几何证明专题训练

几何证明专题训练（精选10篇）

几何证明专题训练 篇1

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO.求证：

CD=GF.(初二)

2已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=150.求证：△PBC是正三角形.(初二)

4已知：如图，在四边形

ABCD

中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：∠DEN=∠F.5已知：△ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O为外心，且OM

⊥BC于M.(1)求证：AH=2OM;(2)若∠BAC=600，求证：AH=AO.(初二)

设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ.如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设

MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交

MN于P、Q。

求证：AP=AQ.如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形

CBFG，点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与

CD相交于F.求证：CE=CF.(初二)

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且

CE=CA，直线EC交DA延长线于F.求证：

AE=AF.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE.求证：PA=PF.(初二)

如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D.求证：AB=DC，BC=AD.(初三)

已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求：∠APB的度数.(初二)

设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠

PDA.求证：∠PAB=∠PCB.(初二)

设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)

平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE=CF.求证：∠DPA=∠DPC.(初二)

设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：≤L<2。

已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值。

P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长。

如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=300，∠EBA=200，求∠BED的度数.某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y(单位：千米)与所用

时间

x(单位：小时)的函数图象.已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时。

(1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y(千米)与所用时间x(小时)的函数图象。

(2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)。(3)求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程。

如图9，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为(40)(02)AC，、，D为OA的中点.设点P是AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等;

(2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过OPD、、三点的抛物线的解析式;

(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE△的周长最小?求出此时点P的坐标和PDE△的周长;

几何证明专题训练 篇2

BE

4.(2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

B

图

14．（福建19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

20．（全国Ⅱ20）（本小题满分12分）

如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC．

平面BED；（Ⅰ）证明：AC

1DA1

A

10.如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C 

0。

2

（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1AABAC2AC112，D为BC中点．（Ⅰ）证明：平面A1AD平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面

为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：ACPB；（Ⅱ）求证：PB//平面AEC12．（天津•理•19题）如图，在四棱锥PABCD中，PA，ACCD，ABC60°，底面ABC，ABADP

B

C

PAABBC，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明CDAE；

（Ⅱ）证明PD平面ABE；

A

B

2013年四边形证明专题训练 篇3

1、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：DE＝BF2、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，•证明:四边形BFDE是平行四边形．

3、已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．

4、已知：如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF。求证：DE＝BF。（12分）

（1）求证：BE＝ DF；

（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．

6、平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.(1)图中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?

(2)若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.5、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．

A

D

B7、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE，则图中的平行四边形有哪些？说说你的理由．

8、如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E是边DA的延长线上一点, 且AE=AD,连结EC,分别交AB,BD于点

F,G,证明:AF=BF.9、已知：在□ABCD中，∠A的角平分线交CD于E，若DE:EC3:1，AB的长为8，求BC的长。

10、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G.（1）求证：AF=GB;（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰三角形，并说明理由。

E

A

FB

D

C

A B11、已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，•求证：•四边形EFGH是矩形．

12、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE 求证：（1）△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A＝90时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你判断的结论。

13、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.14、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.15、已知：如图ABC中，AD是BAC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB。证明：四边形AEDF是菱形。对于这道题，小林是这样证明明的。证明：因为AD平分BAC，所以∠1＝∠2,因为DE∥AC，所以∠2＝∠

3因为DF∥AB，所以∠1＝∠4 又AD=AD,所以△AED≌△AFD.所以AE＝AF,DE=DF.所以四边形AEDF是菱形.老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？

⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因）⑵请你帮小林做出正确的解答。

16、如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于E点，∠DAC的平分线交CD于点N，证明四边形AMNE是菱形。

17、如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD延长线分别交于E、F.(1)证明:△BOE≌△DOF.(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,为什么?

A

BF

A

BCD18、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。

P

Q

A

M

D19、如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm．求：

（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．

B

N

C

A

O

B

D

C20、（2011年江西省）如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0，4)，B(－3，0)．(1)求点D的坐标；(2)求经过点C的反比例函数解析式．

21、已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

（1）求四边形CEFB的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若BEC15，求AC的长．

几何证明专题训练 篇4

1.如图，在半径为7的圆O中，弦AB、CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD

＝1，求圆心O到弦CD的距离．

解：连结OD，取CD的中点M.则圆心O到弦CD的距离为OM.4＋15由相交弦定理得PA·PB＝DP·PC，解得PC＝4，所以MD＝＝.2

25233所以OM＝OD2－MD2＝7－＝＝.242

2.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若

CEAB＝3AD，求的值． EO

AB221解：设圆的半径为R，则AD＝＝R，OD＝R－R＝R.又OD2＝OE·OC，所以OE333

3OD2118CE＝＝R，CE＝R－R＝R，所以＝8.OC999EO

3.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，分别求PD、AB的值．

解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD＝9x，DB＝16x.因为PA为圆O的切线，所以PA2＝PDPB，11所以32＝9x(9x＋16x)，化为x2＝，所以x＝.25

59所以PD＝9x＝，PB＝25x＝5.5

因为AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，所以AB⊥PA.所以AB＝PB2－PA2＝52－32＝4.4.如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的值．

解：连结OA，则∠AOC＝60°，∠OAP＝90°，因为OA＝1，所以PA＝3.5.自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵ PA与圆相切于A，PMMB＝.MC

PM

∴ MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，∴ PM＝MA，∴ PM2＝MB·MC，∴ ∵ ∠BMP＝∠PMC，∴ △BMP∽△PMC，∴ ∠MCP＝∠MPB.16.如图，圆O的两条弦AC、BD互相垂直，OE⊥

AB，垂足为E，求证：OE＝CD.证明：连结AO并延长交圆O于F，则AF为圆O的直径，连结BF、CF，则∠ABF＝

∠ACF＝90°.∵ OE⊥AB，又O为AF的中点，∴ E为AB的中点，∴ OE＝BF.∵ ∠

︵︵

1ACF＝90°，∴ AC⊥CF.又AC⊥BD，∴ BD

∥CF，则DC＝BF，∴ DC＝BF，∴ OE＝CD.7.如图，AB是圆O的直径，C、F为圆O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.求证：DC是圆O的切线．

证明：连结OC，所以∠OAC＝∠OCA.又CA平分∠BAF，所以∠OAC＝∠FAC，所以∠FAC＝∠OCA，所以OC∥AD.又CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以DC是圆O的切线．

8.如图，圆O1与圆O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E.求证：AB·CD＝BC·DE.证明：因为A、M、D、N四点共圆，所以AC·CD＝MC·CN.同理，有BC·CE＝MC·CN，所以AC·CD＝BC·CE，即(AB＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，所以AB·CD＝BC·DE.9.如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交CD的延长线于点P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；(2)求证：BE＝EF.(1)解：∵ PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴ PD＝4.又PC＝ED＝1，∴ CE＝2.∵ ∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，PCAC

∴ △PAC∽△CBA，∴ ＝，ACAB

∴ AC2＝PC·AB＝2，∴ AC＝2.(2)证明：∵ BE＝AC2，CE＝2，而CE·ED＝BE·EF，2×

1∴ EF＝2，∴ EF＝BE.10.如图，AB是圆O的直径，D、E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC、AE、DE.求证：∠E＝∠C.证明：连结AD.∵ AB是圆O的直径，∴ ∠ADB＝90°.∴ AD⊥BD.∵ BD＝DC，∴ AD是线段BC的中垂线． ∴ AB＝AC.∴ ∠B＝∠C.又∵ D、E为圆上位于AB异侧的两点，∴ ∠B＝∠E.∴ ∠E＝∠C.11.如图所示，AB是圆O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AB的垂线交AC的延长线于点E、交AD的延长线于点F，过G作圆O的切线，切点为H.求证：

(1)C、D、F、E四点共圆；(2)GH2＝GE·

GF.证明：(1)如图，连结BC.∵ AB是圆O的直径，∴ ∠ACB＝90°.∵ AG⊥FG，∴ ∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴ ∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC＝∠AEG.∴ ∠FDC＋∠CEF＝180°.∴ C、D、F、E四点共圆．

(2)∵ GH为圆O的切线，GCD为割线，∴ GH2＝GC·GD.由C、D、F、E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，GCGE

∴ △GCE∽△GFD.∴，GFGD

即GC·GD＝GE·GF，∴ GH2＝GE·

几何证明计算题 篇5

1、如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，2、CF∥AE交DG于F.（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）求证：AE=FC+EF.2、如图2，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G.（1）求证：ADE≌CDE；

（2）过点C作CHCE，交FG于点H，求证：FHGH；

（3）设AD1，DFx，试问是否存在x的值，使ECG为等腰三角形，若存在，请求出x的A

D

值；若不存在，请说明理由.E

F

B

C

H

G

图

23、如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线

BC上，且PE=PB.（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.4、如图4-1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；

（2）如图4-2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.F

30°

D

B E 图

3C

D D

B

H

B5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形． D A（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当ABDC时，求证:□ABCD是矩形．C B

图4-1 图4-

26、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．

（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ A

E FM N

B DC

7、如图-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC

边上的点，且AEEF，BE2.（1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理

由；

（3）在图-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证

明；若不存在，请说明理由．

P F

B E C B E C8、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BDDF，G为DF中图-1 交BC于F，连接图-2 点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）

中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论

是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D D

图②

图③ 图①

9、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于

点N．

（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；

（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．

试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

M（图25-1）B B（图25-2）A10、已知△ABC中，ABAC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD，连

结DE．

（1）如图1，当BAC120，DAE60时，求证：DEDE．

（2）如图2，当DEDE时，DAE与BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

（3）如图3，在（2）的结论下，当BAC90，BD与DE满足怎样的数量关系时，△DEC

是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．

DD D

B DC B B E D E D E 图3 图1 图

211、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M 点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置

D 时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．

N

C M第22题

12、图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．

（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．

（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理

由．

EB B①

②

13、（1）观察与发现:小明将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． A A

F

图① 图②

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图 ④）； 再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．

E D A DA D A

DC C B B C F  F图③ 图④ 图⑤

14、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.MN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；①当点N在线段AD上时（如图2），△P

若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A A A D D DNF F F

B C B C B C MM 图1 图2 图

3D A D（第25题）A

F F

B C B C图5（备用）图4（备用）

15、如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点

F.（1）求证：DE－BF = EF．

（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

A D

A D

E

FB C CG G B

图①

初中几何证明题 篇6

证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;

又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)

连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点

延长LM至E，使LM＝ME。

∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。

延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。

∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。

由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。

由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。

由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。

∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。

(3)如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交

AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ

取BC中点为H

连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点

由于H，F均为中点

易得：

HM‖AC,HN‖AB

HF=CE/2,HG=BD/

2得到：

∠BMH=∠A

∠CNH=∠A

又：BD=CE

于是得：

HF=HG

在△HFG中即得：

∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：

∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：

∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

即证得：

∠APQ=∠AQP

在△APQ中易得到： AP=AQ

(4)ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123

41234

已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。

设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；

则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。

设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。

由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；

由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；

∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；

又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。

设OM和圆O相交于点D，连接AD。

∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。

∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。

设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，OE⊥EC，OD⊥DC，则CDOE四点共圆，由圆周角定理，∠ODE=∠OCE。

CF⊥FC，AD⊥DC，则ACDF四点共圆，由圆周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。

其他同理。

平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA

过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH

∴四边形AHPD是平行四边形

∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//=BC

∴HP//=BC

∴四边形PHBC是平行四边形

∴∠PHB=∠PCB

又∠PAB=∠PCB

∴∠PAB=∠PHB

∴A、H、B、P四点共圆

∴∠PHA=∠PBA

∴∠PBA＝∠PDA

补充：

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）

只说左边2式子 其他一样

OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得

(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简

得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)

移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0

即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直

同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心

设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．

作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，从而△HCD≌△GCD．

故CH=GC．

又显然有∠BAP=∠DAC，从而GC=BP．

从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．

初三数学几何证明 篇7

1、△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数为（）

A35°B40°C70°D110°

2、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）

A1 个B2 个C3个D不确定

3、适合条件∠A =∠B =1∠C的三角形一定是（）

3A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D任意三角形

4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）

A①②④B②④C①④D②③

5、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）

AAD＝AEB∠AEB＝∠ADC CBE＝CDDAB＝AC

E

A(第5题图)(第6题图)

6、如图，⊿ABC⊿FED，那么下列结论正确的是（）

AEC = BDBEF∥AB

CDE = BDDAC∥ED7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）

A17B22C13D17或228、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（）

A必定全等B必定不全等C不一定全等D以上答案都不对

9、以下命题中，真命题的是（）

A两条直线相交只有一个交点B同位角相等

C两边和一角对应相等的两个三角形全等D等腰三角形底边中点到两腰相等

10、面积相等的两个三角形（）

A必定全等B必定不全等C不一定全等D以上答案都不对

二、耐心填一填：

11、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是.12、⊿ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A + ∠

B还大12，那么∠B =度

13、在方格纸上有一三角形ABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是三角形

.(第12题图)(第13题图)

第 19页

14、如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB。

15、等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是cm.16、在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：

17、在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是.18、已知⊿ABC中，∠A = 90，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC =

三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

19、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，求∠ABC的度数是

20、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD

∶

DC=

2∶1，BC=7.8cm，求D到AB的距离

21、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC

第 20页 022、已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.23、已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE.求证：BE=CE．

四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题

8分，共

16分）

24、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.第 21页

25、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.26、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点F。

(1)求证：AN=BM；

(2)求证： △CEF

为等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）

“奇葩证明”危害几何 篇8

“开证明”已是人们日常办事必不可少的环节，社保、住房、养老、就业、上学、入托、参军、转业……大大小小的生活事务，都离不开“一纸证明”。然而，类似证明“你妈是你妈”“菜刀确实已经丢失”等“奇葩证明”，不仅让人啼笑皆非，甚至会直接、间接地产生多方面的负面影响。

加重群众负担。据《人民日报》报道，湖北省恩施土家族苗族自治州一名准备出国打工的中年男子就曾遭遇这样一次“欲哭无泪”的“奇葩证明”

――在他需要办理的各种手续中，包括一项出生证明公证，而办理该公证需要提供父母的结婚证。可该男子的母亲年过七旬，父亲亡故，结婚证早已遗失。为此，该男子跑了一星期、花费数千元，公证依然没有办下来。

据新华社组织的一项问卷调查显示，办一个手续，有13.1%的人跑了10趟以上，3趟以下就办完的只占28.7%。而在这其中，如果遇到的是“奇葩证明”，更是难上加难。

“奇葩证明”的泛滥让群众疲于奔命、怨声载道，可谓“劳民伤财”。这种扰民行为无疑加大了群众的办事成本。更重要的是，“奇葩证明”的要求给办事群众乃至企业增加了重重障碍，耽误了当事人、相关人或企业的宝贵时间，在无形中对经济发展造成了消极影响。

增加行政成本。负责开具各类证明的部门主要是社区居委会和基层派出所。据《北京青年报》报道，北京市政府审改办相关负责人在对21个社区居委会摸底调查后发现，由居委会日常开具的各类证明多达240余个。一位参与调查的工作人员表示：“其实这个数量还不完全准确，因为各区所辖的居委会开具证明的类别、数量不尽相同，就像家庭困难的证明都能有十多种。由于没有相对一致的标准和口径，导致证明五花八门。”

而在派出所，各类开具证明的需求也让“警察蜀黍”们哭笑不得。2015年8月，网络连续曝光三起基层派出所吐槽“奇葩证明”的事件，警方所发出的“纯粹是增加老百姓补办证件的麻烦”“难道有犯罪前科的人就不可以买房吗”“请公证处公证人员来塘下派出所进行核对”等为民张目的声音也在网络上备受赞誉。一个叫张钦的民警在接受《南方都市报》采访时表示：“现在很多地方‘开具无犯罪记录证明’的要求都是不必要的。比如说就业，难道人家坐牢出来就不能再找工作了？我前几天还遇到一个到餐馆打工的，也要求开具‘无犯罪前科’证明，真让人哭笑不得。开这个是我们的职责，但有些地方确实不需要。”显然，泛滥的“奇葩证明”给社区居委会和基层派出所增加了很多额外工作负担，大大增加了行政运行的成本。

降低管理科学性。《人民日报》曾报道这样一件事：很多人曾为开证明而发愁，但在武汉工作的王先生却因一张“太好开”的证明而产生疑惑。北京户口的王先生准备去日本旅游，而通过旅行社办理签证，需要到派出所开具外地户口异地居住证明。在派出所，王先生只说了自己的姓名、居住地址，对方就给开具了证明。证明如此好开，令王先生感到费解：“全凭我说，这证明的可信度由谁来保证？为什么非要这样一张无用的证明？”

这种担忧并非多余，如果有不法分子冒名顶替，是不是也就可以轻而易举拿到相关证明或个人信息？制度存在的意义本来是为了强化监管，可如此一来，却因存在各种漏洞而变得名存实亡。有些证明如果仅仅是无意义的一道程序、一种形式，也就变成了地地道道的无效证明，反而容易给不法分子提供可乘之机。

损害政府形象。公众对政府最直接的了解和评价主要来自对政府部门尤其是窗口单位服务情况的观察。据《中国青年报》社会调查中心在2016年全国两会期间进行的一项调查显示，60.5%的受访者及身边人曾遭遇过“奇葩证明”，58.0%的人认为“奇葩证明”的出现是因为相关工作人员缺乏职位担当，46.7%的人认为这是服务主体与客体的倒挂，46.2%的人将其归因为诚信缺失，44.7%的人直言，这是一些政府职能部门服务意识匮乏……

几何证明选讲 篇9

―――几何证明选讲题解体攻略

赵栋先

20，河南省的新课标卷给人以耳目一新的感觉，尤其是他的几何证明选讲问题，命题人确实下了很大功夫，该题分两问，第一问考查四点共圆问题，难度不是很大，但是应用了一元二次方程根与系数关系的知识，应用了相似三角形的证明，第二问是考察四边形的外接圆半径问题，难度还是有的，很多同学理解不透外接圆的本质，所以无从下手解决。

请先看题：

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图， ， 分别为 的边 ， 上的点，且不与 的顶点重合。已知 的长为m，的长为n，AD, 的长是关于 的方程 的两个根。

(Ⅰ)证明： ， ， ， 四点共圆;

(Ⅱ)若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圆的半径。

第一问解法：

证明策略一：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

因为 ， 的长是关于 的方程 的两个根.

所以 ，

因为 的长为 ， 的长为 ，所以 .

连接 ，根据题意，在 和 中，

因为，

即 ，又 ,

从而 .

因此，

所以 ， ， ， 四点共圆.

证明策略二：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的`四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)

事实上，以上定理就是割线定理的逆定理，即托勒密定理的逆定理，先让我们证明他的正确性。

E

D

B

C

A

已知：在四边形BCDE中，延长BE边和CD边交于A点，

若AExAB=ADxAC ,求证：B,C,D,E四点共圆。

证明：∵AD・AB=AE・AC，

∴ =

又∵∠A=∠A

∴△AED∽△ABC

∴∠AED=∠B

根据圆内接四边形判定定理知，B,C,D,E四点共圆。

这个结论，即为托勒密定理的逆定理，我们可以利用它证明第一问：

因为 ， 的长是关于 的方程 的两个根.

所以 ，

因为 的长为 ， 的长为 ，所以

所以 =AE・AC

根据托勒密定理的逆定理，B,C,D,E四点共圆。

对于第一问来说，我们只要平时多积累方法，总是可以解决的，但是对于托勒密定理的逆定理，大纲中没有要求掌握，我们可以根据自己的基础，有选择的去掌握。

下面我们来解决第二问：

第二问是在第一问四点共圆的基础上，求这四个点所在圆的半径。

解决策略一：我们可以根据圆内接四边形圆心的性质，把圆心做出来，圆心到任一顶点的连线长度即为半径这个思路来解题。

知识联系：那么，圆内接四边形的圆心究竟有什么性质呢?让我们先来考虑一下三角形的外接圆圆心的性质，我们知道，三角形外接圆圆心是各条边垂直平分线的交点，

几何证明练习题 篇10

1、已知：在⊿ABC中，AB=AC，延长AB到D，使AB=BD，E是AB的中点。求证：CD=2CE。

C2、已知：在⊿ABC中，作∠FBC=∠ECB=

2∠A。求证：BE=CF。

B

C3、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。

C

B4、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。

5、如图甲，RtABC中，AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AMBD，垂足为M，AM的延长线

交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F。

（1）试判断DEF的形状，并加以证明。

（2）如图乙，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并加以证明。A

B

B

D6、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA。

C7、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．

A

D

PEB图⑴C8、△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，就下面给出的三种情况，如图8中的①②③，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度．并利用图③证明你的结论．

①

②

③

图

89、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明

你的结论。

A M B

(第9题图)

10、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE11、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。

12、如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE||AC,EF⊥AD交BC延长线于F。求证： ∠FAC=∠B