《空间几何体的直观图》参考教案

《空间几何体的直观图》参考教案（通用7篇）

《空间几何体的直观图》参考教案 篇1

一、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图、空间几何体的直观图。（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2．过程与方法

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。3．情感态度与价值观

（1）提高空间想象力与直观感受。（2）体会对比在学习中的作用。（3）感受几何作图在生产活动中的应用。

二、教学重点、难点

重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。难点：直观图与三视图的转换。

三、学法与教学用具

1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。2．教学用具：ppt课件，三角板、圆规

四、教学思路

（一）创设情景，揭示课题

1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：棱柱 把实物棱柱放在讲台上让学生画。

2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

（二）研探新知

1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

斜二测画法的步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使xoy＝ 45（或135），它们确定的平

面表示水平平面．

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

(4)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴就得到了空间图形的直观图．

练习反馈

根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。2．练习，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。

教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。

3．探求空间几何体的直观图的画法

（1）例2，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。

教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。

（2）投影出示几何体的三视图、课本P18图1.2-13，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

5．巩固练习，课本P19.2、3

三、归纳整理

学生回顾斜二测画法的关键与步骤

四、作业

《空间几何体的直观图》参考教案 篇2

一、空间几何体的直观图的准确画法———斜二测画法与正等测画法

人教版 (A版) 普通高中课程标准实验教科书《数学》 (2) 第一章“1.2.2空间几何体的直观图”介绍了最常用的直观性较好的斜二测画法 (注1) 。用斜二测画法画直观图, 关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法, 这是画空间几何体直观图的基础, 而水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 因为多边形顶点的位置一旦确定, 依次连结这些顶点就可以画出多边形。因此, 平面多边形水平放置时, 直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。而在平面上确定点的位置, 可以借助于平面直角坐标系, 确定了点的坐标就可以确定点的位置。因此, 教学中要学生首先掌握好画水平放置的平面直角坐标系。课本P13—14例1:“用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图”和例3“用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCB—A'B'C'D'的直观图, 就是基于这种思想方法作出来的。但是, 画水平放置的圆 (包括圆柱、圆锥、圆台等旋转体) 的直观图时, 如果用斜二测画法或正等测画法 (注2) , 也是要先画出一些有代表性的点, 由于不能像多边形那样直接以顶点为代表点, 因此需要自己构造出一些点, 这就是为什么要将直径n等分, 并作y轴的平行线的理由。显然, n越大, 直径被分得越细, 所画出的图形就准确直观。例如, 课本P13—14例2“用斜二测画法画水平放置的圆的直观图”和例4“用斜二测画法画一个上部是一个圆锥, 下部是一个圆柱的组合体的直观图”。

二、圆的直观图的近似画法———菱形法和圆V法

在实际画圆的直观图时, 上述两种画法 (斜二测画法与正等测画法) 都比较麻烦, 费时费力且不精确。故很多教材都介绍了下面的一种近似画法 (简称菱形法) :

(1) 如图1, 作X'轴, Y'轴成120o角;

(2) 在两轴上取OP=OR=OQ=OS=圆的半径;

(3) 过P、R分别作Y'轴的平行线, 过Q、S分别作X轴的平行线, 得菱形ABCD;

(4) 连结AS、CP交于H, 连结AR、CQ交于K;

(5) 分别以H, K为圆心, HS为半径作弧SP, QR;分别以A, C为圆心, AS为半径作弧RS, PQ。则这四段弧就组成菱形ABCD的内接近似椭圆。

这就是水平放置的圆的直观图的近似画法——菱形法。

本人在多年的教学实践中, 总结出下面一种更简便的画法来代替这种画法 (简称圆V法) :

(1) 如图2, 作互相垂直的X轴, Y轴, 相交于点O;

(2) 以O为圆心, 圆的半径长为半径画⊙O, 交Y轴于点A, C;

(3) 以C为圆心, 圆的半径长为半径画弧, 交⊙O于R, S。连结AR, AS交X轴于点K, H;

(4) 分别以A、C为圆心, AR长为半径作弧RS, QP;再分别以K, H为圆心, R K长为半径作弧RQ, SP。这四段弧相连接便得一个近似椭圆。

这就是水平放置的圆的直观图的近似画法——圆V法。

从上面的作图过程中, 我们不难发现这两种近似画法其本质是一样的 (见图3) 。但圆V法与菱形法比较, 有下面几个优点:

(1) 不用作夹角为120o的X'轴和Y'轴;

(2) 不用作菱形ABCD, 只须作一个圆;

(3) 作图时所需要画的点和线段的数量减少了, 图形变得简洁明了。

用这种近似画法画圆的直观图, 简单明了, 容易操作, 根据此画法画圆柱、圆锥、圆台和球等旋转体的直观图就比较容易。事实上, 在教学中也需要学生学会作圆的直观图, 课本上的很多习题都要求学生画圆柱、圆锥、圆台和球等旋转体的直观图, 例如, 课本P36复习参考题A组第5、6题等。下面举一个用圆V法作图的例子, 从中可以体会到这种画法的优点:

一个圆锥的底面半径是1.6m, 在它的内部有一个底面半径为0.7m, 高为2.6m的内接圆柱, 画出它们的直观图。

画法: (1) 定比例尺, 画轴。比例尺定为1∶100, 画互相垂直的OX, OY轴, 在Y轴上取OO'=2.6cm, 过O'作OX轴的平行轴O'X'轴。

(2) 画底面。分别以O, O'为圆心, 用上述圆V法画半径等于1.6cm, 0.7cm的圆的直观图。

(3) 成图。画出圆柱的两条母线和圆锥的两条母线, 去掉辅助线, 分清虚实线, 就得到所要画的直观图, 如图4。

注1:斜二测画法的规则是:

(1) 在已知图形中取互相垂直的轴OX, OY, 画直观图时, 把它们画成对应的轴O'X', O'Y', 使∠X'O'Y'=45o (或135o) 。它们确定的平面表示水平面。 (2) 已知图形中平行于X轴或Y轴的线段, 在直观图中分别画成平行于X'轴或Y'的线段。 (3) 已知图形中平行于X轴的线段, 在直观图中, 保持原长度不变;平行于Y轴的线段, 其长度变为原来的一半。

注2:正等测画法的规则是:

(1) 在已知图形中取互相垂直的轴OX, OY, 画直观图时, 把它们画成对应的轴O'X', O'Y', 使∠X'O'Y'=120o。它们确定的平面表示水平面。 (2) 已知图形中平行于X轴或Y轴的线段, 在直观图中分别画成平行于X'轴或Y'的线段。 (3) 已知图形中平行于X轴或Y轴的线段, 在直观图中, 长度都不变。

摘要：本文主要介绍了空间几何体的直观图的画法, 先介绍了空间几何体的直观图的准确画法—斜二测画法与正等测画法的要点和原理, 然后介绍了圆的直观图的近似画法——菱形法和圆V法的作法和特征, 并列举了几个例子说明“圆V法”画法的优越性。

关键词：空间几何体,直观图,画法

参考文献

[1]曹才翰, 沈复兴, 等.中国中学教学百科全书——数学卷.沈阳出版社, 1991.

[2]刘绍学, 王申怀, 等.普通高中课程标准实验教科书——数学2.人民教育出版社, 2004.

《空间几何体的直观图》参考教案 篇3

1.教学目标

明确什么叫视图和为什么要用三视图。

从课题题目的“三 视图”引入，解释视图的含义，图解一个视图只能反映物体一个方位的道理。

三投影面体系是形成三视图的的必要条件。也为后续点、线、面课程打基础。

2.教学重点/难点

【教学重点】 认识三投影面体系的构成和各个投影面的名称及代号 每一视图是从物体的何方向投影所得。

三投影面展开的规定以及三个视图之间相对位置的认识。

分析每一视图能反映物体的什么尺寸、不能反映什么尺寸及其原因，引出任意两图之间的尺寸等量关系，用“跑道”的等宽和转弯的形象比喻，讲解左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系；归纳分析“三等关系”的口诀，强调“对正、平齐”的含义。

【教学难点】 左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系

3.教学用具

自制纸质可展开的三投影面体系模型。

4.标签

三视图

教学过程

§2－1 三视图的形成及其投影规律

本小节是学习《机械制图》入门的最重要且最基础的知识，必须在清楚地了解三视图形成过程的前提下，从而理解并初步能应用三视图的投影规律看、画简单的三视图。

一、视

图

【教学目的】 明确什么叫视图和为什么要用三视图。

【教学重点】 从课题题目的“三

视图”引入，解释视图的含义，图解一个视图只能反映物体一个方位的道理。

【教法设计】 用教学模型引导，讲解 视 的过程和道理，并在黑板上徒手画出相应的图。

徒手板画图1，逐一添加不同形体，有意引导从同一方向想象，引出同解的视图，再启发点明改变投射的方向其视图就不同解，从而说明为何要采用三视图。【时间分配】 约10分钟 【教具】

组合体教学模型

【说明】 本教案中的黑体字和图形为板书板图用，斜体字为讲课提示用。

视图——视，就是看的意思。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓画出来的图形。

用正投影法绘制出物体的图形称为视图。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状。不能完整反映物体的结构形状。

图1

三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果。能较完整的表达物体的结构。二、三视图的形成 对原教材作适当修改，按三视图的形成过程，将本大点分为3小点讲，小标题为增加的。

1.三投影面体系

【教学目的】三投影面体系是形成三视图的的必要条件。也为后续点、线、面课程打基础。

【教学重点】认识三投影面体系的构成和各个投影面的名称及代号，【教法设计】用自制纸质可展开的三投影面体系模型和板图相结合 【时间分配】 约7分钟

【教具】

自制纸质可展开的三投影面体系模型

三投影面体系由三个相互垂直的投影面和三条投影轴（立体坐标）构成引导学生撑开课本竖放在课桌上，建立一个简易而形象的三投影面体系。

正立投影面

简称

正

面

代号 V 三个投影面

水平投影面

简称

水平面

代号 H 侧立投影面

简称

侧

面

代号 W

V与H的交线称为OX轴

简称 X轴

它代表物体的 长度 方向

三条投影轴

W与H的交线称为OY轴

简称 Y轴

它代表物体的 宽度 方向

W与V的交线称为OZ轴

简称 Z 轴

它代表物体的 高度 方向

X、Y、Z三轴的交点 O称为原点

2.三视图的形成过程和名称

【教学目的】 要求掌握每一视图的名称，以及它从物体的何方向投影所得和最能反映物体的何方位形状。

【教学重点】 每一视图是从物体的何方向投影所得。

【教法设计】 主要采用教案所示的组合体教学模型实物，配合纸质三投影面体系上已画好的视图进行引导讲解各图的名称和来历，不作板图。从简。【时间分配】 约8分钟

【教具】

自制纸质可展开的三投影面体系模型和教案所示的组合体教学模型

从物体的 前面向后面投射，在 V面所得的视图称 主视图—能反映物体的前面形状

从物体的 上面向下面投射，在 H面所得的视图称 俯视图—能反映物体的上面形状

从物体的 左面向右面投射，在 W面所得的视图称 左视图—能反映物体的左面形状

3.三视图的展开及其位置

【教学目的】 由三视图规定的展开形式引导出三视图固定位置的道理，对三视图的形成有一个完整的概念。

【教学重点】 三投影面展开的规定以及三个视图之间相对位置的认识。【教法设计】

1、主要以纸质三投影面体系模型进行直观的、逐一地展开，展开的结果也自然地展现了三视图位置的来历。该模型最能讲透这个内容的实质。

2、三视图展开之后，将该组合体的三视图按对应关系徒手板画到黑板约中间的位置上（图2），以说明展开的实际意义，也为下一个分析内容提供板图。【时间分配】 约5分钟

【教具】

自制纸质可展开的三投影面体系模型。

为了看、画图的方便，必须将三个相互垂直的投影面摊平到同一个平面上 三视图的展开

以V面为基准，沿 Y轴剪开，然后 H面绕X轴向下转90°

W面绕Z轴向右转90° 三视图的位置

主视图在图纸的左上角

左视图在主视图的正右方 俯视图在主视图的正下方 三、三视图之间的投影关系

（三等关系）

【教学目的】 此为本课程最基本也最重要的基础知识，要求理解并初步掌握三视图之间的尺寸等量内在联系，即“尺寸三等关系”。

【教学重点】 分析每一视图能反映物体的什么尺寸、不能反映什么尺寸及其原因，引出任意两图之间的尺寸等量关系，用“跑道”的等宽和转弯的形象比喻，讲解左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系；归纳分析“三等关系”的口诀，强调“对正、平齐”的含义。

【教学难点】 左俯两图间的宽度尺寸方向和等量关系

【教法设计】

1、先徒手添画出组合体的轴测图（图3），一方面是让学生有新鲜感，另一方面是开始引导学生如何看懂轴测图与三视图的联系，为今后的学习和作业打基础。

2、讲解过程采取模型、轴测图和三视图三结合的感性和理性的分析，设计板书中的圈圈（见下页教案），使学生易于接受和理解。

3、强调用跑道的比喻化解宽相等的难点。

4、示范演示用一副三角板配合推画、掌握长对正和高平齐的关系，然后再用圆规专门负责量取宽度尺寸的图线，用绘图工具的明确分工，辅助掌握和理解三等关系。

【时间分配】 约15分钟

【教具】

教案所示的组合体教学模型

任何物体均有长、宽、高三个方向尺寸，该关系是用于分析每一视图如何反映物体的这些尺寸。

图2

图3

分析的前提必须先规定物体的长、宽、高尺寸方向。强调正对主视图（V面）的水平方向为物体的长度方向，然而，其宽度和高度方向就自然地确定下来了。

主视图反映物体的长

高 尺寸；

不反映 宽 尺寸。（原因：宽方向与主视的投射方向重合）

俯视图反映物体的长

宽 尺寸；

不反映 高 尺寸。（原因：高方向与俯视的投射方向重合）

左视图反映物体的高

宽 尺寸；

不反映 长 尺寸。（原因：长方向与左视的投射方向重合）

配合图2进行分析引导，该图的使用过程连线在此教案中从略 由此可见：

1、每一视图只能反映物体两个方向的尺寸。故视图是平面图形，没有立体感，是学习机械制图困难所在。

2、每两个视图反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。

从宏观到局部均存在这种联系。

1、在对齐的前提下，自然就有等量关系。

2、对正、平齐就是不可以将两图错位

含义：

归纳为口诀 主视、俯视

长对正

主视、左视

高平齐

左视、俯视

宽相等

【难点】

在宽相等的关系上，因为这两图的宽度方向未能对正，而相差了90°。板图讲解用两段弧将左、俯两图连接，形象比喻为跑道。帮助理解和记忆宽相等关系，特别是两图之间的宽方向的转向。四、三视图与物体位置的对应关系

（方位关系）

【教学目的】 此为三视图的第二个投影规律，要求理解并初步掌握每一视图所能反映物体的什么方位和不能反映什么方位，故该关系也称“方位关系”。【教学重点】分析每一视图所能反映物体的什么方位和不能反映什么方位。【教学难点】左、俯两图间的前后方位的判定。

【教法设计】

1、利用图2和图3进行启发、引导式地讲解。

2、联系和借用三等关系，讲解方位关系。

3、增加口诀“里后外前”帮助学生判别左、俯两图的前后方位 【时间分配】 约15分钟 【教具】

组合体教学模型

任何物体均有前后、左右、上下六个方位，方位关系是用于分析每一视图如何反映物体的这些方位。

分析的前提必须先规定物体的前面方位。强调正对主视图（V面）的当面为物体的前面方位，然而，其他方位就自然地确定下来了

主视图反映物体的左右、上下 方位； 不反映 前后 方位（原因：该方位与主视的投射方向重合）

俯视图反映物体的左右、前后 方位； 不反映 上下 方位（原因：该方位与俯视的投射方向重合）

左视图反映物体的上下、前后 方位； 不反映 左右 方位（原因：该方位与左视的投射方向重合）

利用配合图2进行分析引导，该图的使用过程连线在此教案中从略 【难点】

在判别左、俯两图的前后方位

用 “里后外前” 口诀帮助判别前后关系。

【解释】 以主视图为基准，在左、俯两图中，靠近主视的一边为里，即物体的后边结构；

远离主视的一边为外，即物体的前边结构。

小结：

1、三视图的投影规律有两个，三等关系和方位关系。看、画图过程缺一不可。

2、主俯和主左视图的对应关系比较直观，易于理解掌握，而难点在于左俯两图的宽相等和前后方位的理解和判断。

【举例】 目的在于对有关三视图两个投影规律的实际运用，验证缺一不可的重要性。

【时间分配】 约15分钟

例： 根据给出的简单形体轴测图，画出三视图。（边画边分析其结构，过程从略）

题目设计为形体的结构特点基本对称，唯有圆孔不对称。目的在于体现方位关系的运用。板图过程有意将孔的宽方向尺寸和前后方位画错，让学生纠错，以达到总结消化目的。

图4

五、物体表面上面和线的基本投影特性

（正投影法的基本特性）

主要是研究物体表面的几何要素与投影面相对位置的不同而产生的投影结果和特性。

【教学目的】 理解物体的面、线与投影面的三种相对位置，其投影结果如何，属何性质。

【教学重点】 在于倾斜状态的分析和投影结果。

【教法设计】 采用实物模型和图2中的三视图进行对正分析。【时间分配】 约10分钟 【教具】

组合体教学模型

相对位置：一般分为三种状况：平行

垂直

倾斜。

1.平面的基本投影特性

平行于投影面——投影为反映 实形 的 封闭线框——其特性称为

真实性 垂直于投影面——投影 积聚 为一直线段——其特性称为

积聚性

倾斜于投影面——投影为有 类似性 的 不反映实形 的封闭线框——称为 类似性

2.直线的基本投影特性

平行于投影面——投影为反映 实长 的 直线段——其特性称为

真实性 垂直于投影面——投影 积聚 为一个 点——其特性称为

积聚性 倾斜于投影面——投影为 缩短的不反映实长 的 直线段——称为 收缩性

小结：正投影法的基本特性有三个，即真实性、积聚性、类似性（收缩性）

【布置作业】习题集P13、14两页共4大题。课后独立完成。［P13－2－（2）给出轴测图］

作业不很多，难度不算大，切合本次课的内容范围，基本可以独立完成。

【时间分配】

《空间几何体的直观图》参考教案 篇4

第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

课题：空间向量及其运算

一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：

1．a,b向量共线的充要条件： ；

2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：

1．如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABaADb，AA1c，则下列向量中与BM，相A1DD1MB1C1等的向量是（）

CB11(A)abc2211(C)abc2211(B)abc22

A(D)12a12bc

2．有以下命题：

①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；

②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

3．下列命题正确的是（）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面；

(D)若a//b，则存在唯一的实数(C)零向量没有确定的方向；使得ab；

4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

(A)OMOAOBOC(C)OMOA12OB(B)OM13OC2OAOBOC13OA13

13OC(D)OMOB

四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥PPGBCABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点，求证：

P

M

A G N B

C

例2．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

1OM(OAOBOCOD)4

E A

例3．在平行六面体ABCDB H M O D

F G C

A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1C1

D1 2）直线BD1与AC所成角长为b，且 AA1B1AA1D1120，求（1）AC1的长；（的余弦值。

A1 B1 D

C

B

A

五．课后作业：

1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OPxOAyOBzOC是点P,A,B,C共面的（）

充分不必要条件(B)必要不充分条件(A)

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

2．棱长为a的正四面体中，ABBCACBD3．向量a,b,c。

两两夹角都是60，|a|1,|b|2,|c|3，则|abc|4．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x ； AEAAxAByAD（2）1（3）AFADxAByAA1，则x ；y ；，则x ；y ；

5．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：

（1）ABC1B1CD1 ； （2）ABADAA1。

6．设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对

角线BC1上的点，且BN3NC1，设MNaABbADcAA1，试求a,b,c的值。

7．空间四边形OABC中，求OA与BCOA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60，夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分别为平行六面体棱的中点，求证：（1）LEFGHK0

《空间几何体的直观图》参考教案 篇5

几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能力主要包括空间想像力、直观洞察能力、用图形语言来思考问题能力。用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理，就是几何直观，说的挺形象。该如何从学习图形中获得最大的好处，这是作为数学工作者应该想的一件事情。如何帮助学生建立几何直观，下面结合我自己的教学实践，谈谈本人在教授这方面发展的策略。

一、加强空间观念的培养

我以为一个学生空间观念如何直接影响几何直观能力的高低，很简单地理由，空间观念不强（想象不出具体实物对应的图形）怎么用几何图形去解决实际问题呢？我相信，一个有着很强的空间观念的学生几何直观能力不会差到哪里的。

举个例子，我这样教学“正方体表面展开图”一课：

（一）操作一：正方体表面展开图可能是怎样的？

每人准备一个正方体的盒子，先想象把正方体六个面展开后，这六个面的位置可以怎样连？把图画下来；

动手剪一剪，看看剪下来的表面展开图和你画的是不是一样的？把展开图画下来。同时思考：你事先画下的（想象的）表面展开图和你剪出来的并不一样，那么是不是就说明围不成正方体呢？

引导学生接着操作，把图形剪下来，再折一折拼一拼，看看能不能围成正方体。（学生会发现，有的能，有的不能）

第一操作总结：看来正方体表面展开图有很多种情况啊。把你们一开始画的表面展开图贴到黑板上，根据学生所画所贴图情况，适当补充一些老师需要的情况。

（二）操作二：正方体的表面展开图有什么规律？ 引导学生猜测哪些是能拼成正方体的，哪些不能？在猜测的基础上再一一检验（通过折一折的方式）

最后引导学生把能折成正方体的表面展开图分一分类。总结出一般的规律.整个过程有操作、有想象、有找规律（实质是抽象），充分培养了学生的直观几何能力。

二、要充分的发挥图形给带来的好处。

我们都知道“兴趣是最好的老师”，“几何直观”作为一种能力，要想让学生认同它、进而学习它，首要一点就是要引起学生的注意、让学生对此感兴趣。怎样才能做到这一点呢？作为教师要不失时机地向学生展示利用“几何直观”解决实际问题的优势。

举个例子：计算1+3+5+7+9+11+……+2009+2011+2013=？

通常的做法是运用“等差数列求和公式”，既“和=(首项+末项)×项数÷2”，要求和首先求项数，求项数的公式是“项数=(末项-首项)÷公差+1”。就有，(2013-1)÷2+1=1007，(1+2013)×1007÷2=1014049。

运用“几何直观”我们可以这样思考：由下图可知，从1开始的连续奇数之和就等于奇数个数的平方。所以有1+3+5+7+9+11+……+2009+2011+2013=1007=1014049 这是典型的“数形结合”的例子，通过“点子图”能把复杂的很多个连续奇数连加的算式转化成一个数的平方。由此让学生感觉到“用几何思维”解决“代数问题”是多么的神奇。

展示“几何直观”在解决代数问题时的神奇，其最终目的是培养学生有“几何直观”的意识。

三、要让孩子养成一个画图的好习惯。

我认为：“几何直观”是指能自觉地、合理地运用“几何的直观性”来解决抽象的代数问题的一种能力。既然是一种能力，必然要经历“感知模仿――内化习得――熟练运用――自如创新”的过程。这个过程并不是一帆风顺的，不同的学生其经历的过程也不会相同，有

2的可能习得较快、有的也许较慢，所以教师要有耐心帮助每个学生经历“几何直观”能力形成的过程。

下面就以“画线段图解决问题”这一“几何直观”能力的培养为例说说如何培养学生养成画图的好习惯。

我们在平时的教学时常常会提醒学生：“当题目看不懂，条件与条件之间的关系理不清楚时，可以画画线段图”。但学生(大多数学生)不会根据题意画线段图，于是很多老师埋怨学生“怎么这么简单的线段图都不会画呢？”

其实对于学生来讲，画线段图并不是那么容易的事。因为画线段图实质上是一个半抽象的过程，画线段图的过程是把“语言描述”数学问题转化成“图形描述”的数学问题，如果图画准确了，题意就理解了，方法就出来了，有时候答案也显现了。

比如在中年级常出现这样的题目：

有甲乙两筐苹果，甲筐苹果的数量是乙筐的3倍，如果甲筐里拿出9千克给乙筐的话，两筐就一样多了。问甲乙两筐原来各有多少苹果？

解这道题的关键是从“甲筐里拿出9千克给乙筐的话，两筐就一样多了”这句话中能分析出“甲筐原来比乙筐多9千克”。那么怎样才能直观的理解呢，这时我们都会想到画图，怎样画呢？其实也是有技巧的，如果从正面开始画，先画乙筐是一段，因为甲是乙的3倍，乙就画3段，接着怎样画拿出9千克，又保证甲剩下的和乙加上9千克后是一样的呢，就比较难画了。此时我们从反面开始画则容易一些，即先画两段一样长的线段，表示现在的甲、乙，然后从乙中去掉一小段，同时甲加上同样长的一小段就可以了。可以说从图中就能看出甲和乙原来各有多少苹果了。

在教学的过程中，首先可以提出“画线段的要求”让学生独立思考、尝试画线段图；然后展示学生各种不同的线段图，一起比较分析哪一种画法(或哪几种，因为好的线段画法有时不止一种)看得最清楚、画起来最简单些(通过比较、择优让学生看懂线段图)；选出最优方案后，再让画这些线段图的学生上台讲讲“具体是怎样一步一步画出来的”(通过学生的讲解了解画的步骤)；接着让每一个学生试着独立地画一画(感知画图的过程，模仿画线段图)。这样通过看、听、画，学生实际上经历了“感知模仿――内化习得”的过程。当学生初步掌握后，教师应该再呈现一些生活中的问题让学生再画线段图解决，从而慢慢达到“熟练运用”的火候。相信长期如此练习，当画线段图的方法学生能运用“自如”时，面对新的问题时学生就可能会产生“创新”的火花。

四、要在学生的头脑中留住些图形。

几何直观在小学数学教学中的运用 篇6

小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。

（一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系

“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了。比如俞止强老师的讲座中提到这样个例子:生说自然数就像条射线，它们都有个起点，没有终点，可以无限延长。这位学生惊人的发现无不体现了知识间是相通的，把代数中的自然数概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。

（二）以图促思—渗透数形结合思想

“数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

利用直观的图形，学生能积极地思考图中正方形的面积的变化和算式之间的联系。在此基础上用数学式子表达它的规律。从而发现;n个奇数相加的和等于n×n;再如，教学“连除两步计算问题”时，学校图书室买来200本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。平均每层放了多少本书?最初可以出示书架的实物模刑，逐步用长方形的图示代替来说明解决问题的过程。①先算每个书架放了几本?②先算两个书架共有几层?③先算两个书架的一层共放几本书?以数形结合的方式帮助学生感悟用连除两步计算解决问题的数学本质。借助“形”的直观，能促进小学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透数形结合是一种重要的数学思想。

（三）以图求解—有助于数学方法的再创造

直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

《空间几何体的直观图》参考教案 篇7

数学是研究数量关系和空间形式的科学。几何直观是贯穿小学数学教学始终的基本内容。俄国教育家乌申斯基说过：“儿童是用形式、声音、色彩和感觉来思维的。”直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一种情绪色彩。如果不形成发达的、丰富的情绪记忆，就谈不上童年时期的完美的智力发展。

几何直观则是借助见到的或想到的几何图形的形象关系产生的对事物的性质或数量关系的直接感知。它凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，能迅速、简捷、合理地解决问题，更好地帮助学生学好数学、研究数学。因此，在小学阶段着眼于培养学生的几何直观能力显得尤为重要。

一、着眼于画图策略的掌握

培养学生看图、读图、想图、作图能力是发展学生几何直观能力的重要环节。在实际学习中，学生由于年龄特点的影响，再加上抽象思维能力差，头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，主要反映在做题时不会画图或即使画出来的图也不易辨认，甚至画出错误的图形来，从而误导了解题的思路且不易查错，严重地影响了解题的正确性。因此，着眼于画图策略的教学是提高学生几何直观能力的有效方法。

（一）强化画图意识，激发兴趣

小学生因年龄小，生活经验有限，再加上空间想象能力不足，对数学问题的感知程度往往很低，认识模糊、思路不清。但他们好奇心强，大多数孩子喜欢画画。教师可引导学生将有些数学题中的数学信息以自己喜欢的形式画下来，或用图形摆出来，这样原本枯燥的数学突然间就会变得直观形象起来。学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。

如一年级教材中有一道思考题：12个男生排队，老师让每两个男生中间站一个女生，一共有多少个女生？当学生表示解决有困难时，教师提示：画一画，想一想。许多学生画了12个圆表示男生，然后再在间隔处画上另外的记号表示女生，最后数出一共有多少个女生。得到解题的结果后，教师进行适当的提升，如果有15个男生呢？然后提问：如果有100个男生呢？用画图的方法还好吗？让学生感觉到画图的作用是帮助理解题意，但不是永远的“救命稻草”，而是需要在题目中进行抽象和理解，最后学会理性思考，独立解题。

又如在学生解决三年级的“学校里有一块长方形花坛，如果将它的宽增加3米，长不变，这样花坛就变成了一个正方形，面积增加了24平方米。原来长方形花坛的面积是多少平方米”这一问题时，很多学生对题意不是很理解，觉得无从下手。这时教师问：“有什么办法可以清楚地看出花坛的扩建情况？”在这时学生很自然地产生了画图的需要，因为画图能使题意直观可见。

因此，学生在解决实际问题中，通过教师的引导，可以真切体会到画图的方便和直观，当图形和题目意思有机结合时，很多的问题自然会水到渠成、迎刃而解。在这个教学过程中，学生学会的不仅仅是画图的方法，而是很好地培养了学生画图的意识，激发了学习数学的兴趣。

（二）掌握画图方法，习得技能

在实际教学中，要帮助学生掌握用画图策略解决问题的过程，促进学生体验画图策略解决问题的优越性。教师要提高自身的数学专业素养，尤其是在“画图策略”技能上的素质。教师需要在对数学知识和画图策略的应用上进行透彻的研究，寻找最精当的方式，从而达到教学目的。只有这样，教师才能对教材进行精心分析，寻求对不同知识板块个性化的图解。

1.正确示范画图

在平时教学过程中，教师要主动地运用几何直观进行教学。首先，教师要正确示范画图。教师是学生学习和模仿的对象，教师的示范作用对学生来说至关重要。比如，在“倍的认识”一课教学时，教师在画图过程中，要非常清楚地表示出一倍数，当画几倍数的时候，就要很清楚地表示出有这样的几个。精确的画图示范，对于学生有效地建构倍的概念、形成倍这个知识的正确表象，具有非常重要的作用。当然，教师也不能为了画图而画图，把画图停留在表象上，而是要深入地揭示数学的本质，挖掘知识的内涵和外延。

2.教给作图技巧

小学生学会独立画图有一定的难度，但是让他们学会一些基本的画图技能，对于数学的学习非常重要。因此，教师要结合教学的内容和数学学科的一些特点，教给学生一些作图技巧。如画线段图时，几个对比的量用不同的线段来表示；互相包含的量可以画一条线段；去掉的部分可以用斜线画去，但不要擦掉，这样便于对比和还原。画图时，一般要按问题陈述的顺序，题中先说什么，就先画什么，要在图中依次表示出所有的条件，还要标清问题。不是规定的作图题，可画草图，但要能看得清楚。这样的画图技巧，对于学生今后画图水平的提高和运用画图技能解决实际问题非常有用。

（三）丰富画图形式，积累经验

学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此，教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。在这个过程中要遵循这样一个原则，即能把数量关系最清晰、最直接地表示出来的图形，就是最佳的选择。

如一位教师在教学“分数的意义”一课时，让学生画出你心目中的四分之一。学生根据自己的经验和理解，用了各种不同的素材画下了心目中的四分之一。有的学生画了一个圆平均分成了4份，取其中的一份；有的学生画了4颗星，平均分成了4份，取其中的一份；还有人写了一句话，共12个字，把12个字平均分成了4份，取了其中一份（3个字）……总之，表现的形式各式各样，但在课堂上师生共同评议总结得出了共同的特征：都是把单位“1”平均分成了4份，取了其中的一份，本质是一样的……

用画图的方法表征数学的形式很多很多，教师在教学的时候要尽可能地拓宽教学的内容，提供开放的教学素材，从源头上丰富学生画图的形式，让学生用各种不同的画图形式来进行表示。在这样实实在在的画图训练中，积累经验，提高画图的实际水平。当然，“画图策略”的能力训练需要教师从学生一年级起就引起重视，长抓不懈。

（四）评议画图呈现，渗透思想

在学生根据题意画好图后，还要引导学生对所画的图进行观察思考，让学生体验画图“化抽象为直观”“化模糊为清晰”的价值。最后，通过回顾解题过程，说说开始解题时有什么困难，后来依靠什么办法弄清题意并解决问题的。引导他们感知画图法的优势，并表扬自觉运用画图方法的学生。在教师反复强调中，学生在“运用―回顾―反思―再运用―总结”中，逐步形成自觉运用的意识，从而使“画图”内化成一种解决问题的策略。

教师在培养学生利用画图策略解决实际问题的过程中应有意识地渗透数学思想，如转换思想、对应思想、归纳思想、化归思想、类比思想等，从而培养和发展学生的数学能力。学生把图画好后，师生评议时教师要有意识地选择一些较好的渗透数学思想的图，给全体同学一个示范。

二、着眼于空间观念的提升

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化。教学中可着眼于几何模型、几何画板、多媒体等直观教学方式的运用来提升学生的空间观念。

（一）培养学生的直觉思维

直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式，在看到题目的条件或题里的图形，能很快说出它的特点、隐藏的意思等。

它在数学学习中有其他思维不可替代的优点。这就要求教师转变教学观念，把主动权交给学生，对于学生大胆的设想给予充分的肯定，对于其合理的成分及时给予鼓励、爱护。

（二）重视学生的直观操作

空间观念的发展依赖于学生的实践操作活动，在教学中应设计一定的实践操作活动，以发展学生的空间观念。教学中教师要组织学生开展观察、操作、猜测、想象。观察和操作是产生猜想的条件，也是验证猜想的手段，一定要予以足够的重视。

如教学“长方形和正方形”一课时，笔者给学生充分的操作时间和空间，验证长方形两组对边分别相等，正方形的四条边都相等。展示时，先让学生演示量的方法，再演示折的方法，折纸，需要有空间想象力，特别是通过“折纸”证明正方形四条边都相等，笔者特别要求全班同学都动手经历这种验证方法。之后，又让学生用长方形折一个最大的正方形……实践证明，学生通过直观操作，对长方形的特征有了深刻的认识，对后续学习收到较好的效果。

（三）设计有效的想象活动

利用学生已有的生活经验，设计恰当的教学情境，激发学生学习几何的兴趣。通过学生放眼看、动手做、动口说、动脑想，发展学生的合情推理能力，培养学生的空间想象能力。

如在复习“长方体和正方体的表面积和体积”一课时，笔者先是提供给学生六个面，让学生想象着求这个长方体的体积，依次慢慢地减少，逐渐变成5个、4个、3个、2个面，让学生想象着求体积，最后到一个面，学生还要想象它的高可能是多少。这样的想象活动，既很好地检查了学生的知识掌握情况，又很好地培养和发展了学生的空间观念。

三、着眼于“数形结合”的运用

在小学数学学科里，有很多重要的数学内容都既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面同时认识它们，才能很好地理解、掌握它们的本质意义。数形结合是贯穿于数学教学的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质许多抽象的数学概念和数学关系变得形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”和“形”的信息转化、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，也只有这样，才能让这些内容变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用它们去思考问题，形成几何直观能力。

（一）计算教学：实现数形间的合理转化

在计算教学中，往往单纯的计算无法激起学生的挑战欲，教师可以提供给学生一些材料，鼓励学生思考。如下图，在教学乘法口诀后，教师出示一个小三角形表示5，那么大三角形表示（）。学生要先思考大三角形里有几个小三角形，再用口诀算出结果。这样的设计“数中有形、形中有数”，很好地实现了数形间的合理转化。

（二）概念教学：突出数形间的直观感知

学生在学习了概念后，往往只会机械记忆。比如，学习了100以内的数后，学生会数。但如果要解决66离70近还是离60近这个问题，很多学生就不能很快地找到。但如果教学时给学生一根数轴，看看每个数在数轴上的位置，就能有效地避免这个问题。

（三）解决问题教学：借助数形化抽象为直观

在应用转化策略解决问题的同时，巧妙借助几何直观，把复杂的计算问题转化成简单的计算问题，可以培养学生初步的几何直观能力。教师要引导学生思考：为什么喜欢用画直观图的方法？使学生体会到数与形的完美结合，可以帮助我们将复杂的计算问题转化成简单的算式进行计算。

总之，借助几何直观可以使复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化。几何直观不仅在“图形与几何“的学习中发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个小学数学学习过程中。