立体几何线面平行问题

立体几何线面平行问题（共9篇）

立体几何线面平行问题 篇1

一、知识点 1 1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//ca//c．

3.等角定理：4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，b

a

1AA

推理模式：A,B,l,BlAB与l

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O(0,

28．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（210．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

异面直线的的定义要注意“相交

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共a点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//． a13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：l,m,l//ml//．

14.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：l//,l,ml//m．

lm个平面

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）

2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

C

①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面__Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛 ∴BD、E,F,G,H分别是空间四边形四条边AB,BC,CD,DA的中点，（1）求证四边形EFGH是

2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

HF

；（4）

若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EFAD,BC7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.8．在长方体ABCDABCD中，已知AB=a，BC=b，AA=c(a＞b)，求异面直线DB与AC

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别

是AB、PC1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA 求异面

直线PA与MN10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N分别在AC、BF上，且AMFN求证：MN//平面CBE

参考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD平面BCD,且CBD.∴AC与BD是异面直线.(2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4.答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  ∵Aa，Da，∴ a .∵Pa，P .∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴ b ，c ，这与a、b、c∴BD、AE5.证明（1）：连结AC,BD，∵E,F是ABC的边AB,BC上的中点，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四边形EFGH证明（2）：由（1）四边形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EFEH，∴EFGH为矩形.解（3）：由（1）四边形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF

2AC3,EH

BD

1∴由平行四边形的对角线的性质 EGHF2(EF

EH)20.B

D解（4）：由（1）四边形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，AC3,EH

BD

2∴四边形EFGH的面积 SEFEHsin30

3.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MNAC,MNBD，∴MN是AC与BD的公垂线段 且MN

MB

NB

2∴AC与BD间的距离为2.6.解：取BD中点G，连结EG,FG,EF，∵E,F分别是AB,CD的中点，∴EG//AD,FG//BC,且EG

2AD1,FG

BC1，∴异面直线AD,BC所成的角即为EG,FG所成的角，EGFGEF

2EGFG

在EGF中，cosEGF

，G

F

D

∴EGF120，异面直线AD,BC所成的角为60．

7.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90.8.解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o.9.略证（1）取PD的中点H，连接AH，NH//DC,NH

12DC

o

o



C

NH//AM,NHAMAMNH为平行四边形 MN//AH,MNPAD,AHPADMN//PAD

解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

MNBC

4，PAOM=2，ON=

所以ONM300，即异面直线PA与MN成30010.略证：作MT//AB,NH//AB分别交BC、BE于T、H点

AMFNCMT≌BNHMTNH

从而有MNHT为平行四边形MN//THMN//CBE

立体几何线面平行问题 篇2

类型一：直线与平面平行的证明

【例１】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A点在底面A1B1C1上的射影是正△A1B1C1的中心.E为侧面BB1C1C对角线BC1上一点,且BE=2EC1,



证明：OE∥平面AA1C1C．

分析 (1) 从“量”上分析:①从BE=2EC1知E是一个三等分点(离C1较近);②从正△A1B1C1,O是△A1B1C1的中心,知O是△A1B1C1的重心,隐含O是B1C1边上中线的一个三等分点,与E点有遥相呼应之感；

(2) 从“形”上分析：由相似三角形的原理知延长CE与B1C1的交点必是B1C1的中点H,从而根据重心知识知A1、O、H共线,这样可形成△A1HC；同时可联想B1C1的中点是建立联系的纽带；

(3) 从方法上分析：应用线面平行的判定定理证明,设法在平面内找到平面外的直线OE的平行线,俗称“找线法”。

证明 连接CE并延长,交B1C1于点H,因为BC∥B1C1,BE=2EC1,所以△BCE∽△C1HE,且BC=2C1H,所以H点为B1C1的中点.

又因为点A在底面正△A1B1C1内的射影点O是△A1B1C1的中心,所以O是△A1B1C1的重心,显然A1、O、H共线.且A1O=2OH.

在△HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以△HEO∽△HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．

点拨

(1) 从图形上可联想有一个三角形,过OE且与平面AA1C1C有一条交线,故联想到B1C1的中点；

(2) 在添加辅助线时,易出现错误.如：连CE交B1C1于H点,连A1、O、H等形式的错误；

(3) 除用判定定理证明外,也可以构造平面与平面AA1C1C平行,利用面面平行的性质来证明。

总结:证明线面平行的方法有：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等方法,常用的是线面平行的判定定理。

类型二：直线与平面垂直的证明

【例2】 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD是等边三角形,PB=PC=2,求证：PC⊥平面PAB.

分析 (1) 从“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本关系,作AH⊥BC垂足为H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在△ABC中由余弦定理易知AC=3,在△PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PC⊥PA；在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PC⊥PB；

(2) 从“形”上分析：应联想到PC应垂直平面PAB中两条相交的直线

PB,PA,AB中的其中两条即可,可联想连接AC,用勾股定理证明；

(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的判定定理,

设法在平面PAB内找到与PC垂直的两条相交直线。

证明 由条件易知在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PC⊥PB.在等腰梯形ABCD中,

由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,

作AH⊥BC于点H,得BH=12,所以在Rt△ABH中，∠ABH=60°；

又在△ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，

所以在△APC中,PA=1,AC=3,PC=2，满足勾股定理,即∠APC=90°,即PC⊥PA，

由上可知PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB．

点拨

(1) 本题从找线出发,联想到要证PC⊥PA与PC⊥PB,而PC⊥PA是本题的一个难点；

(2) 本题最终在△APC中利用勾股定理证得PC⊥PA,亦可以通过AB⊥平面PAC,证得PC⊥AB得到。

总结:证明线面垂直的方法有：定义法、线面垂直的判定定理法、面面垂直的性质定理等方法,常用的是线面垂直的判定定理。

恃国家之大，矜民人之众，欲见威于敌者，谓之骄兵。——魏相

类型三：利用线面平行、垂直的性质的探索性问题

【例3】 已知三棱锥PABC中,△ABC是边长为2的正三角形,PC⊥平面ABC,PA=22,E为PB的中点,F为AC的中点,试在线段PC上找一点Q,使得AE∥平面BFQ．

分析

(1) 从“量”上分析：△ABC为正三角形,PA=22,易得PC=2；从而知PB=22；

(2) 从“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；△PBC

为等腰直角三角形；同时可以联想在平面BFQ内有一条与ＡＥ平行的线；

(3)从方法上分析：利用线面平行的性质,通过线面平行得出线线

平行,从而确定Q点的位置。

解 因为△ABC是边长为2的正三角形,所以AC=2；

又因为PC⊥平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PC⊥AC,PC⊥BC,所以△PAC为直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以△PBC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.不妨在PC上取一点Q,假设满足AE∥平面BFQ,则由线面平行的性质定理,连接CE交BQ于点H,连接HF,作出平面AEC.因为AE∥平面BFQ,

AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；

显然在△AEC中,F为AC的中点,所以H为EC的中点．

过E作EG∥BQ,交PC于点G；

在△CEG中,HQ∥EG,H为EC的中点,所以Q为GC的中点,故GQ=QC；

在△PBQ中,EG∥BQ,E为BP的中点,所以G为PQ的中点,故GQ=PG；

所以PG=GQ=QC,故Q为PC的一个三等分点且靠近C点；因为PC=2,所以QC=23．

点拨 (1) 取Q点形成平面BFQ,利用线面平行的性质定理得AE∥FH,从而知H为EC的中点；

(2) 在△PBC中求Q的位置,除了用本题的方法外,还可以把△PBC平面化,利用解析几何知识建立直角坐标系,求出Q点的坐标,从而确定Q的位置；

(3) 学理科的同学还可以通过建立空间直角坐标系,通过求Q的坐标,确定Q的位置。

总结:线面平行的探索性问题常用的解题步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 利用线面平行的性质得出线线平行；(3) 通过线线平行确定点的位置。

【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,

BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D为B1C1的中点,

线面平行证法探讨 篇3

惠来一中方文湃

今年我校高一级第一学期质检考试试题第17题第一小题的题目如下： 题目：如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB。

求证：DM∥面PBC

这是一道证明线面平行的经典题目，大家知道，线线平行、线面平行、B面面平行在一定条件下，是可以相

互转化的。其关系如下图：

线∥面面∥面

一、转化为线线平行

证明线面平行的一种方法思路，是转化为线线平行，其关键是在已知平面内找到一条直线与之平行，而 “DM∥面PBC”(线面平行)是待证的正确结论，过已知直线DM的任一截面与平面PBC的交线l显然均与直线DM平行。这就给我们指出了找“线线平行”的平行线的一条康庄大道，所以“线线平行”与“线面平行”是可以互相转化的，辅助截面是实现这一转化的“桥梁”。

接下来的问题，是怎样作出辅助截面。其理论依据有“两平行线确定一个平面”、“两相交线确定一个平面”。于是有下面两种不同解法：

[法一]：运用“两平行线确定一个平面”做出辅助截面。

惠来一中数学科组方文湃

1过M作MN∥AB，交PB于N，连结CN。∵MA∥PB，∴ABNM是平行四边形 即MN∥AB，MN=AB ∵DC∥AB，DC=AB ∴MN∥DC，MN=DC 即DCNM是平行四边形 ∴DM∥CN，N

B

∵CNÌ面PBC，DMË面PBC，∴DM∥面PBC

[法二] 运用“两相交直线确定一个平面”做出辅助截面。若PB=MA，易证DM∥CP，从而DM∥面PBC； 若PB¹MA，设PM∩BA=E，ED∩BC=F（如图所示）。∵MA∥PB，AD∥BC ∴EM：EP=EA：EB=ED:EF

B∴DM∥FP，∵FPÌ面PBC，DMË面PBC

∴DM∥面PBC

小结：线面平行找平行线，辅助截面来帮忙。

二、转化为面面平行

证明线面平行的的另一种方法思路，是转化为面面平行，其关键是在过已知直线的平面中找到一个平面与已知平面平行。而证明“面面平行”的一种方法是，寻找“线线平行”证“线面平行”，得出“面面平行”，再由“面面平行”得出 “DM∥面PBC”(线面平行)。所以 “线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是相互

惠来一中数学科组方文湃

密切、相互转化的关系。

[法三]：∵MA∥PB，AD∥BC PBÌ面PBC，MAË面PBC，BCÌ面PBC，ADË面PBC ∴MA∥面PBC，AD∥面PBC ∵MA∩AD=A ∴面MAD∥面PBC ∵DMÌ面MAD∴DM∥面PBC

[法四]：对于本题，转化为面面平行的一种比较方便的方法是证明两个平面MAD、PBC同垂直于同一条直线AB（略）

B

三、向量工具

自从新教材引入向量，向量作为解决几何问题一个行之有效的工具，由于避开了几何繁琐的推理过程，而受到同学们的青睐。向量来解决几何问题首先必须将几何问题转化为向量的运算，最后还要将运算结果翻译几何的结论。



[法五]：容易证明AB⊥PB，AB⊥BC，所以AB是平面PBC的法向量；证明AB

⊥平面MAD可得AB⊥MA，于是MA^AB，故DM∥面PBC

[法六] ∵MA∥PB，∴存在lÎR，使AM=lPB，

∵DA∥CB，DA=CB，∴DM=DA+AM=CB+lBP

CB、BP 是共面向量，∴DM∥面PBC 即 DM、

练习题：如图，已知矩形ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别

1在对角线BD,AE上，且BMBD,ANAE

3惠来一中数学科组方文湃

B

C

求证：MN//平面CDE

具体解法，仿照上述。

“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。以上各种方法，看似难以想到，毫不相干，其实每一种方法都有它的根源、有它的理论根据。所谓有“果”，必有“因”，找到它的“因”，自然能够修成“正果”。我们在教学中提倡“授之以鱼”，不如“授之以渔”。我们不但要教给学生解题的方法，还要让学生学会解一大类题，融会贯通，达到“举一仿三，触类旁通”的效果，更要让他们理解各种方法的由来，以及其体现的数学思想。

线面平行判定导学案 篇4

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；

（2）能应用定理证明简单的线面平行问题。

2、过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。

3、情感、态度与价值观

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

二、教学重点、难点

重点：直线和平面平行的判定定理的归纳及其应用。

难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。

2、教学用具：投影仪（片）

四、教学过程：

【回顾知识，提出问题】

1、（1）空间中直线与平面有哪几种位置关系？（分别用文字语言、图形语言、符号语言表示）

（2）你能从生活中举几个直线与平面平行的实例吗？

（3）当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门轴所在平面具有什么样的位置关系呢？

（4）观察“书本模型”：将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

【发现问题】

1、门扇两边所在的直线有什么样的位置关系呢？

2、书的硬皮封面的对边所在的直线有什么样的位置关系呢？

【探究问题】

3、如右图，平面外的直线a平行平面内的直线b，则：（1）直线a和直线b共面吗？（2）直线a与平面相交吗？

【解决问题】

4、直线与平面平行的判定定理：

【知识挖掘】（1）定理的____个条件缺一不可，用六个字刻画为_______、_______、_______（2）判定定理简记为：________________________（3）数学思想方法：空间问题________平面问题 【学生练习】

1、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与AB平行的平面是________________；（2）与AA1平行的平面是________________；（3）与AD平行的平面是________________。

2、判断下列命题的真假，并说明理由

①如果直线a平行于平面内无数条直线，a∥。（）

③如果一直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。（）

【例题讲解】

例1 求证：空间四边形的相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平

面.【合作探究】

1、如图：正方体ABCDA1B1C1D1中，P是棱A1B1的中点，过点P画一条直线使之与截面A1BCD1平行.C

1A1

D

P

B1

C

B2、如图：已知有公共边AB的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q是对角线AE、BD的中点，求证PQ∥平面CBE？

A

D3、如图：在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF分别是棱BC与C1D1的中点.求证：EF //平面BDD1B

1D1 A1

C1

A

小结：

1、直线与平面平行的判定：（1）（2）

2、应用判定定理判定线面平行时应注意六个字:（1）（2）（3）

3、应用判定定理判定线面平行的关键是找方法一：方法二：

4、数学思想方法：

C F B

当堂检测

1、已知直线a,b和平面，下列命题中真命题是（）A、若a//,b,则a//b

B、若a//,b//，则a//b

若a//b，C、若a//b,b,则a//D、则b//a或b a//，2、能保证直线a与平面平行的条件是：（）A、a,b,a//bB、b, a//b

C、b,c//a , a//b,a//cD、b,Aa,Ba,Cb,Db，且ACBD

3、如图，在空间四边形ABCD中，MAB,NAD,若

AMAN

，则MN与MBND

B

平面BDC的位置关系是

用向量证明线面平行（共） 篇5

比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗? 只能是a≠0是可以这样。

面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。

不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。

当然你要证明分别平行于两平面的直线平行，或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。2 三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z)而(m,n,p)是在原点与平面的垂线的交点, 我们得 [(x,y,z)-(m,n,p)] *(m,n,p)= 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离 x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1)这支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以两直线的方向向量不平行 即两直线不平行

但是书后的答案说两直线是平行的。。你确定题没有写错吗? 其实直线很简单

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行平行向量

平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

立体几何线面平行问题 篇6

临高中学数学组王碧芳2013/12/10

1.线线平行学生理解不透彻,应明确利用线面平行的性质来得到线线平行.2.线线平行和线面平行的转化理解不太清楚,线线平行推出线面平行是判定定理(3个条件4个字:平行,内,外);线面平行推出线线平行是性质(3个条件4个字:平行,内,交).虽然都是三个条件,但本质上是完全不同的,两者是相反的.问题:如何把他们之间的联系和转化解理透彻

立体几何线面平行问题 篇7

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

（1）通过“平移”。

（2）利用三角形中位线的性质。

（3）利用平行四边形的性质。

（4）利用对应线段成比例。

（5）利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC

是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.B分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

F

A

1D

A4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是

平行四边形

(2)利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB900,BC

//

AD，BE

2//

AF，G,H分别为FA,FD的中点 2

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C,D,F,E四点是否共面？为什么？

（.3）

利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E为PD中点.2求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，ACB90，所以EGF90,ABC∽EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，FG

BC

2BC 2

在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且AM

因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

AMBN

=，SMND13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形

（6）利用面面平行



14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：CM//平面BEF；

立体几何线面平行问题 篇8

（二）1．选择题

（1）a∥，b∥，a∥b，则与的位置关系是（）

（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）一定垂直

（2）以下命题中正确的是（）

（A）在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（B）在一平面内有不共线的三个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面

平行

（C）在一平面内有无数个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（D）在一平面内的任意一点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行

（3）已知直线a，b，平面，，①a，b，a∥b；

②a，b，a∥，b∥；

③a⊥，b⊥；

④a∥b，a⊥，b⊥.以上条件中能推出∥的是（）

（A）①②（B）②③（C）①④（D）③④

2．填空题

（1）当∥时l⊥，则l与的关系是；

（2）当∥，∥，则与的关系是

立体几何线面平行问题 篇9

【教学内容】上海市九年义务教育五年级数学（试用本）第一学期P59-60

【教材解读】

《平行四边形的认识》是上海市九年义务教育数学课本五年级第一学期几何小实践中的教学内容。《平行四边形的认识》是后续学习习近平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的认识和梯形的面积的基础。学好这一部分内容，有利于提高学生的动手能力，进一步发展学生对“空间与图形”的兴趣。教材通过一系列探究、操作活动呈现平行四边形的基本特征，教材的编排始终遵循五年级学生的认知规律，注重学生在实践操作中经历解决问题的整个过程，在实践中逐步促进学生空间观念的发展。

【学情分析】

五年级学生思维活跃，求知欲强，喜欢动手、动脑。在教学本节课之前，学生在四年级已经学习过有关平行和垂直的知识，知道了什么是平行线、会画平行线、会检验平行线。同时，在二年级时掌握了长方形、正方形的特征。因此，本节课在学生已有的认知基础上，通过动手操作、观察、比较等探究过程，理解和掌握平行四边形的基本特征，以及平行四边形与正方形、长方形的关系上升到理性的认识，为后面更进一步学习习近平行四边形，打下良好的基础。

【教学目标】

1.借助两条两边互相平行的透明色带的交叠活动，以旧引新认识平行四边形.2.利用已有的活动经验，经历操作、观察、比较等探究过程，理解和掌握平行四边形的基本特征，提升探究能力和空间观念.3.通过辨一辨、画一画、议一议、找一找等练习情境，内化平行四边形的一些特征，体会平行四边形在生活中的广泛应用.【教学重点和难点】

重点：知道平行四边形的基本特征，能正确判断平行四边形.难点：自主发现并概括平行四边形的特征，积累空间想象的经验.【教学技术与学习资源应用】

多媒体课件、两边平行的透明色带、学习单等.【教学过程】

一、创设情境

揭示课题

1.猜图形游戏：

（1）它是一个四边形

（2）它对边平行

（3）它有四个直角

（4）它对边相等

（5）它邻边也相等

2.提问：你猜这是个什么图形？

3.出示：正方形

4.揭示课题：同学们再大胆地猜一猜，今天我们要学习什么内容？

5.板书课题：平行四边形的认识

[设计意图：这个游戏环节一方面激发了学生的学习兴趣，另一方面通过复习正方形、长方形的特征，以旧引新，为后面探究平行四边形的特征做铺垫.]

二、合作交流

探究新知

（一）动手操作

初步感知

1.操作：用2条两边平行的透明色带交叠，引出不同的四边形.2.展示：选取部分学生交叠的图形进行展示.3.演示：课件演示交叠部分的图形.[设计意图：学生亲历动手操作的过程，在动手的过程中，可以交叠出不同的平行四边形，充分体会平行四边形边的基本特征.]

（二）再次探究

发现特征

1.探究：重叠部分的四边形的边的特征.2.讨论：同桌互相说一说重叠部分的四边形边的特征.3.提问：你是怎么知道这个四边形对边平行的.4.交流：因为是用两边互相平行的透明色带交叠的.5.小结：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

6.平行四边形的表示方法

7.通过动手量一量，教师课件演示，发现平行四边形对边相等.[设计意图：通过大胆猜想、小心验证、发现并归纳平行四边形的基本特征.]

三、巩固练习

内化新知

（一）判一判：判断下列图形是不是平行四边形？

[设计意图：在这个辨析练习中，引起学生对长方形、正方形、菱形是否是平行四边形的思维碰撞，在分析过程中理解长方形、正方形、菱形是特殊的平行四边形，再次加深对平行四边形的认识.]

（二）想一想：闭眼想象一下平行四边形的样子，用手比划一下平行四边形的样子。

[设计意图：通过闭眼想象，比划平行四边形的样子，让学生经历直观到表象的过程.]

（三）画一画：在下列方格纸上根据给出的一条边，利用蓝色这组平行线，将平行四边形补充完整。

[设计意图：通过画一画，让学生经历表象到抽象的过程.]

（四）议一议：你们画的是不是平行四边形？为什么？

小结：只要满足两组对边分别平行，不管这个四边形如何倾斜，它都是平行四边形。

[设计意图：再次加深对平行四边形基本的理解，并为后面学习等底等高的平行四边形的面积埋下伏笔.]

（五）理一理：通过今天的学习，你有什么收获？

四、走近生活

感悟应用

1.欣赏平行四边形在生活中的应用

2.为后续学习埋下伏笔

[设计意图：体会平行四边形在生活中的广泛应用，感受数学在生活中的价值，激发学生数学学习的兴趣.]

五、自主评价

成功体验

[设计意图：通过自我评价，激发学生的课堂学习积极性并获得成功体验.]

板书：

平行四边形的认识

D

A

C

B

量

折

正方形

菱形

长方形

平行四边形

边

对边平行

对边平行

对边平行

对边平行

四边相等

四边相等

对边相等

对边相等

角

四个直角？