算术平均数与几何平均数一

算术平均数与几何平均数一（精选10篇）

算术平均数与几何平均数一 篇1

(1)掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理;

(2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值;

(3)能够解决一些简单的实际问题;

(4)通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系;

(5)通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观;

教学建议

1.教材分析

(1)知识结构

本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式： ，根据这个结论，又得到了一个定理： ，并指出了 为 的算术平均数， 为 的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。

(2)重点、难点分析

本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”;掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值.为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.

㈠定理教学的注意事项

在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：

(1) 和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数。

例如 成立，而 不成立。

(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当 时取等号，其含义就是：

仅当 时取等号，其含义就是：

综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。

(二)关于用定理证明不等式

当用公式 ， 证明不等式时，应该使学生认识到：

它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

(三)应用定理求最值的条件

应用定理时注意以下几个条件：

(1)两个变量必须是正变量;

(2)当它们的和为定值时，其积取得最大值;当它们的积是定值时，其和取得最小值;

(3)当且仅当两个数相等时取最值.

即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值.

在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数.

(四)应用定理解决实际问题的分析

在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意;

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;

(4)正确写出答案。

2.教法建议

(1)导入新课建议采用学生比较熟悉的问题为背景，这样容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机.使得学生学习本节课知识自然且合理.

(2)在新授知识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构.对有关概念使学生理解准确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解.

(3)教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.

(4)可以设计解法的正误讨论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中.

(5)注意培养应用意识.教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界.为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”.

算术平均数与几何平均数一 篇2

1. 教材分析。

求和与积是数学中最基本的两种运算, 两个正数的和与这两个正数的积之间有怎样的关系呢?这正是本小节研究的主要结论———“两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数”。该定理是不等式证明、不等式应用的一个重要的依据和工具, 历年高考试题中均有体现其应用的试题。本节课重点是定理及其应用, 难点是利用定理求函数的最值问题。

2. 教学情景设计。

在大力提倡素质教育的今天, 如何变“要我学”为“我要学”是课堂教学的关键, 如果在课堂教学中激起了学生的学习兴趣, 那么教学就算成功了一半。在讲授“算术平均数与几何平均数”这节课时, 课前我设计了两种教学方案:

一种是先创设问题:某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动, 拟分两次降价, 有三种降价方案:甲方案是第一次打a折销售, 第二次打b折销售;乙方案是第一次打b折销售, 第二次打a折销售;丙方案是两次都打折销售, 请问:哪一种方案降价较多?

学生通过审题、分析、讨论, 甲乙方案给顾客的优惠率都是1-0.01ab;丙方案给顾客的优惠率是, 最后归结为比较的大小问题, 用作差法即可得, 另外通过平方展开或开方即可得均值不等式

另一种方案是先提出问题“如何用一条100米长的绳子, 圈出一块面积最大的长方形场地”?然后让学生分成六组进行讨论, 在此基础上给出算术平均数与几何平均数的定义, 提示两者之间的关系, 最后让学生运用所得结论解决问题, 按以往经验并结合本班学生数学基础较差的情况, 采用前一种方案, 很难激发学生的学习兴趣, 而第二种方案的引入比较浅显、有趣, 容易激起学生的学习热情, 于是我决定采用第二种方案。

二、教学教程

1. 创设情境。

上课前我提前10分钟来到教室, 安排学生分组围桌而坐, 这一举动引起了学生们的好奇, 同学们一边搬桌凳一边问:“老师, 准备让我们干什么?”这时上课铃响了。

2. 提出问题。

师:今天, 老师有个问题要大家帮忙解答, 看哪个组的同学能给出答案。

接着我把问题板书出来。

师:请同学们按组讨论, 要求每组同学在规定时间内派代表上黑板板演。

教室里立刻热闹起来, 同学们纷纷拿出纸笔写写画画起来, 还相互讨论, 没过多长时间, 就有学生举手表示已找到答案, 我看时机也差不多了。

师:请每组的代表到讲台上来板演结果。

每组立刻有一名同学冲到黑板前写出结果, 六个小组答案一致都是“当长方形的边长为25米 (正方形) 时, 面积最大, 为625平方米”。

师:大家想到一起去了, 但有没有人能说一说理由?不说理由, 叫我怎么相信你们的结论?

学生本以为找到了正确结果, 就到此为止了, 以高兴地收工了, 没想到要讲理由, 这一问, 教室里立刻鸦雀无声, 学生们愣住了, 个个眼神中充满疑惑, 可能在想:“这还有什么理由, 理由是什么呢?”几分钟后。

学生1:我算了好几个周长为100米的长方形的面积都没有正方形的面积大。

有了启发, 同学们又开始算起来, 果然发现其长方形的面积都没有正方形的面积大。

师:汪铃同学你的结论是怎样得出来的?

汪铃:我也是计算了好几个长方形的面积后与正方形面积比较得出的。

师:都小于这个正方形的面积才行, 只要一个长方形面积大于这个正方形的面积, 那你的结论就错了, 你们能做到验证所有的长方形吗?

学生们又陷入了迷茫。我觉得现在是提出问题、解决问题的时机了。

3. 解决问题。

师:如图, 上面的问题实质上是已知a+b=50 (a>0, b>0) , 求S=ab的最大值。

同学们刚才计算了好几个符合条件的长方形的面积都没有正方形的面积大, 这个问题从根本上要解决它。实质上就是要证明, 谁能证明这个不等式?

学生2:我们这几天才学习了如何比较两个实数的大小, 用不等式两边的数作差。

师:请你上来把证明过程写出来。学生2的证明过程如下:

师:证明得很好, 我们将这个不等式变形为:。

这个不等式就是我们今天要学习的算术平均数与几何平均数的关系, 以此为契机, 给出两个正数的几何平均数与算术平均数这两个概念, 并引导学生揭示两者之间的关系, 这时学生的学习热情高极了。

师:如果两个正数的和是个定值, 利用这个不等式, 我们可以求它们积的最大值还是最小值?

学生3:最大值。

师:为什么?

学生3:这不就是开头的问题吗?

师:对, 这就是我们开头的问题, 把它们归纳为一般结论就是:

若两个正数的和为定值时, 则当这两个正数相等时积有最大值, 用数学式子表示即为:若a>0, b>0, a+b=P (定值) ,

这时同学们感到豁然开朗。

师:如果两个正数的乘积是定值, 你又能得出什么结论呢?

由于有了上面的引导思路, 同学们很快得出了正确的结果。

4. 定理的应用。

问题 (投影仪) , 已知x>0, 求证:的最大值为。

师:这个问题与我们刚才学习的算术平均数与几何平均数的关系有何联系呢?首先我们把3x和分别看成我们定理中的a和b, 那么这两个正数有何联系呢?

学生4:它们的积为定值12。

师:对, 这是问题的关键所在, 请同学们先做一下。

同学们开始做起来, 很快有几个学生举手表示已经证明出来, 我检查了一下几个同学的证明, 选择了王佳同学上来板演了他的证明过程:

师:这个证明过程有问题吗?

学生5:有问题, 他没求出x等于多少时, 有最大值。

师:这个x的值不求出来行吗?

学生6:不行, 如果x的值不求出来, 说明就不是2的最大值。

师:对, 上面的过程还需补充。

当, 即时, 有最大值。

三、教学反思

课后我总觉得这堂课还存在着一些不足之处, 例如:若能把算术平均数与几何平均数的几何解释揭示出来, 这样对于开阔学生的视野, 拓展学生思维空间都很有意义。

平均数的含义与教学 篇3

在一次小学数学骨干教师培训的教学实践课上，一个“意外”的问题引起了笔者的思考。这是小学三年级下册“平均数”的新授课，之前学生已经学习了“除数是一位数的笔算除法”和“简单的数据分析”，本节课的主要目标是让学生理解平均数的统计含义和计算方法。

教师用投影展示了两支篮球队的比赛场面，而观众想知道哪支球队的队员身体更高。为了解决这个问题，教师用投影给出了两支球队队员的身高情况（见表1、表2）。然后教师让学生计算两支球队的平均身高，其中欢乐队平均身高为（148＋142＋139＋141＋140）÷5＝142（厘米），开心队平均身高为（144＋146＋142＋145＋143）÷5＝144（厘米）。最后，教师引导学生得出结论：开心队队员高一些。

此时，有个学生提出疑问：“要比较两支球队队员的身高，只要比较身高的总数就可以了。而且比较总数还更简单一些。因此，没有必要比较平均数，用平均数反而复杂了。”教师没有立即回答这个问题，而是问其他同学，“你们怎么看？”有学生说，“要是队员超过10人，我们就没办法计算了，我们只学过除数是一位数的除法。算总数只用加法，我们都会算”；也有学生说，“要是最后除不尽，怎么比较呢？所以算平均数不好”。

课后，笔者意识到，学生学习平均数并不容易，便向听课教师询问学生求平均数时容易出现哪些错误。教师们给出了两种常见错误：一种是重复数据只计算一次，比如计算148、142、140、139、142、141、140的平均数时，容易写成（148＋142＋139＋141＋140）÷5＝142；另一种是容易遗漏数据0，比如对问题“8个同学组成的课外活动小组进行一次野外活动，其中7名同学带的食物重量分别是2.0千克、1.5千克、2.4千克、2.1千克、1.8千克、1.6千克和2.6千克，糊涂的东东匆忙之中忘了带食物，求平均每位同学带了多少千克食物”，学生容易计算成（2.0＋1.5＋2.4＋2.1＋1.8＋1.6＋2.6）÷7＝2.0（千克）。

仔细分析学生提出的问题和出现的错误，不难发现，学生并不是不会计算平均数，而是不理解平均数的统计意义。对于平均数的统计意义，现行课程标准和各版本教科书都没有明确说明，有些教师也不是很理解。笔者对此做了一些思考，然后进行了初步的教学探索。现将一些粗糙的结果呈现给大家，以抛砖引玉，让我们一起来研究如何更有效地进行“平均数”的教学吧！

（一）统计学的本质与统计的基本过程

作为一个研究领域，统计学是关于搜集和分析数据的科学和艺术，其目的是为了对一些不确定的事物进行较准确的推断。[1]随着社会的不断发展和科学技术的突飞猛进，统计学的应用范围日益广泛。比如，国民经济各部门的计划制订、管理生产、经济核算，科学研究中的实验设计和数据处理，教育中的学生行为、身体发育和成绩评定都需要用到统计学。统计学的本质是数据分析，通过对数据的分析来了解和判断数据产生的背景。[2]

统计是根据量的分析来研究不确定现象的，它的基本过程是：①确定研究问题，面对不确定现象，根据生产生活和科学研究的需要，发现和提出需要研究的问题；②制定研究方法，根据问题、研究对象的特点和研究条件，拟定研究方法；③搜集数据，根据研究方法，对不确定现象进行观察和测量，采集观察和测量的数据；④分析数据，按照一定规则对数据进行整理，应用数学的思想方法对其进行分析，探索隐含的规律；⑤做出推断与结论，根据数据分析中发现的规律，对不确定现象的过去状况进行推测、对现实状态进行评价或者对未来状态进行预测。

（二）平均数的含义

在分析数据的时候，面对一组数据，人们最容易想到的是对这些数据进行求和，看它们的总数是多少。然而，总数常常远远大于每一个具体数据，不能反映数据的真实状态，很难推断数据产生背景的真实状态。如果出现了两组数据总数相等的情况，用总数便很难对两组数据进行评价。鉴于此，人们想到了用一个量来表示数据的一般水平，以消除数据个数造成的总数和单个数据的偏差，便用总数除以个数，也就是平均数来代表数据的一般水平或者大致状态。

在统计学上，将某个随机现象的n个实验或观测数据a1，a2，…，an的平均数用表示，它的计算公式是。由于实验数据和观测值往往带有误差，而这些误差有正也有负，因此求平均数之后，正负误差相互抵消了一部分，从而比较接近观测和实验数据的真实面貌。所以，平均数的作用就是消除数据中局部的、随机的波动，表征数据的集中位置。

上述公式是求平均数的基本公式，由它求出的平均数一般叫做算术平均数。但在现实统计中，我们会记录数据出现的次数，这样可以大量减少数据的记录个数。比如数据a1出现f1次，a2出现f2次，……an出现fn次，记f=f1+f2+…+fn，那么这些数据的平均数。用这个公式求出的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fn叫做频数。当每一个频数都等于1时，加权平均数就变成算术平均数了。此公式可以变形为其中 叫做频率。

现实生活中，我们常用加权平均数进行计算。比如，某同学某一科的考试成绩为：平时测验为90，88，92；期中考试为90；期末考试为99。如果直接用算术平均数计算，得到（90＋88＋92＋90＋99）÷5＝91.8，这作为该同学的学科成绩似乎不太合理。于是，学校规定学科成绩的评定方式是：平时成绩占20%；期中考试占30%，期末考试占50%。那么加权平均数是（90＋88＋92）÷3×0.2＋90×0.3＋99×0.5＝94.5，这作为该同学的成绩就更为合理一些。

（三）平均数的特征

平均数的特征很多，在此做一个简单的归纳整理，仅供大家参考。

(1)平均数介于最大值和最小值之间，即平均数比最小的数大一些，比最大的数小一些。

(2)平均数是一个虚拟值，即平均数不一定是这一组数据中的数；平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征；为了弥补这一缺陷，统计学上用众数来代表数据的一般情况，众数是一个真实值。

(3)所有数据都影响平均数，即所有的数据（包括0）都要参与平均数的计算。

(4)平均数易受极端数据的影响，即一个数据离平均数越远，对平均数的影响越大。例如：全班有30名学生，某次测试成绩如下：5个90分、22个80分、1个2分、1个10分、甲同学78分，则平均值为 分，甲同学78分，高于平均值却是全班倒数第三名。因此，多数比赛算选手的平均分时，需要去掉一个最高分和最低分。

(5)所有的数据在平均数上下波动，它们的偏差之和等于0，也就是说，平均数不能衡量偏差；为了衡量偏差（也就是数据的集中程度），统计学中又引入方差和标准差。

(6)平均数并不是将所有的数据都变得相等了，而是将各个数据平均分担了。

三、平均数的教学

平均数的教学，既要让学生掌握平均数的计算方法，更要让学生理解平均数的统计意义。而对统计意义的理解，需要让学生在统计的过程中去领会和感悟。因此，平均数的教学需要让学生经历统计的全过程。

（一）明确问题

师：学校想知道三年级学生到底是男生高还是女生高，你打算怎么办？

生：测量我们学校三年级8个班所有同学的身高，然后进行比较。

师：这是个好办法。不过老师很好奇，想这节课就能知道大概的结果。你打算怎么办？

生：那就以咱们班为代表，测量一下我们的身高。

生：咱们班近40人，全部都测量也需要很多时间。干脆找一个小组代替，比较那个小组内男女生的身高，这样更快，也能大致回答学校的问题。

师：这也是一种解决办法。那就在咱们班找一个小组吧，通过一个小组的身高来推测全班同学的身高。

（二）搜集数据

师：找哪个小组呢？

生：第三组比较合适，他们组没有太高的，也没有太矮的，身高比较中等，比较有代表性。

师：好，现在测量第三组同学的身高。

（教师将学生的身高写在黑板上，见表3）

（三）分析数据

师：从这九个数据出发，怎么比较呢？

生：把这些数加起来，看看谁大。

生：那不行。女生人数多，肯定女生总数大。不一定能说明女生高，因为这些同学中最高的是男生。

生：那就把他们折算一下，折算成一个人大概有多高，不就可以比较了吗？

师：这是一个好办法，怎么折算呢？

生：第四个男生高，把他的身高移2厘米给第一个，移1厘米给第三个，大家都成了135厘米了，这就是折算后男生的大致身高。

师：这种方法叫做移多补少，比较直观形象。那女生呢？

生：好像不太好移，可能移多补少的方法不灵了。

师：是的，谁还有别的方法？

生：全部加起来除以5就可以了，也就是（134+133+136+134+137）÷5，结果是商134还余4。

生：我用计算器算的，女生身高（134+133+

136+134+137）÷5＝134.8厘米。

（四）得出结论

师：我们还没有学习小数，但观察这两位同学的计算结果，你能得到什么？

生：女生身高大致接近135厘米，但不到135厘米，说明男生高一些。

师：男生的身高可以这样计算吗？

生：可以。（计算过程略）

师：我们把计算的方法整理一下，就是总数除以个数。（指着数据说）数学上，把135叫做这四个数的平均数，134.8叫做这5个数的平均数。大家说一说，135能表示什么？

生：4位男生的大致身高，身高的一般情况。

生：4位男生的平均身高，有的比它高，有的比它低。

生：男生身高的代表，4位男生的身高与它比较接近。

（五）总结提升

师：通过刚才这个问题，你可以怎样求平均数？

生：用“总数除以个数”的方法，即“平均数＝总数÷个数”。

生：数据少的时候，还可以用“移多补少”的方法。

生：平均数处于一组数据中间，比最大的数小，比最小的数大。

生：平均数表示一组数据折算后的一般水平，不是真实的数值，有可能这组数据中恰巧有这个数。

生：数据中的每一个数都会影响平均数。

四、结束语：让学生经历做数学的过程

我们常常发现，虽然学生能够背诵某些数学概念、公式和法则，但常常不能正确地应用它们去解决相关的问题。原因在于，学生仅仅掌握了这些数学概念、公式和法则的语言外壳，而没有真正理解它们的数学含义和蕴涵的数学思想方法。因此，数学教学需要展示形成这些内容的全过程，让学生参与“做数学”的活动，让学生在活动中理解这些数学意义和数学思想方法，并积累数学活动的基本经验。

参考文献：

[1]Encyclopdeia Americana，Encyclopdeia

AmericanaInc.1990.中文本见：大美百科全书.台北：光复书局，1991.

[2]史宁中.数学思想概论·数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.

注解：平均数是一个重要数学名词，在代数学和统计学中都会涉及，但其含义不完全一样。在代数学中，平均数是加权平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数的总称。

（首都师范大学初等教育学院 100048

众数平均数与平均数教学设计 篇4

教学内容：冀教版《数学》六年级下册50-51页内容。课标中对单元内容的要求：认识两种统计量—众数和中位数，在理解众数和中位数的意义和作用的同时，了解平均数、众数和中位数三者之间的区别，并能根据统计量进行简单的预测或作出决策。教材分析：本节课是在学生已掌握平均数基础上来学习的。通过挖掘生活中丰富的课程资源，让学生经历统计活动的过程中，学会求中位数和众数并理解它们的实际意义，学会对数据进行分析，进一步培养学生初步的统计能力。教学目标：

知识与技能目标:1.在丰富的现实背景中，理解并体会中位数和众数的意义，能够找出一组数据的中位数和众数，并能够解释结果的实际意义。

2.理解平均数、中位数、众数的区别，并能够根据具体情况选择适当的统计量描述数据的特征。

过程与方法目标：培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，并在具体活动中培养学生的探究意识与合作能力。

情感与态度目标：培养学生具体问题具体分析的能力，体会数学服务于生活。教学重点：理解众数和中位数、平均数三者的区别与联系 教学难点：．并能在具体情境中选择恰当的统计量表示一组数据的不同特征，并能根据统计量进行简单的预测或作出决策。教学流程： 炫我两分钟。

1、平均数反映一组数据的（）；中位数反映一组数据的（）；众数反映一组数据的（）A．多数水平

B．平均水平

C．中等水平

2、一组数据的中位数有

（）

A．惟一一个

B．2个

C．3个

D．不确定

3、一组数据的众数

（）

A．只有一个

B．也许没有

C．有1个或多个

D．都不对

4、一组数据15，12，17，14，14，16的中位数是（），众数是（）平均数是（）【设计意图：炫我两分钟的内容要围绕着“目标原则”，设计了找中位数、众数、平均数的练习，为学生继续学习中位数、众数、平均数的区别与联系做铺垫。】

二、尝试小研究。（探究不同统计量之间的区别）。

（一）课前尝试小研究。

公司招聘职员，招聘广告上写着：本公司待遇较高，平均月薪1600元。下面是这个公司现有人员的工资统计情况。职务

经理

业务主管

职员

人数（人）2 22

工资

8000

5000

1000

刚毕业的小王前去应聘，他被录取了。一个月后他大呼上当。我们来帮小王算一算他能领到月薪1600元吗？小王会领到多少工资呢？

1、这个公司的平均月薪是（列式计算）

2、小王会领到元工资。

3、小王为什么没有领到1600元工资，这问题究竟出在哪儿？

4、说一说：你对这个公司的招聘广告有什么看法？

5、我的困惑是：

【设计意图：设计尝试小研究必须关注学生的已有知识经验、体现出层次性，是由旧知逐渐渡到新知的尝试研究，充分发挥旧知识的迁移作用，为学生的解决尝试新知铺路搭桥。】

三、小组合作探究

组内交流课前尝试研究的内容。

出示小组合作交流建议：

1、组长组织本组成员有序的交流，确定好组员的发言顺序；

2、认真倾听其他组员的发言，对发言内容进行评价；

3、组内讨论：通过探究你发现了哪些新知识，准备全班交流。

【在交流的过程中，给每个学生创造一个展示自我的舞台，通过同学之间的交流，使学生对旧知识有一个梳理和概括，发展学生的思维和语言表达能力。】 教师巡视，指导。

四、班级展示提升

1、同组内交流完了吗，哪个小组先来和大家一同分享你们的研究结果？

要求：下面的同学也要认真听，看看你同不同意他们的研究方法。一会说出你想问他们的问题，或者对他们的研究方法做出自己的评价。或者对他们的研究方法进行补充。

2、组长带领全组同学，对老师指定的尝试小研究的内容进行交流汇报。在交流汇报的基础上，组长组织全班同学进行评价、补充、质疑。重点交流平均数与众数的区别。

3、教师适时点拨引领：平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。【设计意图：班级展示提升是小组内形成统一的观点向全班同学展示交流并引发深入思考的过程，通过小组间思维碰撞，以及老师精彩的点拨引导，使学生明白众数和中位数、平均数的区别】

4、过渡：我们该根据那个统计量来进行判断和决策呢？我们继续探讨。

五、课内尝试小研究。（探究如何根据统计量来进行简单的判断和决策）课内尝试小研究一。

1、根据有关规定，初中生每天的作业量不得超过90分钟，某中学调查了30名学生一天完成作业的时间，结果如下： 完成作业时间（时）2 3

人数（人）15 3

（1）作业时间的众数是。中位数是。（2）平均每个学生用的时间是。

（3）你认为这天的作业量合适吗？为什么？。

学生先独立完成后再小组交流，最后全班交流。

（4）师总结：无论从众数、中位数、平均数哪一个量来看，它与规定每天的作业量不得超过90分钟（1.5小时）相比，这天作业量都有些超标。这时我们根据哪个量来判断都可以。

2、教师再出示新的统计表，让学生判断。完成作业时间（时）

0.5 2 3

人数（人）15 3

（1）作业时间的众数是。中位数是。（2）平均每个学生用的时间是。

（3）教师提问：平均数变小了，而中位数和众数没有变，我们在和平均数比合适吗？什么原因造成平均数变化呢？ 学生自由汇报交流。

教师继续提问：如果这12个人所用的时间继续缩小，平均数和中位数会怎样？ 学生：平均数会继续缩小，中位数不变。（4）教师小结：

平均数：与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，易受极端数据的影响。中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。（5）你认为这天的作业量合适吗？为什么？。

（设计意图：班级展示提升是小组内形成统一的观点向全班同学展示交流并引发深入思考的过程，通过小组间思维碰撞，以及老师精彩的点拨引导，使学生明白如果有极端数据出现时应根据中位数来进行判断，而不是平均数。）课内尝试小研究二。

3、为了维持人体的需要，除了正常的饮食外，一个人每天应饮水1400毫升。下表是丫丫一周的饮水情况。星期

日

一

二

三

四 五

六

饮水量（毫升）

2100

1250

1300

1250

1300

1250

1700

丫丫说：“我平均每天饮水1450毫升，足够啦！”

分析上面的数据，你对丫丫饮水这件事情有什么看法？。

你对丫丫有什么建议？

学生先独立完成后再小组交流，最后全班交流。教师小结：当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们要根据众数这个统计量进行判断。我们应争取每天的饮水量都达到标准，而不能某一天喝得多，某几天又喝得少，这样对我们身体不好。

【设计意图：通过小组间思维碰撞，以及老师精彩的点拨引导，使教学重难点得以突破，使知识更加系统化，使学生懂得如何根据统计量来进行判断和决策。】

4、巩固练习。

教师出示课件：下列情况使用平均数、中位数和众数哪个恰当？（1）表示同学最喜欢的动画片。

（2）比较两个班级五（1）50人，五（2）45人数学成绩。（3）演讲比赛中，小红想知道自己处于什么水平。（4）鞋店老板想知道哪种鞋销售最好。教师提问：在什么情况下既可与中位数比又可和平均数比？什么情况下和中位数比？什么情况下和众数比？

小组讨论交流在全班交流。

【问题设计意图：检测学生所学知识情况，灵活运用所学知识做出正确的判断。】

5、教师总结：

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用众数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

【设计意图：通过这些练习，使学生懂得中位数、众数、平均数都可以作为判断的依据。】

六、挑战自我（强化综合应用）课件出示

1、看来同学们掌握的真不错，现在就请你应用今天所学习的知识帮帮教练

射击队准备从两名运动员中选一名去参加射击比赛，下面是他们的选拔成绩(单位：环)： 甲：9.1，9.1，9.8，9.0，9.1，9.1 乙：9.8，9.9，9.8，9.8，3.7，9.8 【甲：平9.2中9.1众9.1很接近乙：平8.8中9.8中9.8有差距】 师：那我们该选谁去呢?你是根据什么来决定的? 【甲：平9.2中9.1众9.1很接近乙：平8.8中9.8众9.8有差距】 预设：生1：选乙，因为从众数上看，乙多数情况下都能打到9.8环

生2：选甲，因为乙的心理素质不太稳定，有特别低的情况出现了，所以派甲比较保准。师：你们分析的都很好，无论是甲去或是乙去，都有一定的道理。当我们遇到问题时，不能只根据某一个统计量就下结论，一定要全面考虑，只有恰当地运用统计量，才能够更好地为我们的决策提供依据。

2、下面是六年级两个班各10名同学100米短跑训练成绩（单位：秒）一班：16.2 15.4 15.3 15.4 16.2 15.4 14.6 15.4 16.3 15.4 二班：16.3 15.4 14.5 15.0 16.5 15.0 16.2

16.4 15.0 18.6（1）这两组数据的平均数、中位数、众数各是多少？

（2）如果这两个班进行4×100米接力赛，你认为哪个班获胜的可能性大？为什么？

教师小结：接力赛只需要4个人，我们只需选择成绩最好的4个人参赛。只考虑最大的4个数。二班获胜的可能性更大。这时我们就利用极端数据。

3、下面是某公司招聘职员启示。

职员工资实际分配情况一览表（单位：元）A公司

B公司

总经理

175000

总经理

80000 副总经理

145000 副总经理

71000

职员1

39000 职员1

58000

职员2

38000 职员2

56000

职员3

36000

职员3

53000

职员4

34000

职员4

41000 职员5

30000 职员5

40000

人均年收入

71000

人均年收入

57000

教师提问：你会去哪家公司应聘？说说理由。学生自由发言。

教师小结：A公司受极端数据影响，平均工资高于B公司，但是职员工资不如B公司高，而我们是去应聘职员，所以应参照职员工资来考虑。也就是根据中位数来确定。

【设计意图：使学生学会全面分析问题，感受众数、中位数和平均数在现实生活中的作用与价值。体验数学与生活的密切关系】

七、课堂小结、强化概念 师：“这节课你学到了哪些知识？”“你觉得有哪些方面需要注意的？” 结束语：

生活中，我们经常用到平均数、中位数和众数的知识解决问题。我们要根据要求和数据特点灵活选择。生活处处离不开数学，如果你是个有心人，就到生活中去寻找数学问题并运用数学知识解决问题吧！

《求平均数》教学纪实与反思 篇5

教材分析：

本节课的教学内容是了解平均数的意义，体会学习习近平均数的必要性，学会求简单数据平均数的方法。这部分内容在小学阶段占有重要的地位，它为今后学生学习复杂的统计知识奠定了良好的基础。

学生分析：

三年级的学生已经有了一定的知识储备和生活经验，对未知世界已不是单纯的好奇，而是充满着猜想和探索。因此在本节课中，力争为学生提供积极参与、合作探究的学习环境。鼓励学生明确表达自己的想法和接受他人的思想，让观点交锋。让智慧碰撞，让学生从中体验学习数学的快乐与成功。

教学目标：

1.知识与技能目标：感悟平均数的意义，构建平均数的概念，探究求平均数的多种方法。

2.过程与方法目标：能对数据分析结果做出简单的推断和预测。

3.情感、态度与价值观目标：渗透移多补少等数学思想方法，能运用数学知识解决实际问题，并增强学生的数学应用意识。

教学重点：理解和掌握求平均数的方法。

教学难点：培养学生的动手操作能力。

教学策略：

1.教学方式：教师采用激趣创设组织引导的方式教学本节课。

2.学习方式：让学生在自主探索观察发现合作交流实践应用的学习过程中自主学习。

3.评价方式：本节课运用了多元化的评价手段，促进了学生主动学习的欲望，激发了学生学习的兴趣，使他们建立了自信心。

4.教学手段：本节课采用计算机辅助教学。计算机课件会极大激发学生的学习兴趣，加大课堂的信息容量，从而更好地为教学服务。

教学过程：

一、创设情境，激趣导入

师：首先我们一起来看大屏幕。(电脑出示姚明的照片。)同学们你们知道他是谁吗?(姚明。)你们对姚明有哪些了解，谁愿意说说?

生：姚明身高2.26米。

生：他在美国NBA打篮球。

师：你们知道得真多!姚明哥哥，自从加入美国NBA之后，凭着自己的不懈努力，现在已经成为世界篮球巨星。姚明哥哥技术全面。尤其是罚球百发百中。(课件出示。)

师：小朋友们，这又是谁?(蓝猫。)它带着好朋友也来到了我们的课堂。虽然它们个子矮，但特别不服气，一定要与姚明队比比谁的投篮技术好。同学们，你们愿意当裁判吗?(愿意。)那好你们来评判一下两个队哪个队投篮更准!

二、合作探究，建构模型

(一)创设情境

师：继续来看大屏幕，这是两个队在相同的时间内投篮的情况，姚明队只有4人，投中篮球的数量分别是：1号队员投中6个，2号队员投中4个，3号队员投中6个，4号队员投中8个。蓝猫队则派5个。前来应战。谁能介绍蓝猫队每名队员投篮的情况?

生：蓝猫队1号队员投中5个，2号队员投中6个，3号队员投中5个，4号队员投中4个，5号队员投中5个。

师：你们静静地思考一下，哪个队投篮更准呢?请说明理由。

生：我认为蓝猫队投中的总数多，投中25个，姚明队投中了24个，所以蓝猫队投篮准。

师：有多少同学和他的想法一样?

师：谁还有其他想法?

生：投中最多的队员在姚明队，他投中了8个，姚明队投篮更准。

师：还有其他想法吗?

生：应该看平均每个队员投中几个球。

师：谁和他想的一样，请举手。

师：通过你们的总结，要比较哪个队投篮准，有这样3种情况：第1种，比较投篮的总数。第2种，一个人投中的多，就代表整个队伍投得准。第3种，求平均每个队员投中多少个篮球。

师：有的同学认为，在人数不同的情况下，比较哪个队投篮准，比较总数就行，你认为合理吗?为什么?

生：不合理，人数不同，人数多的占便宜。

师：还有的同学认为，一名队员投得多，就认为该队投得准，你们有什么想法呢?

生：一个人的表现，不能代表整个队伍的情况。 师：这两种方案都不行，在人数不同的情况下，比较哪个队投篮投得准，谁知道怎样比较才合理呢?

生：求平均每个队员投中多少个篮球。

师：同意吗?

生：同意。

(二)探究平均数的方法及意义

1.探究平均每个队员投中个数的两种方法。

师：接下来，我们就研究怎样求平均每个队员投中多少个篮球。

师：课前老师给同学准备了学具，同学们可以借助学具小组合作，也可以用计算的方法，每个小组选择一种方法进行研究。

师：谁愿意汇报，汇报时先说出你们采用的方法，然后再讲怎样求的。

生：我用的是摆学具方法，把多的部分放到少的那里，这样就求出了姚明队平均每个队员投中6个，蓝猫队平均每个队员投中5个。

师：小组分工明确、操作熟练，通过把多的移给了少的，很快地求出了平均每名队员投中了多少个篮球，谁来给这种方法起个名字?(板书：移多补少。)

师：还有的同学用的是计算的方法，请这两名同学讲讲他们是怎样求的。

师：看来求平均每个队员投中多少个篮球，有两种方法：(1)是用操作的方法;(2)是用计算的方法。当然解决问题时，我们要针对不同的实际情况选择最恰当的方法。

2.揭示平均数。

师：哪个队投篮更准呢?(姚明队。)

师：姚明队的6个，蓝猫队的5个，这两个数分别表示什么?这两个数还有新的名字吗?(板书：平均数。)

师：原来姚明队、蓝猫队每名队员投中的不一样多，由于把多的补给了少的，这样每个队员投的一样多吗?(一样多。)这个6和5是每个人真正投中的数量吗?(不是，这是两个队投中的平均值。)

3.初步理解平均数的意义。

师：刚才我们用求平均数的方法解决了两个队谁投篮投得准的问题。生活中，很多地方用到了平均数，老师这准备了一些数据：

(1)小刚、小红、小华、小军4个人的平均年龄是10岁。

(2)哈尔滨师范附小三年一班男同学的平均身高是

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(3)王明期中考试数学、语文、英语的平均成绩是98分。看到这条信息你们能知道什么?(最后屏幕打出实际成绩100分、98分、96分。)

师：看来平均数并不一定代表实际数量，平均数应在最大数和最小数之间。

师：想一想在生活中你遇到了哪些平均数，谁来说一说?(学生自由发言。)

师：你的资料在哪里找到的?

师：通过网络查找资料学习数学也是一种很好的方法，我们应该向他学习这种方法。

三、解释应用，内化升华

师：蓝猫队没有姚明队投篮准，但特别不服气，它们用刻苦训练来提高技术，你们看(课件出示。)

1.观察蓝猫队前4天投中篮球情况统计图，请你们计算出平均投中多少个?你们先猜测一下，平均数应该在哪两个数之间?大概是多少?谁来说?(出示课件。)

生：在最大数和最小数之间，应该是200。

师：你们猜测得对不对呢?我们把第一张答题卡拿出来，自己验证一下。

师：谁愿意拿着你的答题卡到前面来汇报?

师：谁愿意来评价一下这名同学的汇报?

师：你能发现同学的优点，这也是你的优点。

2.蓝猫队员骑自行车训练体能，观察统计表，求平均数。

师：蓝猫队不但天天练习投篮，而且天天加强体能训练。我们一起看大屏幕。(出示课件。)

师：同学们把第二张答题卡拿出来。独立完成。

师：谁愿意来汇报?

3.蓝猫队队长看到队员们刻苦训练，它为队员们每天买矿泉水，但是账单被小蓝猫不小心弄污了，你能帮它们算出第4天买了多少瓶水吗?(课件出示。)

师：根据前3天饮用矿泉水的数量，你估计第4天饮用了多少瓶水?

师：你们估计得对不对呢?把第三张答题卡拿出来，小组先讨论，然后解答验证。

师：根据这4天饮用矿泉水的数量，你能知道什么?

师：小蓝猫们认识到自己的差距，进行了刻苦的训练，在这里我们共同祝愿它们取得优异成绩，好吗?

四、实践应用，拓展延伸

师：同学们，你们能根据今天学习的知识来求小组同学的平均身高吗?那你们知道自己的身高是多少厘米吗?先把每个同学的身高填在统计表中，然后再求小组同学的平均身高是多少厘米?只列式不计算。(学生汇报。)

师：回家后把结果计算出来，计算有困难的可以利用计算器来帮忙。

师：同学们。今天我们通过小组之间自主研究、合作探索，学会了用移多补少法和计算法解决生活中有关平均数的问题。

反思：

求平均数一课的教学立足于学生的主体发展，关注学生对学习过程的经历和体验。综观全课，有以下几个特点：

1.提高课堂教学的实效性。

整节课以不服气的蓝猫这一主线贯穿全课的始终。首先，教师利用姚明队和蓝猫队哪个队的投篮更准一些?这个富有挑战性的问题为学生的认知冲突搭建辩论的平台。其次，在学生感受到了平均数产生价值的基础上，引领学生探究求平均数的方法，升华、感悟平均数的本质意义。最后，鼓励学生利用所学的数学知识解决实际问题，突出了平均数的统计意义以及应用价值。整节课的设计巧妙、自然地利用具体情境将数学知识融会贯通，既注意知识间的环环相扣、逐步深化，又注重根据学生的学习实际及时指导，提高了教与学的有效性。

2.突出学生的主体地位。

教学过程中教师为学生提供大量的讨论合作、自主探索、动手操作的时间和空间，引导学生亲身经历、体验、探索学习求平均数的过程，渗透了移多补少、估算、推测等基本的数学思想和方法，提倡解决问题策略的多样化。每个学生都在愉悦、宽松的氛围中实现知识、技能的内化，促进理解力、探究力与解决问题能力的同步发展。

3.注重基本知识的落实。

本节课重视学生对平均数意义的理解与强化，当学生算出平均数之后，重视引导学生理解6和5表示的是什么?5是指蓝猫队每个队员都投中了5个球吗?在教师持续质疑之下，学生能够比较直观地感受、体验到这两个数并非指每个队员实际投篮的个数，而只是代表着一个队的平均水平。在后面教学中又增添了让学生估测蓝猫队前4天平均每天投中多少个篮球。学生在估测活动中感受到了平均数的取值范围。至此，可以说学生对平均数概念的理解达到了一个新的高度。

这节课的教学充分体现了新的数学理念，较好地落实了三维目标。但回顾整个教学实践，也存在一些不足与遗憾之处：

1.在学生合作交流的细节上还要落到实处。教学中在小组合作、同桌讨论之前缺少足够的独立思考的时间，学生在小组合作中参与的程度还不完全均衡。这就需要我们教师在教学中要对小组合作给予必要的组织和引导。面向全体，关注个别差异，注重组际之间的评价，把合作学习的每一个细节落到实处，这样才能实现学生间的协调互助、共同发展。

算术平均数与几何平均数一 篇6

资料1：算术平均值不小于几何平均数的一种证明(局部调整法)

结论：设a1，a2，a3，……，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝a1a2an,Ga1a2an，n

则有A≥G.当且仅当a1＝a2＝……＝an时，A＝G.特别地当n＝2时，ab≥ab 2

当n＝3时，abc≥abc.3

证明：用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等.不失一般性，设0＜a1≤a2≤……≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，……，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：

① 两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么

A1＝Aa2a3an1a1anAA n

② 两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1，则

G1＝Aa2a3an1(a1anA)

∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)

由 a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0

算术平均数与几何平均数一 篇7

【案例一】

(一) 创设情境

教师出示三 (1) 班男女生投篮比赛成绩统计图 (如下) 。

师:哪队获胜?你是怎么比出来的?

生:比总数, 哪队总数多哪队就获胜。男生队:4+8+6=18 (个) , 女生队:4+3+9+4=20 (个) , 所以女生队获胜。

师:男生人数与女生人数不相等, 比总数公平吗?

生:不公平!应该比最多的投篮个数, 哪队最多哪队获胜。女生队中有人投中9个, 是最多的, 所以女生队获胜。

生:我认为让男生队再来一人, 重新比, 这样才公平。

生:让女生队少一人, 重新比也公平。

师:人数不能变, 怎么比才公平? (生茫然)

师:既然比总数不公平, 那应该比什么才公平呢? (还是沉默, 只有一两位学生举手)

生:可以求出平均每人投篮的个数, 再进行比较。

师:对!应该比平均每人投篮的个数才公平。

(二) 求平均数

师:你会求男生队平均每人投篮的个数吗?

生:先求出总数, 再除以人数, 就得到平均每人投篮个数。列式: (4+8+6) ÷3=6 (个) 。

师:能说出算式的意思吗?这个6就是4、8、6的平均数。

师:能求出女生队的平均数吗?

生: (4+3+9+4) ÷4=5 (个) 。

师:还有其他方法能得到平均数吗? (生沉默)

师:不用计算的方法, 你能找到平均数吗?

生:把2号的8个移2个到1号, 这样大家都是6个了。 (生演示移多补少的过程)

师:把多的移给少的, 这种方法叫做移多补少法。

师 (小结) :一般的先求出总数, 再除以人数 (或份数) , 就得到平均数。

(三) 深化练习 (略)

【思考】

对于“平均数”教学的常用思路是:通过组织两组人数不等的比赛, 在学生初步体会到“比总数”不公平的前提下, 自然过渡到“通过求出平均每人的数量, 再作比较”的思路上来。“平均数”由此自然生成。从理论上讲, 此种教学思路比较自然顺利, 但在实际教学中却存在如下问题。

(一) 真的能自然顺利生成平均数吗?

案例一中, 教师创设了男女生人数不等的投篮比赛情境, 引起了学生的热闹交流, 学生先想到比总数来决定比赛的胜负, 当明确比总数不公平时, 学生想到增减人数的方法让男女生人数相等, 再进行比较的方法, 这些方法得到了大多数学生的赞同。教师只有通过多次启发引导, 再三强调人数不相等时, 才有极个别的学生想到“比总数”不公平, 只有“比平均数”才公平。

问题出在哪儿呢?其实这与学生的生活活动经验有关。三年级学生所经历的比赛与活动往往比较简单、直观, 有些时候通过比总数就可以得到结果, 有时增减人数就可以, 这些都是学生的学习原型和生活经历。所以学生在解决问题时自然而然地会想到这几种方法, 并且能够得到大多数学生的认同。“平均数”对他们而言非常陌生, 更是不明白为什么用“比平均数”比较就公平了。

(二) 学生真正理解平均数了吗?

对于三年级学生而言, 他们对运算后的结果为什么可以表示这组数据的整体水平, 为什么这样比就公平了?还是一头雾水, 思维十分模糊。由此可见, 仅仅从比较的维度教师还无法揭示平均数的意义, 也无法让学生理解平均数代表一组数据的整体水平。

对此, 笔者尝试设计了另外一种教学过程, 试图从统计学意义上来理解“平均数”的概念本质。

【案例二】

(一) 直觉体验

1. 教师出示小强1分钟投篮成绩统计图。

师:要表示小强1分钟投中的个数, 你认为用哪个数比较合适?

生:5。

师:为什么?

生:他每次都投中5个, 用5表示小强1分钟投中个数最合适了。

师:为什么不是5+5+5=15 (个) 呢?

生:我们要表示的是1分钟投中的个数, 这里是3分钟了。

2. 教师出示小林1分钟投篮成绩统计图。

师:现在要表示小林1分钟投中的个数, 你认为用哪个数比较合适呢?为什么?

生:4正好不多不少在中间, 所以用4比较合适。

师:有道理!还有其他想法吗?

生:从第3次5个里面移1个到第1次3个里面, 这样每一次都是4个了。所以用4代表小林1分钟投中的个数比较合适。 (师结合学生的交流, 呈现移多补少的过程)

师:像这样从多的里面移一些补给少的, 使每个数都一样多。这一过程就叫“移多补少”。

3. 教师出示小刚1分钟投篮成绩统计图。

师:哪个数可以表示小刚1分钟投中的个数呢?

生:4。

师:为什么?

生:从7个里面移出1个放到第1次, 再移2个到第3次, 这样看起来三次都投中了4个。所以用4表示小刚1分钟投中个数比较合适。 (生演示移多补少的过程)

师:你为什么要放1个到第1次呢?

生:我以最少的第3次为标准, 给了第3次1个后, 发现第2次还比其他两次多3个。所以给了第1次1个, 一共给第3次2个。

师:好办法!先把第3次和第2次补成相同, 再把多余的平均分。还有其他的方法吗?

师:你们都认为4能代表小刚1分钟投中的个数, 对吗?既然这样, 4能代表小刚第1次投中的个数吗?

生:不能, 第1次是投中3个。

师:4能代表小刚第2次、第3次投中个数吗?

生:不能。第2次投中的是7个, 第3次投中的是2个。

师:既然4不能代表这三次的投中个数, 那么它究竟代表的是哪一次呢?

生:4代表的是小刚三次投中的平均水平。

师小结:平均数代表的是一组数据的平均水平。

(二) 求平均数

师:还有其他方法吗?

生: (3+7+2) ÷3=4 (个) 。

师:谁看懂他的算法了?

生:先算总数, 再除以次数, 得到平均数。

小结:无论是移多补少还是先合后分, 都是为了使原来几个不相同的数变得同样多。这个同样多的数, 数学上叫做这几个数的平均数。

师:4就是3、7、2的平均数。

(三) 深化理解

教师出示小方1分钟投篮成绩统计图。

师:你能估计小方的平均成绩吗?

生:4个。

师:为什么不是6个呢?

生:因为6个是最多的, 它要移给少的。

师:为什么不是1个呢?

生:因为1个是最少的, 多的肯定会补给它。

师:平均数代表的是一组数据的整体水平, 不可能是这组数据中的最大数, 也不可能是这组数据中的最小数, 应该是——

生:应该是在最大数和最小数之间。

师:为什么小方的平均成绩只有4个?原因在哪儿?

生:因为第4次只投了1个, 太少了, 影响了他的平均成绩。

师:要是第4次能投几个, 小方的平均成绩就是5个?

生:5个。

师:要使平均成绩发生变化, 只要改变其中几个数就可以了?

生:一个数。

师小结:平均数会随着一个数据的变化而变化。这是平均数的一个重要特点。

(四) 练习提升 (略)

【思考】

(一) 选择合理的学习材料有助于概念的理解

教师要深度研习教材, 把握知识的来龙去脉, 了解学生的认知发展规律和学习生活经验, 这样教师才能选择合理的学习材料来帮助学生理解概念。

在案例二中, 教师精心设计的几组数据使学生凭直觉体验到了“平均数”的代表性, 帮助学生很好地理解了平均数的统计学意义。

教师有意设计了“小强1分钟三次均投中5个”的特殊数据组, 以此促进学生自然建立起“用5代表他的一般水平最合适”的心理倾向。这一学习材料的提供使学生清楚地知道“求总数”是不合情理的, 进而在随后的学习活动中学生能主动避开“求总数”的窠臼。接着引导学生努力寻找几个数据的代表值, 通过多次的移多补少呈现过程, 使学生凭直觉体验到平均数是一组数据的代表, 为平均数的意义建立奠定了坚实的基础。

在努力寻找每组数据代表性的同时, 也自然地避开了学生过早用计算求出平均数的做法。

(二) 把握概念的本质有助于概念的建构

概念教学应该在层层递进的学习过程中, 逐步丰富和建构对概念本质意义的理解。“平均数”的教学重点是体验平均数的意义, 理解平均数的本质及性质, 而不是用计算方法得出平均数。也正是因为学生充分理解了平均数的意义和本质, 才会有许多策略得到平均数, 思维才会更敏捷更开放。

案例二中, 学生多次体验了移多补少的过程, 正是这多次直观演示和体验, 使学生理解不可能是最大数, 因为最大数要补给最小数, 也不可能是最小数, 因为最小数会有最大数移给它, 最后平均数当然要比最大的小比最小的大了。小方的1分钟投篮统计图中出现了一个极端数据:第4次只投了1个。教师通过追问引导学生查找原因, 并且找到解决问题的方法, 可以在第4次投5个引起平均数变化。这一过程是通过对某个数据的变化会引起平均数变化的认识, 让学生能够进一步理解平均数的敏感性:任何一个数据的变化, 都会使平均数发生变化。教师正是通过对平均数的这两个性质的理解, 使学生能更好地理解平均数的本质。

算术平均数与几何平均数一 篇8

例1(2005年山西省中考试题)某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数：

(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；

(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260(件)，你认为这个定额是否合理?为什么?

分析：本题利用表格提供已知条件，考查同学们对平均数、中位数和众数这三个概念的运用情况，结合生活实际情况，考查大家的判断能力和用数学知识解决实际问题的能力．

解：(1)平均数：260(件)；中位数：240(件)；众数：240(件)．

(2)不合理．因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性．而240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理．

例2(山东省)我省某城镇邮政局对甲、乙两个支局的报刊发行部2005年度报纸的发行量进行了统计，并绘成统计图如下页：

请根据统计图反映的信息，回答问题：

(1)哪个支局发行《齐鲁晚报》的份数多?多多少?

(2)分别写出右边两个统计图中提供的6个统计数据的中位数：

(3)已知甲、乙两个支局所服务的居民区住户分别是11280户和8600户，哪个居民区平均每户订阅报纸的份数多?试说明理由．

分析：本题要求根据统计图反映的信息回答问题，做题时要注意把观察到的内容与所学的概念结合起来，正确利用图表信息进行计算，进而解决实际问题．

解：(1)甲支局发行《齐鲁晚报》840份，乙支局发行《齐鲁晚报》880份，乙支局比甲支局多发行40份：

(2)甲支局的图中提供的6个统计数据的中位数是4．5；乙支局的图中提供的6个统计数据的中位数是3．6；

(3)由统计图可知，甲支局订阅报纸共2820份，平均每户订阅报纸的份数是2820÷11280=0．25；乙支局订阅报纸共2580份，平均每户订阅报纸的份数是2580÷8600=0．3，所以乙支局所服务的居民区住户比甲支局所服务的居民区住户平均每户多订阅报纸0．05份．

例3(安徽省)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：

(1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持．问风景区是怎样计算的?

(2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9．4％，问游客是怎样计算的?

(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际?

解：(1)风景区是这样计算的：

因为调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，所以平均日总收入持平．

(2)游客是这样计算的：

因为调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，所以平均日总收入持平．

原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2＝160(千元)，

现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2＝175(千元)，

(3)游客的说法较能反映整体实际．

例4(2005年江苏省泰州市中考试题)春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图(如图)．

(1)利用图中提供的信息，在工作经验方面3人得分的众数是多少?在仪表形象方面谁最有优势?

(2)如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10：7：3，那么作为人事主管，你认为应录用哪一位应聘者?为什么?

(3)在(2)的条件下，你对落聘者有何建议?

分析：本题以条形统计图的形式提供已知数据，以考查数据的处理能力和统计的知识为主要目标，试题并不难，但文字比较多，要注意认真审题．

解：(1)工作经验方面3人得分的众数是15；在仪表形象方面丙最有优势．

故应录取乙．

(3)对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象；对丙而言，三方面都要努力，重点在专业知识和工作经验方面．

练习题

1(2006年河南省中考试题)某公司员工的月工资情况统计如下表：

(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数；

(2)你认为用(1)中计算出的哪个数据来代表该公司员工的月工资水平更为合适?请简要说明理由；

(3)请画出一种你认为合适的统计图来表示上面表格中的数据．

2．(2006年浙江省中考试题)为了解某地区八年级学生的身高情况，从中随机抽取150名学生的身高作为一个样本，身高均在140cm～175cm之间(取整数厘米)，整理后分成7组，绘制频率分布直方图(不完整)．根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)补全频数分布直方图；

(2)抽取的样本中，学生身高的中位数在哪个小组?

(3)该地区共有3000名八年级学生，估计其中身高不低于161cm的人数．

答案：1．(1)平均数1800元，中位数1500元，众数1500元；(2)(3)略．

2．(1)略；(2)155．5～160．5；(3)960人．

算术平均数与几何平均数一 篇9

一、复习铺垫，导入新课出示动物寿命统计表：小猫 老鼠 大象 乌龟寿命/年 6 2 51 152提问：看了这张统计表，你发现了什么？（乌龟的寿命最长，老鼠的寿命最短。）谈话：借助统计，我们常常能发现一些有趣的现象和规律。今天我们继续研究统计。（板书：统计）【说明：利用动物寿命统计表这一学生感兴趣的材料，复习相关旧知，导入新课，自然贴切，有利于调动学生学习的积极性和主动性。】

二、创设情境，自主探索1.呈现套圈情境。多媒体演示套圈比赛的场景。谈话：这是三（1）班第一小队正在进行的套圈比赛，一队是男生，另一队是女生。比赛规则是每人套15个圈，比一比哪一队套得准。下面就请同学们给他们做裁判，好不好？2.收集整理数据。多媒体依次演示4个男生和5个女生套圈比赛情况，最后将每个选手卡通像与其套圈结果定格组合成一个画面。要求学生根据男、女生套圈成绩，小组合作利用小方块完成统计图（每小组中男生合作完成男生队成绩的统计，女生合作完成女生队成绩的统计）。【说明：运用多媒体对教材例题进行动态处理，能有效地激发学生的学习兴趣。通过摆小方块制作统计图，目的是让学生亲历数据收集整理的过程，同时也为后面用移多补少的方法求平均数作准备。】3.引入平均数。出示男、女生套圈成绩统计图。提问：看了这里的统计图，你发现了什么？要比较哪一队套得准，你准备从哪个方面去比较？结合学生的想法，相机进行引导。想法一：因为吴燕套中的个数最多，所以女生队套得准（比最多）。追问：用一个人的成绩代表整个队的成绩，这样合适吗？想法二：先要求出每个队一共套中了多少个，再比较哪一队套得多（比总数）。追问：这种想法的可取之处是已经注意到从整体的方面去比较，但是他们两队人数不相等，这样比公平吗？可以怎么办呢？想法三：先要求出两个队平均每人套中了多少个，再比较哪个队套得准（比平均数）。追问：这样比公平吗？（公平）我们就用这种方法试一试。（板书：平均）【说明：富有启发性的追问，旨在引导学生认识到用原有认知结构中数据处理的方式，如比最多、比总数等解决这一问题并不合适，从而引出平均数，并在这一过程中初步感受平均数能表示一组数据的整体水平。】4.理解平均数。操作：男生平均每人套中多少个呢？女生平均每人套中多少个呢？下面请同学们仔细观察自己面前的统计图，先在小组里讨论怎样找出每个队的平均成绩，再试一试。看哪些小组想的办法又多又好。提问：怎样求男生平均每人套中的个数？学生可能出现两种方法：一是移多补少；二是先合后分。反馈时，先让学生在实物投影上边操作，边讲解移多补少的过程，教师利用课件动态演示。再让学生说一说怎样用先合后分的方法求平均数（课件动态演示：将统计图中的涂色方块合并起来，再平均分成4份），并引导列式：6 + 9 + 7 + 6 = 28（个），28 4 = 7（个）。【说明：将学生对平均数的探求发端于操作，让学生在活动中获得有关平均数的多种求法。】谈话：请大家看男生套圈成绩统计图（用红色线条标出平均数，并不断闪烁），图中闪烁的红色线条表示什么？根据学生回答，在前面板书的平均后面添上数。观察：图中的平均数与实际每人套中的个数相比，你发现了什么？（平均数比最大的数小，比最小的数大）多媒体闪烁平均数的取值范围。提问：根据你的发现，谁能猜一猜女生队平均每人套中的个数一定在什么范围之内？可以通过哪些方法来验证？谈话：女生平均每人套中多少个圈呢？你是怎样知道的？先和小组内的同学一起说一说。反馈时，引导学生交流求女生队平均数的方法及所求平均数的意义。列式计算时注意让学生说说为什么要除以5而不除以4？提问：现在你能判断男生套得准还是女生套得准吗？小结：通过刚才的活动，我们认识了什么？你能结合刚才的例子，说一说平均数表示的意义吗？【说明：多媒体演示与学生的交流有机结合，使学生对求平均数的方法移多补少、先合后分，平均数的意义及取值范围等建立清晰的表象。同时，将平均数学习嵌入一个完整的统计活动中，较好地突出了平均数的统计意义。】

三、巩固深化，拓展应用1.完成想想做做第1题。先数一数每个笔筒里笔的枝数，引导学生用两种方法分别求出平均每个笔筒里有多少枝铅笔。2.出示题目。下面是小华记录的他家近四天的用水情况。你能求出小华家平均每天用水多少千克吗？时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天用水量/千克 112 88 104 96先估计一下小华家平均每天用水量的大致范围，再求出前4天用水量的平均数。提问：根据表中信息，你能预测小华家第五天可能会用水多少千克，为什么？3.出示课始的动物寿命统计表。小东家最近领养了一只小猫，你能预测一下它大概能活多少年？这些动物的寿命你是怎样理解的？（都是平均数）举例：我们小朋友的生活中经常会用到平均数，你能举几个平均数的例子吗？4.播放电视短片：如东县版图及洋口港位置。主要内容：洋口港年平均气温15摄氏度，年平均降雨量1 042毫米，年平均降水日是119天，平均水深17米，是天然的深水良港。提问：刚才的短片介绍的是如东县正在筹建中的洋口港。谁来说一说洋口港有什么特点？你怎样理解这些数据？5.完成想想做做第4题。学生弄清题意后，分别解决前面的两个问题，再自主地提出问题，并解答。6.完成练习九第1题。学生独立思考，充分发表不同意见，然后用多媒体显示相关河床截面图，加深对平均水深的理解，并作出正确的判断。【说明：练习设计既重视平均数的求法，更重视对平均数意义的深刻理解。通过估计、预测、判断等一系列数学活动，沟通了数学与现实生活的联系，强化了学生对平均数意义的理解，较好地发展了学生的统计观念和应用意识。】

算术平均数与几何平均数一 篇10

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第8章

平均数与条形统计图

第1节平均数

第八章平均数与条形统计图

第1节平均数

测试题

一、填一填。

1、小明语文考了82，数学考了86，平均分是。2、1、2、5、8、9六个数的平均数是。

3、每人平均发放2个苹果，我们班32位同学总共需要 个苹果。

4、小明两次考试的分数为92和94，平均分是。

5、山路总共1000米，小花上山用了25分钟，下山用了15分钟，小明上山和下山的速度各是 米每分钟和 米每分钟。

6、我们班每人平均发放5本作文本，18位同学总共需要 个作文本。

7、我们班男生12人，每人发5支红花，8个女生，每人发4朵红花，总共需要 朵红花。

8、小明和他的两个好朋友，他们的体重分别是30千克、31千克、33千克，他们的平均体重是 千克。

9、第二小组五位同学跳绳次数为52、56、48、49、50，那么平均跳绳次数为 次。

10、A、B两地相距1200米，小红去时用了40分钟，回来时用了30分钟，小红平均每分钟行 米。

二、选一选。

1、甲的岁数为24，乙的岁数为30，甲和乙的平均年龄是（）A 27 B 26 C 25 D 30

2、有15个苹果分给5个人，每个人分（）个。A 2 B 3 C 4 D 1

3、汽车销售公司每天可以销售2辆汽车，一个月（30天）能共销售（）辆汽车。A 55 B 62 C 60 D 65

4、汽车销售公司一个月销售了90辆汽车，一个月按30天计算，每天能销售（）辆汽车。

A 4 B 2 C 1 D 3

5、下列有关平均数的说法正确的是（）

A平均数是偶数

B平均数是奇数

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第8章

平均数与条形统计图

第1节平均数

C平均数是整数

D平均数是反映一组数据平均水平的一个量

6、关于一组数据的平均数的说法正确的是（）A平均数一定大于该组数中的任何一个数 B平均数一定小于该组数中的任何一个数 C平均数一定等于于该组数中最小的一个数 D平均数不一定大于该组数中的任何一个数 7、20个西红柿分给5个人，每人能分（）个。A 5 B 4 C 6 D 3

8、每人发放4元钱，20个人总共需要（）元钱。A 81 B 5 C 40 D 80 9、1、5、8、12、13的平均数是（）A 7 B 7.6 C 7.7 D 7.8

10、小花两次考试的分数为85和87，平均分是（）A 85 B 86 C 87 D 88

三、应用题

1、乐乐把50千克苹果和20千克梨装在10个盒子里，平均每个盒子装多少千克水果？

2、红红有玩具30个，小花比红红多3个玩具，壮壮比红红少3个玩具，三人平均每人有多少个玩具？

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第8章

平均数与条形统计图

第1节平均数

3、学校买来120本故事书平均分给甲、乙两个班，其中甲乙两个班共有60人，每位同学可以分多少本？

4、花花读一本书前5天读了40页，后3天读了27页，平均每天读了多少页？

5、静静的语文数学两门课的平均成绩是82分，英语成绩是85分，那么这三门课程的平均成绩是多少？

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第8章

平均数与条形统计图

第1节平均数

【参考答案】

一、填一填。

1、84；

2、5；

3、64；

4、93；

5、40； 67；

6、64；

7、4.6；

8、31.3；

9、64；

10、51

二、选一选。

1、A

2、B

34、D

5、D 67、B

8、D 910、B

三、应用题。

1、解： 50÷10+20÷10 =5+2 =7 答：平均每个盒子装7千克水果

2、解：

（30+30+3+30-3）÷3 =（30+33+27）÷3 =90÷3 =30 答：三人平均每人有30个玩具

3、解： 120÷60=2 答：每位同学可以分2本

4、解：

（40+27）÷（5+3）

=67÷8 =8.375 答：平均每天读了8.375页

5、解：、C、D、D 第 4 页

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第8章

平均数与条形统计图

第1节平均数

（82×2+85）÷3 =249÷3 =83 答：这三门课程的平均成绩是83.第 5 页