几何证明八年级简单

几何证明八年级简单（精选10篇）

几何证明八年级简单篇1

能达学校八年级数学讲义

姓名：日期： 2006-1-2

4辅助线的添加技巧

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。

一、角平分线专题

1．角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线就是一个对称轴，所以可以将其中的一个△翻转180度，构造全等。也可以应用角分线定理作垂直）基本图形

图一

圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。

B图二

B图三

例题：

1．已知，CE、AD是△ABC的角平分线，∠B＝60°。求证：AC＝AE＋CD。

2．已知，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB。求证：DC⊥AC。

图二

图三

3．已知，四边形ABCD中，ABCD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。

4．已知，在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB＝2AC。求证：

（1）∠C＝90°；（2）AE=2CE。

图五

5．已知，在RT△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线。求证：BC＝AB＋AD。

6．已知，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠A。求证：AB－AC＝CD。

注意：只要看到平分线上的点，要想到向两边作垂线了（点分线，垂两边）

7．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2。求证：BC＝AB＋AD。

图八

8．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC

9．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝

2（AB＋AD）。

图十

求证：∠D＋∠B＝180°。

10．已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC。

图十一

2．角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。

图

1图2-1

图2-2

例题

1．已知，∠1＝∠2，AB

＞AC，CD⊥AD于D，H是BC求证：DH＝12

（AB－AC）。

2．已知，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BE。求证：BD＝2CE。

图2

3．已知，∠1＝∠2，CF⊥AE于E，BE⊥AE于E，G为BC中点，连接GE、GF。求证：GF＝GE。

几何证明八年级简单篇2

一、教师要了解学生的基础

通过前两章基本概念与相交线、平行线的学习，大部分学生已经掌握了一些几何语言，初步了解了学习几何的方法，会使用工具比较正确地画出一些几何图形，对逻辑推理的方法和要求有初步的认识，但还远远不够。

二、要重视概念与概念的定义的教学

1．此部分内容的概念，大部分都有准确定义，它的内涵反映概念的一种属性，既有判定作用，又有性质作用。

准确掌握这些概念，是突破几何关的保证。例如，求证三角形三边的中垂线相交于一点，如果不准确掌握概念，恐怕连图形都难以画出。

2．使知识系统化，建立合理的认知结构的基本措施，只有把基础知识系统化，才能形成合理的结构。

例如，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，学生容易出现“张冠李戴”的现象。解决这一难点的关键是抓好概念教学，结合教科书中的关系图，分清四边形的从属关系和共同性质，这样就可以加深理解，有利于记忆与应用。同时揭示了辩证思维、质变与量变的观点。这种高层次的认识事物的思维方法，提高了学生创造性思维能力，而这正是培养人才所需要的。

3．是寻求解题思路，提高解题能力的核心。

在寻求解题思路的过程中，必然要经过各种形式的转化。例如，通过相似多边形的教学，使学生了解可以将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，而转化的本质是概念与其相关概念的性质的转化，这种回归的思维方法与原则是经常在起作用的，而起核心作用的是概念的内涵与外延。所以只有重视概念与概念定义的教学，提高学生的几何能力，才有可靠的基础。

三、要加强定理及例题的推理、论证过程的教学

几何教学的重要任务是培养提高学生的逻辑思维能力与推理论证能力、文字表达能力，要完成这个任务主要依靠定理及例题的教学，所以加强这方面的教学是完成上述任务的基本手段和措施。

1. 通过定理和例题的教学，可以教会学生探寻思路、思考问题的方法，这就使学生获得了基本能力。

学生学会了思考问题的方法，就掌握了学会平面几何的钥匙。

2. 学会了思考问题的方法，这就建立了思维模型，不但提高了能力，更重要的是发展了思维。

例如，通过逻辑思维，思考问题就克服了学生思维方面的无序性；通过分析法教学，寻求解题思路的同时有几个思路，培养了择优思维、求异思维，就会出现一题多解，发展了学生的思维的广阔性。

通过定理及例题推证过程的教学，向学生揭示了数学思想和数学方法，这是提高学生能力的具体范例。

四、要经常帮助学生把基础知识按其功能纳入不同的体系

要经常帮助学生把基础知识按其功能纳入不同的体系，建立合理的认知结构，掌握几何方法，并帮助学生总结各种解题规律。

1．证两线段相等。常用的方法有。（1）证其为全等三角形的对应边。（2）证其为等腰三角形的两个腰，等腰三角形顶角平分线或底边上的高平分底边。（3）证其为平行四边形的一组对边，矩形或等腰梯形的两条对角线。（4）证其为三角形或梯形中位线所分成的两线段。（5）证其都与第三条线段相等。（6）比例相似形的应用。（7）角平分线的性质。（8）线段中垂线性质与判定。

2．证两角相等常用的方法有。 (1）证其为对顶角，平行线中的内错角，同角或等角的余角、补角。（2）证其为等腰三角形的底角。（3）证其为全等三角形，相似三角形的对应角。（4）证其为平行四边形的对角，等腰梯形的底角。（5）证其与第三个角相等。（6）角平分线判定定理。

3．证线段（或角）的和、差、倍、分。

4．证线段（或角）不等。

5．证成比例线段等。

也可证位置关系———证点共线或线共点等等。

总之，这个整理过程，也就是掌握几何方法的过程，从而为提高解题能力打下了可靠的基础。

五、要加强习题课、一题多解与多题一解的教学，帮助学生完善解题结构

通过习题课，一题多解的教学，可以打开学生的思路，克服学生思维的单向性，发展求异思维，发展思维的广阔性；多题一解的教学也可以发展学生思维的深刻性、探索性，这正是培养人才所具备的能力。

六、加强图形的教学，仍然不能放松

这部分会要求学生会利用尺规作三角形；会画已知图形关于轴对称图形；会画梯形等等。教师应该让学生多动手，掌握这些技能。另外，为了使认识深化，正确掌握概念内涵，突破几何难关，还应让学生多看标准图、变式图、易位图、反例图、重叠图等等。

等量代换和简单的几何证明复习课篇3

浙江省诸暨市暨阳街道新世纪小学蒋望雷（初稿）浙江省诸暨市教育局教研室汤骥（统稿）

一、教学目标

（一）知识与技能

体会一些数学思想方法在解决问题中的作用，灵活掌握一些数学思想和数学方法，会灵活运用这些方法解决生活中的问题。

（二）过程与方法

引导学生经历并理解推理的过程，进一步发展解决问题的能力。

（三）情感态度和价值观

感受数学的魅力，增强数学学习的兴趣。

二、教学重难点

引导学生经历并理解推理的过程，进一步发展解决问题的能力。

三、教学准备

多媒体课件。

四、教学过程

（一）复习引入

上一节课我们学习了什么内容？（预设：找规律和列表推理，课件出示相关内容）今天这节课，一起来学习例3和例4，继续享受由数学思考带来的“思维盛宴”。

（二）自主探索

1．教学例3。

课件出示题目：△、□、○、☆、◎各代表一个数。

（1）已知△+□=24，△=□+□+□。求△和□的值。

教师：你能解决这道题吗？请在草稿本上试一试。

学生练习，指名回答。

预设：△=18，□=6。

教师追问：你是怎么想的？预设：因为一个△等于3个□，可以把第一个算式中的△换成三个□。这样，第一个算式就转化成了4个□相加等于24，□就等于6。接下来求△，用6×3=18就行了。

教师：大家听懂这种方法了吗？在解决问题的过程中，最重要的是哪一步？（预设：把第一个算式中的△换成3个□）这样的方法就叫做等量代换。同桌之间互相说一说。

该怎样用数学的方法表示这一过程呢？我们一起来看（课件出示）。

【设计意图】学生有能力独立解决这一问题，应让学生把代换的过程（思路）讲清楚，通过教师的提问理解关键步骤是该环节的教学重点。在解题过程的表述上，充分发挥教师的引领作用，通过多媒体课件逐步呈现过程，使学生体会数学证明的方法，感受数学语言的严谨性。

我们再来看第（2）小题：已知○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？

想一想，你的结论是什么？（相等）能用什么方法证明你的结论呢？

预设：两个等式中都有☆，只要把☆分别减去就可以知道○和◎是相等的。

教师追问：把☆分别减去的依据是什么？预设：等式的性质：在等式的左右两边同时减去一个数，两边依然相等。

教师：你能用第（1）题的方法表述这个过程吗？

学生练习，教师强调每一步都要写清楚依据。

交流汇报，逐步引导得出：

教师小结：在解决第（1）小题的过程中，我们用到了什么数学思想？（等量代换）第（2）小题则是根据什么？（等式的性质）将解题过程用这样的形式表示出来，采用的是数学证明的方法。

【设计意图】表述的逻辑性和严谨性是该环节的教学重点，在学生已经得出结论的基础上，逐步引导他们用规范的数学语言加以表述，充分体会数学证明的方法和逻辑推理的思想。

2．教学例4。

教师：运用数学证明的方法，还可以解决几何知识中的推理问题。（课件出示题目）什么是平角？平角与直线有什么区别？谁来说一说？

预设：①平角是个角，而直线是条“线”；②平角可度量，1平角=180度；直线不可度量；③最明显的区别是：平角有一个顶点和两条边，而直线没有。

如图，两条直线相交于点O。

（1）每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？

教师：谁来说说对题意的理解？

预设：每相邻两个角可以组成一个平角，在图中有四组角是相邻的。

预设：平角的两边在一条直线上，在同一条直线的两旁可以找到两个以O为顶点的平角。

教师：那么，我们可以找到几个平角呢？（4个）它们分别是由哪两个相邻的角组成的？（∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1）

课件出示第（2）题：你能推出∠1=∠3吗？

学生独立思考，互相交流后汇报思路。预设：∠1和∠2可以组成平角，∠2和∠3可以组成平角，在两个平角中同时减去∠2，就可以得出∠1=∠3。

预设：还可以这样想，∠1和∠4可以组成平角，∠3和∠4可以组成平角，在两个平角中同时减去∠4，可以得出∠1=∠3。

教师：这两种方法中都用到了同时减去同一个角，依据是什么？（等式的性质）你能用例3中学到的方法表示这个过程吗？

学生练习，教师巡回指导。

展示作业，逐步归纳得出：

你能用同样的方法推出∠2=∠4吗？

学生练习，反馈讲评，突出强调表述的逻辑性和严密性。

【设计意图】题目中平角的概念和平角与直线的区别这两个问题是新知的生长点，教师在实际教学中应使学生理解到位。第（1）小题既可以由题意“每相邻两个角可以组成一个平角”出发，也可以从平角的特征考虑加以解决。第（2）小题的解决根据第（1）小题的结论，同时例3中的第（2）小题为本题的推理提供了知识基础，这个教学环节以学生自主探索为主，引导学生充分经历并理解推理的过程。

（三）课堂练习

1．课件出示教材第104页练习二十二第9题。

第（1）小题可采用等式的性质，将三个等式的两边分别相加，求出○+□+△=100，然后依次求出结果；第（2）小题先根据上面两式求出○和□，然后代入第三式求值。

2．课件出示教材第104页练习二十二第10题。

该题实际上是“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的知识，是例4的配套练习，利用三角形的内角和等于180°和平角的概念进行推理。

【设计意图】针对性的练习设计，强化了等量代换、等式的性质、数学证明的方法和几何证明等知识，在解决问题的过程中使学生直观感受数学推理的应用价值。

七年级上几何证明18题篇4

1、如图1，A、B、C、D、E顺次在同一条直线上，则图中有（）条线段.A7B8C9D102、一个角的补角是这个角的余角的的5倍，则这个角为()

A22.50B450C67.50D750

3、如图5，AE//CD//FB，∠1=750，∠2=400，则∠3=（）

A250B350C45D550

4、钟表在三点半时，它的时针和分针所成的角度是（）（A）70°（B）75°（C）85°（D）90°

5、如图，①画∠BAC的角平分线AD；②过点A画线段BC的垂线段AE；③取线段BC的中点F，连结AF；④过点A、C分别画BC、AB的平行线，两平行线交于点G．

6、如图AB//CD，∠1与∠A互补，试证明：EF//CD．（用两种证法）

7、如图，CD是∠ACB的平分线，∠EDC=250，∠DCE=250，∠B=700①求证：DE//BC②求∠BDC的度数。

8、如图4，AB、CD相交于点O，∠DOE=90，∠AOC=37，求∠BOC，∠BOE的度数。

图

1图

D C9、如图5，AO⊥CO，BO⊥DO，且∠AOB=160，求∠

COD的度数。



10、如图6所示，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50，∠B=70，O B

图6

图5 E

DE∥BC，求∠EDC和∠BDC的度数。

11、如图7所示，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，如果∠1与∠2互为余角，那么直线AB与直线CD平行吗？说说你的理由。A

图7 C D12、如图,已知OB平分∠AOC,且∠2:∠3:∠4=2:5:3,求∠1,∠2,∠3,∠4的度数.BCD

21A3

D13、如图所示,已知AB∥CD,∠A=∠C试判断AD与BC的位置关系并加以说明.(8分)

14.如图所示,已知∠ABC=50°,∠ACB=60°,BF、CF为∠ABC、∠ACB的平分线且交于点F,过点F作DE∥BC交AB、AC于点D、E,求∠BFC的度数.(9分)

15、已知:如图所示,AB∥CD试说明:∠B+∠BED+∠D=360°.(9分)

16、.如图，CDAB于D，GFAB于F，140,250，求B度数.17.如图所示,已知∠A=∠1,∠E=∠2,且AC⊥EC,试证明:AB∥DE.18、如图，已知∠ A＝∠ F，∠ C＝∠ D.试问BD是否与CE平行?为什么?

几何证明八年级简单篇5

普法教育手抄报1

教育对于种子是阳光，对于树林是水，对于稻田是肥料……而对于我们少年儿童，是走上到的殿堂的梯子。

中国古代5000年的历史，各个朝代都竭力推行德制，可是如果有些人真的没有“德”，那的德制只能是浮云要是盗贼、人犯，从小接受过法制教育，有着满心道德，那他们还会成为罪犯吗?不会。所以，解放了以后，我们推行的是“法制”。

如果这世界没有“法”，会怎么样?我想我一定会天天泡网吧，人们肯定吸毒的吸毒，练法轮大法的练法轮大法。那么，这个社会将会变成什么样子呀！!所以说，法律，是不能没有的。

近年来我国未成年人犯罪逐渐增多，引起了国家的高度重视。是的，未成年人也犯罪。别不相信，比如你放学走了一天小路回家，你会生怕自己被打劫。如果这是你看见一个大人，你可能不会很害怕。但是如果你看到一个6年级到高二年龄的男孩(包括辍学的)，那你可能会很害怕。

可是，未成年人是祖国的花朵，如果连未成年人也走向犯罪的道路的话，我们祖国未来的希望在哪?

其实，法律也并不是万能的，也有很多漏洞。这让很多律师抓住来利用。所以说，我们的心中也要有个道德底线，什么事情该做，什么事情不该做要有个明白。

普法教育手抄报2

正处于青春期的我们，是最为叛逆的时期。我们总是十分厌恶父母的管教，凡事都喜欢自己拿决定，根本从未考虑过事情的后果。而也就是因为这样，从而导致因选错道路而使我们对未来的一切憧憬顷刻间化成了泡沫。针对这一事实，学校开展了法制教育报告会。

在会上，警察叔叔为我们列举了众多的案例，那些案例虽说人物和过程不同，但其结果几乎是极其相似的，差不多都是死亡或者进监狱。这些令人心酸的结果无一不牵动我的心。毕竟谁能保证这些人没有憧憬过、期盼过自己的未来?与此同时，也为我敲响了警钟，在以后的日子里，绝不能因一时的冲动而亲手葬送了自己美好的青春年华。

另外，警察叔叔还为我们提出了众多要求。比如，不可以进网吧、游戏厅，不可以看色情光碟、报刊，乘车时不可以将头伸出窗外等等。这些要求一一铭记在了我的心中，并且我相信，在以后的日子里一定会使我受益无穷。

警察叔叔还讲了好多好多……

就这样，时间在我们不经意的时刻间悄然离去。尽管报告会结束了，但其内容却永驻我的心田。

几何证明八年级简单篇6

是爱把我唤醒，是爱让我成长，爱在爱的世界里。

爱，多么平凡的字眼，但她又是多么的不平凡！爱，有时很简单！

懵懂时，思想受电视的影响，总觉得只有爱情才叫爱，它离我好远！随着岁月的流逝、阅历的增加，我结识了关爱、友爱，它们都仅仅来自于生活的琐事，好平凡，好简单。

一句温馨的话语，一把遮雨的伞盖；一个甜蜜的微笑，一碗清香的汤面都是爱！多么简单，这爱让我感动！

爱，有时很简单。在我生活的周围，充满了好多简简单单的爱。当我在病床上呻吟时，父母的爱是精心照顾、彻夜不眠；当我在学习上遇到困难时，老师的爱是谆谆教诲、不知疲倦；当我遭受挫折时，朋友的爱是耐心倾听、鼓励帮助；当我在陌生的环境里，大家的爱是无私奉献、鼎立相助

这简简单单的爱是一笔巨大的财富。拥有了这份爱，就会使你更加年轻，更懂得珍惜。珍惜一份份爱，你就不会错过朝阳，不会让孤独寂寞永驻心头。这样，你便是世间最幸福的人，拥有着最纯洁、最美好的心境。

爱，有时很简单。我们生活在爱的世界里，爱赋予我们太多，我们就要奉献自己的爱。帮父母做家务、帮老师收发作业、帮朋友排忧解难、帮问路人指明方向哪怕是忙碌时的一杯清水，都是你所奉献的爱。

几何证明八年级简单篇7

单元要点分析教材内容

本单元内容主要包括运动的描述、参照物、匀速直线运动、平均速度和瞬时速度、测定平均速度。

机械运动现象最普遍，最简单，学生也最熟悉，在小学的数学中学生又学过速度和路程问题，对这些知识并不陌生。初中物理从学习简单运动开始，可以充分利用学生已有的知识来逐步展开物理的学习。

本章知识的核心是速度的概念。速度不仅是运动学的基本概念，而且这个概念的应用也很广泛。速度是由两个物理量构成的一个新物理量，学生在以后的物理课中还将学到许多其他由两个或两个以上的物理量来定义的新物理量。由于学生在生活和学习中对速度概念已经有所了解，容易领会要由路程和时间两个物理量来定义它的道理，这对以后学习和理解这类物理量是有帮助的。

教材用一名法国飞行员在2000m高空用手抓住一颗德国子弹的故事引入，激发学生的兴趣，从而进入对机械运动和参照物的学习。平均速度的引入是把复杂的变速运动简单化，实质上这是物理学中的“近似”或“等效”的研究方法的重要应用。本章是初中物理知识的开始，教材内容浅易，注意防止要求过高，过难，以免挫伤学生的学习热情。教学中即使对学生基础好的班级，也不宜补充比课本更多、更难的内容。

本章的主要内容有：

1、认识什么是机械运动，认识运动和静止的相对性，并能应用所学知识解决生活中简单的物理现象。

2、认识到运动可分为直线和曲线两类，并能举出生活中的实例。

3、理解匀速直线运动的速度公式，能用它来计算速度、路程、时间，讲解物理计算的解题格式。

4、认识平均速度和瞬时速度，明确平均速度和瞬时速度的区别，能计算变速运动的平均速度、路程、时间。

5、学习利用停表或手表测时间，会测生活中常见的平均速度。

6、用实验探究如何比较物体运动的快慢，从而引入速度的概念。教学目标

1、知道什么是机械运动，知道运动和静止的相对性。

2、知道运动的分类。

3、理解匀速直线运动速度的概念。

4、理解匀速直线运动的速度公式，并能解决简单的计算。

5、知道什么是平均速度和瞬时速度，能计算变速运动的平均速度。

6、会用钟表测时间，会测平均速度。

7、结合本单元知识的学习培养学生科学的态度和科学探究能力。教学重点

1、认识运动和静止的相对性，并能应用知识解决生活中简单的物理现象。

2、理解匀速直线运动的速度公式，并能解决简单的计算。

3、会利用停表或手表测物体运动的平均速度教学难点

1、运动和静止的相对性问题。

2、平均速度与瞬时速度的区别。

3、探究如何比较物体运动快慢的实验。课时安排

几何证明八年级简单篇8

单元测试卷

（二）班级姓名得分

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、满足下列条件的两个三角形一定全等的是（）

A、腰相等的两个等腰三角形B、一个角对应相等的两个等腰三角形

C、斜边对应相等的两个直角三角形D、底相等的两个等腰直角三角形

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且BF=CD，BD=CE，则∠EDF=（）

11∠AC、180°–∠AD、45°–∠A 224、等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（）

A、90°B、60°C、120°D、150°

5、等腰三角形顶角为100°，两腰垂直平分线相交于点P，则（）

A、点P在三角形内B、点P在三角形底边上

C、点P在三角形外D、点P的位置与三角形的边长有关

6、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB

A、AE=CDB、AE>CDC、AE

7、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则BC∶AC∶AB=（）A、90°–∠AB、90°–

A、1∶2∶3B、1∶4∶9C、1∶2∶D、1∶3∶

2(第2题图)(第3题图)(第6题图)(第8题图)

8、如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）

A、一处B、二处C、三处D、四处

9、△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD∶BD=1∶2，BC=6cm，则点D到点A的距离为（）

A.1.5cmB.3cmC.2cmD.4cm10、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，则该三角形的面积等于（）

A、1B、11

3C、D、24

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二、填空题(每小题3分，共18分)

11、如图，已知AC=BD，∠A=D=90°，要使得△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是___________(填一个你认为正确的条件即可).12、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是

13、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是2.(第11题图)(第17题图)(第18题图)

14、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三角形.15、如果两个等腰三角形等腰三角形全等(只填一种能使结论成立的条件即可).16、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是______________。

17、如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=。

18、如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD； ②AB＝BC ；③AB⊥BC ；④AO＝OC。其中正确的结论是______________________________．（把你认为正确的结论的序号都填上）

三、(每小题6分，共12分)

19、已知：线段a、h(如图)

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.请你用尺规作图，并补全作法

作法：(1)作线段BC=.(2)作(4)连结.则△ABC为所求等腰三角形.20、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°.仿照图(1),请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(要求标出每个等腰三角形三个内角的度数).四、(每小题6分，共18分)

21、已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°.(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N(保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想。

22、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.23、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.五、(每小题8分，共16分)

24、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一个边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这块等腰三角形绿地另两边的长。

几何证明八年级简单篇9

第五讲恒等式的证明

代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．

证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．

1．由繁到简和相向趋进

恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．

例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．

分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．

证因为x+y+z=xyz，所以

左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)

=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2

=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)

=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)

=xyz+xyz+xyz+xyz

=4xyz=右边．

说明本例的证明思路就是“由繁到简”．

例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且

证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则

又因为

所以

说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．

2．比较法

a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．

例3 求证：

分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．

证因为

所以

说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．

不为零．证明：

(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．

全

同理

所以

所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．

说明本例采用的是比商法．

3．分析法与综合法

根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．

证要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证

a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，只要证

这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．

说明本题采用的方法是典型的分析法．

例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．

证由已知可得

a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．

因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以

a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．

又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以

a＝b，c=d．

所以

ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．

说明本题采用的方法是综合法．

4．其他证明方法与技巧

求证：8a+9b+5c=0．

a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．

所以

6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得

6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)

=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．

说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．

例8 已知a+b+c=0，求证

2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．

分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．

左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2

=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2

=(a2-b2-c2)2-4b2c2

=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)

=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]

=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．

说明本题证明过程中主要是进行因式分解．

分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．

证由已知

说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．

例10 证明：

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令

y+z-2x=a，① z+x-2y=b，② x+y-2z=c，③

则要证的等式变为

a3+b3+c3=3abc．

联想到乘法公式：

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有

a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．

例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且

求证：x2y2z2=1．

分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．

证由已知有

①×②×③得x2y2z2=1．

说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．

总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．

练习五

1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．

2．证明：

(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3

=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．

3．求证：

5．证明：

6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：

x=y=z或x+y+z=0．

7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：

简单几何体课件篇10

“观察”是人们认识客观世界和身边事物最基本的方法之一，大量的信息通过人的视觉窗口进入大脑，几何体的形状教学反思。观察能力是人的基本能力，观察能力强的人善于找到并表达物体的特征，而观察能力弱的人往往抓不住物体的主要特点。苏教版小学数学教科书以培养学生的观察能力为目的，编排了一些《观察物体》的单元。第一学段的主要内容是：根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体;第二学段的主要内容是：能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。四年级学生的年龄虽小，已在日常生活中积累了一些观察物体的方法与经验。本单元教学观察物体，既要利用已有的相关经验，更要教会学生“数学地”看物体，包括通常在哪里看、怎样规范地看、看到的形状如何表达……全单元编排三道例题，具体安排见下表：

例1物体的前面、右面和上面，从前面、右面、上面观察常见物体

例2从前面、右面、上面观察简单的几何体，用图形表示看到的形状

例3观察稍复杂的几何体，并表示看到的形状

小学数学里的“几何体”，主要是指长方体、正方体、圆柱、圆锥以及由若干个大小相同的小正方体拼成的物体。从不同角度观察长方体、正方体、圆柱、圆锥分别安排在认识这些几何体的单元里，而《观察物体》单元着重于若干个相同小正方体拼成的几何体。

教学反思：

一、联系生活经验，辨认长方体、正方体形状的物体的前面、右面和上面，初步体会观察物体的方法与要领。

例1教学长方体形状的物体的前面、右面和上面，以及从这些位置观察物体。这是因为长方体有前与后、左与右、上与下三组相对的面，相对的面形状、大小完全相同，在三组面里各观察一个面，就能了解物体的主要特点。而观察前面、右面、上面比较方便，因此人们往往观察物体的前、右、上三个面。

但在实际教学中，还是要强调前与后、左与右、上与下的一致性与不同之处，特别是到了后面的例3 ，左右两面看到的是不一样的，不能让学生在刚开始就造成一种错误的理解。

从前面、右面、上面观察投票箱，应该分别站在什么位置上?体会“从前面看”要站在投票箱的前面观察;“从右面看”应该站在投票箱的右边观察;“从上面看”应该紧靠着投票箱的前面，低头往下观察。然后要组织学生讨论：怎样表示和交流看到的形状?体会把看到的形状“画出来”，图形能比较方便地表达与交流，教学反思《几何体的形状教学反思》。教材里的“辣椒”“番茄”“蘑菇”三个小卡通就是利用“画图形”的方式表示物体形状的，它们观察投票箱的位置不同，看到的形状就不同，画出来的图形也不同。

介于少数学生的错误现象，在教学中要引导学生反思观察投票箱的活动，提炼其中的观察方法、经验和体会。可以总结出三点：一是观察物体一般从前面、右面和上面看。二是“从前面看”要专注地只观察物体的前面，视线不宜过高或过低，不宜偏左或偏右，一边看要一边思考观察到的形状以及表达的方法。“从右面看”和“从上面看”也有相应的观察要领。三是看到的形状一般用图形表示，如果把画图和适当讲述相结合，交流的效果会比较好些。

二、认识几何体的前面、右面和上面，观察较简单的几何体

界定几何体的前面、右面和上面，要把辨认常见物品面的经验迁移过来。通常，正对着观察者(学生)的那个面是前面，观察者右手边的面是右面。

例2用4个同样的小正方体拼出一个长方体形状的几何体。从前面看，能看到4个小正方形拼成的大正方形;从右面看，能看到2个小正方形，一个在上，一个在下;从上面看，能看到2个小正方形，一个在左，一个在右。教材给出了这样的三个图形，让学生指出哪一个图形是前面看到的，哪一个图形是右面看到的，哪一个图形是上面看到的。教学这道例题值得反思的有以下两点：

第一，先用4个同样的正方体照样子摆出一个长方体，再从不同位置仔细观察。顾名思义，“观察物体”是用眼睛去看物体。如果不摆出物体，只是看教科书画的立体图形，就不是真实地观察物体。学生不可能真实经历从前面看、从右面看、从上面看的活动，也不可能真实体验几何体各个面的形状，更不可能获得观察物体的知识技能。另外，学生动手摆出几何体，能通过触觉感知其形状特点，这是对观察物体的视觉信息的有力支持和必要补充，学生能降低空间想象的难度。为此，应对教学提出使用学具的要求，应该提前作好准备。但学校没有相应的众多学具，学生准备的也不充分。学生的动手操作所带来的对视觉信息的补充和支撑不够，空间想象能力弱的学生得不到很好的空间观的培养。

第二，要边看边说，分别说出从前面看到什么形状，从右面看到什么形状，从上面看到什么形状。这是三维立体向两维平面转化的思维活动，是发展空间观念的重要活动。教学要注意的是，学生把几何体的前面、右面、上面的形状表达出来，有一个语言转换的过程。他们动手摆、用眼看，信息都汇集到大脑里，形成关于几何体各个面形状的内部语言。把几何体各个面的形状说出来或者画出来，与同伴交流使用的是外部语言。每一名学生都要进行内部语言到外部语言的转换，有些学生说出各个面的形状有困难，往往是语言转换不充分所造成的。教材充分考虑到学生语言转换的困难，在例题和练习里设计了表达几何体各个面形状的两级台阶。例题在已经给出的三个图形里，指出哪个图形是前面看到的、哪个图形是右面看到的、哪个图形是上面看到的。只要把头脑里的几何体的三个面的图形表象与教材给出的三个图形比照，用连线的方式把自己头脑里的表象外显。这一级台阶比较容易。练习里要求在教材提供的方格纸上画出从前面、右面、上面看到的图形，把头脑里的表象通过画图表现出来。要从每个面看到的是什么图形，各个图形由几个小正方形拼成，这些小正方形怎样排列……一边思考一边画图。显然，这一级台阶相对难些。

三、观察结构稍复杂的几何体，进一步积累观察物体的经验

例3仍然是由4个同样的小正方体拼成的几何体，但不是长方体或正方体，而是一个稍复杂的几何体，体会它右面和上面的视图比较困难。例题把4个小正方体摆成两列，从前面看这个几何体，能看到4个小正方形排成两列，左边3个、右边1个。从右面看，能看到3个小正方形由上到下排成一列。从上面看，能看到2个小正方形，一左一右排成一行。学生的难点在于从右面看，要把几何体中不在同一平面上的三个小正方形，表示在同一个平面图形里。从上面看，要把几何体中不在同一平面上的两个小正方形，表示在同一个平面图形里。这是因为前视图只表示几何体的长和高，不表示其宽;右视图只表示几何体的宽和高，不表示其长;上视图只表示几何体的长和宽，不表示其高。如何突破教学难点?

第一，加强观察。一定要为学生创造观察几何体的条件，绝不能以观察例题里的立体图形来代替观察物体。必须让学生仔细地、充分地观察，一边看一边体会：从几何体的右面，看到3个小正方形，它们竖着排成一列;从几何体的上面，看到2个小正方形，它们横着排成一行。逐步接受这两个位置上的视图。

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