《几何画板》与数学教学（共10篇）
一、几何画板在函数中的应用（张店新、梅松竹.几何画板在中学数学教学中的应用[J].电脑知识与技术.2009.5）
华罗庚曾经说过：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式—解析式和图像，二者之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图像之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观地显示及变化功能则可以克服上述弊端；大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果)。如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2，y=x3，y=x½的图像，如图1比较各图像的形状和位置，归纳幂函数的性质。
几何画板可以作出含有若干参数的函数图像，当参数变化时函数图像也相应地变化，如在讲函数 y=ASin（ωx+φ）的图像时，传统教学只能将A，ω，φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图像之间的关系；利用几何画板则可以以线段b，T的长度和A点到x轴的距离为参数作图，如图2，当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅,这样在教学时既快速灵活,又不失一般性。
传统的尺规作图，为我们积累了丰富的作图方法。在数学教学中，教师使用三角板和圆规在黑板上作图，往往不能很好地树立学生科学的作图观，使学生掌握科学的作图方法。而利用几何画板不但可以精准地绘制所需的任何几何图形，而且更加注重正确的作图方法。因为在几何画板中绘制图形，不合理的作法就绘制不出符合要求的图形；相应的条件不匹配，作图菜单中的命令就不起作用。
二、几何画板在解析几何教学中的应用(张店新、梅松竹.几何画板在中学数学教学中的应用[J].电脑知识与技术.2009.5）
数、形结合是一种重要的数学思想，能帮助学生更好地分析和解决数学问题。在传统的数学教学中，虽然教师也经常贯穿数、形结合思想，但在教学的实际操作中却很难实现数与形的完美结合。而利用几何画板则可轻松实现。
例如在“正弦定理”的教学中，利用几何画板的度量和计算功能，可以绘制如图3的图形，并显示相关值的变化情况。从图中可以很明显地看出△ABC中，各边所对的角的正弦的比值相等，再任意拖动△ABC的任一顶点，若任意改变 △ABC的形状，则会显示△ABC的三边和它的三个角的度量值都随着△ABC形状的改变而变化，但各边和它所对的角的正弦的比值却始终相等。通过这样的既有形象的图形动态展示，又有定量的数值研究的教学，使数与形得到了完美的结合。同时也使学生更好地理解了“三角形各边和它所对的角的正弦的比总是相等的”这一不变规律。
从图3的图形可以看出，随意改变三角形的角度，其数值也会随之改变。利用几何画板的验证功能，还能直观形象地证明几何中的一些不变的规律。如：三角形的三条高线总交于一点；三角形的内角和总等于180o等等。
动态的曲线或轨迹，能为学生通过观察、归纳揭示问题的本质，提供一种良好的课堂情境。从而突破传统数学教学中的难点，提高课堂教学效益。例如：在教学“圆锥曲线的统一性”时，笔者用“几何画板”制作了“离心率与圆锥曲线的形状”课件，如图4只需拖动点E就可连续改变离心率的大小,从而观察到圆、椭圆、双曲线及抛物线连续变化的情况。
静态的图形、图像使原本相互联系的知识割裂开来，失去了知识之间的内在联系，会使学生只注意事物的局部而忽视整体。“几何画板”的演示就可以克服这一缺陷。学生陶醉于这一优美的动态情境之中流连忘返，参数对曲线形状变化的影响一目了然，使学生很好地理解了各部分知识之间的联系，从整体上把握圆锥曲线的有关知识，从而记忆深刻。
三、几何画板在立体几何教学中的应用（杨红燕.几何画板在数学教学中的应用[J].忻州师范学院学报。2011.4）
立体几何是在原有的平面图形知识的基础上研究空间图形的性质。初学立体几何许多学生不具备丰富的空间想象能力以及较强的平面与空间图形的转化能力。人们是依靠二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能真实描绘三维空间图形，平面上绘出的立体图形在视角的影响下，很难综观全局。应用几何画板可以将图形动起来，使图形中各元素之间的位置和度量关系更加形象和具体，学生可以从各个不同的角度去观察图形。由此，依托几何画板不仅可以帮助学生理解和掌握立体几何知识，还可以提高学生的想象力和创造力。
如在讲锥体的体积时，依托几何画板可以将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥，还可以将三个体积相等的三棱锥合拢成一个三棱柱。（如图5），这样既避免了学生空洞的空间想象，又加强了学生分割几何体的能力，从而提高了学生处理空间图形问题的能力。
图5
四、两条异面直线所成的角的教学
两条异面直线所成的角这一概念,在以往的教学中不太容易讲清楚。但借助几何画板,可创设出具体的情境,让学生在具体情境中掌握异面直线所成的角的概念。
如图6所示,直线CC’在平面内,直线EE’在平面外，单击“改变角度”按钮可以调节直线EE’的倾斜度,单击“动画”按钮可以动态展示直线EE’平移的过程,单击“旋转”, 让平面和直线左右旋转;拖动点“滚动”,让平面和直线前后滚动;控点scale控制图形显示比例。
通过课件的演示,学生可较好的理解并掌握异面直线所成的角这一概念。
图6
五、实例（王元元.基于几何画板的高中数学探究式学习课程案例分析.2012.3）
在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在棱CC1上，画出直线 A1P与平面 ABCD 的交点Q。
图7 教师：怎么用几何画板来解决这个题目呢？大家先思考一下，可以讨论一下
（教师演示）做法：
0（1）先画一个圆，并在圆上通过旋转90取四个点，使他们构成一个正方形；（如图7）
（2）然后利用做椭圆的方法，分别做出四个点的对应点；（如图8）
（3）把连线得到的四边形向竖直方向平移适当的距离，就得到一个正方体。（如图9）
图8
图9(4)拖动带有“转动”字样的点到适当的位置，就可看出 A1P与 DC 的关系。（如图10）
图10
图11
图12 教师：大家想想这样就行了吗？这样可以看出它们的交点吗？
[演示正确做法]：连接 AC，并延长，它与 A’P 的延长线相交于一点。这一点就是直线 A1P 与平面 ABCD 的交点 Q。（如图 5）
2.一条直线和这条直线外不在同一条直线上的三点，可以确定几个平面？
教师：大家在自己练习本先画画试试，待会告诉我学生回答
教师：由于题目提供的是任意一条直线和直线外任意不共线三点，我们可 把直线和点选在一个（如上题）做好的正方体中，可分如下三种情况：
（1）假设 A，B，C 三点中任何两点与直线l不共面，我们分别做出直线l与每一个点确定的平面，经过适当旋转，很容易看到此时共确定四个平面（包括平面 ABC）；
图11
图12
图13(2)假设其中两点与 l 共面，不妨设 A，B 与 l 共面，我们分别做出直线 l 与每一个点确定的平面，经过适当旋转，很容易看到此时共确定三个平面（包括平面 ABC）；
图14
图15
图16（3）当三点与直线同在一个平面内，则可以确定一个平面（平面 ABC）。（演示）
几何画板是一款优秀的专业学科教学平台软件. 能动态表现相关对象的关系, 它使枯燥无味的课堂教学走向生动活泼的“动态教学”, 真正向创新型教育教学发展. 兴趣是我们做任何事情的动力, 也是学习最好的老师. 成功的教学的关键是如何激发学生的兴趣. 孔子曰: “知之者不如好之者, 好之者不如乐之者. ”高中教学逻辑性与抽象性严密, 学生普遍感到数学规律与逻辑的枯燥. 几何画板的应用改变了数学教学的传统模式, 使数学课面目焕然一新.
一、几何画板的应用
1. 讲授函数y = Asin ( wx + φ) 的图像及性质这部分内容时, 要探究A, ω, 这3 个量各自变化时, 函数图像会在正弦函数y = sinx的图像的基础上变换. 而借助几何画板中改变A的值, 就可以直观地看出图像在纵向上的拉伸或压缩变化; ω 值的变化引起的是图像在横向上的拉伸或压缩变化; 改变 值后图像会相应的左右平移. 此时函数图像随着A, ω, 的增大或缩小有着怎样的变化就会非常直观, 这种不断变化的波形曲线也会给学生留下深刻印象, 从而激发起学生的学习兴趣.
2. 可以用几何画板根据函数的解析式快速作出函数的图像, 并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图像. 如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图像, 比较各图像的形状和位置, 归纳幂函数的性质.
3.二次函数y=ax2+bx+c, 从图像中可以非常直观地了解到随着a、b、c三值的变化, 函数图像所产生的相应变化, 通过这种方式, 一方面让学生对枯燥的数学知识重新产生了浓厚的兴趣, 另一方面也让教学变得更加规范, 几何画板下的二次函数图像要比传统的黑板上作画精确许多.
5. 利用动态性和形象性, 在老师的引导下, 还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境.可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证, 在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识, 形成丰厚的几何经验背景, 从而更有助于学生理解和证明.
以上是教学中的典型实例, 在这几个例子中充分运用几何画板的动画、移动、平移、旋转、标识向量等高级功能, 从中我们看到几何画板对中学数学教学是十分有利的.
二、几何画板与数学教学整合的思考
但也应注意: 几何画板应用应该是以教学的需要为基准, 只能作为辅助教学的工具与手段, 在实际的教学过程中还需要教师详细讲解教学知识点以及经常与学生深入沟通交流, 要充分地用它来引导学生的学习, 让它帮助学生思考, 而不是代替学生思考和练习.
三、几何画板文件的在办公软件的插入
1. PPT 2010 环境
方法一: 点击菜单栏最右边的“加载项”可以看到“插入几何画板”命令, 点击后就可以选择几何画板文件.
方法二: 点击“开发工具”里的“其他控件”按钮, 便可看到“1x几何画板控件”. ( 如果菜单里没有显示“开发工具”菜单. 可以把“其他控件”加入到“快速访问工具栏”, 点击左上角的下拉箭头, 选择“其他命令”, 在“从下列位置选择命令”里选择“开发工具选项卡”, 找到“其他控件”, 然后点击“添加”, 再点击“确定”, 这时左上角可以看到“其他控件”按钮, 左上角显示“其他控件”按钮)
2. Word 2010 与方法二基本类似
总之, 如果数学教师可以合理利用几何画板, 则可以帮助学生逐渐养成自主学习的习惯, 从而为其数学学习能力的提高奠定良好的基础几何画板作为通用的数学教学手段, 基于现代信息教学模式的发展, 几何画板融入数学教学已经成为一个发展趋势, 提高的教学效果. 只要我们发挥自己的创造性, 潜心研究, 就能不断地加深对几何画板的理解和应用, 不断开发出适用于教学的优秀课件.
参考文献
[1]孙云飞.浅谈几何画板在函数教学中的应用[J].中国教育信息化, 2012 (8) .
[2]胡广斌.巧借几何画板提高学生学数学的兴趣[J].改革与开放, 2012 (14) .
一、 几何画板辅助小学数学教学的实践
1.在创设数学情境方面的应用
数学概念的掌握是数学课堂教学的最基本要求，要让学生了解数学概念提出的背景，体会概念获得的过程，就要创设具有启发性的学习情境，提供直观形象的材料。小学生的思维发展正处于从具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，遇到一些难懂的概念，教师总是设法把它讲清楚，尽量让学生听明白，而学生往往多数处于被动状态，处于一种似懂非懂状态。此时直观、动态地展示概念内涵的数学材料就显得尤为重要。几何画板就能比较简单地创设一种学习情境，帮助学生理解抽象难懂的数学概念。
例如，直线、射线和线段这一部分内容，传统的静态教学中，教师在黑板上画直线、射线时不可能画出无限长，只能用不画端点的方法来表示线的那一端可以无限延长，学生较难理解，从而将直线、射线和线段这三个概念混淆在一起。用几何画板在屏幕上呈现三条不同颜色、水平放置的线：一条直线，一条射线，一条线段。三条线的两端隐藏在屏幕的两侧，让学生不能判断哪条是直线，哪条是射线，哪条是线段。接着在拖动屏幕上三条线的过程中，学生能很快发现，如果能找到藏在屏幕两侧的两个端点，就说明拖动的是线段；如果往一个方向拖动能找到端点，而往另一方向拖动，却找不到端点，就说明拖动的是射线；如果不管往哪个方向拖动，都不能找到端点，就说明拖动的是直线。简单的画线和操作，可以说用不了几分钟时间，就可以代替了教师许多抽象的语言。另外还可以让学生在自己动手操作的过程中直观地认识了什么是无限长，理解直线、射线和线段的联系和区别。
2.在优化解题方面的应用
几何画板在解题方面有着很广泛的应用，利用画板在动态的过程中保持几何关系不变这一优点，让学生大胆去尝试动一动题目，从而提高对问题解决的优化，进而培养学生的创新思维能力。
例如，如图1，求阴影部分的面积。通常学生会用梯形面积减去三角形面积去解决，但如果去动一动A、B、C中任意一个点，会有什么发现呢？通过近似于“玩”的操作活动，把两部 分阴影部分合并成一部分，让学生在优化解题的同时体会三角形在等底等高的情况下面积不变的性质和等积变形的数学思想方法。
图1 图2 图3
3.在探究性学习方面的应用
获得数学知识的过程离不开实验与观察，但更多需要的实验对象不是实物，而是思维的材料，是数和图形。几何画板的测量计算功能和图形的多种绘制和变换功能发挥了其他多媒体软件难以实现的效果。任意改变图形，几何画板就能迅速显示计算结果，这不仅提高了实验效率，而且能完成原来靠一支笔、几张纸或其他软件不能完成的实验。在一些面积、体积公式推导中，利用几何画板的变换功能很快做出动画，帮助学生理解计算公式，与其他多媒体软件相比，几何画板更能体现“动态”的特点。
例如平行四边形的面积公式的推导（如图4），只要做一个课件，就能把教材中的两种割补方式都体现出来，因为高在移动的时候，图形的几何关系不变。在三角形的面积公式推导中， 也可以用同样的方法。
图4
再如用几何画板制作正方体旋转、翻转、展开和折叠课件，让学生通过观察动画过程，理解正方体的各种展开方式，沟通平面与立体，二维空间与三维空间的联系，从而进一步增强空间观念和空间想象能力。
二、几何画板辅助小学数学教学的反思
几何画板在小学数学中的应用不仅仅是在几何初步知识的教学中，在数与代数、统计与概率、综合应用中同样值得去探索和实践。如在分数的意义、约分、通分，甚至在倒数的教学中都值得去开发画板的功能。再如统计图表的制作、密铺等知识也可以利用构造变换功能去制作，而且做出来的效果还是动态的。
利用几何画板的“动态保持几何关系”特点还可以有效渗透数学思想方法，比如在推导圆面积公式中，利用画板的“迭代”功能，可以轻松地把圆分成若干等份，再用变换功能拼成近似的长方形，让学生体会等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，从而渗透极限的数学思想。
应用几何画板进行辅助教学与传统教学应该互为补充，相得益彰。不要人为地把它们对立起来，以为有了新的教育技术，就不重视传统教育的看法是错误的。要引导学生不要停留在对动画的兴趣中，而是要利用画板深入探究数学规律，提高思维能力。
（责编 金 铃）endprint
“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的。”这是建构主义理论的核心。几何画板的直观形象和动态特性，给学生创设了一个 “操作”几何图形的实验场所，通过对几何图形进行观察、探究，使学生在体验与发现中掌握知识，提高数学理解能力。
一、 几何画板辅助小学数学教学的实践
1.在创设数学情境方面的应用
数学概念的掌握是数学课堂教学的最基本要求，要让学生了解数学概念提出的背景，体会概念获得的过程，就要创设具有启发性的学习情境，提供直观形象的材料。小学生的思维发展正处于从具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，遇到一些难懂的概念，教师总是设法把它讲清楚，尽量让学生听明白，而学生往往多数处于被动状态，处于一种似懂非懂状态。此时直观、动态地展示概念内涵的数学材料就显得尤为重要。几何画板就能比较简单地创设一种学习情境，帮助学生理解抽象难懂的数学概念。
例如，直线、射线和线段这一部分内容，传统的静态教学中，教师在黑板上画直线、射线时不可能画出无限长，只能用不画端点的方法来表示线的那一端可以无限延长，学生较难理解，从而将直线、射线和线段这三个概念混淆在一起。用几何画板在屏幕上呈现三条不同颜色、水平放置的线：一条直线，一条射线，一条线段。三条线的两端隐藏在屏幕的两侧，让学生不能判断哪条是直线，哪条是射线，哪条是线段。接着在拖动屏幕上三条线的过程中，学生能很快发现，如果能找到藏在屏幕两侧的两个端点，就说明拖动的是线段；如果往一个方向拖动能找到端点，而往另一方向拖动，却找不到端点，就说明拖动的是射线；如果不管往哪个方向拖动，都不能找到端点，就说明拖动的是直线。简单的画线和操作，可以说用不了几分钟时间，就可以代替了教师许多抽象的语言。另外还可以让学生在自己动手操作的过程中直观地认识了什么是无限长，理解直线、射线和线段的联系和区别。
2.在优化解题方面的应用
几何画板在解题方面有着很广泛的应用，利用画板在动态的过程中保持几何关系不变这一优点，让学生大胆去尝试动一动题目，从而提高对问题解决的优化，进而培养学生的创新思维能力。
例如，如图1，求阴影部分的面积。通常学生会用梯形面积减去三角形面积去解决，但如果去动一动A、B、C中任意一个点，会有什么发现呢？通过近似于“玩”的操作活动，把两部 分阴影部分合并成一部分，让学生在优化解题的同时体会三角形在等底等高的情况下面积不变的性质和等积变形的数学思想方法。
图1 图2 图3
3.在探究性学习方面的应用
获得数学知识的过程离不开实验与观察，但更多需要的实验对象不是实物，而是思维的材料，是数和图形。几何画板的测量计算功能和图形的多种绘制和变换功能发挥了其他多媒体软件难以实现的效果。任意改变图形，几何画板就能迅速显示计算结果，这不仅提高了实验效率，而且能完成原来靠一支笔、几张纸或其他软件不能完成的实验。在一些面积、体积公式推导中，利用几何画板的变换功能很快做出动画，帮助学生理解计算公式，与其他多媒体软件相比，几何画板更能体现“动态”的特点。
例如平行四边形的面积公式的推导（如图4），只要做一个课件，就能把教材中的两种割补方式都体现出来，因为高在移动的时候，图形的几何关系不变。在三角形的面积公式推导中， 也可以用同样的方法。
图4
再如用几何画板制作正方体旋转、翻转、展开和折叠课件，让学生通过观察动画过程，理解正方体的各种展开方式，沟通平面与立体，二维空间与三维空间的联系，从而进一步增强空间观念和空间想象能力。
二、几何画板辅助小学数学教学的反思
几何画板在小学数学中的应用不仅仅是在几何初步知识的教学中，在数与代数、统计与概率、综合应用中同样值得去探索和实践。如在分数的意义、约分、通分，甚至在倒数的教学中都值得去开发画板的功能。再如统计图表的制作、密铺等知识也可以利用构造变换功能去制作，而且做出来的效果还是动态的。
利用几何画板的“动态保持几何关系”特点还可以有效渗透数学思想方法，比如在推导圆面积公式中，利用画板的“迭代”功能，可以轻松地把圆分成若干等份，再用变换功能拼成近似的长方形，让学生体会等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，从而渗透极限的数学思想。
应用几何画板进行辅助教学与传统教学应该互为补充，相得益彰。不要人为地把它们对立起来，以为有了新的教育技术，就不重视传统教育的看法是错误的。要引导学生不要停留在对动画的兴趣中，而是要利用画板深入探究数学规律，提高思维能力。
（责编 金 铃）endprint
“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的。”这是建构主义理论的核心。几何画板的直观形象和动态特性，给学生创设了一个 “操作”几何图形的实验场所，通过对几何图形进行观察、探究，使学生在体验与发现中掌握知识，提高数学理解能力。
一、 几何画板辅助小学数学教学的实践
1.在创设数学情境方面的应用
数学概念的掌握是数学课堂教学的最基本要求，要让学生了解数学概念提出的背景，体会概念获得的过程，就要创设具有启发性的学习情境，提供直观形象的材料。小学生的思维发展正处于从具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，遇到一些难懂的概念，教师总是设法把它讲清楚，尽量让学生听明白，而学生往往多数处于被动状态，处于一种似懂非懂状态。此时直观、动态地展示概念内涵的数学材料就显得尤为重要。几何画板就能比较简单地创设一种学习情境，帮助学生理解抽象难懂的数学概念。
例如，直线、射线和线段这一部分内容，传统的静态教学中，教师在黑板上画直线、射线时不可能画出无限长，只能用不画端点的方法来表示线的那一端可以无限延长，学生较难理解，从而将直线、射线和线段这三个概念混淆在一起。用几何画板在屏幕上呈现三条不同颜色、水平放置的线：一条直线，一条射线，一条线段。三条线的两端隐藏在屏幕的两侧，让学生不能判断哪条是直线，哪条是射线，哪条是线段。接着在拖动屏幕上三条线的过程中，学生能很快发现，如果能找到藏在屏幕两侧的两个端点，就说明拖动的是线段；如果往一个方向拖动能找到端点，而往另一方向拖动，却找不到端点，就说明拖动的是射线；如果不管往哪个方向拖动，都不能找到端点，就说明拖动的是直线。简单的画线和操作，可以说用不了几分钟时间，就可以代替了教师许多抽象的语言。另外还可以让学生在自己动手操作的过程中直观地认识了什么是无限长，理解直线、射线和线段的联系和区别。
2.在优化解题方面的应用
几何画板在解题方面有着很广泛的应用，利用画板在动态的过程中保持几何关系不变这一优点，让学生大胆去尝试动一动题目，从而提高对问题解决的优化，进而培养学生的创新思维能力。
例如，如图1，求阴影部分的面积。通常学生会用梯形面积减去三角形面积去解决，但如果去动一动A、B、C中任意一个点，会有什么发现呢？通过近似于“玩”的操作活动，把两部 分阴影部分合并成一部分，让学生在优化解题的同时体会三角形在等底等高的情况下面积不变的性质和等积变形的数学思想方法。
图1 图2 图3
3.在探究性学习方面的应用
获得数学知识的过程离不开实验与观察，但更多需要的实验对象不是实物，而是思维的材料，是数和图形。几何画板的测量计算功能和图形的多种绘制和变换功能发挥了其他多媒体软件难以实现的效果。任意改变图形，几何画板就能迅速显示计算结果，这不仅提高了实验效率，而且能完成原来靠一支笔、几张纸或其他软件不能完成的实验。在一些面积、体积公式推导中，利用几何画板的变换功能很快做出动画，帮助学生理解计算公式，与其他多媒体软件相比，几何画板更能体现“动态”的特点。
例如平行四边形的面积公式的推导（如图4），只要做一个课件，就能把教材中的两种割补方式都体现出来，因为高在移动的时候，图形的几何关系不变。在三角形的面积公式推导中， 也可以用同样的方法。
图4
再如用几何画板制作正方体旋转、翻转、展开和折叠课件，让学生通过观察动画过程，理解正方体的各种展开方式，沟通平面与立体，二维空间与三维空间的联系，从而进一步增强空间观念和空间想象能力。
二、几何画板辅助小学数学教学的反思
几何画板在小学数学中的应用不仅仅是在几何初步知识的教学中，在数与代数、统计与概率、综合应用中同样值得去探索和实践。如在分数的意义、约分、通分，甚至在倒数的教学中都值得去开发画板的功能。再如统计图表的制作、密铺等知识也可以利用构造变换功能去制作，而且做出来的效果还是动态的。
利用几何画板的“动态保持几何关系”特点还可以有效渗透数学思想方法，比如在推导圆面积公式中，利用画板的“迭代”功能，可以轻松地把圆分成若干等份，再用变换功能拼成近似的长方形，让学生体会等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，从而渗透极限的数学思想。
应用几何画板进行辅助教学与传统教学应该互为补充，相得益彰。不要人为地把它们对立起来，以为有了新的教育技术，就不重视传统教育的看法是错误的。要引导学生不要停留在对动画的兴趣中，而是要利用画板深入探究数学规律，提高思维能力。
信息技术应用于课堂教学，不仅可以提高课堂教学效率，还可以发挥学生的积极性、主动性，激发学生学习兴趣.利用几何画板探究数学的相关问题，便于学生直观观察、分析、验证和归纳图象的特征，突破难点.在历年的中考中，二次函数都属于重头戏，所占的分值比例都很高，而且学习上也是学生学习的难点.便于学生直观观察、分析、验证和归数学作为一门独立的自然科学，有它自身的特点、体系和规律。从国外引进的教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。
（一）问题的提出
数学是研究空间形式和数量关系的科学，在传统的认识中，数学学习只不过是一支笔一张纸的纯理论性学习，既枯燥又乏味，从而使人们逐渐对其产生了厌恶的心理，尤其是在中学数学中，有相当一部分的知识是比较抽象难懂的，如不等式解的讨论、三角函数的图像和性质、圆锥曲线方程等等，于是在一些学校中产生了数学教师难教学生难学的现象。然而，近年来，随着计算机和网络技术的飞速发展，现代信息技术渐渐地走进了课堂，并越来越多地影响着教师的教学和学生的学习活动。根据数学这门学科的特点，几何画板也正在渐渐地被越来越多的人所认识和应用。
（二）可行性研究
1、对硬件配置要求比较低，即使是在老式的386机器上也可以运行，并且不需要其他软件的支持就可以独立运行。这样即使计算机配置不是很好的学校也可以正常地使用它来进行教学；
2、制作出来的课件非常形象直观，有利于数学课堂教学。而且修改也非常方便，甚至可以在课堂上直接地对课件进行制作与修改。
（三）几何画板的优点
1.体积小 一是软件本身的体积小，体积会更小，只用一张软盘就可以装下，而不必携带硬盘或刻录到光盘上，方便于共享、上传、下载、携带、演示和交流。
2.可以打包 几何画板虽然不像其他软件一样自带打包工具，所制作的课件一般情况下只能在安装有原程序的微机中才能运行,这样就可以在没有安装原程序的微机中使用，更加方便于教学和管理。
3.强大的动画功能 几何画板的运动按钮可以分为“动画”和“移动”两种。“动画”的运动方向可以分为向前、向后、双向、自由四种，速度又可以分为中速、慢速、快速和其他四种，并且在其他后面的输入框中可以输入任意一个合适的数值，自定教师认为合适的速度；“移动”中的速度也可以分为慢速、中速、快速和高速四种。经过巧妙组合后，所制作的点、线、面、体都可以在各自的路径上以不同的速度和方向进行动画或移动，可以产生良好、强大的动画效果，并且所度量的角度或线段的长度及其他的一些数值也可以随着点、线、面、体的运动而不断地发生变化，非常接近于实际，可以更好地实现数形结合，给学生一个直观的印象，起到良好的教学效果。
4.操作简单 几何画板一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。整个只有一个常用工具栏，一个工具箱、一个运动控制台和一个文本工具栏，并且工具箱、运动控制台和文本工具栏还可以利用显示菜单中的工具使它们处于隐藏状态，使整个画面尽可能地最大化。在常用工具栏的菜单中所涉及的制作工具都与数学内容紧密联系在一起，使用的都是数学中的名词和术语，只要熟悉数学知识，这些内容一看就懂，非常简单。用几何画板进行开发速度非常快，一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5～10分钟。
5.可以作为研发工具直接应用于课堂在教学过程中 教师可以随时根据学生的实际情况边授课边制作，或者由学生小组亲自动手，制作一些简单的数学内容，例如平面上的任意一点，线段上的任意一点，三角形的中线、角平分线、高，等等，可以使学生不仅明白“任意”的意思，更综合运用了平时所学的数学知识，方便地用动态方式表现对象之间的结构关系，实现直觉思维与逻辑思维相结合，并且学生还可以从中学会软件的一些使用方法，体会到信息技术的优势。
最初认识“几何画板”，我认为它只是一个数学教学辅助软件，只是替代了直尺、圆规的一个画图工具而已。但在自己的教学和制作课件过程中，认识到了它的强大功能以及特有的随机计算能力和交互能力，使我为它的魅力所折服。《几何画板》提供了一个全新的学习数学的学习环境，学生在感性认识的基础上，调动了学习的主动性、提高了动手能力，培养了学习的探索与创造的能力。利用《几何画板》可让学生参与教学过程，实现了对知识意义的主动建构，较深刻地理解了所学的内容，有效地化解了难点。
“几何画板”的特点一：简明。它的制作工具少，制作过程简单，学习掌握容易。“几何画板”能利用有限的工具实现无限的组合和变化，将制作人想要反映的问题表现出来。学习掌握它较为容易，不需要花很多的精力和时间来学习软件本身，而强调软件对学科知识的推动和理解。不能否认目前也有许多优秀的课件制作工具软件，但这些软件往往较难掌握，或者制作过程与学科本身知识相差很远，只是对某一问题的模拟再现。“几何画板”制作过程较为简单，对问题的反映是在对学科知识理解基础上，甚至是利用学科知识本身来解决问题，因而使用“几何画板”制作出的课件更符合学科知识本身的要求。
“几何画板”特点二：朴素。它的界面清爽干净，仅一块白板而已，制作出的课件也没有过多华丽的装饰，只是体现出制作者想要表达的主题。也正是因为它的朴素，从而使它对问题的反映显得直接而清楚，使课件本身对问题的阐述、剖析及对难点的突破显得有效而又有针对性，使课件的作用发挥到了极限。这正是一个好的教学辅助软件所必备的条件——针对性。
“几何画板”的特点三：短小。（1）投入人力少，在使用“几何画板”制作课件时，一个教师花十几分钟，最多一、二个小时就能制作出一个好的课件，教师只要利用一些零星时间就能开发制作课件;（2）投入财力少，“几何画板”对计算机的要求不高，目前一般学校的条件都能满足;（3）占用空间小，一个用“几何画板”制作的课件只不过几KB而已，大的也不过几十KB，而其它软件制作的课件往往上百KB，甚至上几MB，这也使“几何画板”制作的课件便于携带和交流，也使制作过程变得随机性，上课也变得简单，不再需要拿硬盘或刻录光盘来上课。
“几何画板”的特点四：精悍。（1）由于它和学科知识联系紧密，故对学科知识的反映准确，使课件对问题的突破更为直接有效。（2）由于它的强大计算功能，使有些数值的变化不再是原来的一些特殊值，而是变成连续值，使问题变得清楚。例如讲“正、余弦函数”这一节时，在这一课件设计思想里，我抛弃了原来上课时取特殊值作波形图的方法，而是通过学生自己观察课件演示，得出结论，让学生真正掌握波形图形成的原理。（3）“几何画板”有很强的交互性。由于在制作中利用学科知识，使课件中包含若干个变量，在“几何画板”制作的课件里，这几个变量是可随机变化的，这样在利用课件上课时，通过演示课件，控制变量的变化，使学生更好地理解问题中各个数量的关系。例如在讲“三角形内角和”这一节时，以往是教师画出一个三角形后，量出度数，得出结论。但我用“几何画板”制作的课件里，利用课件的动态特点，先引导学生观察三角形中每一个角的大小发生变化时，但内角和仍保持180度不变，给学生一个理性认识，并且避免了手工作图引起的误差，使整个教学过程变得简单有序。
利用《几何画板》的辅助教学，有利于学生素质的提高。把《几何画板》引入中学数学教学，学生主动参与讨论，做“数学试验”，参与教学实践活动，他们不再是知识的被动接受者，而是知识的主动探索者，问题的研究者，《几何画板》的运用使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变为对数学的喜爱，有效地激发他们的学习兴趣，增强他们学好数学的信心，调动了学习的积极性，特别是需要反复认识的概念，反复学习的内容，少数学生课堂上弄不清楚的，可以把软件拷贝回家，再反复观察、反复认识、反复学习，给学习困难的学生提供了再学习的机会，把电脑辅助教学“辅”到了不同层次的学生身上。
————《一次函数的图象》教学案例
温州四中
王克局
[案例背景] “几何画板”是美国Key Curriculum Press公司制作的教育软件，他给师生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜想和验证结论。在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生对数学的学习和理解。
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法在初中数学中就有了一定的要求；同时函数是用运动变化的观点对显示世界数量关系的一种刻划，这就决定了它是对学生进行素质教育的重要材料，也是新的课程标准理念所在。正如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数少入微。”函数的两种表达方式（解析式和图象）之间常常又需要进行对照，解决数形结合的问题。在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图“列表---描点---连线”，但手工绘图不精确、速度慢。利用“几何画板”就能快速直观地显示其形成和变化过程，克服手工绘图的弊端，提高课堂效率，进而达到事半功倍的目的。
[案例描述] ■ 教学目标
1、了解一次函数图象的意义；
2、会画一次函数的图象；
3、会求一次函数的图象与坐标轴的交点。■ 教学重点：一次函数的图象
■ 教学难点：验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式），学生不容易理解其意义。■ 教材分析
对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。本节课，函数的图象直观地反映了函数的性质，为后续学习函数的性质打好基础，并且函数图象本身在解决实际问题中有许多应用，因此学好本节课显得至关重要。
[教学过程]
一、创设情境
我的妈妈有一个激励我学习数学的好方法：每次我数学成绩考满分，就奖励我2元人民币。在5次考试后，我得到x次满分。求：我得到的y元人民币关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
y2x(x0,1,2,3,4,5)。但有些学生会错认为是y2x(0x5)），教师提示让学生自己说出：x只能取整数。
回顾函数的三种表达方法：解析法；表格法；图象法。
（板书其表格法）函数的解析法和表格法我们都会，而函数的图象应该怎么画呢？（引起学生学习函数图象法的兴趣，使之有强烈的欲望去将其弄明白。）
二、探索图象
学生自主分组讨论，并动手画图。大部分学生画出来的是一条线段，也有一部分学生画出来的是六个点，教师提示：
除这六个点以外的其他点取得到吗？这是由什么决定的？生：x的取值范围。教师利用“几何画板”操作：［列表---绘制点］（如图１）。
图１
图２
变形1：请画出函数y2x(0x5)的图形？这时，学生都能马上说出这个函数的图形是一条线段。教师操作演示：画线段。（如图２）
师：实际上这里函数图象有多少个点组成？（无数个）（让学生体会“线是有点构成的”）变形2：请画出函数y2x的图形？（直线）师：函数图形是由什么基本元素构成的呢？（点）
得出函数的图象概念（板书）：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，这些点组成的图形叫做该函数的图象。
师：从而我们得到了当自变量为任意实数的时候，正比例函数的图象是一条直线，那么是不是所有的一次函数的图象都是一条直线呢？（这时学生的积极性极高，教师趁热打铁给出一个一次函数。）
变形3：请画出一次函数y2x2的图象？（直线）
三、研究画法
师：画一次函数的图象基本步骤应该是怎么样呢？（先…然后…最后…）生：先找点。师：怎么找？（随意）
师：非常对。同学们回答的都非常好。刚才大家取的点的坐标都是整数，取小数可以吗？(可以)大家会不会这样去做？(不会)为什么？(麻烦)所以我们习惯都是取整数点。
总结画一次函数图象的步骤：（1）列表（找点）（2）描点（3）连线。这种方法叫做描点法。师：函数y2x和y2x2的图象有什么关系？ 生：平行，可以通过平移得到。
师：对，非常正确。但是具体是经过怎么平移的呢？我们以后会学到，如果有兴趣的同学可以在课余时间去查阅资料。
师：是不是满足一次函数y2x的点都在直线y2x上吗？y2x2呢？反过来在直线y2x上取一些点的坐标都满足y2x吗？（通过使用“几何画板”精确地描出任意给出的点坐标在图象上的位置［表格---绘制点］，以及能够读出在图象上任意描出的点的坐标［右击---坐标］。）如图３、４。
图３
图４
结论：满足一次函数的解析式的点都在图象上，图象上的每一个点的坐标都满足一次函数解析式。想一想，说一说：
1、下列各点中，哪些点在函数y=4x+1的图象上?哪些点不在函数y=4x+1的图象上?为什么？
(2，9)，(5，1)，(-1，-3)
2、若函数y=2x-4 的图象经过点(1，a)，(b，2)两点，则a=_______，b=_________。
3、点已知M(1，4)在一次函数y=ax+1的图象上，则a的值是________。
四、例题分析
例1。在同一坐标系作出下列函数的图象，并求出它们与坐标轴的交点坐标:
1y3x，yx2
3分析：回顾画函数图象的基本步骤：（1）列表（找点）（2）描点（3）连线。师：要找几个点？很多很多个？生：只用两个就可以。师：为什么？生：两个点确定一条直线。教师介绍“两点法”。
教师在讲函数图象与坐标轴的交点时必须严格板书其步骤，让学生注意格式。
引导学生自己说出：正比例函数ykx与坐标轴的交点只有一个：原点。一次函数ykxb(k,b0)与坐标轴有两个交点。
五、练习巩固
在同一坐标系中画出下列函数的图象；
y=3x-1，y=-2x+4
六、课堂小结
说说你的收获„„
1、知道了什么是函数图象。
2、画函数图象的方法。
3、一次函数ykxb(k，b都为常数，且k0)的图象跟自变量的取值范围有关。
[案例分析和思考]
1、突出数学课堂教学中的探索性。
真知的形成往往来源于真实的自主探究，只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
本节课，关于一次函数图象的引出，笔者没有像教材那样直接给出一个图象，然后求出它就是一次函数的图象；而是由引例的一个函数只有几个点的出发，让学生去画一画、讨论讨论的方式，使学生通过对直观图象观察、归纳和猜想，自己去发现结论，然后在自变量的取值范围上设计了几个一次函数，其图象是由点线段直线，让学生感受一次函数图象跟自变量的取值范围息息相关。
2、引进计算机《几何画板》技术
本课在验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式）时，通过使用《几何画板》精确地描出任意给出的点坐标在图象上的位置，以及能够读出在图象上任意描出的点的坐标，这样使得初中平面几何教学发生了重大的变化，充分调动了学生的直觉思维。这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣，而且比过去的教学更能够使学生深刻地理解几何。当然，本教学案例在这方面的探索还是初步的，设想今后通过计算机技术的进一步开发与应用，初中平面几何能够给学生更多动手的机会，让学生以研究的方式利用计算机来学习几何，进一步突出学生在学习中的主体地位。
3、开放课堂，张扬学生的自主能力。
关键词：信息技术,几何画板,高中教学,整合
中学数学教学是以培养人的创新精神和创造能力为基本价值取向的教育, 其核心是培养学生的创新思维能力。这要求推进中学数学教学课堂结构改革, 实现从知识体系为基础的教学向问题取向的创新型教学转变。而计算机辅助教学 (简称CAI) 是当前教学中的一个热点。那么, 怎样将信息技术与高中数学课堂教学进行整合, 则是一个尚未彻底解决的问题。
我认为, “整合”应把信息技术手段完美地融合到课堂教学中去, 以变革现有教学方法、教学模式和教学观念。近年来, 我们开展了几何画板辅助数学教学整合实验, 在培养学生创新思维和实践能力方面取得了一定的实效。下面, 我重点谈谈应用几何画板与高中数学进行整合的问题。
一、几何画板的特点
形象思维在数学研究和教学中起着重要的作用。一个学生不具备数学想象力, 就不可能学好数学。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的:“只要有可能, 数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此, 教师应该为学生创设有助于从形象思维向抽象思维转化的教学情景, 几何画板能解决这个问题。
在教学中, 教师用几何画板在同一屏幕上, 文本、图像、动画齐头并进, 创设出一个具有创造性、启发性的教学情境, 给学生具体又生动形象的视觉感受, 把知识、学生的思考过程具体化、形象化, 把静止的知识动态化。几何画板帮助学生挖掘数学的内涵, 理解数学概念、定义, 增强计算能力等, 实现了信息技术与数学教学的整合, 提高了课堂效率和促进了学生的思维发展。
二、几何画板与高中数学的整合
1、几何画板与代数教学的整合。
函数是中学数学最基本、最重要的概念, 它是以运动变化的观点对现实世界数量关系所作的一种刻画, 是对学生进行素质教育的重要材料。为此, 在教学中要注重把知识生动形象化。正如华罗庚所说:“数缺形少直观, 形缺数难入微。”函数的解析式和图像之间常常需要对照 (如研究函数的单调性、比较指数函数和对数函数图像之间的关系、讨论方程或不等式的解等) 。为了解决数形结合的问题, 应用几何画板能快速直观的显示及变化功能, 可以克服在传统教学中教师手工绘图中存在的不精确、速度慢的弊端。
用几何画板根据函数的解析式快速而灵活地作出一个函数图像或在同一个坐标系中作出多个函数图像。如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图像, 比较各图像的形状和位置, 归纳幂函数的性质。可以作出含有若干参数的函数图像, 当参数变化时函数图像也相应地变化, 如在讲函数y=Asin (ωx+φ) 的图像时, 传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值, 观察各种情况时的函数图像之间的关系, 而用几何画板则可以用线段b、T的长度和A点到x轴的距离作为参数来作图 (如图1) , 当拖动两条线段的某一端点 (即改变两条线段的长度) 时分别改变三角函数的首相和周期, 拖动点A则改变其振幅。
还有, 借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2 (a、b∈R+) 等;讲解数列的极限的概念时, 作出数列an=10-n的图形 (即作出一个由离散点组成的函数图像) , 观察曲线的变化趋势, 并利用几何画板的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表, 帮助学生直观地理解这些较难的概念。
2、几何画板与几何教学的整合。
初学立体几何时, 大多数学生不具备丰富的空间想象能力和较强的平面与空间图形的转化能力。学生根据歪曲真象的图形去想象真实情况, 增加了认识立体几何图形的困难。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线;正方体的各面不能都画成正方形等。而应用几何画板将图形动起来, 图形中各元素之间的位置关系和度量关系表现得惟妙惟肖。学生从各个不同的角度去观察图形, 既可以理解和接受立体几何知识, 又可以培养学生的想象力和创造力。
如在讲二面角的定义时 (如图2) , 当拖动点A时, 点A所在的半平面也随之转动, 即改变二面角的大小, 图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力;在讲锥体的体积时, 可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程 (如图3) , 既避免了学生空洞的想象, 又培养了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。
我用几何画板制作了一个以正方体上下底面中心连线为轴旋转的正方体CAI课件:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 求异面直线A1B、B1C之间的距离。 (如图4)
我在这个旋转正方体上设置了一个“转动90°的动画”按钮, 双击动画按钮上方就可以绕轴转动9 0°, 也可以在任意位置停止转动, 并以此构思了三个教学环节。第一个环节是让正方体绕中心连线这根轴慢慢旋转, 让学生仔细观察在旋转过程中空间元素的前后位置关系, 希望通过这种动态演示帮助学生建立良好的空间感。为了增加美感, 强化效果, 我给两个辅助平面 (平面A1BD与平面B1D1C) 。然后请学生回答有没有最佳观察位置, 有没有不良观察位置。学生不但迅速理解、接受了这一新事物, 而且以一种从未有过的热情全身心地投入到观察对比之中。第二个环节是在计算面面距离时, 可以把平面A1ACC1移到正方体的右侧, 作出平面移出图 (如图5) 。在没有变形的平面移出图中学生可较容易地用平面几何知识证明:E、F分别为AC1的三等分点, 电脑的这种动态的即时演示使学生真正看懂了什么叫“平面移出图”。第三个环节是利用函数与方程思想, 用代数方法求解异面直线A1B、B1C之间的距离时, 设M是AB上任意一点, 作EM┷A1B, EF//BC, 易知MF┷A1B, 问题的关键就在于何时MF┷B1C。在电脑屏幕上, 利用鼠标拖动M点, 并带动平面MEF上下移动, 此时, 请学生观察并估测M点位于何处时, MF┷B1C, 怎样的代数关系才能保证MF┷B1C成立。在这里, 由于教师可以通过拖动M点来带动∠MFB1的变化, 从而把∠MFB1对BM的函数依存关系变成了一种可视的图形变化过程。学生此时的认知体验是教师在黑板上画一系列的静态图所无法给予的。
总之, 信息技术与数学课堂教学整合, 是以数学知识的学习作为载体, 在教学中运用信息技术培养学生解决数学问题的综合能力的过程。教师数学教学过程中, 可以根据自己的认识水平和学校的具体条件, 有选择性地进行相关知识传授的课堂教学整合实践, 不断克服教学整合中的困难。
参考文献
[1].蒋鸣和.信息技术与课程整合讲座[一][J].现代教学, 2004[1-2].
关键词：几何画板；高中数学教学；运用
几何画板除了可以作为辅助教学的工具外，还是学生有效学习数学的工具。几何画板给学生演示数学知识的形式是动态演示的方式，这种方式能将抽象的数学知识变得形象，学生能够直观地感受数学知识，从而很好地接受所学的数学知识。由于几何画板的显著特点和其强大的教学功能，在高中数学教学中越来越受到人们的重视。
一、几何画板的特点
1.操作简单，互动性强。当前，在高中数学教学中，也会运用一些软件来辅助教学，如PowerPoint、Flash等。然而，毕竟这些软件不是针对数学建模而设计出来的，所以还缺少一些专门的数学功能，而且软件操作起来也比较复杂，所以教师在教学时应用得并不多。但是几何画板不同，几何画板是一种专门适用于数学教学的多媒体工具，它拥有非常强大的功能，如平移、反射、旋转等功能按钮都直接呈现在几何画板上，教师操作起来非常方便、简单。而且，学生在短时间内也可以学会操作几何画板，从而有效地增强了师生的互动性。
2.动态演示，便于理解。在高中数学教学中，利用几何画板可以准确地画出几何图形。除此之外，几何画板还可以将函数中的变化规律以及几何中的动态关系演示给学生，让学生直观地感受数学知识，从而更好地理解和掌握数学知识。
3.空间自由，形式多样。与传统的教学方式相比，几何画板的显示空间明显要大很多，利用几何画板进行高中数学教学，教师可以通过准备多样的教学材料来扩充课堂的知识量，拓宽学生的知识面。另外，利用几何画板还可以自由地在各个知识点之间进行切换，非常便捷。在几何画板中，还可以插入文字、图形、声音、动画等多种形式的媒体文件，让数学课堂变得丰富多彩。
二、几何画板在高中数学教学中的运用
1.讲解数学知识。几何画板的优势是将抽象的数学知识形象化，便于学习。在具体的数学知识中，几何图形和函数图像这两部分的知识非常抽象，更适合运用几何画板来进行教学。以函数图像为例，如果教师利用黑板来讲解这部分知识，就需要学生用自己的大脑来构筑数学模型，这会让学生害怕学习函数图像知识。但是如果利用几何画板教学，教师可以通过一系列的图形运动来展示函数图像知识，从而有效地帮助学生掌握函数图像知识，并建立起数学思维。
2.营造主观学习的客观环境。实际上，学生在学校里所学到的知识是很有限的，学生掌握到的学习方法和思维方法才是能让其一生都能受益的。在高中数学教学过程中，教师不仅要把几何画板当作教学工具，还要教会学生使用几何画板，让几何画板变为学生学习的工具。几何画板可以让学生进行主观学习，学生首先对数学命题进行猜想，然后利用几何画板绘制图形，对猜想进行论证并得出结论。在这个过程中，学生可以很好地理解数学知识，并提高自身的自主学习能力、解决问题的能力以及逻辑思维能力。除了作为教学工具和学习工具，几何画板还可以成为研究的辅助工具。对于同一个问题，不同的学生会有不同的猜想，学生为了证明自己的猜想正确，就需要进行讨论，在讨论过程中就可以利用几何画板操作各种数学元素，并在这个过程中发现规律，得出结论。在这个过程中，可以有效地培养学生的数学思维能力，培养正确的学习方法，从而提高学生的数学素质。
三、当前几何画板在高中数学教学运用中存在的问题
1.几何画板教学流于形式。在实际的高中数学教学中，有的教师已经习惯了黑板教学的方式，所以只是在讲公开课时才利用几何画板，并未真正将几何画板运用到高中数学教学中；有的教师是为了利用而利用，不管是否是有用的知识，全部都应用到自己的教学课件中，使得整个教学过程体现不出重点在哪里，甚至有些无用的资料侵占了实际教学内容的主体地位，使得教学一点效果也没有。
2.学生没有成为教学活动的主体。很多教师对几何画板的认识都不足，没有充分利用几何画板强大的功能，只是将几何画板作为教学过程中所需的演示工具。对于几何画板互动性的特点完全忽视，也就不存在教学过程中的师生互动，使得学生依然还是处于被动接受知识的地位，缺乏主动学习的动力。
3.教师操作几何画板的水平较低。虽然几何画板与其他软件相比具有操作简单的特点，而且教师在操作时也能将各种图形绘制好，并讲解给学生听，但是因为几何画板的这种便捷性，让教师不能很好地把握教学时间，出现提前讲完课程的现象。此外，由于教师利用几何画板展示知识的速度过快，让学生没办法跟上教师讲课的速度，阻碍了学生对知识的理解。
在一定意义上，几何画板是一种新的教学工具和学习工具。在高中数学教学中，运用几何画板可以让整个数学课堂变得活泼有趣，抽象的数学知识也可以变得生动形象，从而提高了学生学习数学的兴趣，让数学教学能够取得更好的教学效果。此外，几何画板还能提高学生自主学习和主动思考的能力。
参考文献：
[1]林炜.试论几何画板在高中数学教学中的应用[J].群文天地，2011（14）：146.
[2]张瀚锟.新课程背景下利用几何画板进行数学教学的探索与反思[J].新课程学习（中），2013（3）：126-129.
摘要摘要：中学数学教学存在一些传统教学手段难以解决的知识难点，如多次计算、重复作图等，这些问题利用算法和程序设计则较易解决。考虑到目前中学数学教师编程能力较弱，且学生普遍难以接受编程学习，因此采用目前比较流行的几何画板的迭代功能来代替编程功能，既可将教师们从繁琐的重复劳动中解放出来，又有助于学生对算法的理解接受。教学实践表明，几何画板有助于降低难度，透视本质，创建模型，能提高学生的作图能力、解题能力、编程能力，全面提升学生的数学才能。
关键词关键词：几何画板；算法教学；信息技术
DOIDOI：10.11907/rjdk.151021
中图分类号：G434
文献标识码：A文章编号文章编号：16727800（2015）004017303
0引言
算法是高中数学教学中的重要内容，属于高考必考范畴，对于培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力具有重要意义[1]。但由于高考并不进行上机操作，一些教师本着应试教育的态度，只要求学生能看懂框图，对学生能力的培养不够重视。算法和程序设计需要较高的抽象思维能力和逻辑思维能力，探索出一条有效的教学方式，既能使学生掌握理论知识，又能在一定程度上培养学生动手能力，是一个颇具意义的研究课题。
直接让学生上机编程，对高中生而言有一定难度。因此在高中阶段，教学生算法，培养其动手能力需要找一个初级入门的阶梯。近几年的教学实践表明，可利用几何画板作为踏板，帮助学生入门[23]。在教学中引入几何画板符合学生认知规律，遵循先易后难、先具体后抽象、先基本后提高的教学原则，让学生逐步掌握知识、逐步深化学习。几何画板的操作与数学思维完全吻合，可见即可得，简单的操作能实现丰富的图形效果，有助于提高学生兴趣，激发学生学习的主动性与积极性。
1几何画板的迭代功能
几何画板是一款优秀的教学辅助软件，由人民教育出版社从美国引进并汉化。几何画板与其它软件平台如Flash、Powerpoint 相比，具有无需程序设计、操作界面直观、能组合各类数学教学资源、易学易用等优点。这些优点使其受到了越来越多人的青睐，几何画板教学逐渐成为21世纪的动态几何[4]。
几何画板不需编程，是指不需要像Flash那样用具体的程序语言编程，但编程思想在几何画板中却得到了充分体现。在计算机编程学习入门阶段，当学习了赋值语句和FOR循环语句等基础知识后，通常教材上会给出这样一个例子：求和S=1+2+3……100。此题因高斯而出名，答案为5 050。若用计算机编程，步骤也相当简单：
（1）新建参数S和i，分别赋值为0和1（初始状态的S可以看作是一个没装东西的大容器）。
（2）将S+i赋值给S，将i+1赋值给i。
（3）新建循环参数n，赋值为100，并将步骤（2）重复n次（此时的S是动态变化的，该过程可看作是陆续往一个大容器向里面加“数”）。
（4）循环结束，输出最后结果S。
利用几何画板来解决此题的思路如下：
①新建参数S和i，分别赋值为0和1；
②计算S+i，i+1，新建循环参数n，赋值为99；
③依次选中S、i、n，按住Shift作深度迭代：S―>S+i，i―>i+1，如图1所示；
④生成迭代数据，如表1所示。
笔者对迭代的本质作如下理解：迭指的是多次，代指的是替换，迭代就是指一个动作或操作重复多次，每一次迭代得到的结果作为下一次迭代的初始值。具体到代数计算，迭代可看作使用输入值来计算输出值的不断重复计算过程，重复地将前一个计算中得到的计算结果作为下一个计算的输入值。
由此可见，几何画板具备一定的“编程”能力。类似例子还有很多，如∑ni=1i2、∑ni=11i2。高中教材上的等差、等比数列，大学教材上的泰勒展式等计算都可以用这种方法。如果将加法换为乘法，或将加法与乘法相结合，还可计算如n！、∑ni=1i！等。
2几何画板迭代功能应用
2.1微积分课件制作
在教学中，将三角形的高n等分，做出n-1个矩形，用迭代来表现当n增大时矩形面积的和与三角形面积的接近程度，其方法如下：
首先需要作“任意等分线段”。①作线段AB为被等分线段；②建参数n，作为线段的等分数，计算1n、n-1；③点A为放缩中心，以1n为放缩比，放缩点为B，缩放后得到点B′；④依次选中点A、n、n-1，以n-1为参数作深度迭代，A―>B′，n―>n-1，得到图2；⑤意调整参数n，等分数随之变化，真正做到任意等分线段，如图3所示。
这种等分线段的思想是动态的，即要将AB线段n等分，只要在作好点B′后，将B′B线段n-1等分。
接下来彻底解决该问题：①作任意△ABC，新建参数n，将n-1作为矩形个数；②用放缩变换，即可轻松作出图4；③作垂线，得到点D、E，依次连接4点，得到第一个矩形，如图5所示；④运用等分线段的思想，依次选中A、B、n、n-1，以n-1为参数作深度迭代，A―>F，B―>G，n―>n-1，得到图6；⑤调整参数n，矩形个数也随之变化，真正意义上做到了动态演示，如图
7、图8所示，完整地表现了当n增大时矩形面积和与三角形面积的接近程度。
2.2分形课件制作
分形几何是研究不规则图形和现象的新兴数学分支，是描述复杂形态的一种新的几何语言。教授学生分形知识可以使学生感受数学的美学魅力，培养其对分形的兴趣，建立对分形的初步认识，开阔数学视野，体验观察世界的全新角度和方式，形成关注科技前沿的意识和创新意识，对学生日后的发展具有重要意义。分形具有5个基本特征：形态不规则性、结构精细性、局部与整体自相似性、维数非整数性、生成迭代性，具有如上性质的图形被称作“分形”。通常情况下，分形都是极度对称的，甚至对称到了完美的地步，但生成这种图形不需要非常复杂的程序，它们具有无限的细节表面，可以使用递归算法来实现。本文主要介绍如何运用几何画板来制作谢尔品斯基三角形。
数列xn=axn-1+b是一个非常常见的数列序列，随着参数a、b不同，最终所得结果可能收敛，也可能发散。可利用几何画板来研究该数列所生成的图形。
先给出两个特殊数列：
数列1：任意给定一个数k，将它乘以0.5得到一个新的数，将得到的新数乘以0.5，再得到一个新的数。递推公式为：xn=0.5xn-1。以此类推，由无穷等比递缩数列的性质可知，最后那个数必定是0，而得到0之后，再乘以0.5就不再得到新的数了，可见0是f（x）=0.5x的不动点。
数列2：任意给定一个数k，将它乘以0.5，再加上0.5之后得到一个新的数，然后将得到的这个新数乘以0.5，再加上0.5之后又得到一个新的数。递推公式为：xn=0.5xn-1+0.5。以此类推，由无穷等比递缩数列的性质可知，最后那个数必定是1，而得到1之后，再乘以0.5，加上0.5就不再得到新的数了，可见1是f（x）=0.5x+0.5的不动点。
（1）定义坐标系，作任意点A，测量A的横、纵坐标xA、yA。
（2）计算0.5xA、0.5yA、0.5xA+0.5、0.5yA+0.5，作坐标点B（0.5xA，0.5yA+0.5）、C（0.5xA，0.5yA）、D（0.5xA+0.5，0.5yA+0.5）。
（3）新建参数t=10，选中点A和参数t，按住Shift键，在变换菜单中选择带参数的迭代，点击点B，并按Ctrl+A，添加新的映射，点击点C，再按Ctrl+A，添加新的映射，点击点D。也即将点A依次迭代到B、C、D 三点。这时出现的图像会有杂点。适当调整点A的位置，杂点消失，再隐藏所有点，如图9所示。
（4）如果觉得色彩过于单调，可以在建立BCD三点之后，测量三点的横纵坐标，计算横纵坐标和，并除以2，得到3个数，并将这3个数作为BCD三点的颜色参数（设置颜色参数的方法如下：①选择该点与参数；②在显示菜单中选颜色――参数，然后按确定）。其它步骤不变，得到图10。
2.3几何画板“编程”优势与不足
几何画板迭代完全按数学意义逐步完成，这对训练学生的逻辑思维特别有利，不像Mathematica那样，跳过思维过程只留下最终结果。同时，中学生使用几何画板学习数学，对进一步学习程序语言编程大有帮助。但几何画板也有其不足，其计算只能精确到十万分之一，有时不能满足要求，例如∑ni=11i2的结果只能是1.644 93，而不同于Mathematica算得的精确结果π26。
3结语
从上述例子可知，将几何画板应用于教学十分有趣，常常会给广大师生以惊喜。学几何画板，不能将其看作是一款计算机软件，而应该把它看作是数学思想的一个具体载体。几何画板表面上没有编程功能，但其拥有的迭代功能在一定程度上可代替编程环境，甚至可以说，在中学数学算法教学中，几何画板的这一功能比C、VB等程序语言更合适。如何使几何画板的迭代功能发挥更大作用，尚有待进一步研究。
参考文献参考文献：
[摘 要] 超级画板辅助教学主要体现在优越的图形工具中，可用其代替部分传统教具，而它的动画功能可以让静止的图形动起来，体现直观的效果，也易于去验证猜想和探究，帮助学生直接理解动态过程，使学生养成以动态的观点思考静态图形的学习方法.[关键词] 超级画板；课堂教学；平面几何；直观；动态
前言
在知识爆炸的今天，信息技术的飞速发展广泛而深刻地影响着社会每一个领域的发展.在教育中，信息技术辅助教学也变得尤为重要.超级画板是一款优秀的数学教学软件，相比传统的数学教学，它具有诸多优势，如智能画笔作图、动态测量、图形变化等功能，能有效辅助教师进行课堂教学.在传统的平面几何教学中，常常是用粉笔借助直尺、圆规、量角器等教学测量工具在黑板上作图.我国现在提倡用信息技术辅助教学，以提高教学效率，而超级画板就能有效、方便地进行平面作图.（一）基本特色
超级画板画图最基本的就是用鼠标以点带线画图，点与点间默认以直线段连接，这能使教师轻松完成普通的多边形作图.而对于特殊图形，超级画板提供了一系列具有特殊性质的图形，如正多边形、等腰梯形、已知原点和半径的圆等，避免了特殊图形传统作图的诸多不便.如用笔画等腰梯形得用直尺辅助三角板进行平移，要先画出两条平行线，再用刻度尺准确地截取出两条线段作为等腰梯形的上下底，但是超级画板作图只需简单的两步：任取三点，依次选中这三点并点击“等腰梯形”，便可完成标准等腰梯形的作图.此外，传统作图在画含有特定角的多边形时需要量角器的辅助才能实现，而在画板中只需通过线绕点旋转的功能就能轻松完成.（二）图形易于“修改”
传统的作图大部分是画于黑板和纸上，这两种载体都有一个共同的弊端：不易于修改，特别是绘制较为复杂的图形和辅助线时，有诸多不便.超级画板除了可以删除不必要的点和线之外，还能隐藏一些暂时无用的点和线，待需要时再显示.这样的切换在教师的合理运用下可以一步步引导学生思考和探究，避免教师用传统方法改动图形时浪费时间导致学生思路中断的问题.超级画板可以在不改变图形结构的条件下利用放大和缩小的功能对原图形进行调节，避免因图形大小不适而需重新作图的问题.此外，它还能通过对线段进行不同层次的加粗和着色、对角进行标注等来突出题目条件，便于学生思考.（三）代替部分传统教具
教具是教师辅助教学的用具，教师根据需要使用教具，能够激发学生的学习兴趣，突出教学重难点，发展学生创新思维力，有效提高教学质量和效率.但是传统的数学教具常是由纸等材料直接制作的，这类教具不利于保存，通常为一次性用品.这种教具制作过程有时很复杂，且浪费精力和资源，超级画板能通过动画的制作模拟教具来代替部分传统教具.如图形关于对称轴的翻折过程，如图1所示；中心对称图形的旋转过程，如图2所示.超级画板除了能代替此类教具，还能代替其他教具，如数学绘图板，它比传统的绘图板便于携带，作图更精准，功能更强大，如图3所示.（四）易于探究、猜想
含变量的问题一般都比较抽象，学生难以想象出由自变量变化而引发的应变量的变化.虽然教师能画出变化过程中关键部分的图形，但不能展示出它的整个过程.超级画板中的变量尺能帮助教师展示出由自变量变化引起的图形变化过程，这样的全程展示可以让学生发现与所求问题最符合的情况，进而得出合理的猜想，从而解决问题.此外，超级画板能制作关于变量的探究模型，如变量尺和半径圆相结合，作出两个由变量尺控制半径的圆，组成圆与圆之间关系的探究模型，如图4～6所示.说明
（一）直观教学手段
直观教学手段是指根据教学需要对图形进行艺术加工，主要形式有：（1）用不同颜色、不同方式对图形进行标注涂色；（2）图形的隐藏和显示；（3）图形的动画效果.这些手段用传统的粉笔和黑板是不容易实现的，如果是借用超级画板，就大大降低了对图形进行加工的难度.下面借助以下案例介绍超级画板在直观教学中的应用.（二）具体实例
1.三角形的内角和验证
三角形内角和的验证主要是运用割补法使其三个内角拼成一个平角，如图7～10所示.上述几种情形展示的均是针对一个三角形的内角和问题，利用超级画板可以进行多种多样的说明，只是思考的角度和方式不同，都有自身的限制条件，在限制条件成立的情况下，可以根据数学软件直观地解决问题.2.其他四边形的性质
对于平行四边形的一系列性质，如对边平行且相等，我们可以对平行四边形的边进行着色，把对边设置为相同颜色，如图11所示；对角线互相平分，把边所在的三角形填充为不同的颜色，把面积相等的三角形进行填充，如图12所示.这两种方法明显比用黑板和粉笔的效率高且表示得清晰.3.解题案例
例1 如图13，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BC=DE.这是三角形全等问题，但是需求证的两条边所在的三角形不是独立存在的，要求?C的两个三角形有交叉部分.想快速完成证明，首先要将两个三角形抽象出来，我们通过不同颜色的填充将所要求证的三角形直观地表示出来，如图14，逐步寻找三角形全等的条件，然后利用已知条件，得到边角边（SAS）证明问题.例2 如图15，B，C，D在同一直线上，△ABC，△ECD为等边三角形，连接AD，EB交于点H.（1）求证：AD=EB ；（2）求∠AHB的度数.两个等边三角形构成了一个其他平面图形，在此基础上构建了两个三角形全等，为了直观明确到两个三角形全等，利用不同颜色来填充，将需要证明的图形区别出来，如图16，从而利用已知条件解决问题.例3 如图17，已知，正方形CEFG的边长为4，四边形ABCD为正方形，且点B，C，E在一条直线上，连接AG，GE，AE，求三角形AGE的面积.本题是考查三角形面积，倘若知道三角形的底和高，就很容易求解三角形的面积，但是此题三角形的高是没有直接给出的，所以借用超级画板的辅助，将问题图形在超级画板上演示，如图18，找到了要求解的三角形面积等于大正方形的一半，见图19.例4 如图20，求证多边形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.方法一：观察图知，多边形5个内角的和刚好和三角形内角和相等，为180°，根据三角形外角的性质（三角形的任意一外角等于与它不相邻的两个内角之和），将多边形其中的四个内角之和转换为三角形的两个外角之和，如图
21、图22，①在△AEI中，∠A+∠E=∠DIA，②在△BCJ中，∠B+∠C=∠DJB，如图23，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠DJB+∠DIA=180°.方法二：如图24，作辅助线，连接CD，在△ECD中，∠E+∠ECD+∠EDC=180°，如图25，又对顶角相等，所以∠HCD+∠HDC=∠HBA+∠HAB，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠ECD+∠EDC+∠E=180°.4.图形的动态动画效果
（1）勾股定理的验证
如图26，以Rt△AFC的直角边和斜边为边长的三个正方形，因为正方形是特殊的平行四边形，因而可以将正方形的面积转换为平行四边形来计算，如图
27、图28三个正方形可以视为同底等高的平行四边形，如图29，将大正方形朝原点方向平移，最后两个平行四边形的面积就视为大正方形的面积.（2）正方体展开图
如图30是一个正方体，如图
31、图32用具体的动画展示，帮助学习者完成展开图形的理解.立体图形的三视图是一个学习的难点，借用超级画板辅助立体图形的展开，能帮助学生更好地理解三视图.（三）超级画板的使用策略
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