立体几何学习方法

立体几何学习方法（通用10篇）

立体几何学习方法 篇1

从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。

第二要掌握基础知识和基本技能。

要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。在解题中，要书写规范，如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉;要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观;对于文字证明题，要写已知和求证，要画图;用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。要学会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题;要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。

第三要不断提高各方面能力。

立体几何学习方法 篇2

这几个问题主要包括对于细节的把握、方法的灵活运用、特殊几何体的牢固掌握、知识点之间的联系。

1、细节的把握主要包括对于定义

和概念的细节把握和对于公理、定理的细节以及对于所需解决问题的细节的把握。

在选择题和填空题中往往会出现一些对于某些几何体特征的考察, 这就是考察学生能否掌握定义和概念的细节。在考察中往往是突出定义和概念的某一个方面而忽视或改变其他方面, 让学生觉得似是而非, 引起学生的错觉。随着学生年龄的增长和认知规律的改变, 死记硬背对任何一个科目都不是最佳的学习方法。但在实际教学过程中也的确有部分师生认为在现阶段无法理解的基础下首先死记硬背以后再图掌握, 我认为这是本末倒置的一种做法。死记硬背所掌握的东西很快就容易忘记, 而通过分析、理解、归纳总结掌握的内容却可以掌握很长时间乃至终生。所以在教学过程中帮助学生分析定义和概念, 让学生知道这些定义和概念的细节有哪些并引起注意对于掌握它就是很简单的一件事了。

例如:我们来看一下棱柱的定义。有两个面互相平行, 其余各面是夹在这两个平面之间的四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱的主要性质包括:侧棱都相等, 侧面都是平行四边形;两个地面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两个侧棱的截面是平行四边形。

我们再来看一些与棱柱相关的一些概念:侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱;底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。

我们可以看一下以下几个命题:

(1) 有两个面互相平行其余各面都是夹在这两个面之间的平行四边形的几何体叫做棱柱 (假)

(2) 长方体是平行六面体 (真) 、平行六面体是长方体 (假) 、直平行六面体是长方体 (假) 。

(3) 长方体是直四棱柱 (真) 、直四棱柱是长方体 (假) 。

(4) 正方体是正四棱柱 (真) 、正四棱柱是正方体 (假) 、正四棱柱是长方体 (真)

对于公理及定理的掌握也要掌握其细节, 这个问题主要凸显与对于证明题和解答题的解题过程中。学生往往知道怎样去证明一个问题, 但是因为对于一些细节的疏忽而引起不必要的失分, 令人惋惜, 所以要在教学过程中要加以强调。

学生在解题过程中, 经常会出现这样的情况, 学生会使用三角形的中位线定理、平行四边形的性质定理等知识点来证明两条直线平行, 但是没有强调两条直线其中一个在平面内一个在平面外这一点, 引起不必要的失分, 也是让人惋惜的。

2、要注意方法的灵活运用

在解题过程中对于一些方法要能够做到灵活运用。例如等积法的灵活运用、三棱锥的特殊性的灵活运用、割补法的灵活运用、定理之间的灵活运用 (例如:可以利用面面平行证明线面平行、利用线面垂直证明面面平行等) 、转化角度来理解定义或概念以达到灵活运用的目的、灵活运用手边工具进行解题等。

以等积法为例:我们可能会遇到这样的问题, 求一个点到另外一个平面的距离。这种类型的问题的常规解法是过此点作这个平面的垂线段, 然后利用我们所学过的公理、定理、公式等进行求解。这种方法往往需要添加大量的辅助新并伴有大量运算。有些此类问题可以转化为棱锥体积的两种不同求法的问题来进行转化, 达到解题的目的。通常是三棱锥体积的两种不同计算方法。如果是其他几何体可以考虑使用割补的方法来进行体积求解。

再例如:对于简单几何体的定义来说学生是比较难以理解的, 我们还可以从另外一角度来理解这些简单几何体定义。棱柱可以看作是一个多边形沿某一方向平移以后所形成的几何体、棱锥可以看做是棱柱的一个底面收缩为一个点以后所形成的几何体、棱台可以看做是用平行于棱锥底面的平面去截一个棱锥所得到的几何体。球可以看做是空间中到定点的距离相等的点的轨迹等等。灵活的从多个角度去掌握一个知识点, 对于此知识点的牢固掌握作用是巨大的。

总的来说任何一个科目都不是教条的、死板的传授的, 这样只能增加学生的负担, 也达不到预期的教学目的, 多加思考灵活一点从多个角度来理解并掌握更容易调动学生的积极性, 也更容易达到掌握的目的。

3、比较特殊的几何体的掌握

考察各个省市历年各个形式目的的考试题目, 我们可以发现在考试中所出现的一些几何体大部分都是比较特殊的几何体。如:长方体、正方体、正棱柱、正棱锥、正棱台、正多面体等。那么平时多去了解并掌握这些比较特殊的几何体的特征和性质对于解题是有很大帮助的。甚至我们在解题过程中还可以人为的进行割补使之成为一个比较特殊的几何体以达到简化问题的目的。此方法也是大幅度提高学生成绩的一个有力的措施。

例如:题目中出现这样的一句话:P为空间一点, PA、PB、PC是从P点出发的三条线段且互相垂直。我们应该提示学生在脑海中构造出一个这样情况:这样的情况恰恰是长方体的一个顶点及从这个顶点出发的三条条线段。也就是说可以看做是从长方体上割下来的一个角。在实际的解题过程总可能未必用到, 但应该有这种意识。因为在学习过程中不能是为了解题而解题, 应该是通过解题来提升自己的解题能力。

再例如:P—ABC是棱长为的正四面体, 求此正四面体的外接球的表面积。

显然解决此问题最关键的一点试求出这个正四面体的外接球的半径。那么此问题很多同学会采用做正四面体的高, 然后通过比例、勾股定理等知识点来求出半径, 再求出表面积。此方法所添加的辅助线以及所带来的运算量不可小觑。有兴趣的朋友可以试一下。我们看一下下面这种方法:我们构造一个棱长为1的正方体PAB1C1—P1A1BC。显然这个正四面体的外接球就是这个正方体的外接球。那么这个正方体的外接球的直径就是这个正方体的对角线的长, 为则其半径为则这个球的表面积为显然这种方法可以避免作大量辅助线和大量运算。

4、加强本章知识点内部之间及与其他章节的知识点之间的联系与运用。

这个问题要靠平时的及时提醒和引导。其实我们所学的数学内容都不是孤立的, 它是一个系统的整体, 那么在解题过程中知识点的互用现象就很多了。例如我们在证明线面平行或者是面面平行问题中需要用到线线平行, 那么证明线线平行的方法可以采用中位线性质定理、平行四边形性质地理、线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理等等知识点。在证明或求解一些角度问题如:线线夹角、线面夹角、面面夹角问题是又经常用到正弦定理、余弦定理甚至是初中所学习的直角三角形中锐角的三角函数的内容。在证明或求解线线平行或垂直问题时, 空间向量显然是一个方便有力的工具。在题目设计上, 出题者又往往将题目和其他内容结合起来, 例如利用函数、平均值不等式、三角函数等知识点求最值问题。

总之立体几何这一章内容比较简单对于学生来说容易理解并得分, 但如果一些问题处理不当也是比较容易失分。天道酬勤不仅适用于学生, 也同样适用于老师。另外还有就是在教学过程中的想和做的问题要处理好, 遇到问题先要多想, 引用孔子的一句话“学而不思则罔, 死而不学则殆”。相信通过大家的努力可以取得更加优异的成绩。另外限于篇幅, 文中所列内容在这里不再一一举例, 大家在以后的教学过程中加以补充吧。

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修, 人民教育出版社, 2007年2月第3版。

[2]普通高中课程标准实验教科书数学必修, 教师教学用书, 人民教育出版社, 2007年2月第3版。

[3]七市高中选修教材编写委员会:《中学数学思想方法》, 2003年1月第1版。

[4]王林全主编:《初等几何研究教程》, 暨南大学出版社, 1996年8月第1版。

轻松学习立体几何 篇3

一、看

看一：要想学好立体几何，在刚刚接触时，一定要先多看。首先要看一些正确的图形，对立体几何图形有一个大概的印象，理解正确图形的作法、某些地方如何衔接、哪些线在实际中能看到、哪不能看到等等，我们更要多看一些错误的图形，要能从中找出错误的地方，例如，我发现今年苏教版必修2课本第7页中就有一处图形有误，我灵机一动让学生来找这个错误，结果是能很快从中找出错误的学生比较少，但通过十分钟的时间大约有一半的学生能找出

来了，后来我发现，正是这些能很快发现课本图形错误的学生立体几何基本上都能学得很轻松，那些用较长时间才能看出的学生需要通过一定努力才能把立体几何学好，而那些用十分钟还没有看出的学生学习立体几何比较辛苦，而且不能领会，不能达到融会贯通的程度，当然，这与我后来没有在这个方面花更多的时间来巩固有关。其实，这个过程就是入门的诀窍，我想以后如果在这个方面多花点工夫，应该会使绝大多数学生能把立体几何学好的。

看二：学好立体几何还需要能运用有关公理、定理和一些结论来证明一些问题。由于学生以前没有接触过，所以，要先看一些正确的证明步骤，可以看课本的证明过程，也可以看参考资料的例题证明，然后模仿，直至能独立证明，最好是学生之间能相互交流，互相看作业，找到错误的地方，互相订正，特别要注意证明过程的严密性，这样，才能把握证明的要点。其实这一点就是模仿。

二、作

学好立体几何的第二步要会作图、多作图，在一些简单的图形中能注意到线面特点，尤其是对某些线中实际隐藏的问题，多作图形可以不断巩固从“形”上对线面关系的理解，为后续学习打下一个良好的基础，同时还能培养学生的空间感觉，想学好立体几何，没有吃苦的精神肯定不行，画图这个基本功一定要在入门时打好，否则后面一定会出问题的。同样是这批学生，有一两个“看”的基础不错，但由于有点懒惰，布置作图，或者有练习作图的机会他们都错过了，怕动笔，因此，还是没有能够把立体几何学好，碰到有点难度的问题就束手无策。在作图这个环节上，一定要发扬互帮互助的同学感情，大家对各自的作业进行相互交流，尤其对一些做得比较好的，要进行展示，这样才能相互促进，共同提高。

三、理

学习数学中任何一个章节，都需要在弄懂、理解的基础上，对所学内容进行思考，立体几何毕竟是以空间想象为主线，你如果仅仅对所学知识能听懂、会做题还远远不够，如果不能认真梳理，某个问题换个角度对你来说可能就是难题，所以，想把立体几何学到能应付考试，你必须对所学的东西，运用你的思考进行整理，理出一个头绪来。如，对于线面关系，要证明线面平行，方法大致有：

（1）通过线面平行的判定定理，a？埭α，b？奂α，a∥b？圯a∥α；（2）运用面面平行的性质，α∥β，a？奂α？圯a∥β；再如，要证明线线垂直时，有以下方法：（1）运用等腰三角形的三线合一；（2）运用勾股定理；（3）运用线面垂直的性质a⊥α，b？奂α？圯a⊥b（这是主要方法）；（4）运用平行转移法，即a⊥b，a∥c？圯b⊥c等等，有了这样的梳理，你在以后的解题中就可以有依据，方法一个一个去运用、去检验，一定可以应付各类考试的。当然，做到这一点需要花费很大的精力去验证、去思考，还要通过一些训练进行巩固，才会熟能生巧。

四、悟

学习立体几何的目的并不仅仅是为了应付各类考试，最主要的还是掌握一门基础知识，为以后的学习、生活打下坚实的基础，所以，我们还需要将所学知识进行升华，在充分理解所学知识的前提下，把有关知识之间的联系找出来，把数学思想运用进去，把数学方法总结出来，这就是数学学习中的一个境界，叫做“悟”，你能达到这种层次，立体几何对你而言就没有难题。达到这个境界的关键是要想了之后还要想，会联系地想，能综合地想，这样，使你有一种身临其境的感受，你可以把自己“变”成一个点、一条直线、一个平面，然后参与到问题中，这时，你的立体几何学习就算完满了。例如，我们教师在教学中经常讲“我这条直线”“我这个平面”，其实已经蕴含这个思想了，因为教师基本上能达到“悟”这个境界，相信学生通过自己的努力也应该可以达到这个境界。

祝愿每一个学习立体几何的学生都能有一个称心如意的学习效果。

立体几何方法总结 篇4

用：

1、平几（如：同位角、内错角相等；常用分线段比值相等）；

2、证线

线平行（公理4）；

3、证线面平行；

4、求异面直线所成角。

证：

1、利用公理4；

2、三角形中比值相等得平行

二、线面平行：

用：

1、得线线平行；

2、求点面距离

证：

1、构造三角形；

2、构造平行四边形；

3、利用面面平行

三、面面平行：

用：

1、得线面平行；

2、得线线平行；

3、求点面距离

证：

1、利用线面平行；

2、利用线面垂直

四、线线垂直：

相交垂直：用：

1、得直角三角形；

2、得线面垂直；

证：

1、平几（互余、相似、全等、等腰、勾股）；

2、利用线面垂直

异面垂直：用：得线面垂直

证：

1、利用线面垂直；

2、所成角90

五、线面垂直： 用：

1、得线线垂直；

2、得线面垂直；

3、得线线平行

4、求点面距离

证：

1、利用线线垂直；

2、利用面面垂直

六、面面垂直： 用：

1、得线面垂直；

2、求点面距离

证：记住一个结论：若，a,b,且ab，则0

a与b二者至少有一个成立

七、点面距离求法 ：如求点P到平面的距离

1、若找到过点P且与平面垂直的直线或平面，则求之；

2、利用线面平行、面面平行等距离转化为其它点到面的距离；

3、利用相似按比例转化为其他点到面的距离；

4、利用四面体的特殊性等积转化。

注解：若能找到垂直平面 的条件，利用前三种方法，否则用后一种

高考数学立体几何解题方法技巧 篇5

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系.所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决.

例1 已知正方体中，点P、E、F分别是棱AB、BC、的中点(如图1).作出过点P、E、F三点的正方体的截面.

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点.学生看到这样的题目不知所云.有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面.其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可.观察所给的条件(如图2)，发现PE就是一条交线.又因为平面ABCD//平面，由面面平行的性质可得，截面和面的交线一定和PE平行.而F是的中点，故取的中点Q，则FQ也是一条交线.再延长FQ和的延长线交于一点M，由公理3，点M在平面和平面的交线上，连PM交于点K，则QK和KP又是两条交线.同理可以找到FR和RE两条交线(如图2).因此，六边形PERFQK就是所求的截面.

二、读图

图形中往往包含着深刻的意义，对图形理解的程度影响着我们的正确解题，所以读懂图形是解决问题的重要一环.

例2 在棱长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=b

(A)是变量且有最大值 (B)是变量且有最小值 (C)是变量无最大最小值 (D)是常量

分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点.这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素?求四面体的体积要具备哪些条件?

仔细观察图形，应该以哪个面为底面?观察，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值.再发现点Q到面PEF的距离也是定值.因此，四面体PQEF的体积是定值.我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题.

三、用图

在立体几何的学习中，我们会遇到许多似是而非的结论.要证明它我们一时无法完成，这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论，这样的图形就是反例图形.若我们的心中有这样的反例图形，那就可以帮助我们迅速作出判断.

例3 判断下面的命题是否正确：底面是正三角形且相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱锥.

分析：这是一个学生很容易判断错误的问题.大家认为该命题正确，其实是错误的，但大家一时举不出例子来加以说明.问题的关键是二面角相等很难处理.我们是否可以考虑用一个正三棱锥通过变形得到?

如图4，设正三棱锥的侧面等腰三角形PAB的顶角是，底角是，作的平分线，交PA于E，连接EC.可以证明是等腰三角形，所以AB=BE.同理EC=AB.那么，△EBC是正三角形，从而就是满足题设的三棱锥，但不是正三棱锥.

四、造图

在立体几何的学习中，我们可以根据题目的特征，精心构造一个相应的特殊几何模型，将陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题.

例4 设a、b、c是两两异面的三条直线，已知，且d是a、b的公垂线，如果，那么c与d的位置关系是( ).

(A)相交 (B)平行 (C)异面 (D)异面或平行

分析：判断空间直线的位置关系，最佳方法是构造恰当的几何图形，它具有直观和易于判断的优点.根据本题的特点，可以考虑构造正方体，如图5，在正方体 中，令AB=a，BC=d，.当c为直线时，c与d平行;当c为直线时，c与d异面，故选D.

五、拼图

空间基本图形由点、线、面构成，而一些特殊的图形也可以通过基本图形拼接得到.在拼图的过程中，我们会发现一些变和不变的东西，从中感悟出这个图形的特点，找出解决待求解问题的方法.

例5 给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明.

分析：这是高考立体几何题中的一部分.这个设计新颖的题目，使许多平时做惯了证明、计算题的学生一筹莫展.这是一道动作题，但它不仅是简单的剪剪拼拼的动作，更重要的是一种心灵的“动作”，思维的“动作”.受题目叙述的影响，大家往往在想如何折起来?参考答案也是给了一种折的方法.那么这种方法究竟从何而来?其实逆向思维是这题的一个很好的切人点.我们思考：展开一个直三棱柱，如何还原成一个三角形?

把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分，甲内部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是宽相等的三个矩形.现在的问题是能否把乙分为三部分，补在甲的三个角上正好成为一个三角形(如图丙)?因为甲中三角形外是宽相等的矩形，所以三角形的顶点应该在原三角形的三条角平分线上，又由于面积要相等，所以甲中的三角形的顶点应该在原三角形的内心和顶点的连线段的中点上(如图丁).按这样的设计，剪开后可以折成一个直三棱柱.

六、变图

几何图形千变万化，在不断的变化中展示几何图形的魅力，在不断的变化中培养我们的能力，在有意无意的变化中开阔我们的思路.

例6 已知在三棱锥中，PA=a，AB=AC=2a，，求三棱锥的体积.

分析：此题的解决方法很多，但切割是不错的选择.

思路1 设D为AB的中点，依题意有：，，所以有：

此解法实际上是把三棱锥一分为二，三棱锥B-PAD的底面是直角三角形，高就是BD，从而大大简化了计算.这种分割的方法也是立体几何解题中的一种重要策略.它化复杂为简单，化未知为已知.

思路2 从点A出发的三条棱两两夹角为，故可补形为正四面体.

如图，延长AP至S，使PA=PS，连SB、SC，于是四面体S-ABC为边长等于2a的正四面体，而且

立体几何学习方法 篇6

在立体几何教学中培养学生的学习迁移能力

学习的迁移是指在一种情境中获得的知识、技能或形成的态度对另一种情境中知识、技能的获得或态度形成的.影响.迁移能力是学科能力的重要方面.按照过去形成的知识、技能、态度对新的学习产生的效果,可将迁移分成正迁移和负迁移,前者对新的学习产生积极的影响,后者对新的学习产生消极的影响.如何促进正迁移、防止负迁移是教学研究的一项重要课题.在立体几何教学中,笔者依据迁移理论,在教学实践中摸索出了一些培养学生迁移能力的做法.

作 者：郑金宾  作者单位：天津市第一百中学 刊 名：天津教育  PKU英文刊名：TIANJIN EDUCATION 年，卷(期)： “”(10) 分类号：G42 关键词： 

用数学思想方法探求立体几何问题 篇7

一、分类讨论思想

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想.在数学解题中,将问题划分为几种情况,使条件具体化、难点分散化,并对每种情况分别讨论、各个击破,最终使整个问题获解,这就是分类讨论思想.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.

例1若四面体各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是___.(只需写出一个可能的值)

分析:此问题的显著特点是结论发散而不唯一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点,实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力,首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.

解:排除{1,1,2},可得{1,1,1}，{1,2,2}，{2,2,2}，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积．如此，分类讨论至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体．

对于五条边为2,另一边为1的四面体,参看图1所示,设AD=1,取AD的中点为M,平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥,由对称性可知AD⊥面BCM,且VA—BCM=VD—BCM,所以VABCD=SΔBCM·AD.

对于对棱相等的四面体,可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=不妨令a=b=2,c=1,则

二、函数与方程思想

函数与方程的思想方法渗透到中学数学的全过程,具有广泛应用性.它们是根据问题的数量特征及其相互关系设定变量,建立函数关系或方程,通过对函数性质或方程的研究而求得原问题的解的一种思维方法.立体几何中求某些量的最值问题大都需要用函数思想去处理,而多面体和旋转体的表面积与体积的计算又常常用方程思想去解决有关问题.

例2如图3,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD,ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<).(1)求MN的长;(2)当a为何值时,MN的长最小;(3)当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角α的余弦值.

解:(1)作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连结PQ,依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．∴MN=PQ，由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

(2)由(1)知:当a=,即M,N分别移动到AC,BF的中点时,MN的长最小,最小值为.

(3)取MN的中点G,连结AG,BG,∵AM=AN,BM=BN,∴AG⊥MN,BG⊥MN,∴∠AGB即为二面角α的平面角.又AG=BG=,所以由余弦定理有

三、化归思想

将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归思想.化归思想在具体的运用过程中,一般是将研究对象转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象,使之成为容易解决的问题模式.这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法,立体几何中化归思想的运用主要体现在如下几个方面.

1. 位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容,其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化.在一定条件下不仅能纵向转化:线线平行(或垂直)、线面平行(或垂直)、面面平行(或垂直),而且还可以横向转化:线线、线面、面面的平行,线线、线面、面面的垂直.这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现.平行或垂直关系的证明(除少数命题外),大多可以利用上述相互转化关系去证明.

例3如图4,已知矩形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,以EF为棱将矩形折成二面角A-EF-C′.求证:平面AB′E∥平面DC′F.

解法一(纵向转化):∵AE∥DF,AE埭平面DC′F,∴AE∥平面DC′F.同理,B′E∥平面DC′F,又AE∩B′E=E,∴平面AB′E∥平面DC′F.

解法二(横向转化):∵AE⊥EF,B′E⊥EF,且AE∩B′E=E,∴EF⊥平面AB′E.同理,EF⊥平面DC′F.平面AB′E∥平面DC′F.

评注:“要证线面平行,先要找线线平行或面面平行”作为思维模式,而用平行四边形或三角形内平行截割来找线线平行是平面几何中的规律;“要证线面垂直,先证线线垂直”,“要证线线垂直,先证线面垂直”是立体几何中解题的两句口诀和两个解题“模式”,其中线面垂直的关系是线线垂直、面面垂直的纽带.

2. 降维转化

由三维空间向二维平面转化,是研究立体几何问题的重要数学方法之一.降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去,用大家比较熟悉的平面几何知识来解决问题.如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题、多面体和旋转体的侧面积公式的推导(除球面和球冠外)、侧面上最短路程问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题等等.其实,立体几何中的三种角(线线角、线面角、二面角)和四种距离(线线距、点面距、线面距、面面距)从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化.

例4如图5,设正三棱锥S-ABC的底面边长为a,侧棱长为2a,过A作与侧棱SB,SC都相交的截面AEF,求这个截面周长的最小值.

解:沿侧棱SA将三棱锥的侧面展开(如图6),求△AEF周长最小值问题就转化成在平面内求A,A′两点间的距离.

设∠ASB=θ,则由余弦定理得

评注:把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题,从而使问题得到解决,这是求曲面上最短路线的一种常用方法.又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算,最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的.实现空间问题向平面问题转化的方法很多,常用的就有:平移法、射影法、展开法和辅助面法等等.

3. 割补转化

“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一,通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体,从而较快地找到解决问题的突破口.如教材中斜棱柱侧面积公式的推导,就是通过割补法转化为直棱柱后进行的.

例5三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC的公垂线段ED=h,求证:三棱锥P-

解法一:如图7,连结AD,

解法二:如图8,以三棱锥P-ABC的底面为底面,侧棱PA为侧棱,补成三棱柱PB′C′-ABC,连结EC,EB,则易证AP⊥平面EBC,

解法三:如图9,将△ABC补成平行四边形ABCF,可利用VP-ABC=VP-AFC=VC-PAF,易得：VP-ABC=

评注:割、补转化是解决立体几何问题常用的方法之一,对同一几何体既可进行合理分割,又可实施有效的添补.

4. 等积转化

“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用,是一种很实用的数学方法与技巧.立体几何中的“等积转化”(或称等积变换)是以面积、体积(尤其是四面体的体积)作为媒介,来沟通有关元素之间的联系,从而使问题得到解决.

例6如图10,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为棱AA1与CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.

略解:易证四边形EBFD1是菱形,连结A1C1,EC1,AC1,AD1,则

5. 抽象向具体转化

立体几何的许多抽象的定理、结论源自具体的生活实际,源自平面几何,要学会联想实际模型,借助可取的具体之材来建立空间想象,更有效地培养空间想象力,提高解决立体几何问题的能力.

例7 A,B,C是半径为r的球O面上的三点,弧AB,AC,BC的度数分别是A90°,90°,60°.求球O夹在二面角B-AO-C间部分的体积.

略解:此题难点在于空间想象,即较抽象.可以如此读题:条件即∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°,然后给出如图11,则可想象此题意即为用刀沿60°二面角,以直径为棱将一个西瓜切下一块,求这一块西瓜的体积,问题于是变得直观具体多了.(答:)

例8三条直线两两垂直,现有一条直线与其中两条直线都成60°角,求此直线与另外一条直线所成的角.

略解:如图12,由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直,于是原问题可以转化为如下问题:长方体一条对角线与同一顶点上的三条棱所成的角分别是60°,60°,α,求α的大小.根据长方体的性质,有cos2α+cos260°+cos260°=1,可求得α=45°.

浅谈高中立体几何的入门学习 篇8

关键词：概念学习 逻辑论证 空间想象 解题能力

高中学生在初中学习了平面几何的知识，为进一步学习立体几何打下了坚实的基础。立体几何是从二维平面跨入三维空间的第一步，对学生形象思维的开发有着重要意义。可是高一学生在学习立体几何时，已经有了平面几何先入为主的思维定势，所以学起来并不容易。再加上立体几何运用的集合的符号，而非语言文字特点，这就让几何的学习变得非常困难。本人总结过学习立体几何初步学习的六点障碍：如概念模糊不清楚，考虑顾此失彼，常受平面局限，画图直观性差，推理循环论证等。所以，如果要想帮助学生过好入门关，需要教师一定要重视数学知识的讲授，让学生从平面观念引入立体观念，并且要下大力气培养学生的空间想象力与逻辑能力，这将对学生的学习有很大的帮助。笔者从教三年，总结出经验如下，仅供各位教师参考。

一、 高中立体几何教师要让学生过好概念关，立足课本，打好基础

概念学习关是学好立体几何必过的关口，也是学好本学科的基础。学好这一部分的方法就是熟记概念，并理解概念的内涵和外延，再加上学习定理的证明，如三垂线定理等。一般定理的内容都非常简单，就是线与线、线与面、面与面之间的关系表述。掌握熟练定理以后可以让学生更加深刻地掌握并理解定理的内容，即如何应用，培养学生的空间想象力，从而得出一些解题方面的启示。教师在引导学生学习这部分内容的时候，可以运用笔、直尺和书等工具搭出整个图形的框架，从而帮助学生理解空间想象力，为今后的学习打下夯实的基础。

二、 高中立体几何教师要帮助学生提高逻辑论证能力

证明是立体几何的一个重要的组成部分，也是高考的一个重要的考查方向，几乎每年的高考题都有几何证明的题型。要想学生能够做好几何论证，首先就要培养学生的逻辑论证能力。只有提高学生的逻辑论证能力，才能够使学生在进行几何论证时，严谨、严密，条件与结论相统一，通过严密的推理，得到结论所必需的条件，从而完成论证。

同时，几何教师还要注重对学生思维拓展，帮助学生打开思维，通过灵活的思维与严谨的推理来提高立体几何的综合能力。为此，高中几何教师要有目的地在教学过程中，运用各种教学方式与方法，努力培养学生的逻辑论证能力，帮助学生从根本上提高几何学习的效率。

三、高中立体几何教师要努力培养学生的空间想象力

空间想象力同样是高中立体几何学习的一项重要的能力。在高中立体几何教学中，图形是其中一项不可或缺的重要组成部分，而高考试题中，图形的试题同样占据了一定的比例，而要想做好图形方面的试题，不但需要学生具有对空间图形的想象能力与识别能力，还要求学生具备一定的画图能力。因此，高中立体几何教师需要努力提高学生的空间想象力。

高中立体几何教师在培养学生空间想象力的时候，可以理论结合实际，通过学生的实践来完成。几何教师在开始教学的时候，可以依据几何教材，制作一些相关的简易模型，例如，正方体和长方体。通过这些简单的模型，使学生能够形象地观察线与线、线与面以及面与面之间的空间位置，了解他们之间的空间关系，从而培养学生的立体观念。

同时，几何教师还要注意培养学生的画图能力，知道学生在平面上画出立体的图形。这样一来，可以使学生以现实为依据，结合自己的实践来提高空间想象力，有助于学生几何学习能力的提升。

四、高中立体几何教师要加强对学生几何解题能力的训练

解题能力不但是几何学习的一项基础能力，也是一项重要的能力。笔者多年的教学实践中，经常会发生这样一种现象：有些学生几何理解能力很强，学习也很扎实，但是在解题的时候虽然会做试题，却依然不能拿到理想的分数，究其原因，就发生在解题的环节中。正是这些学生的解题能力差，在解题过程中不能够规范、严谨地表达，使阅卷教师认为因果关系不充分，甚至是看不明白，从而影响到了考试的成绩。

由此可见，高中立体几何教师要加强对学生解题能力的培养。想要培养学生的解题能力，几何教师可以从以下两个方面入手。

首先，几何教师要引导学生总结规律。立体几何的解题过程，具有着明显的规律性，几何教师要引导学生去挖掘与总结这些解题的规律，通过不断的总结来实现提升。

其次，高中立体几何教师还要加强对学生解题的规范训练。现在，高中生在立体几何解题的规范化方面有着严重的问题，这是个比较普遍的现象。几何教师在教学过程中要培养学生良好的答题习惯，严格按照教材上的答题步骤来书写。平时的作业与考试时，几何教师要从严要求，因为对于立体几何来说，其逻辑推理的重要性决定了其答题的规范性尤为重要。只有学生能够规范地按照步骤来答题，才能够在如今“按步给分”的原则下，在高考中得到理想化的分值。

综上所述，高中立体几何不但对学生的学习具有重要的影响，还对学生的思维方式的开发有着重要的意义。

高中几何教师一定要重视数学知识的讲授，让学生从平面观念引入立体观念，并且要下大力气培养学生的空间想象力与逻辑能力，帮助学生过好入门关。在课堂教学的过程中，几何教师要打开思维，制作相关的道具，通过道具能使学生形象直接地看到立体几何所涉及的空间关系，帮助学生更好地理解和接受立体几何的知识，养成学生的立体观念。同时几何教师还要注重对学生解题能力的培养，帮助学生养成严谨、规范的答题习惯，在培养学生结合能力与综合素质的同时，努力提高学生的成绩，完成教学的目标。

几何直观学习心得 篇9

9月30日，我们在黄山实验小学，在主持人牛向华老师的带领下，参加了《几何直观能力培养》这一教学研讨会。会议开始之前，李鹏主任给我们布置了一个作业，让我们写一写你认为几何直观是指哪些方面？你在教学中是如何培养学生的直观能力的？刚开始我的概念模糊，错以为是指几何图形的直观培养，诸如：长方形，正方形，三角形等平面图形和长方体正方体等立体图形，直观体验和空间能力的培养，所以回答的偏离了本次交流的主题。经过不断的听课研究，听取了实验二小三年级杨清秀老师的《简单的搭配问题》，开元小学梁杰老师的《植树问题》，实验一小刘元跃老师的《简单的排列》，王莹老师的《稍复杂的分数乘法应用题》，并听取了夏冬梅，赵红叶，韩梅老师的专题发言一下子就豁然开朗了，哦，原来如此。原来，我们已经尝试过不少的运用几何直观来解决复杂问题的实践，只是理解的一个概念错误而已，看来还是研究课标不够啊！以后要改变这种只是抄课标的学习方法，要在研究课标方面多下功夫，多写一些关于课标的自己的实践方面的问题或思考。我迅速联系自己的教学实践一下子想到了一年级学过的比大小、移多补少问题，二年级的倍数问题，除法问题，不少低年级的难以理解的问题不都是通过图形直观的展示出来，再让孩子们充分理解的吗？几何直观确实帮助孩子们从根本上理解了问题的内涵，明白了算理。还有倍数问题，相遇问题，等等这不都是利用几何直观解决比较难的问题吗？经过观课，听取主题发言，我的思路渐渐清晰，并回忆实践中自己的一些有关教学片段。下面我将从三个方面谈谈在参加研讨会的一些体会：

一、对于几何直观的具体含义

几何直观是指利用图形描述和分析数学问题，探索解决问题的思路帮助理解较难的重点。数学是抽象的科学，对于小学生特别是低年级学生来说，还是以具象思维为主，如何让学生理解抽象复杂的数量关系，需要在学生心中搭建勾连的桥梁，那就是几何直观。但经过了解我们也发现，在实际的学习当中学生并不会用图形帮助自己分析和解决问题，这主要是因为在教学中老师对此关注的很少，学生不习惯使用，再有即使是直观图形的呈现，也不是与生俱来的，需要用具体的例子在对学生进行逐步培养，才能让学生真正认识到几何直观的价值，学会其中的方法。我对自己的课堂教学进行了反思。我查阅了课标中所说的几何直观，是借助图形分析和解决问题中的“图形”具有更广泛的含义，几何直观并不仅指简单的图形直观。在中小学数学中，几何直观具体表现为如下四种表现形式：一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观。实物直观。即实物层面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。替代物直观则是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，又可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。“替代物直观”则是在现实模型基础上的进一步抽象，已经具备一定的抽象高度。以计数器为例，与 “小棒”相比，计数器已经将数位的含义明确表示出来（具有普适性和公共的约定性），而不是某些人的人为规定。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，促进数学的理解；通过图形进行观察，有利于信息回忆和方法的促成；根据直观认识来研究图形的性质和相关问题有助于数学问题结构的揭示。可以说，几何直观不仅解决“图形与几何”的学习中存在的问题，并且贯穿在整个数学学习过程中。

二、浅谈几何直观在教学中的应用

（一）在困惑中产生画图的需求，初步培养学生借助几何直观理解和分析问题的意识。新课程强调：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学在前，教在后，教只有贴合学，方能有效。基于此认识，我认为数学教学，一定要从学生的需要与困惑出发。如果教师以自己的机械指导过度牵制学生的自主体验；如果教师以自己的教学讲解全盘替代学生的主体思维，那我们培养的学生多数会是解题的领袖，而非数学思考的领袖！课堂是学生学习、发展的场所，做教师的一定要设法把课堂还给学生，让学生去尝试、让学生去讲解，让学生由被动的接受变为主动的建构。例如现在我教学的二年级乘法口诀的教学，没有很多老师给予太多的关注，能够熟背口诀是最基本的教学任务，有些家长早已让孩子背的滚瓜烂熟。而我在教学乘法口诀时，更注重让学生理解口诀的意义。我利用图形来讲，我认为要把自己的意思说清楚，让学生听明白，孩子需要借助图形。图形的直观，不但帮助学生理解算式的含义，同时帮助学生正确的表达。此时，采用直观的画图的方法已经成为学生自觉的一种需求。所以说如果从低年级开始就注重学生几何直观意识的培养，将有利于学生掌握更多的解题策略，发展学生的空间观念，提高学生解决问题的能力。还有去年教一年级时移多补少问题，也是比较难与理解的知识，通过用画图形，来代替实物，让孩子们更好的理解了解决的思路和方法，很快学会了解决这类问题的方法。

（二）让学生经历几何直观呈现的过程，发挥几何直观在数学学习中的价值。在以往的教学中，对借助图形帮助学生解决问题也是有一定实践认识的。例如以前的相遇问题，就是让孩子们先示范走一走，再用线段图画一画，还有现在执教的二年级上册《求一个数的几倍是多少》的时候，我对教材进行了深入的思考，都采用了用线段图帮助学生理解数量关系的形式。那么为什么要出现线段图呢，应该怎样呈现呢，带着这些问题我对学生进行了前测和访谈。首先学生看到求一个数的几倍的问题，虽然会列式，但是不会解释为什么要这样列式，而几何直观恰恰能建立起倍的概念和乘法的意思之间的联系，其次对于二年级学生来说，线段图这种高度抽象的几何直观学生没有认识，完全空白，理解起来有一定的困难。所以说不能忽略学生的认识水平，而是要让学生经历线段图的形成过程，在润物无声的引导之下，初步培养学生画图的能力，为中、高年级的学习奠定能力的基础。从这个设计中可以看出，由实物抽象出符号，学生有这个能力，但从符号到线段图就太过抽象，学生不好理解。所以我通过直观演示数量的增加，让学生体会到数量太多了，用符号一个一个的画也很麻烦，进而想到用一个图形来表示多个数量（集合圈），从而初步认识了线段图。就因为学生有了这样的经历，所以虽然我们不要求学生用线段图来表示数量关系，但在学生解决问题中依然认可了线段图，使用了线段图，为后面的学习打下了良好的基础。

（三）实物拼摆探规律，恍然大悟表述清

去年，数的组成的学习时，有几个孩子9的组成不知道，我临时设置情境，采用小组动手分一分的形式完成下面的问题。在分的过程中，我让学生自己想办法分一分，并能给把自己组分的过程呈现出来给大家说明白。各小组通过不同的模型操作得出结果后，到讲台前给大家演示并讲解：我请每个组的学生到黑板上讲解自己分的过程，有的小组借助磁力圆片，有的小组直接在黑板上画图分析，有的小组用班里的人代表苹果，都说出了自己分的过程。学生借助各种模型，直观形象的感受着数的组成与加法之间的关系，“抽象的加减法”不再只是学生看到眼里，而且是能够操作出来的，理解在心里的！在这里，几何直观操作，帮助学生理解，并为知识的进一步应用奠定了能力基础。

（四）通过几何直观探究数学本质，帮助学生充分理解概念 几何直观是为更好的数学理解而服务的。我们不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在“形式化的海洋里”。想到以前教过的乘法分配律，有的老师曾说：乘法分配律讲着明白，就是不会用，一让简算就爱出错。总是和乘法结合律混，每天都练习几个这样的简算，可到考试时还是错。学生的困惑成因是什么呢？一是学生能机械模仿，但对于ac±bc为什么等于（a±b）×c，四个数的运算怎么就变成了三个数的运算，弄不明白，因此解题思路不清晰。二是乘法分配律是老师教给学生的，不是学生自主探究得出的，学生缺少亲身经历，因此，对乘法分配律印象不深，凭想当然解题。老师讲，学生听，然后让学生记住乘法分配律公式，最后解题，这种传统的讲解式教学方式已经不能让每一个正常的学生学会乘法分配律，所以我们不妨尝试新的学习方式，让学生借助直观图形亲自参与到实验中，让归纳推理、概括总结的过程由学生自己得出，这样，学生自己得出的结论，用起来才能得心应手。让学生进一步观察等式左右两边的算式的特点，并与对应的图形相结合，再让学生说说乘法分配律是什么意思，这时学生能够就头脑中的表象很好的进行描述。学生充分的理解了乘法分配律的含义，运用起来才会得心应手。

几何证明方法(初中数学) 篇10

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。（三线合一）

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

*8.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.垂径定理

二、证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.相似三角形的对应角相等。

7.圆的内接四边形的外角等于内对角。

三、证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角(直角三角形

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。垂径定理

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

四、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形 梯形的中位线平行于第三边，底边。

6.平行于同一直线的两直线平行。

五、证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

一个图,你看着哪好像差根线,你就用铅笔描一下,分析一下有了这根线哪线角相等,哪相角互补之类的.不可以只盯着原图看.另外,看已知条件里,把它们标注在图里,看人家给这个条件,你可以知道什么,这个条件有什么用,可以由此推出什么.从求证出发你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了记住，做题要倒推走把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系当一些题实在证不出来时，你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了。