导数几何意义的应用

导数几何意义的应用（推荐9篇）

导数几何意义的应用 篇1

例15（1）求曲线y= x11+ 在点(1,21)处的切线方程

（2）已知曲线（t为参数），求曲线在t=1处的法线方程。

....= += tarctanty)t1ln(x2

解（1）2)x1(1x11y+.= ′......+ =′，41)x1(1y1x21x.= +.=′ = =，即k= － 41，所以过（1，21）点的切线方程为：y-21= －

41(x-1)，即 x+4y-3=0

（2）2t])t1[ln()tarctant(dxdy2= ′+ ′.=，21dxdy1t= = ；即k法=-2，又t=1时，.....π.= = 41y0x ；

所以过切点(0,1-4π)的切线方程为：y-1+ 4π=-2(x-0)

导数几何意义的应用 篇2

一、曲线的切线与曲线的交点个数问题

好多学生认为曲线与其切线的交点有且只有一个, 且整条曲线在其切线的一侧, 其实这仅仅是比较特殊的曲线的一类情况, 比如圆与椭圆等, 其切线与圆或椭圆有且仅有一个交点, 且曲线在切线的一侧.而对于一般的曲线, 其在某点处的切线是否存在的依据不是交点的个数, 而是导数中曲线的切线的定义:设曲线C为函数y=f (x) 的图形, 在C上取一点M (x0, y0) 及邻近一点N (x0+Δx, y0+Δy) , 过M, N作曲线割线, 当点N沿着曲线无限接近M, 即Δx→0时, 割线MN的极限位置叫做曲线C上点M处的切线, 相应割线MN的斜率的极限就是点M处切线的斜率, 即undefined常数或∞, 则曲线y=f (x) 在点M (x0, y0) 处存在切线.

例1 求函数y=cosx在点 (π, -1) 处的切线方程.

解 根据导数的几何意义, 所求切线的斜率为

k=y′|x=π= (cosx) ′|x=π=0.

从而所求切线的方程为y- (-1) =0 (x-π) , 即y=-1.

而直线y=-1与曲线y=cosx有无数个交点.

例2 求曲线y=3x4-2x3-9x2+4在x=1处的切线方程.

解 y′=12x3-6x2-18x=6x (2x2-x-3) ,

y′|x=1=-12.

当x=1时, y=3-2-9+4=-4,

故切点坐标为 (1, -4) .

由点斜式得所求曲线的切线方程为y+4=12 (x-1) ,

即y=-12x+8.

而直线y=-12x+8与曲线y=3x4-2x3-9x2+4有三个交点且曲线分布在其切线的两侧.

二、函数y=f (x) 在x=x0处的可导性与它在x0处的切线的存在性问题

若函数y=f (x) 在点x0处可导, 则undefined存在, 且undefined, 所以切线的斜率存在, 切线自然存在;若undefined不存在, 即切线的斜率不存在, 此时可分为两种情况, 一是切线存在undefined, 为垂直于轴的直线, 二是切线不存在undefined

例3 求曲线undefined当x=0时的切线方程.

解undefined

当x=0时, undefined, 故切点坐标为 (0, 1) .

故切线方程为y-1=0 (x-0) , 即y=1.

∴切线的斜率存在, 切线自然存在.

例4 求曲线undefined在点 (0, 0) 处的切线方程.

解undefined

根据切线的定义, 此时斜率不存在, 故x=0是曲线undefined在点 (0, 0) 处的切线方程.

三、过点M (x0, y0) 的曲线的切线方程和在点M (x0, y0) 处的曲线的切线方程问题

这是一个极易混淆的问题, 过某点的切线中, 该点不一定是切点, 在某点处的切线中, 该点是切点, 所以求曲线的切线方程, 一要分清点是否在曲线上, 二要分清是求曲线在x=x0处的切线还是曲线过点M (x0, y0) 的切线.

例5 已知曲线undefined, 求过点M (2, 4) 的切线方程.

解 虽然M (2, 4) 在曲线undefined上, 但点M (2, 4) 不一定是切点, 题目只需切线过点M (2, 4) 即可.

设曲线undefined与过点M (2, 4) 的切线相切于点 (x0, y0) , 则k=y′|x=x0=xundefined,

∴切线方程为y-y0=xundefined (x-x0) , 即undefined

又 切线过点M (2, 4) ,

undefined, 解得x0=-1或x0=2.

故所求切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.

例6 求曲线y=x3过点P (1, 1) 的切线方程.

解 由于P点在曲线上, ∴要分类讨论.

当P是切点时, 切线斜率k=y′|x=1=3x2|x=1=3,

∴切线方程为y-1=3 (x-1) , 即3x-y-2=0.

当P不是切点时, 设切点为A (x, x3) (x≠1) ,

则切线斜率undefined, 即2x2-x-1=0.

解得undefined舍) .

undefined切线方程为undefined,

即3x-4y+1=0.

综上所述, 所求的切线方程为

3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

导数几何意义的应用 篇3

一、知识与能力

1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习，明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.

2.利用割线逼近的方法直观定义切线，概括导数的几何意义.

3.通过例题分类解析，让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法.

二、过程与方法

1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的动手和动脑的能力.

2.分类探究和分层练习，各种层次的学生都可以凭借自己的知识能力独立解决问题.

3.学生通过思考探究的3个问题，深化对切线定义的认知，小结形成求切线的步骤.

三、情感、态度与价值观

1.在探究过程中渗透极限思想，体验数形结合思想.

2.采用示范剖析、学生自主实践的方式，让学生理解和掌握基本数学技能、思想方法.

【教学重难点】

重点：理解和掌握切线的定义、导数的几何意义.

难点：体会数形结合、极限思想；利用导数的几何意义求曲线的切线.

【教学方法】分层探究、自主实践.

【教学过程】

一、回顾旧知，引入新课

1.师：平均变化率Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx的几何意义是什么？

生：割线的斜率.

2.函数在x=x0处的导数f′（x0）的定义：

f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx.

（即Δx→0，平均变化率趋于的确定常数就是该点导数.）

师：那么当Q点无限逼近P点时（Δx→0）即lim1Δx→0Δy1Δx，在图中又表示什么呢？今天我们就一起来探究导数的几何意义及应用.

二、引导探究，获得新知

1.动画演示，得到切线的新定义

已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ，动画演示Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ的变化趋势.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系？并体会从割线到切线的变化过程：

k割线=Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

↓

当 Q点无限逼近P点时，即Δx→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率.

↓

k切线=f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

学生观察，得出一般曲线的切线的定义：

曲线上Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ趋近于确定的位置PT，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

2.数形结合，概括导数的几何意义

导数f′（x0）的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即k=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx=f′（x0）.

三、分层解析，巩固理解

师：由导数的几何意义，我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题，接下来我们重点研究曲线求切线问题.

1.分类解析（四种常见的类型）

题型一：已知切点，求曲线的切线方程.

此类题只需求出曲线的导数得到斜率，并代入点斜式方程即可.

【例1】曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）.

A.y=3x-4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x-5

答案：B.

题型二：已知斜率，求曲线的切线方程.

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.

【例2】与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）.

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0

答案：D.

题型三：已知过曲线上一点，求切线方程.

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.

【例3】求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程.

题型四：已知过曲线外一点，求切线方程.

【变式训练】求函数y=x3-2x过点（0，16）的切线方程.

2.动手实践

【例4】已知曲线f（x）=x2+1.

（1）求曲线在点（2，5）处的切线方程；

（2）求曲线过点（2，-11）的切线方程.

3.方法总结

曲线y=f（x）“过”点P（x0，y0）与“在”点P（x0，y0）处的切线的区别：

①曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点，P点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条；

②曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f′（x0），有唯一的一条切线.那么如果切线斜率不存在时，又会怎么样呢？请看思考探究.

四、思考探究，深化理解

1.如果曲线y=f（x）在x0处的导数不存在，那么曲线y=f（x）在x0处还存在切线吗，若存在，是什么？

2.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？

3.说说曲线的切线定义与初中学习圆的切线定义有什么不同.

五、归纳总结，深化认识

1.知识：

（1）切线的定义；

（2）函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义.

2.思想：体会数形结合、极限等思想方法.

3.应用：

（1）“切点—斜率—切线”知一求二；

（2）学生归纳出求切线的一般步骤.

【教学反思】

本节课是高三第一轮的复习课，学生对导数的概念及其几何意义都有了一定的认识，但很多学生由于初学时对知识掌握不牢固或理解不到位，往往知其然，而不知其所以然.因此，本节课从导数概念的复习入手，利用多媒体技术动画展示从割线到切线的形成过程并概括导数的几何意义，既让学生理解了曲线切线的定义，又让学生明确了探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.利用数形结合思想方法让学生理解了割线通过无限逼近的方法，得到割线斜率的极限就是曲线在该点处的切线的斜率，深化了学生对导数几何意义的理解，突出了重点，突破了难点，更体现了新课程背景下对知识发生过程推导所占据的举足轻重的作用.

同时，为了适应高考对解题能力的要求，对导数几何意义的应用做了分类训练，便于学生理清思路，让学生在主动实践中归纳方法，举一反三，提高效率.通过“在”某点处和“过”某点的切线的对比，明确求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.最后，通过思考探究的3个问题的探讨，进一步深化对切线形成及导数几何意义的理解.

复数·复数的减法及其几何意义 篇4

教学目标

1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．

2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则．

难点：对复数减法几何意义理解和应用． 教学过程设计

（一）引入新课

师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．

（板书课题：复数减法及其几何意义）

（二）复数减法

师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书）1．复数减法法则

（1）规定：复数减法是加法逆运算；

（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推导这个法则呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（学生口述，教师板书）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 师：说一下这样推导的想法和依据是什么？

生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．

师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题． 生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．（学生口述，教师板书）

推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 师：这样推导每一步都有合理依据．

我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？ 生：仍是复数．

师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？ 生：不会． 师：这说明什么？

生：两个复数的差是唯一确定的复数．

师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）复数减法几何意义

师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？（板书：2．复数减法几何意义）生：用向量表示两个做减法的复数．（学生口述，教师板书）设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别

师：我们应该如何认识这个方程？（学生困惑，教师引导）

师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模． 师：有什么几何意义吗？

生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．（学生活跃起来，纷纷举手回答）

生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；（学生议论后，举手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．

师：这个动点轨迹是什么曲线呢？（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）生：是椭圆吧．

师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．

（学生在教师的提示下一起回答）生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆． 师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？

生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（学生议论后，举手回答）

生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线． 师：说的再准确些． 生：是双曲线右支．

师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．

例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求（1）复平面内圆的方程；（学生口述，教师板书）

解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．

师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．

（五）小结

师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．

（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9． 课堂教学设计说明

1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解． 2．对复数减法几何意义应分三个层次．

例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．

例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．

导数几何意义的应用 篇5

一、解析几何的建立一句话，科学的需要和对方法论的兴趣，推动了费尔马和笛卡尔对坐标几何的研究。费尔马，出身于商人家庭，学法律并以律师为职业，数学只是他的业余爱好。虽然他只能利用闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分做出了第一流的贡献。并同巴斯卡(Passcal)一同开创了概率论的研究工作，他和笛卡尔都是坐标几何的发明者。费尔马关于曲线的工作，是从研究古希腊几何学家，特别是阿波罗尼(Apollonius)开始的。阿波罗尼的《论平面轨迹》一书久已失传，而费尔马是把它重新写出来的人之一。他用代数来研究曲线。他说，他打算发起一个关于轨迹的一般研究，在这种研究是古希腊人没做到的。1629年他写了一本《平面和立体的轨迹引论》（1679年发表），书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法。费尔马的坐标几何研究怎样产生的，我们不知道，很可能把阿波罗尼的结果，直接翻译成代数的形式。他考虑任意曲线和它上面的一般点J，J的位置用A、E两个字母定出：A是从原点O沿底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离。它所用的坐标，就是我们现在的斜坐标。但是Y轴没有明白出现，而且不用负数，它的A，E就是我们现在的X,Y.费尔马把他的一般原理，叙述为“只要在最后的方程里出现两各未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端描绘出一条直线或曲线。”前文中对不同位置的E,其末端J,„„就把“线”描出，它的未知量A和E，实际是变数。或者可以说，联系A和E的方程是不定的。他写出联系A、E的各种方程，并指明它们所描绘的曲线。例如，他给出方程（用我们现在的写法就是）d x = b y，并指出这代表一条直线。他又给出d(a-x)= b y,并指出它也表示一条直线。方程p2-x2 = y2代表一个圆。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一条双曲线，x2 = ay代表一条抛物线，而且费尔马确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论：一个联系着A、E的方程，如果是一次的就代表直线，如果是二次的就代表圆锥曲线。笛卡尔，首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人、第一流的物理学家，同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师。笛卡尔大学毕业后去巴黎当律师，在那里他花了一年的时间，跟两位神甫一起研究数学。其后九年中，他曾在几个军队中服役，但他一直研究数学。在荷兰布莱达地方的招贴牌有一个挑战性的问题，被他解决了。这使他自信有数学才能，从而开始用心于数学。回到巴黎后，他为望远镜的威力所激动，又一心钻研光学仪器的理论和构造。1682年他32岁时移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，写出了著名的作品。1649年他被邀请去做瑞典女皇的教师，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四岁。1637年笛卡尔写的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书出版，这是一本文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：《几何》、《折光》和《陨星》。《几何》是他所写的唯一一本数学书，他关于坐标几何的思想，就包括在它的这本《几何》中。笛卡尔的其他著作有《思想的指导法则》，《世界体系》，《哲学原理》，《音乐概要》。笛卡尔是通过三个途径来研究数学的，作为一个哲学家，他把数学方法看作是在一切领域建立真理的方法来研究。作为自然科学的研究者，它广泛地研究了力学、水静力学、光学和生物学等各个方面，它的《几何》的一部分和《折光》都是讲光学的。作为一个关心科学用途的人，他强调把科学成果付之应用。在这一点上，他同希腊人明白地公开决裂。由于他注意到数学的力量，他就是要去寻找数学的用途。他不推崇纯粹数学，他认为数学不是思维训练，而是一门建设性的有用科学。他认为把数学方法用到数学本身是没有价值的，因为这不算是研究自然。那些为数学而搞数学的人，是白费精力的盲目研究者。笛卡尔对当时几何和代数的研究方法进行了分析和比较，他认为没有任何东西比几何图形更容易印入人的脑际了。因此用这种方式表达事物是非常有益的，但他对欧几里德几何中的每一个证明都要求某种新的往往是奇巧的想法，这一点深感不安。他还批评希腊人的几何过多地依赖于图形。他完全看到了代数的力量，看到他在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性，以及它把程序机械化和把解题工作量减小的价值。他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他对当时通行的代数也加以批评，说它完全受公式和法则的控制，不像一门改进思想的科学。因此它主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。它所作的工作就是把代数用到几何上去。在这里，他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识，就组成了联合力量，于是就产生了它的《几何》一书。在《几何》一书中，他开始仿照韦达(Vjeta)的方法，用代数解决几何作图题，后来才逐渐出现了用方程表示曲线的思想。在《几何》第一卷的前一半中，笛卡尔用代数解决的只是古典的几何作图题，这只不过是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义下的解析几何。下一步，笛卡尔考虑了不确定的问题，其结果可以有很多长度作为答案。这些长度的端点充满一条曲线。他说：“也要求发现并描出这条包括所有端点的曲线”。曲线的描出，根据于最后得到的不定方程，笛卡尔指出：对于每一个x，长度y满足一个确定的方程，因而可以画出。笛卡尔的做法，是选定一条直线作为基线，以点Ａ为原点，x值是基线上从Ａ量起一个线段的长度。y是由基线出发与基线作成一个固定角度的一个线段的长度。这个坐标系我们现在叫作斜角坐标系。笛卡尔的x、y只取正值，即图形在第一象限内。有了曲线方程的思想之后，笛卡尔进一步发展了它的思想。

1、曲线的次数与坐标轴的选择无关。2、同一坐标系中两个曲线的方程联立，可解出交点。3、曲线概念的推广，古希腊人说平面曲线是可以用直尺和圆规画出的曲线，而笛卡尔则排斥了这种认为只有用直尺和圆规画出的曲线才是合法的思想，他提出，那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程表示出的曲线，都是几何曲线。这样，例如蔓叶线（x3+y3-3a xy=0）和蚌线都被承认是几何曲线，其他如螺线等，笛卡尔称之为机械曲线

导数几何意义的应用 篇6

作为重点培养学生创新意识、实践能力的一种教学模式——“问题解决”的课堂教学模式越来越受到人们的重视。与此相关，设计出高潮迭起、充满吸引力、能提高学生思维训练的质量和水平的好问题，是教师在课堂教学中发挥主导作用的重要标志之一。所以，对于“向量数乘运算及其几何意义”这节课的教学内容，进行了以下处理：

在教学过程中努力将问题的难易程度落在学生的“最近发展区”，既不是太容易，学生不费劲就轻易够到而无所提高，又不能太难，学生怎么努力也毫无结果而丧失信心。同时，所选问题中所蕴涵的基础知识在发展中可以前后联系，可以与其他知识左右沟通，具有典型性。问题中还隐含有适当的“陷阱”，可以较好地暴露学生思维中的不足、方法中的欠缺、知识中的漏洞，帮助学生查漏补缺，以“误”养“正”；问题可以引发学生强烈的认知矛盾和冲突，给学生留下了深刻的印象与体验。

经过学生与课堂的教学实践，体会如下：

1、本节课的教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成四个步骤层次分明（1）引入定义（2）验证运算律（3）探究共线定理（4）共线定理的应用。教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

2、在教学过程中，学生用于探究的时间相对较少了点，同时在发现学生在向量的书写以及计算上还存在问题时，花了较多的时间让学生作过手训练，导致最后时间显得较为紧张。因此对于教学时间节奏的把握还不是特别的好，需要在以后的教学中多加打磨。

导数几何意义的应用 篇7

拉格朗日中值定理在数学分析中有着十分重要的地位.而对于拉格朗日中值定理的研究, 从分析方面看已经是很完备的了, 所以本文就从拉格朗日定理的几何角度来进一步挖掘此定理的价值, 即将数学分析与空间解析几何两大学科的思维方法有机结合在一起来解决研究中的实际问题.这样不仅拓展了解决问题的思维方法, 更进一步地完善了拉格朗日定理的理论体系.

2.拉格朗日定理及其几何意义

拉格朗日定理是罗尔定理的推广形式, 用分析的语言可叙述为下列形式.

拉格朗日 (Lagrange) 定理:若函数f (x) 满足下列条件:

(1) 在闭区间[a, b]连续, (2) 在开区间 (a, b) 可导.

则在 (a, b) 内至少存在一点c, 使undefined

当f (a) =f (b) 成立时, 拉格朗日定理即变成了罗尔定理.

下面我们来看一下这个定理的几何意义.

拉格朗日定理的几何意义:若闭区间[a, b]上有一条连续曲线y=f (x) , 曲线上每一点都存在切线, 则曲线上至少有一点M (c, f (c) ) , 过M点的切线平行于割线AB (如图1) .

下面我们从拉格朗日定理的几何意义入手来看这个定理.定理中的函数f (x) 的图像是一条光滑曲线, 它比罗尔曲线少了一个条件, 拉格朗日定理的结论是说在曲线上某一点处的切线斜率与起点A和终点B连接的线段平行 (如图1) .我们把曲线undefined变成罗尔曲线undefined, 同时把直线AB变到横轴上, 那么罗尔曲线undefined上有一点处M1的切线与横轴平行, 只要这种变换保持曲线的光滑性就可以得出拉格朗日定理的结论.

事实上, 直线AB的方程为undefined

把undefined和AB直线相减得出一条新的曲线undefined, 它的方程为undefined

记为undefined

则这条曲线undefined的方程为y=F (x) , 易知它是罗尔曲线.由罗尔曲线的结论得知在 (a, b) 内必存在一点c, 使

undefined

从而证明了拉格朗日定理, 而且说明了引进的辅助函数undefined

3.几何意义的应用——弦线法

由拉格朗日定理知, 若函数f (x) 在闭区间[a, b]连续, 在开区间 (a, b) 内可导,

则∀x1, x2∈[a, b], ∃ξ在x1, x2之间, 使得

undefined

即是说:曲线上任意两点的弦, 必与二点间某点的切线平行.我们正是可以利用这种几何意义进行思考解题.

例 设f (x) 是可微函数, 导函数f′ (x) 严格单调递增.若f (a) =f (b) (a

证明 任意取一点x∈ (a, b) , 要证f (x)

如图2, 作弦线AC, BC.

应用拉格朗日定理的几何意义, ∃ξ∈ (a, x) , η∈ (x, b) , 使得导数f′ (ξ) , f′ (η) 分别等于AC, BC弦的斜率.

但因f′ (x) 严格单调递增, 所以f′ (ξ)

这就得到了 (AC弦的斜率) < (BC弦的斜率) :

undefined

这便得到关于函数值的不等式.

导数几何意义的应用 篇8

A（a，b），B（c，d），则|z1-z2|=|AB|=.让我们一起来看几个关于两复数的差的模的几何意义在解析几何中的常见应用.

应用一：求点的轨迹

例1 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z-（3+4i）|=2；

（2） 2＜|z-（3+4i）|＜3；

（3） |z-1+i|=|z+5+6i|；

（4） |z-1|+|z+1|=4；

（5） |z-1|+|z+1|=2；

（6） |z-2i|-|z+2i|=4；

（7） |z-2i|-|z+2i|=3.

解 设复数z对应的点Z为（x，y）.

（1） 即动点Z（x，y）和3+4i对应的点（3，4）之间的距离为2，即轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆.

（2） 轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆的外部和以（3，4）为圆心，3为半径的圆的内部，即轨迹是圆环，但不包括边界.

（3） 即动点Z（x，y）到定点（1，-1）和定点（-5，

-6）的距离相等，即轨迹是以定点（1，-1）和定点（-5，

-6）为端点的线段的垂直平分线.

（4）即动点Z（x，y）到定点（1，0）和定点（-1，0）的距离之和是4，又4大于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为焦点且长轴长是4的椭圆.

（5） 即动点Z（x，y）到定点A（1，0）和定点B（-1，0）的距离之和是2，又2等于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为端点的线段.

（6）即动点Z（x，y）到定点A（0，2）和定点B（0，-2）的距离之差是4，又4等于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）为端点的一条射线（与同向共线）.

（7） 即动点Z（x，y）到定点（0，2）和定点（0，-2）的距离之差是3，又3小于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）和定点（0，-2）为焦点且实轴长为3的双曲线的下支.?摇

点评 一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则复数z对应的点Z的轨迹如下：

① 若|z-z1|=r，则为圆；

② 若r1＜|z-z1|＜r2，则为圆环，但不包括边界；

③ 若|z-z1|=|z-z2|，则为垂直平分线；

④ 若|z-z1|+|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；

⑤ 若|z-z1|-|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB时，为双曲线的一支.

应用二：求轨迹图形的面积

例2 已知复数z同时满足|z|≤2和|z+2i|≤2，求复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积.

解 所求的图形是以（0，0）为圆心，2为半径的圆面和以（0，-2）为圆心，2为半径的圆面的公共部分，如右图.

由x2+y2=4，x2+（y+2）2=4，解得交点为（，-）和（-，-2+），

所以S=（y2-y1）dx=[-2+-（-）]dx=-2.

另解 易知∠AOB=120°，扇形AOB的面积和三角形AOB的面积的差的2倍即为所求图形的面积.

应用三：探索动（含参）轨迹是否过定点

例3 已知复数z满足|z-t-it2|=，t是实数，问复数z在复平面内对应的点的轨迹是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，说明理由.

解 因为等式右边大于零，所以轨迹是以（t，t2）为圆心，为半径的动圆，方程为x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0，整理为（x2+y2-4）+（4-2x）t-2yt2=0，要想此方程对任意实数t恒成立，则x2+y2-4=0且4-2x=0且-2y=0，解得x=2，y=0，所以轨迹过定点，且定点坐标为（2，0）.

应用四：求模的值

例4 已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1，求|z1-z2|的值.

解 设复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，则OACB为平行四边形.

由题设及几何意义，知|OA|=|OB|=|OC|=1，|z1-z2|=|AB|，则△OAC为等边三角形，则∠OAC=60°，所以∠AOB=180°-60°=120°.

在△AOB中，由余弦定理知|z1-z2|=|AB|=.

点评 在△AOB和△AOC中分别由余弦定理及几何意义，可得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）.

应用五：求模的最值

例5 （1） 已知|z|=1，求|z-3-4i|的最大值和最小值.

（2） 已知|z+1+i|=|z-1+i|，求|z-2-3i|的最小值.

（3） 已知|z+i|+|z-i|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.

（4） 已知|z-2|+|z+2|=6，求|z+2|的最小值和最大值.

（5） 已知|z-1|=|z-i|，求：①|z-2-i|+|z-1|的最小值；②|z-2-i|-|z-1|的最大值.

解 （1） 就是求单位圆上的点到点（3，4）的距离的最大值和最小值，故最大值为6，最小值为4.

（2） 就是求以（-1，-1）和（1，-1）为端点的线段的垂直平分线，即y轴上的点到点（2，3）的距离的最小值，故为2.

（3） 就是求以（0，1）和（0，-1）为端点的线段上的点到点（-1，-1）的距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为1.

（4） 就是求以（2，0）和（-2，0）为焦点且实轴长为6的椭圆上的点到左焦点（-2，0）的距离的最小值和最大值，故最小值为1，最大值为5.

（5） 复数z对应的点Z的轨迹是以（1，0）和（0，1）为端点的线段的垂直平分线，方程为y=x.

① 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之和的最小值.设B关于直线y=x的对称点是B1（0，1），则ZA+ZB=ZA+ZB1≥AB1，当且仅当Z，A，B1三点共线时，取得最小值AB1=2；

② 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之差的最大值.ZA-ZB≤AB，当且仅当Z，A，B三点共线时，取得最大值AB=.

点评 对于（5），求和的最小值时，一般把两点转化在直线的异侧；求差的最大值时，一般把两点转化在直线的同侧.

应用六：证明模的不等式

例6 已知复数z1，z2，求证：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|

+|z2|.

解 设复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，由几何意义知|z1-z2|=|AB|，|z1|=|OA|，|z2|=|OB|.

当，同向共线时，左边不等式取等号；

当，异向共线时，右边不等式取等号；

当，不共线时，O，A，B组成三角形，由三角形中两边之和大于第三边，得|OA|+|OB|＞|AB|，即|z1|+

|z2|＞|z1-z2|；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边，得||OA|-|OB||＜|AB|，即||z1|-|z2||＜|z1-z2|.由传递性可得||z1|-|z2||＜|z1-z2|＜|z1|+|z2|.

综上所述，原不等式成立.

点评 同理，可证得||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

应用七：求参数的范围

例7 已知z1=1+2ai，z2=a-i，A={z||z-z1|≤1}，B={z||z-z2|≤2}，且A∩B=?堙，求实数a的范围.

解 集合A是以C（1，2a）为圆心，1为半径的圆上及内部的点的集合，集合B是以D（a，-1）为圆心，2为半径的圆上及内部的点的集合，由已知得两圆外离，故|CD|＞1+2，即a＞1或a＜-.

应用八：求复数的值例8 已知复数z满足|z-5i|=|z-1+2i|=|z+3+4i|，求复数z.

解 因为复数z在复平面内对应的点Z到三定点A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）的距离相等，所以点Z应是两条垂直平分线的交点.由BC垂直平分线方程2x+y+5=0和AC垂直平分线方程x+3y=0，得点Z的坐标为（-3，1），即z=-3+i.

点评 点Z实际上是△ABC的外接圆的圆心.

两个复数的差的模的几何意义是：复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的点分别是

A（a，b），B（c，d），则|z1-z2|=|AB|=.让我们一起来看几个关于两复数的差的模的几何意义在解析几何中的常见应用.

应用一：求点的轨迹

例1 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z-（3+4i）|=2；

（2） 2＜|z-（3+4i）|＜3；

（3） |z-1+i|=|z+5+6i|；

（4） |z-1|+|z+1|=4；

（5） |z-1|+|z+1|=2；

（6） |z-2i|-|z+2i|=4；

（7） |z-2i|-|z+2i|=3.

解 设复数z对应的点Z为（x，y）.

（1） 即动点Z（x，y）和3+4i对应的点（3，4）之间的距离为2，即轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆.

（2） 轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆的外部和以（3，4）为圆心，3为半径的圆的内部，即轨迹是圆环，但不包括边界.

（3） 即动点Z（x，y）到定点（1，-1）和定点（-5，

-6）的距离相等，即轨迹是以定点（1，-1）和定点（-5，

-6）为端点的线段的垂直平分线.

（4）即动点Z（x，y）到定点（1，0）和定点（-1，0）的距离之和是4，又4大于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为焦点且长轴长是4的椭圆.

（5） 即动点Z（x，y）到定点A（1，0）和定点B（-1，0）的距离之和是2，又2等于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为端点的线段.

（6）即动点Z（x，y）到定点A（0，2）和定点B（0，-2）的距离之差是4，又4等于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）为端点的一条射线（与同向共线）.

（7） 即动点Z（x，y）到定点（0，2）和定点（0，-2）的距离之差是3，又3小于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）和定点（0，-2）为焦点且实轴长为3的双曲线的下支.?摇

点评 一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则复数z对应的点Z的轨迹如下：

① 若|z-z1|=r，则为圆；

② 若r1＜|z-z1|＜r2，则为圆环，但不包括边界；

③ 若|z-z1|=|z-z2|，则为垂直平分线；

④ 若|z-z1|+|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；

⑤ 若|z-z1|-|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB时，为双曲线的一支.

应用二：求轨迹图形的面积

例2 已知复数z同时满足|z|≤2和|z+2i|≤2，求复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积.

解 所求的图形是以（0，0）为圆心，2为半径的圆面和以（0，-2）为圆心，2为半径的圆面的公共部分，如右图.

由x2+y2=4，x2+（y+2）2=4，解得交点为（，-）和（-，-2+），

所以S=（y2-y1）dx=[-2+-（-）]dx=-2.

另解 易知∠AOB=120°，扇形AOB的面积和三角形AOB的面积的差的2倍即为所求图形的面积.

应用三：探索动（含参）轨迹是否过定点

例3 已知复数z满足|z-t-it2|=，t是实数，问复数z在复平面内对应的点的轨迹是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，说明理由.

解 因为等式右边大于零，所以轨迹是以（t，t2）为圆心，为半径的动圆，方程为x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0，整理为（x2+y2-4）+（4-2x）t-2yt2=0，要想此方程对任意实数t恒成立，则x2+y2-4=0且4-2x=0且-2y=0，解得x=2，y=0，所以轨迹过定点，且定点坐标为（2，0）.

应用四：求模的值

例4 已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1，求|z1-z2|的值.

解 设复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，则OACB为平行四边形.

由题设及几何意义，知|OA|=|OB|=|OC|=1，|z1-z2|=|AB|，则△OAC为等边三角形，则∠OAC=60°，所以∠AOB=180°-60°=120°.

在△AOB中，由余弦定理知|z1-z2|=|AB|=.

点评 在△AOB和△AOC中分别由余弦定理及几何意义，可得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）.

应用五：求模的最值

例5 （1） 已知|z|=1，求|z-3-4i|的最大值和最小值.

（2） 已知|z+1+i|=|z-1+i|，求|z-2-3i|的最小值.

（3） 已知|z+i|+|z-i|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.

（4） 已知|z-2|+|z+2|=6，求|z+2|的最小值和最大值.

（5） 已知|z-1|=|z-i|，求：①|z-2-i|+|z-1|的最小值；②|z-2-i|-|z-1|的最大值.

解 （1） 就是求单位圆上的点到点（3，4）的距离的最大值和最小值，故最大值为6，最小值为4.

（2） 就是求以（-1，-1）和（1，-1）为端点的线段的垂直平分线，即y轴上的点到点（2，3）的距离的最小值，故为2.

（3） 就是求以（0，1）和（0，-1）为端点的线段上的点到点（-1，-1）的距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为1.

（4） 就是求以（2，0）和（-2，0）为焦点且实轴长为6的椭圆上的点到左焦点（-2，0）的距离的最小值和最大值，故最小值为1，最大值为5.

（5） 复数z对应的点Z的轨迹是以（1，0）和（0，1）为端点的线段的垂直平分线，方程为y=x.

① 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之和的最小值.设B关于直线y=x的对称点是B1（0，1），则ZA+ZB=ZA+ZB1≥AB1，当且仅当Z，A，B1三点共线时，取得最小值AB1=2；

② 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之差的最大值.ZA-ZB≤AB，当且仅当Z，A，B三点共线时，取得最大值AB=.

点评 对于（5），求和的最小值时，一般把两点转化在直线的异侧；求差的最大值时，一般把两点转化在直线的同侧.

应用六：证明模的不等式

例6 已知复数z1，z2，求证：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|

+|z2|.

解 设复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，由几何意义知|z1-z2|=|AB|，|z1|=|OA|，|z2|=|OB|.

当，同向共线时，左边不等式取等号；

当，异向共线时，右边不等式取等号；

当，不共线时，O，A，B组成三角形，由三角形中两边之和大于第三边，得|OA|+|OB|＞|AB|，即|z1|+

|z2|＞|z1-z2|；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边，得||OA|-|OB||＜|AB|，即||z1|-|z2||＜|z1-z2|.由传递性可得||z1|-|z2||＜|z1-z2|＜|z1|+|z2|.

综上所述，原不等式成立.

点评 同理，可证得||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

应用七：求参数的范围

例7 已知z1=1+2ai，z2=a-i，A={z||z-z1|≤1}，B={z||z-z2|≤2}，且A∩B=?堙，求实数a的范围.

解 集合A是以C（1，2a）为圆心，1为半径的圆上及内部的点的集合，集合B是以D（a，-1）为圆心，2为半径的圆上及内部的点的集合，由已知得两圆外离，故|CD|＞1+2，即a＞1或a＜-.

应用八：求复数的值例8 已知复数z满足|z-5i|=|z-1+2i|=|z+3+4i|，求复数z.

解 因为复数z在复平面内对应的点Z到三定点A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）的距离相等，所以点Z应是两条垂直平分线的交点.由BC垂直平分线方程2x+y+5=0和AC垂直平分线方程x+3y=0，得点Z的坐标为（-3，1），即z=-3+i.

点评 点Z实际上是△ABC的外接圆的圆心.

1. 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z+5-6i|=|z-1+2i|；

（2） |z-3+i|=2；

（3） |z-i|+|z+i|=4；

（4） |z-i|+|z+i|=2；

（5） |z-i|-|z+i|=2；

（6） |z-i|-|z+i|=1.

2. （1） 已知|z+1-i|=1，求|z|的最值；

（2） 已知|z-i|≤1，求|z+4+2i|的最值；

（3） 已知|z-1-2i|=|z-1+2i|，求|z+5+3i|的最小值.

3. 设集合A={（x，y）|（x+2）2+（y-3）2≤4}，B=（x，y）|（x+1）2+（y-m）2＜，且A∩B=B，求实数m的取值范围.

1. （1）直线（垂直平分线）；（2） 圆；（3） 椭圆；（4） 线段；（5） 射线；（6） 双曲线的下支.

2. （1） 最大值为+1，最小值为-1；（2） 最大值为6，最小值4；（3）3.

3. 3-≤m≤3+.1. 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z+5-6i|=|z-1+2i|；

（2） |z-3+i|=2；

（3） |z-i|+|z+i|=4；

（4） |z-i|+|z+i|=2；

（5） |z-i|-|z+i|=2；

（6） |z-i|-|z+i|=1.

2. （1） 已知|z+1-i|=1，求|z|的最值；

（2） 已知|z-i|≤1，求|z+4+2i|的最值；

（3） 已知|z-1-2i|=|z-1+2i|，求|z+5+3i|的最小值.

3. 设集合A={（x，y）|（x+2）2+（y-3）2≤4}，B=（x，y）|（x+1）2+（y-m）2＜，且A∩B=B，求实数m的取值范围.

1. （1）直线（垂直平分线）；（2） 圆；（3） 椭圆；（4） 线段；（5） 射线；（6） 双曲线的下支.

2. （1） 最大值为+1，最小值为-1；（2） 最大值为6，最小值4；（3）3.

高三数学教案：导数的概念及应用 篇9

高考考纲透析：（理科）

(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。（文科）

(1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几何意义。(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

高考风向标：

导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

高考试题选：

1.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能 的是（）

x2.设曲线ye(x≥0）在点M（t,e--t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.23.已知a为实数，f(x)(x4)(xa)，（Ⅰ）求导数f(x)；（Ⅱ）若f(1)0，求f(x)在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若f(x)在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.热点题型1: 函数的最值

已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：（I）f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

变式新题型1：

已知f(x)ax36axb,x[1,2]的最大值为3，最小值为29，求a,b的值。

解题分析：对a的符号进行分类讨论，比较区间端点函数值及极值点的大小。

热点题型2: 函数的极值

已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.（1）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程.（1）解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即

3a2b30，3a2b30.解得a1,b0.∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1).令f(x)0，得x1,x1.若x(,1)(1,)，则f(x)0，故

f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数.若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数.所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.（2）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上.3设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0x03x0.2因f(x0)3(x01)，故切线的方程为yy03(x01)(xx0)

2注意到点A（0，16）在切线上，有

32316(x03x0)3(x01)(0x0)

化简得x08，解得x02.所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.变式新题型2：

322已知f(x)xaxbxc和g(x)x3x2若yf(x)在点x1处有极值，且

曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线。（1）求a,b,c的值，（2）求yf(x)在R上的极大值和极小值。

解题分析：关健点是：曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线构造两个方程。

热点题型3: 函数的单调性

(理科)已知函数f(x)

简明答案：（Ⅰ）f(x)ax6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.x2b（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.2x6；

（Ⅱ）f(x)在(,323)和(323,)上是减函数，2x3在(323,323)上是增函数。

（文科）已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70（.Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调区间.简解：（Ⅰ）f(x)x33x23x2，（Ⅱ）f(x)x3x3x2在(,12)和(12,)上是增函数，在32(12,12)上是减函数。

变式新题型3：

42已知函数f(x)axbxc的图象经过点（0,1），且在x1处的切线方程是yx2，（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的单调递增区间。

解题分析：关健点是：在x1处的切线方程是yx2构造两个方程。

热点题型4: 分类讨论在导数中应用

已知aR，函数f(x)x2|xa|。

（1）当a2时，求使f(x)x成立的x的集合；（2）求函数yf(x)在区间[1,2]上的最小值。解：（1）由题意，f(x)x|x2|

2当x2时，f(x)x(2x)x，解得x0或x1； 2当x2时，f(x)x(x2)x，解得x122

综上，所求解集为{0,1,12}；（2）设此最小值为m

32①当a1时，在区间[1,2]上，f(x)xax

2a0,x(1,2)3则f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以mf(1)1a； 因为f(x)3x2ax3xx2 ②当1a2时，在区间[1,2]上，f(x)x2|xa|0，则f(a)0知

mf(a)0；

③当a2时，在区间[1,2]上，f(x)ax2x3，f(x)2ax3x23x2ax 3若a3，在区间(1,2)内f(x)0，从而f(x)为区间[1,2]上的增函数，由此得：

mf(1)a1；

若2a3，则1当1x2a2 322a时，f(x)0，从而f(x)为区间1,a上的增函数； 3322当ax2时，f(x)0，从而f(x)为区间a,2上的减函数 33因此，当2a3时，mf(1)a1或mf(2)4(a2)；

7当2a时，4(a2)a1，故m4(a2)

37a3时，a14(a2)，故ma1 31a,当a1时0,当1a2时综上所述，所求函数的最小值m4(a2),当2a7时

3a1,当a7时3当变式新题型4：

已知aR，求函数f(x)x2eax的单调区间。

备选题：

已知a > 0，函数f(x)= x3 – a，x∈[0，+)．设x1 > 0，记曲线y = f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）．证明：

（ⅰ）x2≥1a3；（ⅱ）若x1>

1a3，则

1a3< x2 < x1．

（Ⅰ）解：求f(x)的导数：f(x)= 3x2，由此得切线l的方程：

3a)= 3x12(xx1)． y –(x1

（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y = 0，33x1a2x1ax2 = x1 –，3x123x12113

（ⅰ）x2a2(2x1a3x12a3)=2(x1a3)2(2x1a3)≥0，3x13x113111 所以

x2≥a，当且仅当x1 =a时等号成立．

13113133x1a