆向思维方式, 将要解决的问题通过“恒等”变形, 转化为已经解决或者较容易解决的问题。
如, 设函数f (x) 在[, 0]1上连续, 在 (1, 0) 内可导。试证明至少存在一点ξ∈ (0, 1) , 使
分析结论可变形为
(与柯西中值定理相似)
证作辅助函数g (x) =x2,
则f (x) , g (x) 在[0, 1]上满足柯西中值定理的条件, 故在 (0, 1) 内至少存在一点ξ, 使
即f′ (ξ) =2ξ[f1 () -f (0) ]。
再如, x, y是整数, 且x+y=xy, 求x, y。
思考方法:恒等式 (1-α) (1-β) =1-α-β+αβ是学生熟知的, 然而, 当碰到1-α-β+αβ时还需能分解成 (1-α) (1-β) 。此题中x+y=x y, 故x y-x-y+1=1, 即 (x-1) (y-1) =1由整数性质可得x1=2, y1=2;x2=0, y2=0两组解。
解析几何学的创立为用代数法研究几何问题奠定了基础, 从而“数助形”在解决几何问题时常常起到穿针引线, 开拓思路的作用。然而, 逆向思维又告诉我们, 解析法逆用, “形助数”亦可得到解决代数问题的妙法。如, 当x为何值时, 有最小值?并求出最小值。思考方法:此题用纯代数法求解十分困难, 若以“形助数”解答则极易奏效。将函数表达式变形为, 容易发现函数y对应着坐标面内x轴上的点P (x, 0) 到A (0, 3) 、B (5, -2) 两点的距离之和PA+PB, 而“两点间线段最短”, 故直线AB与x轴交点的横坐标x=2可使函数y取得最小值经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练, 创设问题情境, 对逆向思维的形成起着很大作用。
数学的基本方法是教学的重点内容。其中的几个重要方法:如逆推分析法, 反证法等都可看做是培养学生逆向思维的主要途径。比如在证明一道几何命题时 (当然代数中也常用) , 老师常要求学生从所证的结论着手, 结合图形, 已知条件, 经层层推导, 问题最终迎刃而解。养成“要证什么, 则需先证什么, 能证出什么”的思维方式, 由果索因, 直指已知。反证法也是几何中尤其是立体几何中常用的方法。有的问题直接证明有困难, 可反过来思考, 假设所证的结论不成立, 经层层推理, 设法证明这种假设是错误的, 从而达到证明的目的。例如证明数列xn= (-) 1n+1是发散的。
证:假设数列是收敛的, 且设, 由定义, 对于, 0使得当n>N时, 恒有, 即当n>N时, , 区间长度为1。而xn无休止地反复取1, -1两个数, 不可能同时位于长度为1的区间内, 矛盾。因此该数列是发散的。证毕。
通过这些数学基本方法的训练, 使学生认识到, 当一个问题用一种方法解决不了时, 常转换思维方向, 可进行反面思考, 从而提高逆向思维能力。
总之, 培养学生的逆向思维能力, 不仅对提高解题能力有益, 更重要的是改善学生学习数学的思维方式, 有助于形成良好的思维习惯, 激发学生的创新开拓精神, 培养良好的思维品性, 提高学习效果、学习兴趣, 及提高思维能力和整体素质。
摘要：逆向思维是数学思维的一个重要组成部分, 是进行思维训练的载体。充分重视概念、公式、定理、逆向变式训练等方面的逆向思维教学, 加强从正向思维转向逆向思维的培养, 能有效地提高学生思维能力和创新意识。
关键词：逆向思维,思维能力,创新意识
[1] 吴赣昌[主编].高等数学 (第三版) [M].中国人民大学出版社.
[2] 黄翔.第9届国际数学教育大会会议综述[J].数学教育学报, 1995.
[3] 杨荣坤.加强逆向思维训练, 培养创造思维能力[J].福建中学教学, 2001 (2) .
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