《空间几何体》测试题（推荐8篇）
一、选择题
1.(福建文)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ).
A. B.2 C. D.6
考查目的：考查立体几何中的三视图，识图的能力、空间想象能力等基本能力.
答案：D.
解析：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，∴底面积为，侧面积为.
2.(辽宁文)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( ).
A.4 B. C.2 D.
考查目的：考查立体几何中的三视图与几何体的转换以及相应线段的转化关系.
答案：B.
解析：由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中M，N是中点，矩形为左视图.
设棱长为，∵体积为，∴，解得，∴，∴矩形面积为.
3.(2011湖南文)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查组合体体积的求解.
答案：D.
解析：由三视图知这个几何体由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3，高为2的长方体所构成的几何体，其体积
二、填空题
4.(上海文)一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 .
考查目的：考查圆柱的表面积.
答案：.
解析：∵底面圆的周长，∴圆柱的底面半径，∴圆柱的侧面积为，两个底面积为，∴圆柱的表面积为.
5.(浙江)若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则此几何体的体积是 .
考查目的：考查根据三视图求几何体体积.
答案：18.
解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18.
6.(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .
考查目的：考查根据三视图求几何体表面积..
答案：.
解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的`直四棱柱(如图所示)，∴该直四棱柱的表面积为.
三、解答题：
7.(2011湖北改编) 设球的表面积为，体积为，它的内接正方体的表面积为，体积为，求，.
考查目的：考查球和正方体的表面积和体积计算，比较球和其内接正方体的表面积、体积之间的关系.
答案：，.
解析：设球的半径为，则，.设正方体的边长为，则，.又∵，∴ ，，即 ，.
8.已知：一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为的内接圆柱.
⑴求圆柱的侧面积;
⑵为何值时，圆柱的侧面积最大.
考查目的：考查几何体的侧面积的计算，考查对组合体的分析能力，空间想象能力及推理运算能力.
答案：⑴;⑵.
解析：⑴设内接圆柱底面半径为，，∵，∴.②代入①得;
相对于以往的教材, 课标教材对于《空间几何体》的教材内容的设置缺乏系统性, 教师在教学中应加强教材的研究, 适时地进行教材重组, 使教学能够更具有实效性, 更能发挥学生学习的主动性。笔者就教学中的一点感悟总结如下。
空间几何体的结构教学定位:
“1.1空间几何体的结构”这一节, 主要学习了柱、锥、台、球的结构特征。相比较于旧教材, 课标教材对于柱、锥、台、球的概念、分类显得过于简单, 没有正棱柱、正棱锥、正棱台等概念。这是由于学生没有点、线、面的位置关系知识作铺垫。
1.在教学中应该补充棱柱体对角线的概念, 特别是长方体的体对角线的概念, 以便来区分面对角线, 学生也易于接受这个概念。并且强调, 在立体几何中, 长方体的对角线这个概念特指体对角线。这对于解答球内接长方体的相关题目有帮助。
在教学中, 应该让学生明确球内接长方体的体对角线即是球的直径, 这类比于平面几何中圆内接长方形的对角线是圆的直径。
2.在“1.2空间几何体的三视图和直观图”“1.3空间几何体的表面积与体积”“第二章点、直线、平面之间的位置关系”的教材内容中, 都穿插着常见的空间几何体的概念。
案例1课标教材P22练习4, 用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图, 其中底面ABCDE是正五边形, 点P在底面的投影是正五边形的中心O。
案例2课标教材P41B组4, 一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥 (底面是正方形, 从顶点向底面作垂线, 垂足是底面中心的四棱锥) 形容器, 试把容器的容积V表示为x的函数。
通过这两个题目的解答, 即便学生不学习点、线、面的位置关系, 也会理解正棱锥的概念。此时补充正棱锥的概念, 学生也会易于接受。再如课标教材P73则定义了直四棱柱的概念。
3.关于组合体、截面问题。
(1) 课标教材关于组合体的构成给出了两种基本形式:拼接和截去或挖去。在教学中应该明确研究组合体的两种思想:合理的组合与合理的分解。
案例3如下图, 长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, BC=2, , 点E是AB的中点, 过点C1、D、E的平面交BB1于F。
(1) 求证:EF∥DC1;
(2) 求几何体BEF-CDC1体积。
在解答第 (2) 问时, 合理地把几何体BEF-CDC1分解为三棱锥C1-DEC和四棱锥E-BFC1C来求体积, 要比先证明几何体BEF-CDC1是台体, 然后利用台体体积公式来求要简单得多。
(2) 在教学中注重对于以下几何体的组合问题的教学:
球内接长方体;正方体的内切球;圆柱与棱柱的组合;圆锥与圆柱的组合;等等。
(2006山东卷) 正方体的内切球和外接球的半径之比为 ()
此类问题主要考查几个组合体之间的度量之间的关系。
(3) 截面问题。轴截面。
(1) 特殊的截面:旋转体的轴截面, 球的截面圆:大圆、小圆。应该在教学中适当的补充。这对于学生画一些空间几何体三视图和解答有关组合体体积、面积问题的基础。
案例5 (如右图) 在底半径为2, 母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱, 求圆柱的表面积。
此类问题主要考察旋转体的轴截面。
(2) 一般的截面问题:在教材第二章学习过程中经常会遇到一般的截面问题。截面的作图要依据第二章相关的知识。
案例6 (2006湖南卷) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如右图, 则图中三角形 (正四面体的截面) 的面积是 ()
透视一 在情景中考查想象力
福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，其色彩与灵感来源于奥林匹克五环、来源于中国辽阔的山川大地、江河湖海和人们喜爱的动物形象．福娃向世界各地的孩子们传递友谊、和平、积极进取的精神和人与自然和谐相处的美好愿望.每个娃娃都有一个琅琅上口的名字：贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮．当把五个娃娃的名字连在一起，你会读出北京对世界的盛情邀请“北京欢迎您”．
例1 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，上面分别画上了福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，以及写上了“中国”，若图中贝贝在正方体的上面，则这个正方体的下面是() .
A． 晶晶B. 欢欢 C. 迎迎D. 妮妮
解析 如图所示，把贝贝作为上面，贝贝下面的晶晶作为前面，则晶晶右边的欢欢作为右面，故得迎迎作为下面, 以此推断可得迎迎右边的妮妮是后面，而“中国”是左面. 答案应选C.
点评 将问题融入与我们紧密相关的情境中，这是近年高考对考生能力考查的一大变化趋势．
透视二 利用三视图考查识图画图能力
新考纲要求：会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
例２ 如图所示的正方体中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的射影不可能是（）.
解析 要想画出空间四边形在各面上的投影，只需画出空间四边形的各点在各面上的射影即可作如下判断（排除法）：
A：它是空间四边形AGEF在底面ABCD上的投影；
B：它是空间四边形AGEF在面ADD1A1上的投影；
C：它是空间四边形AGEF在面ABB1A1上的投影.
综上可知，正确选项为D.
点评 本题把三视图的概念加以推广，考查的内容实质上是空间四边形在六个面上的投影，读者可以依例构造各种几何体在长方体各面上的投影.
透视三 与数列相联系考查合情推理能力
数学中的推理常常要用到归纳与类比等方法，归纳是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，是由部分到整体，由特殊到一般的推理方法；类比是从一个数学问题到另一个数学问题的心理活动，即寻找一个相似的问题，或找出与问题接近的方法，通过变通或转化来解决问题.
例３ 如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=；f(n)=____.(答案用数字或n的解析式表示)
解析 由于多面体是n棱锥，故可知共有n条侧棱，而其它n个点在同一平面内共可以构成直线 ，故共可以确定直线 .
由于所有的侧棱交于一点，故知侧棱之间不能构成异面直线；由于底边全部在同一平面上，故也不能构成异面直线；而侧棱与底边之间可能构成异面直线：对于三棱锥来说，每条侧棱都与1条底边异面，共有3对异面直线；对于四棱锥来说，每条侧棱都与2条底边异面，共有4×2=8对异面直线；对于五棱锥来说，每条侧棱都与3条底边异面，共有5×3=15对异面直线；对于n棱锥来说，每条侧棱都与不和它相交的n-2条底边异面，共有n（n-2）对异面直线；由此归纳出f（n）＝n（n-２）.
点评 “新课标”要求数学教学应培养具有创新意识和创新实践能力的人才，此题把立体几何知识与数列联合起来考查考生观察问题、分析问题与解决问题的能力.
透视四 利用直观图考查抽象概括能力
抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.
例４ 如图所示水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xoy中点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为().
点评 画直观图的步骤：画轴、取点、成图；对直观图考查的重点是平行y轴的线段要减半画成平行于y′轴，很多考生容易受直角坐标系的影响,以为y′轴与x′轴垂直而导致错误. 图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.
透视五 注重知识联系与不等式相交汇
关注知识交汇点，把握纵横联系，揭示普遍规律，注重综合应用，在知识的交汇点处命题，考查综合分析问题与解决问题的能力，使立体几何成为高考改革的一支风向标．
例５ 已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是().
点评 本题以三棱锥的体积为背景，考查了利用均值不等式求最大值的思想，理解OA、OB、OC两两互相垂直是解决本题的突破口.
责任编校 赖庆安
1.知识与技能
a)会画三视图。2.过程与方法
a)学生动手作图，亲手体验，感受三视图表示空间几何体的意义。3.情感与价值
a)联系生活实例，提高学生空间想象力； b)体会三视图在生活中的应用。
重难点：
1.重点：画简单组合体的三视图。
2.难点：识三视图表示的空间几何体或物体。
教学流程
【第一节课，自我介绍很重要，课前为同学们播放国际学校师资篇视频。】 师：上课！生：老师好！
师: 同学们好！首先请允许我自我介绍一下，我叫程冬，来自龙盘湖国际学校。在上一次信息课上，大家玩的很Happy，希望这一节数学课学的也很Happy。【让学生明确课题内容及教学重难点】
闲话少叙，进入正题。在前面的学习中，我们已经学习了空间几何体的定义和内部结构，本节课主要研究学习空间几何体的一种表示方法，这就是空间几何体的三视图。
对于空间几何体的三视图，我们不仅要会画简单组合体的三视图，而且还要能够根据三视图辨识出它们所表示的空间几何体是什么。
【创设情境，揭示问题。由于光在物理学中已经学过，关于投影及其相关概念以讲授法为主】
【切换到PPT手影表演页，借助投影仪光线亲自演示鸽子的形状】相信大家都看过或者会表演手影戏，它不要复杂的设备，只要一支蜡烛或者一盏灯，甚至是一轮明月，通过手势的变化，就可以创造出不同动物的形象。那么，我们就把这种在不透明物体的后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影。在物理学中，光源包括哪些？ 生：点光源、平行光源。
师：光是沿直线传播的，那么光线用什么表示呢？
生：光线是用带方向的直线表示的。在这里，我们把光线叫做投影线，留下影子的屏幕叫做投影面。
投影按光源的分类分为中心投影和平行投影两大类。假设有一点光源S，物体在点光源的散射下形成的投影，叫做中心投影。
【结合PPT，生动直观的呈现出物体投影的过程，方便学生理解中心投影的抽象概念，体现了一种数形结合的思想。】
师：你能说出中心投影中投影图的大小取决于什么嘛？
生：投影图的大小随着物体与投影中心或投影面之间的距离和位置的变化而变化．【体现了函数思想】
师：你能说出中心投影中投影线之间的位置关系吗？ 生：投影线相交于一点（这一点指什么？投影中心）【引出中心投影的特性】
师：在屏幕的上方平行放置一个物体，通过一束平行光线的照射，在屏幕上方形成的投影叫做平行投影。观察这一幅图和这一幅图，观察投影线与投影面之间有什么差别？ 【“这一幅图和这一幅图”分别指的是哪一幅图？PPT中有图时注意标注清晰，便于表述。】 生：左图中的投影线垂直于投影面，右图中的投影线倾斜于投影面。师：同学们观察的非常仔细和认真，文字语言描述的也不错。【课堂评价语言】我们把左图中呈现出的投影称为正投影；右图中呈现出的投影称为斜投影。我们再观察，正投影中，物体与投影图的大小形状有什么不同吗？ 生：它们之间的大小形状相同。师：正是由于正投影能够真实反映出物体的形状与大小，本节主要是利用正投影研究空间几何体的三视图。
【创设情境，揭示问题】
下面看这么一副图形，在公园里面，一个俊朗的帅哥含情脉脉的看着怀中的这位长发齐腰、金发飘飘的美女？！！男同学可以忘情的畅想下。生：充斥着一片讨论声。【揭露帅哥抱着丑陋的狗的真相】 师：这种场景告诉我们看问题不能只从单一方面考察，而是要从多角度或者多侧面观察物体，这样我们才能明白物体的真相。那么，我们如何能够真实的了解物体的形状大小呢？
【结合标致汽车图片和中国99式坦克从多角度观察，提示同学们是否在大脑中存在汽车和坦克实物的景象，进而引出视图及三视图的概念。】
【由于三视图的概念较为抽象，觉得讲授法 + PPT演示 + 联系生活实例 较好。】 师：视图是按照正投影投射而得到的图形，按观察的角度不同分为主(正)视图、左(侧)视图、俯视图。下面以长方体为例，大家可以看着墙角处的饮水机，就把它看成我们PPT上的长方体，从前往后看，你能看到的什么？ 生：矩形；
师：从左往右看，你能看到什么呢？ 生：矩形；
师：从上往右看，你能看到什么呢？ 生：矩形；
【给出三视图的概念】
师：大家阅读下PPT上给出的三视图的概念，【一边讲解，一边板书，然后说明研究三视图的意义。】
【让学生自己动手，结合墙角处的饮水机(长方体)，让学生自己动手画三视图，培养学生的动手实践能力和发现规律的能力。同时，也为下一步如何画三视图作准备。】
问题：根据长方体[长5cm，宽4cm，高3cm]的模型，请您画出它们的三视图，并观察三种图形之间的关系。
师：请大家用尺规作图法在草稿纸上画出这个长方体的 三视图。
【再请一位同学在讲台上画出这个基本几何体的三 视图。（便于利用三视图的规律判断他画的是否正确）】 师：[注意到台下有好多同学都画完了三视图，台上同学 还在画]画完的同学们，请欣赏下彼此的作品，并观察对 方画的是否正确，为什么不正确？然后再讨论下三视图 中两两之间是否存在相等关系？若存在，为什么？ 生：【彼此都在讨论着，趁着台上同学画三视图的功夫，去台下了解下他们讨论的结果】 师：【结合PPT进行讲解】画三视图，首先要确定位置关系，也就是“正前方”、“正左方”、“正右方”是哪个位置。【讲解本问题中，结合饮水机讲解位置都在哪儿】
若把带颜色部分的各个平面展开，得到一个平面，我们再来观察三视图之间是否存在相等关系。根据刚才大家在底下的讨论，我想请一位同学与大家分享下讨论的结果。【根据刚才在台下了解的情况，请一位同学起立回答问题】 生：一个几何体的
俯视图和正视图的的长度一样，正视图和侧视图的高度一样，侧视图和俯视图的宽度一样． 师：总结归纳的非常到位。我们把
“俯视图和正视图的的长度一样”为长对齐；【板书】 “正视图和侧视图的高度一样”为高平齐【板书】 “侧视图和俯视图的宽度一样．”为宽相等【板书】 板书：
俯、正：长对齐； 正、侧：高平齐； 侧、俯：宽相等。
我们再看看这位同学画的三视图是否正确，怎么才能判断三视图是否正确呢？九个字“长对齐、高平齐、宽相等”就是检验对错的标准。【请同学分析三视图对错】
练习：判断简单几何体的三视图是否正确【检验结果，及时反馈】
师：如何作出空间几何体的三视图，你们能说一下吗？
生：(1)分析从几何体的正前方、正左方、正上方所看到的正投影图;(2)按照“长对正、高平齐、宽相等”作出对应的三视图;
(3)作图时能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的用虚线表示.【上面的概念讲解控制在25分钟以内】
练习：【三类题型】
1.简单几何体的三视图的认识及讲解。【由于初中学习过三视图，所以这里仅仅是复习回顾初中的三视图，重点讲解画三视图的过程。无需学生会画】 2.画棱柱的三视图（主要考察画三视图的步骤(3)）。3.如何根据三视图识别出空间几何体。
总结：
教学反思：
值得加强的优点：
1、有听课老师在时，基本克服了台上面临着的心理压力，神态自然了一些。
2、借助多媒体，创设情境，激发学生学习兴趣，引导学生学习新知识，值得发扬。
3、由于课题内容的特殊性，重在培养学生的动手实践能力。在动手实践的过程中，引导启发学生个人或小组合作的形式新问题及规律。
4、联系生活实际，激起学生学习数学的兴趣。
5、语言的严谨性有了一些改进。
6、课堂设问和练习的层次性，个人认为做的还不错。
7、课堂评价语言，由于平时的积累，特别是第二节课，比平时丰富了些。值得改进的缺点：
1、金初实习的最大优点声音宏亮，在金高上第一节课时没有发扬出来。（第二节课改进以后好了些）。
2、教学语音语调缺乏抑扬顿挫性。
3、需要提高学生的参与度，前提是需要考虑教材内容和学生的年龄特征。在本节课中，由于抽象概念较多，学生的空间思维能力尚未完全形成，因此可考虑借助多媒体，采用讲解法和启发式设问的方式，丰富学生的空间思维能力，可能会好些。当然，对于一些易于理解的概念，对于高中生来说，自学辅导较好。
4、整堂课各个环节的连贯性衔接的不紧凑（改进后，第二节好了一些）。
5、做到课堂教学中的收放自如，是我一直以来努力的目标。营造积极宽松的思维环境，是我一直以来努力的方向。培养学生良好的学习数学习惯和自主学习能力是基础。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图
整体设计
教学分析
在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视.画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”.教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的作品带到课堂上来展示交流.值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形.三维目标
1.掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法.2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识.重点难点
教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.教学难点：识别三视图所表示的几何体.课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？
我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础
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上，学习空间几何体的三视图.教师指出课题：投影和三视图.思路2.“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？教师点出课题：投影和三视图.推进新课 新知探究 提出问题
①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?
图1 ②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的? ③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？
图2 ④图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？
⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别？
图3 活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片.②从投影的形成过程来定义.中鸿智业信息技术有限公司
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③从投影方向上来区别这三种投影.④根据投影线与投影面是否垂直来区别.⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点.讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影.②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕.③图2（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图2（2）和（3）的投影线平行，我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影.④图2（2）中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图2（3）中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影.⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图.知识归纳：投影的分类如图4所示.图4 提出问题
①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分？
②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？
③一般地，怎样排列三视图？
④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗？
讨论结果：①三视图包含正视图、侧视图和俯视图.②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图（又称主视图）；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图（又称左视图）；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图.③三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下边.如图5所示.图5 ④投影规律：
（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.中鸿智业信息技术有限公司
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（2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图——长对正；主、侧视图——高平齐；俯、侧视图——宽相等.画组合体的三视图时要注意的问题：
（1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同.（2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置.（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出.（4）要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前后对应.由三视图还原为实物图时要注意的问题：
我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图.应用示例
思路1
例1 画出圆柱和圆锥的三视图.活动：学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成.解：图6（1）是圆柱的三视图，图6（2）是圆锥的三视图.(1)
(2)
图6 点评：本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图，做到想图（几何体的实物图）和画图（三视图）相结合.变式训练
说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.(1)
(2)
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图7 答案：图7（1）是正六棱锥；图7（2）是两个相同的圆台组成的组合体.例2 试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图.活动：引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器，这种容器是简单的组合体，其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱.图8
图9
解：三视图如图9所示.点评：本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.变式训练
画出图10所示的几何体的三视图.图10
图11 答案：三视图如图11所示.思路2
例1（2007安徽淮南高三第一次模拟，文16）如图12甲所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图12乙中的____________.甲
乙
图12
活动：要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.中鸿智业信息技术有限公司
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分析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图12乙（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图12乙（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图12乙（3）.答案：（1）（2）（3）
点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.变式训练
如图13(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图13(2)的___________.(1)
(2)
图13 分析：四边形BFD′E在正方体ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C；在面DCC′D′上的投影是B；同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是B.答案：B C 例2（2007广东惠州第二次调研，文2）如图14所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）
甲
乙
丙
图14 ①长方体
②圆锥
③三棱锥
④圆柱
A.④③②
B.②①③
C.①②③
D.③②④
分析：由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因正视图和侧视图均是三角形，则丙是圆锥.答案：A 点评：本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征.根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体.通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.变式训练
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1.图15是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状.图15
图16 分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图16所示.2.（2007山东高考，理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
图17 A.①②
B.①③
C.①④
D.②④ 分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C.答案：D 点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题.知能训练
1.下列各项不属于三视图的是（）
A.正视图
B.侧视图
C.后视图
D.俯视图 分析：根据三视图的规定，后视图不属于三视图.答案：C 2.两条相交直线的平行投影是（）
A.两条相交直线
B.一条直线
C.两条平行直线
D.两条相交直线或一条直线
图18
分析：借助于长方体模型来判断，如图18所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射.则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.答案：D 3.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，如图19所示.甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“ 6”，丙说他看到的是“ 9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（）
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图19 A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边 B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙 C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
分析：由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如图20所示，由此可得甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边.图20
答案：D 4.（2007广东汕头模拟，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（）
A.棱锥
B.棱柱
C.圆锥
D.圆柱
分析：由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又因正视图与侧视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥.答案：C 5.（2007山东青岛高三期末统考，文5）某几何体的三视图如图21所示，那么这个几何体是（）
图21 A.三棱锥
B.四棱锥
C.四棱台
D.三棱台 分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥.答案：B 6.（2007山东济宁期末统考，文5）用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图22所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（）
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图22 A.8
B.7
C.6
D.5 分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体.答案：C 7.画出图23所示正四棱锥的三视图.图23 分析：正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四棱锥的四条侧棱.答案：正四棱锥的三视图如图24.图24 拓展提升
问题：用数个小正方体组成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图25所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数.(1)你能确定哪些字母表示的数？
(2)该几何体可能有多少种不同的形状？
图25
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分析：解决本题的关键在于观察正视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中，每个视图都反映物体两个方向的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸”.又“正视图与俯视图长对正,正视图与侧视图高平齐,俯视图与侧视图宽相等”,所以，我们可以得到a=3,b=1,c=1,d,e,f中的最大值为2.解：(1)面对数个小立方体组成的几何体，根据正视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论：
①a=3,b=1,c=1;②d,e,f中的最大值为2.所以上述字母中我们可以确定的是a=3,b=1,c=1.(2)当d,e,f中有一个是2时，有3种不同的形状； 当d,e,f有两个是2时，有3种不同的形状； 当d,e,f都是2时，有一种形状.所以该几何体可能有7种不同的形状.课堂小结
本节课学习了：
1.中心投影和平行投影.2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律.3.由三视图判断原几何体的结构特征.作业
习题1.2 A组
第1、2题.设计感想
一、教学目标 1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力 2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。3．情感态度与价值观（1）提高学生空间想象力（2）体会三视图的作用
二、教学重点、难点
重点：画出简单组合体的三视图 难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、学法与教学用具
1．学法：观察、动手实践、讨论、类比 2．教学用具：实物模型、三角板
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
（二）实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。3．三视图与几何体之间的相互转化。（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？（2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
一、用空间向量解决立体几何中空间角的问题
空间角是指两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的总称, 融向量于空间角中有时会起到意想不到的效果。
1. 已知M, N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点, 求MN与CD1所成的角。
解:不妨设正方体的边长为1, 建立如图空间直角坐标系D—xyz, 则C (0, 1, 0) , D1 (0, 0, 1) , 。
2. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E为棱CC1的中点, 求截面A1BD与截面EBD所成二面角度数。
分析:先以二面角的概念为指导, 作出二面角的平面角来 (如图示) , 联结AC交BD于O, 联结OE, OA1, 即∠A1OE就是二面角A1—BD—E的平面角。再按1题的方法去解, 即可求得二面角的度数为90°。
3. 如图:已知二面角α-l-β为120°, A、B∈l, AC奂鄣, AC⊥l, BD奂β, BD⊥l, AB=6, AC=2, BD=4, 求直线CD与β所成的角。
解:建立如图坐标系A—xyz, 则, D (4, 6, 0) , , 设平面β的一个法向量a軋= (0, 0, 1) 。
∴CD与平面β所成角的大小为。
通过上例可以知道用空间向量求空间角时, 用到公式去解决, 在立体几何直观图中合理构建空间坐标系是关键, 它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。
二、用空间向量解决立体几何中有关距离的问题
空间的距离共有7种:两点间距离, 点到直线距离、两平行直线距离、点到平面距离、直线到与它平行平面的距离、两个平行平面的距离、两异面直线的距离。下就空间向量在立体几何中距离的应用举几个例。
1. 已知线段AB奂鄣, BD奂鄣, BD⊥AB, AC⊥鄣, AB=a, BD=b,
AC=c, 求C, D间的距离。
解:由向量多边形法则可得:
2. 已知一空间四边形OABC各边及对角线长都是1, 求点O到平面ABC的距离。
分析:先以点到平面的距离概念为指导, 作出表示有关距离的线段, 再构造向量去解决它的长度。
∴O在面ABC的射影H是△ABC的中心, OH的长度是点O到平面ABC的距离, 而到平面ABC的距离为。
3. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a, M是棱AA1的中点, O是对角线BD1的中点, 求异面直线AA1和BD1的距离。
分析:先证OM是异面直线AA1和BD1的公垂线, 再去求OM的长度, 前后整过程都可构造空间直角坐标系去解决。
解:建立如图直角坐标系D—xyz, 则B (a, a, 0) , D1 (0, 0, a) ,
∴BD1⊥OM, AA1⊥OM。
因此OM是异面直线AA1和BD1的距离, 且。
以向量为工具, 解决空间距离问题, 避开了立体几何中的相关知识体系。对于距离问题主要用到公式, 把其转化成向量间的运算, 从而达到解题目的。
三、用空间向量去解决立体几何中有关垂直问题
空间垂直包括:线线垂直、线面垂直、面面垂直, 这三种垂直关系可化归为线线垂直去解决, 有关垂直问题一旦引入向量相关知识, 会变得十分简单。
1. 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, 底面是正方形, 且∠A1AD=∠A1AB, 求证:AA1⊥BD。
证明:
∴AA1⊥BD。
2. 已知如图正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2, 底面边长为1, M是BC中点, 在直线CC1上求一点N, 使MN⊥AB1。
分析:这是一道执果索因的类型题目, 可根据给出空间直观图, 构造空间直角坐标系, 把有关问题转化为坐标, 由, 从而可求出N点位置。
解:沿AB, AC, AA1射线方向分别取单位向量i軆, j軆, k軋,
从上例可以看到, 用空间向量解决立体几何中有关垂直问题主要用到公式, 空间向量可使立体几何中的证明垂直问题有规律可循, 有法可用, 化难为易。
通过空间向量的知识性和工具性的教学, 可提高学生解决立体几何间的灵活性, 增强学生分析问题的能力, 开阔了学生解决立体几何问题的视野, 作为运算工具, 引入空间向量, 它为立体几何代数带来了极大的方便。由上可看出空间向量的应用价值, 激发了学生学习向量的兴趣, 从而达到提高探索和创新能力的目的。
参考文献
[1]陈江辉.三角函数与平面向量千题巧解[M].长春:长春出版社, 2007.
[2]周子君.空间向量在角和距离求解中的运用[J].数学通报, 2003.
[3]魏廷祥.空间向量在求角与距离中的应用[J].青海教育, 2005.
[4]钟山.空间向量与立体几何[M].北京:现代教育出版社, 2008.
1. [a，b]是夹角为[30°]的异面直线，满足条件“[a?α，b?β，]且[α⊥β]”的平面[α，β]（ ）
A. 不存在 B. 有且只有一对
C. 有且只有两对 D. 有无数对
2. 已知向量[a=（8，x2，x）]，[b=（x，1，2）]，其中[x>0]. 若[a∥b]，则[x]的值为（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 0
3. 已知[a=（2，-1，3），][b=（-1，4，-2），][c=（7，5，λ），]若[a，b，c]三个向量共面，则实数[λ]等于（ ）
A. [627] B. [637] C. [647] D. [657]
4. 如图，已知空间四边形[ABCD]的每条边和对角线长都等于[a]，点[E，F，G]分别为[AB，AD，DC]的中点，则[a2]等于（ ）
A. [2BA]·[AC] B. [2AD]·[BD]
C. [2FG]·[CA] D. [2EF]·[CB]
5. 已知空间四边形[OABC]，其对 角线为[OB，AC，M，N]分别是边[OA，CB]的中点，点[G]在线段[MN]上，且使[MG=2GN]，则用向量 [OA]， [OB]， [OC]表示向量 [OG]正确的是（ ）
A. [OG]=[OA]+[23OB]+[23OC]
B. [OG]=[12OA]+[23OB]+[23OC]
C. [OG]=[16OA]+[13OB]+[13OC]
D. [OG]=[16OA]+[13OB]+[23OC]
6. 有以下命题：①如果向量[a，b]与任何向量不能构成空间的一个基底，那么[a，b]的关系是不共线；②[O，A，B，C]为空间四点，且向量 [OA]， [OB]， [OC]不构成空间的一个基底，那么点[O，A，B，C]一定共面；③已知[{a，b，c}]是空间的一个基底，则[{a+b，a-b，c}]也是空间的一个基底. 其中正确的命题是（ ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
7. 二面角[α-l-β]为[60°]，[A，B]是棱[l]上的两点，[AC，BD]分别在半平面[α，β]内，[AC⊥l]，[BD⊥l]，且[AB=AC=a]，[BD=2a]，则[CD]的长为（ ）
A. [2a] B. [5a] C. [a] D. [3a]
8. 空间中一条线段[AB]的三视图中，俯视图是长度为1的线段，侧视图是长度为2的线段，线段[AB]的长度的取值范围是（ ）
A. [0，2] B. [2，5]
C. [2，3] D. [2，10]
9. 若[O]为坐标原点，[OA=（1，1，-2）]，[OB=][（3，2，8）]，[OC=（0，1，0）]，则线段[AB]的中点[P]到点[C]的距离为（ ）
A. [1652] B. [214] C. [53] D. [532]
10. 已知平面[α]的一个法向量[n=（-2，-2，1）]，点[A（-1，3，0）]在[α]内，则[P（-2，1，4）]到[α]的距离为（ ）
A. [10] B. [3] C. [83] D. [103]
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 若向量[a=（1，λ，2）]，[b=（-2，1，1）]，[a，b]夹角的余弦值为[16]，则[λ=] .
12. 已知空间四边形[OABC]，点[M，N]分别是[OA，BC]的中点，且 [OA=a]， [OB=b]， [OC=c]，用[a，b，c]表示向量[MN]= .
13. 在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点[A1]到截面[AB1D1]的距离为 .
14. 给出命题：①若[a]与[b]共线，则[a]与[b]所在的直线平行；②若[a]与[b]共线，则存在唯一的实数[λ]，使[b=λa]；③若[A，B，C]三点不共线，[O]是平面[ABC]外一点， [OM]=[13OA]+[13OB]+[13OC]，则点[M]一定在平面[ABC]上，且在[△ABC]的内部. 其中真命题是 .
三、解答题（共4小题，44分）
15. （10分）设[a=（a1，a2，a3）]，[b=（b1，b2，b3）]，且[a≠b]，记[|a-b|=m]，求[a-b]与[x]轴正方向的夹角的余弦值.
16. （10分）如图所示，已知空间四边形[ABCD]的各边和对角线的长都等于[a]，点[M，N]分别是[AB，][CD]的中点.
（1）求证：[MN⊥AB]，[MN⊥CD]；
（2）求[MN]的长.
17. （12分）直三棱柱[ABC-A′B′C′]中，[AC=][BC=AA′]，[∠ACB=90°]，[D，E]分别为[AB，BB′]的中点.
（1）求证：[CE⊥A′D]；
（2）求异面直线[CE]与[AC′]所成角的余弦值.
18. （12分）如图1，四棱锥[P-ABCD]中，[PD⊥]底面[ABCD]，面[ABCD]是直角梯形，[M]为侧棱[PD]上一点. 该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示.
（1）证明：[BC⊥]平面[PBD]；
（2）证明：[AM]∥平面[PBC]；
（3）线段[CD]上是否存在点[N]，使[AM]与[BN]所成角的余弦值为[34]？若存在，找到所有符合要求的点[N]，并求[CN]的长；若不存在，说明理由.
[图1][图2][俯视图][侧（左）视图] [2][3][1] [4]
