落实几何直观让抽象看得见——基于核心素养下的“乘法分配律”教学

作为新课标的“源头”、课程改革的“关键”、考试评价的“风向标”, 当前教育界最火爆的“热词”——“中国学生发展核心素养”主要是指的是学生应具备的, 能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。数学培养的是一种思想, 那数学思想是怎样的呢?

史宁中教授将数学思想解读为数学文化的核心, 概括成三句话:用数学的眼光观察现实世界, 用数学的思维分析现实世界, 用数学的语言表达现实世界。这里可以将其归纳为三种基本思想:抽象、推理和模型。本文主要借乘法分配律一课来谈一谈如何在代数的教学中引入几何模型支撑, 让抽象变得“看得见”。

新课标指出:几何直观主要是指利用图形描述和分析问题, 将数学问题转化为直观的图, 能具体生动地理解问题, 符合学生的思维特点。在许多情况下, 借助几何直观可以把复杂的问题变得简明、形象。几何直观分为三个层次:感知、理解和洞察。受小学生思维特点的限制, 本文主要涵盖感知、理解两个层次。

1 数形结合, 直观感知

师:张大爷最近遇到了一个问题, 我们来一起来看看吧:

张大爷家有一块大长方形菜地, 菜地分成两个小长方形分别种青菜和黄瓜, 青菜地的长为12米, 宽为6米, 黄瓜地的长8米, 宽为6米, 这个大长方形菜地的面积是多少平方米?你能帮张大爷解决这个问题吗?

出示题目要求:

画一画:根据题意画出示意图。

写一写:根据示意图列出算式并计算。

想一想:结合示意图思考算式的含义。

生1:我可以根据题意画出如下示意图。

可以这样列式计算12×6+8×6=120 (平方米) 。

生2:我画出的示意图如下。

可以这样列式 (12+8) ×6=120 (平方米) 。

师:小朋友们, 观察比较这两道算式, 你能结合示意图说一说, 这两道算式各有什么相同点和不同点吗?请先独立思考, 再将你的想法在小组里说一说。

学生汇报。

生1:通过比较, 我:发现两道算式的结果相同, 表示的都是大长方形菜地的面积。

生2:它们的不同点是, 第一道算式中12×6表示青菜地的面积, 8×6表示黄瓜地的面积, 把两块地的面积加起来, 得到大长方形的总面积。右边算式中, 把大长方形看成一个整体, 12+8表示大长方形的长, 用大长方形的长乘宽得到面积。

在乘法分配律的教学中, 一般教师都是直接出示教学情境, 从其外形特征出发, 出示4至6个符合乘法分配律特征的等式, 引导学生观察等式, 通过找到它们的相同点, 用不完全归纳法抽象出乘法分配律。这样的教学, 只注重外形记忆, 轻视本质理解。学生往往知其然, 而不知其所以然。所以我们在设计时, 没有依照教材所给的情境, 而是借助几何图形, 有了图的支撑, 学生很容易想到要求大长方形菜地的面积, 可以直接根据大长方形的长乘宽来求, 也可以根据两个小长方形的面积之和来求。观察比较左右两道算式, 结合图形说一说, 各有什么相同点和不同点。这样, 学生的理解就不仅仅停留在得数相等上了, 而是可以通过图形直观地看出来。初步感知乘法分配律并理解其意义。

2 逐步深入, 加强理解

师:小朋友们, 像这样相等的式子我们以前也接触过, 例如6×7=42, 我们可以画图来表示。

孩子们, 你能将图形补充完整吗?请你照样子画一画、写一写。

生:我在方框里画上1排7个圆点。6×7表示6排圆点, 每排7个, 我们可以把6排看成是5排+1排, 也就是5个7和1个7的和, 所以这个式子也可以写成5×7+1×7。

师:说的真棒, 那还能怎么分呢?你能仿照刚才的方法, 再分一分吗?列出算式。

生1:可以把6排看成4排加2排, 也就是4个7和2个7的和, 得到算式 (4+2) ×7=4×7+2×7。

生2:还可以把6排看成3排+3排, 也就是3个7和3个7的和, 得到算式 (3+3) ×7=3×7+3×7。

以回顾的方式结合图例解释6×7表示6个7的和, 也可以表示为 (5+1) 个7, 即5×7+1×7。以此类推还可以得到另外几个符合乘法分配律的等式。这一环节的设计, 借助几何直观, 让学生再次感知乘法分配律, 体会数形结合的数学思想, 同时将乘法口诀由简单的数字间的计算上升到乘法分配律的层面, 让学生初步感知乘法分配律的模型。

3 抽象规律, 建立模型

师:同学们, 你能再写出几组像这样的式子, 算一算, 并在小组里说说你的发现。

生1:我发现两个数的和与一个数相乘, 可以先把这两个数分别与这个数相乘再相加。

师:听懂了吗?这位同学说得非常好, 但是这样用文字表述太复杂了, 有没有更简单的方式呢?

生2:可以用字母来表示: (a+b) ×c=a×c+b×c。

师:真棒!通过大家的努力, 我们找到了数学中的一个重要的运算律——乘法分配律。

师:现在我们回到例题的图中, 这里的a、b、c分别代表什么?

生:a表示青菜地的长, b表示黄瓜地的长, c表示长方形的宽。

师:那a, b, c除了能表示长方形的长与宽还能表示什么呢?

生:还可以表示任意一个自然数。

师:像66×28+66×32+66×40= (++) × () 这样的式子你会填写完整吗, 填一填。

生:66×28、66×32和66×40这三个乘式都含有乘数66, 看做是66分别与28、32、40这三个数相乘再相加, 就等于28、32与40的和去乘66, 得66×28+66×32+66×40= (28+32+40) ×66。

师:说的很清楚也很完整, 那你能用图形和字母表达式来概括这一类的规律吗?

生:可以用长方形图来表示, 字母表达式是 (a+b+c) ×d=a×d+b×d+c×d, 可以用乘法的意义来解释, 表示为 (a+b+c) 个d等于a个d+b个d+c个d。

让学生通过观察、猜想、举例、验证, 归纳出乘法分配律的字母表达式, 抽象出乘法分配律的模型。有效实现从图形上的直观感知过渡到算式上的抽象模型。同时从乘法分配律的等式模型拓展至 (a+b+c) ×d=a×d+b×d+c×d的等式模型并能结合图形去理解, 有效的实现了学生思维的又一次飞跃。

4 巩固拓展, 内化提升

师:列综合算式求一求下列圆形和三角形的个数。

生1:圆的个数可以这样求, 每个长方形里有2个圆, 一列就有2×3个圆, 一共有8行, 列示为2×3×4=24 (个) , 三角形的数量可以看做左边有3行4列, 右边有2行4列可以得到3×4+2×4=20 (个) 。

生2:圆的个数还可以看做是3行4列也就是3×4个长方形, 每个长方形里有2个圆, 得到2× (3×4) =24 (个) , 三角形的个数可以看做是一共有 (3+2) 行, 有4列, 共 (3+2) ×4=20 (个) 。

师:这两个同学得到的答案都是一样的, 但式子都不同, 这是怎么回事呢?

生:求圆数量两个式子都是相等的, 可以写作2×3×4=2× (3×4) , 符合乘法结合律;而求三角形数量的式子符合乘法分配律, 写作3×4+2×4= (3+2) ×4。

师:说得真好, 同学们要好好的区分乘法结合律和乘法分配律。

在练习环节, 借助图例呈现乘法结合律与乘法分配律的对比, 这样更加的直观, 更容易理解, 从而很好地帮助学生区分这两种运算律。

摘要：乘法分配律是小学数学教学中一个重要的运算定律, 也是小学生特别容易混淆出错的一种运算律。于教师而言, 为提升学生的学习效果, 理应让学生先掌握乘法分配律的基本原则, 在实践探索中掌握方法, 提升其应用和把握能力。本文在乘法分配律一课教学中引入几何直观, 借助于图例发展学生的思维, 帮助学生轻松的掌握内化乘法分配律, 并取得不错效果。

关键词：乘法分配律,几何直观,核心素养,模型