几何画板二次函数
目标：学生经历使用几何画板绘制二次函数图像，通过观察、思考、讨论得出二次函数yax2bxc(a0)中的待定系数a、b、c与图像之间的关系 重点：二次函数yax2bxc(a0)的性质 难点：二次函数yax2bxc(a0)性质的得出
信息技术硬件：信息技术教室、学生计算机 信息技术软件：几何画板、幻灯片投影 过程：
一、几何画板操作讲解
1.将下载好的几何画板分发给学生机器
，并控制所有学生机
2.启动几何画板的方法：双击
图标，进入界面
3.启动函数绘图的操作方法：图表→绘制新函数→新建函数对话框 或用快捷键（Ctrl+G）
4.绘制指定函数图像的输入方法： 注意：指数使用“
”输入 例如：要绘制函数y3x24x1，应该在对话框中依次输入3,X，︿，2，+，4，*，X，-，1，然后确定，就得到图像
可以通过向右、向左拖拽下图中的红点控制坐标系的精度大小和图像的大小
例如：要绘制函数y3(x1)22，应该在对话框中依次输入3，（，X,-,1，）︿,2，+,2然后确定，就得到图像
二、学生实践
1.教师取消学生机控制，让学生尝试用几何画板作函数yx2和yx22x1的图像
2.教师指导个别边缘学生操作
三、自主探究
探究1.利用几何画板分别作函数yx23x2，y2x2x1的图像
探究2.利用几何画板分别作函数yx22x2，yx23x
4四、思考与讨论
1.教师利用幻灯展示以上四个函数的图像
2.教师提问，学生独立思考一下问题，教师随机抽查：
问题1：以上四个二次函数都是以一般式yax2bxc(a0)形式给出的，他们的图像都是什么形状的？
问题2：以上四个二次函数中的待定系数a、b、c各是多少？
问题3：以上四个二次函数图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置情况如何？
3.学生以四人小组讨论：二次函数中的待定系数a、b、c与图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置有怎样的关系？ 学生展示，教师逐一抽查各小组讨论结果
五、教师讲解难点问题：“待定系数b的作用”
注意观察第一组函数yx23x2和y2x2x1的待定系数与图像，他们的二次项系数与一次项系数同号，且顶点都位于y轴的左侧；而第二组函数yx22x2，yx23x4的二次项系数与一次项系数异号，且顶点都位于y轴的右侧，由此我们不难得出这样的猜想：二次函数yax2bxc(a0)中的待定系数b与抛物线的顶点位置有关，当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧，当b与a异号时，顶点位于y轴的右侧。这是一般性结论呢还是巧合，请同学们再次验证
六、学生验证
1.每一位学生写出一个b与a同号的二次函数和一个b与a异号的二次函数并用几何画板验证以上猜想 2.学生展示结果、质疑
七、教师给出一般性证明
对一般的二次函数yax2bxc(a0)进行配方后我们能得到
b4acb2)顶点坐标公式：(,2a4a分类讨论：
1.顶点位于y轴的左侧时，顶点横坐标同乘2得
bb0，两边同时除以1得0，两边2a2ab0，因此b与a同号 abb0，两边同时除以1得0，两边2a2a2.顶点位于y轴的右侧时，顶点横坐标同乘2得b0，因此b与a异号 a
八、师生互动、共同小结
二次函数一般式yax2bxc(a0)的图像是抛物线
1.二次项系数“a”决定抛物线的开口方向 当a0时，开口向上 当a0时，开口向下
2.一次项系数“b”与二次项系数“a”共同决定抛物线的顶点位置（左同右异）当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧 当b与a异号时，顶点位于y轴的右侧 3.常数项“c”决定抛物线与y轴的交点位置 当c0时，抛物线与y轴交于正半轴，交点为(0,c)当c0时，抛物线与y轴交于负半轴，交点为(0,c)当c0时，抛物线经过原点(0,0)
反之亦然，我们也可以通过图像的特征得出待定系数a、b、c的正负。给出抛物线的形状让我们判断待定系数的正负是数学学业水平考试的重要考点之一。
二次函数中的重要点主要指与x轴的交点、与y轴的交点、顶点.为方便起见, 下面研究二次函数y=ax2+bx与x轴的交点、顶点之间形成的关系.对y=ax2+bx+c假设 (1) c=0; (2) 与x轴的交点为A, B; (3) 顶点为C; (4) b≠0.
一、用几何画板探求问题蕴涵的规律性
1. 确定系数a和b
a和b是二次函数y=ax2+bx的系数, 它们的值是可以任意变化.在坐标轴x轴上任取一点t, 过t点作x轴的垂线l, 在垂线l上任取一点B', 度量B'的纵坐标, 并更改结果的标签为b.这样就确定了系数b.然后, 度量点t的横坐标, 并与任一个大于零的数作为纵坐标, 在垂线l上画点m, 过点和m作射线r, 最后在射线r上任取一点A'并度量A'的纵坐标, 并更改结果的标签为a, 这样就确定了系数a (在这里只讨论a>0的情况) .
确定了系数a和b之后, 然后为动点a和动点b建立动画, 并分别改标签为“动点a”和“动点b”.如图1所示.
2. 计算并画点
首先, 根据系数a和b绘制函数y=ax2+bx的图象.如图2所示.
其次, 根据系数a和b计算与x轴交点A, B及抛物线顶点C的坐标.
xA=0, yA=0, xB=-ab, yB=0, xC=-b2a, yC=4a-b2.
然后, 绘制点A (xA, yA) , B (xB, yB) , C (xC, yC) , 并连结AC和BC, 度量∠ACB的度数.
3. 度量角的度数
以上操作完成之后, 度量∠BCA的度数.下面用几何画板来探求这个角度与系数a和b的关系.提出以下问题:
(1) 当b取某个值时, 使a发生变化时, ∠BCA的度数如何变化?
(2) 当a取某个值时, 使b发生变化时, ∠BCA的度数又如何变化?
对于第一种情况, 单击“动点a”按钮, 可以看到不管a是不断减小还是a是不断增大, ∠BCA的度数未发现任何变化.如图3和4所示.
对于第二种情况, 单击“动点b”按钮, 可以发现当b的绝对值越来越大时, ∠BCA的度数越来越小, 反之, 当b的绝对值越来越小时, ∠BCA的度数越来越大.如图5和6所示.
因此, 函数与x轴的两个交点和顶点构成的∠BCA的度数与系数a和b的关系借助几何画板, 可以得出以下结论:
结论1系数b固定, 无论系数a怎么变化, ∠ACB的度数不变.
结论2系数a固定, 则∠ACB的度数随着b的绝对值的增大而减小;∠ACB的度数随着b的绝对值的减小而增大.
二、代数方法验证结论
通过讨论, 得出了∠ACB与系数a, b的变化.其实, 以上结论也可以用代数方法进行验证.
根据A (0, 0) , 的坐标, 可以计算直线BC和直线AC的斜率kAC, kBC:
由此可见, ∠ACB只与系数b有关, 而与系数a无关.因此, 只要确定了b值, 不管a如何变化, ∠ACB永远保持不变.
对于a<0, 结论同样成立.
针对以上结论, 教师在教学过程中或者让学生进行数学实验时, 就可以设计一些思考题, 开阔学生思考问题的空间, 全方位认识二次函数y=ax2+bx蕴涵的有趣的规律.
三、拓展与延伸
1. 根据结论确定b值
借助以上结论, 可以展开进一步的思考, b取何值时, ∠ACB是直角或等于60°?可以做以下实验:
(1) 单击“动点b”按钮, 使b发生变化, 同时, 观察∠ACB的变化, 当∠ACB=90°时, 再次单击“动点b”按钮, 停止b的变化, 这时的b值即是所求, 可以看出等于2或-2.如图7和8所示.
(2) 单击“动点b”按钮, 使b发生变化, 同时, 观察∠ACB的变化?当∠ACB=60°时, 再次单击“动点b”按钮, 停止b的变化, 这时的b值即是所求, 可以看出等于3.4或-3.4.如图9和10所示.
根据以上实验, 可以得出以下结论:
结论3函数y=ax2+bx中的b=2或-2时, △ACB为等腰直角三角形.
结论4函数y=ax2+bx中的b=3.4或-3.4时, △ACB为等边三角形.
2. 坐标平移对角的影响
坐标平移包括横坐标上 (下) 平移和纵坐标左 (右) 平移.由此, 可进一步思考如下问题:坐标平移对以上结论将造成什么影响?利用几何画板, 可以继续做以下实验:
(1) 纵坐标左 (右) 平移:设将y轴向左 (右) 平移h个单位, ∠ACB如何变化?
(2) 横坐标上 (下) 平移:设将x轴向上 (下) 平移h个单位, ∠ACB如何变化?
对于第 (1) 种情况, 当y轴向左 (右) 平移了h个单位后, 函数图象与x轴的交点未发生变化, 顶点也不变, 因此, ∠ACB的度数也不改变.但是, 函数的表达式由y=ax2+bx变成了y=a (x±h) 2+b (x±h) , 该表达式可变形如下:
y=ax2+ (b±2ah) x+ah2±bh,
令a'=a, b'=b±2ah, c'=ah2±bh, 则该表达式为y=a'x2+b'x+c', 根据上述结论, 可以得出:
结论5当二次函数y=a'x2+b'x+c'中的系数满足a'=a, b'=b±2ah和c'=ah2±bh关系时, 以上结论同样成立.
对于第 (2) 种情况, 当x轴向上 (下) 平移h个单位, 函数图象与x轴的交点位置则发生了变化, ∠ACB也跟随变化.根据图象可以看出, 可以得出以下结论:
结论6当x轴向上平移h个单位时, ∠ACB不断减小.
结论7当x轴向下平移时, 当且仅当时, ∠ACB不断增大, 否则图象与x轴无交点.
[摘 要]：课改后初中数学正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。几何画板的灵活运用，将会使这类难题更加容易攻克，并在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在整个过程中，让学生经历了探索的过程，以能力立意，考查了学生的自主探究能力，促进培养了学生解决问题的能力。
[关键词]：二次函数 动点 几何画板 教学方法
【分类号】G634.6
几何画板（The Geometer's Sketchpad）是数学老师常用的一种软件。我们既可以运用它帮助我们实现教学思想，又能自行设计和编写数学中（尤其是函数和几何）的应用例子，而这些例子所体现的正是数学中非常重要的东西：数学思想。可以说几何画板是最出色的教学软件之一。
一、二次函数动点问题教学中的困惑：
在中学阶段，几何画板的运用可以解决不少“疑难杂症”。二次函数，向来被称为初中数学的“顽固分子”。很多同学都这么说：二次函数我掌握得不错啊，意义性质解析式单调性，都没问题。可一到考试，综合其他的知识，就找不到头绪了。
确实如此，在初三的教学过程中，我们也发现了这一点。学生对一些综合性的题目，无从下手。尤其是关于“动点”的习题，更是一筹莫展。单独的动点，没问题；单独的二次函数，也没问题。可一旦结合到一起，就高山仰止了。是的，我们都知道动点问题是近年来中考的的热点之一，解這类题目我们都总结了不少的策略。要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。道理都懂，可具体怎么操作呢？
二、几何画板的实际案例分析：
七年级有这样一道习题，将军住在A处，每天早晨，他都要从A出发，先去河边喂马，然后到B处看士兵操练。将军怎么走最近？
作B点与河面的对称点B′，连接AB′，
可得到马喝水的地方C，如图所示，由对称的
性质可知AB′=AC+BC，根据两点之间线段最短的
性质可知，C点即为所求。
学了轴对称以后，做这道题易如反掌。好吧，我们继续下一题
二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C点，M为二次函数对称轴上的点，
（1）是否存在点M，使得AM+CM值最小，求AM+CM最小值和此时M点坐标？
为了解决这道题目，我们用几何画板制作了如下图形。其中M是可拖动的一个动点，先让学生真正感受“动”，漫画变成了动画。弥补黑板、PPT的不足。当然，单靠拖动一个点，就要解决这道题，对一些同学来说，还是有难度的。接下来还要用到几何画板的另外一个功能——“隐藏”
若在以前，老师可能要滔滔不绝讲述半天，图像修改几次，才有可能甚至达不到上述效果。原因是：黑板作图耽误时间，PPT呆板，处理动态问题稍显不足。几何画板灵活，作图简单，操作方便。学生更易接受，同时，这个操作的过程，也是体现数学思想的过程。
三、几何画板优势小结：
以上就是二次函数背景下，线段最值问题的一个小运用。初中阶段的一个难点热点问题，通过几何画板的运用，让学生掌握“对称、动点的运动”等方法，来探索与发现图形性质及图形变化，并在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在整个过程中，让学生经历了探索的过程，以能力立意，考查了学生的自主探究能力，促进培养了学生解决问题的能力。
课改后数学卷中的数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。几何画板的灵活运用，将会使这类难题更加容易攻克。[1]
文献参考：
江西黎川一中 姜亚东
最近几个星期在马跃进教师数学工作室进行几何画板研修,结合多年利用几何画板教学经验,谈谈我的几点体会：
一、几何画板的特点
1.几何画板最大的特点是“动态性”：即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。
2.几何画板操作简单，易于掌握运用。只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件。它无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，因此它只适用于能够用数学模型来描述的内容--例如部分物理、天文问题等。因此，它非常适合于数学老师使用，如果有设计思路的话，用几何画板进行开发课件速度非常快。
3.几何画板还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境。学习数学需要数学逻辑经验的支撑，而数学经验是从操作活动中获得。离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。在老师的引导下，几何画板可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，几何画板还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。
二、《几何画板》应用心得
1、巧用《几何画板》，激发学生学习兴趣。
《几何画板》具有强大的动态变化功能，一流的交互功能，能以浓缩的形态给学生提供数学背景，通过学生的参与和亲手操作，枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然。
兴趣是学生学习的最好的老师，是原动力。实践证明使用《几何画板》探索学习数学不仅不会成为学生的负担，相反使抽象变形象，微观变宏观，给学生的学习生活带来极大的乐趣，学生完全可以在轻松愉快的氛围中获得知识。
2、多用《几何画板》的动态效果，培养学生自主合作精神。学生动手在操作中学数学，学生动手“做数学”，这是一种新的学习方式，学生成为学习的主人。对自己的任何发现，都可以得到及时地验证。积极参与探索的“主角”，经过自己亲身的实践活动，感受、理解知识产生和发展的过程，形成自己的经验，发挥了学生的能动性和创造能力，达到让学生“做”数学的目的。
3、利用《几何画板》的功能，揭示“数形结合”的变化规律。数形结合思想是一个非常重要的数学思想。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”《几何画板》为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息，同时，可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质。
4、勤用《几何画板》自主探究，培养学生的综合能力。“动态”是《几何画板》的最大特点，也是其魅力之所在。这在数学上的意义非同寻常，它满足了数学教学之需，弥补了传统教学手段之不足。
做为一名数学教师很有必要学习几何画板的知识，因为数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的科学，传统的数学教学基本要求是：学生掌握基础知识的基本技能。整个教学过程是培养学生思维过程，熟练掌握基本技能的过程，开发学生的空间想象能力的过程，这些都是数学教育的特殊基本要求。几何画板是一个在数学领域里进行创造、探索和分析等方面有着广泛应用的软件系统。
通过这次学习，我掌握了几何画板的一些基础应用，如一些基本图形的构造、图形的平移与旋转、函数图象的绘制等。同时对几何画板也有了一个直观的认识，利用几何画板，我们可以构造交互式的数学模型，可用于从事形与数的基础研究，构造高级的、动态的复杂系统的插图。
数字化和信息化已经是现代社会的一个主流，计算机已经在各个领域得到了普及，我们的教学也不例外。它具有极大控制性，容量性，灵活性。把几何画板运用到数学课堂教学中，比如圆和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、二次函数图像的变换、三角形的全等和相似、还有一些常见题目的动画演示等，这些知识若通过几何画板演示，学生就能直接观察到它们的运动路径，使抽象的知识变得更加形象和直观，学生接受起来就很容易了。同时，如果学好了几何画板，直接在课堂上操作，通过多媒体演示，既节省了时间，又提高了课堂效率。通过学习，我体会到，在运用课件辅助教学时，不仅仅是去制作课件，在制作过程中，要对这节课完全理解，从原理上明白这节课的实质内容，再细化到如何去制作，才能简单明了的理解这节课，是在制作过程中的关键点。
而对于我们自己，几何画板在日常的学习中也有很大作用。刚刚学习了几何画板，我利用平时所学的知识、技巧等，画出了标准而美观的图画。也许我对几何画板的掌握还不太熟练，但在不断的学习运用中，我一定可以更加熟练的掌握它，几何画板对我的帮助也会越来越大。
《几何画板》为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息。同时，可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质，另外其丰富的测算功能使得对问题的观察，试验和归纳成为现实。《几何画扳》操作的实用性，既减轻教师的工作负担，改变教学环境又为问题的有效解决提供便利。
利用《几何画板》的优势，增大信息的容量。《几何画板》显示画面的快捷、容量大、可储存，因此它可以提高单位时间的利用率，为知识信息量的增大提供了空间，数学学习必须因材施教。通过多媒体网络系统，把师生所设计的《几何画板》上的内容进行有效地交互、评价，达到共同学习、共同探讨。多媒体技术具有独特交互功能，它可以向师生提供更加有效的控制和使用信息的手段。同时也开阔了学生的视野，交互为师生的共同活动、交流及教师对学生学习情况的及时跟踪评价、及时反馈提供保证。交互也为学生提供了学习活动的场所，对学生主体性发挥，激发学生想象力、创造力十分有益，为教学质量的进一步提高提供方法。同时，比传统课堂教学中交互的方式--提问等更加深入一步。
目前的数学课堂教学，从内容上可分为概念（定理）教学和解题教学，前者是新知识的引入，后者是它们的应用。在知识的引入中，传统的教学方法是把概念直接告诉学生。课后，总有教师抱怨，讲过概念后，学生并不能好好理解，碰到具体例子时也不会用。
我认为上述情况发生的原因为：课堂上传授的知识未在学生的心理上得到应有的认同，教学过程中缺乏学生的主动参与，简单的说就是没有学生参与的教学活动几乎是无效（起码是低效）的教学活动。《几何画板》刚好为学生自己动手、参与教学过程、发现问题、讨论问题提供了很好的园地。有了几何画板，就可以为认识概念创设了一个很好的“情景”。
例如，上“双曲线”这一节的第一课时，我们可以首先把课件制作的过程展现在学生面前，与学生一起来完成“双曲线”概念的构建。
老师：根据上节课椭圆的定义，以及这节课双曲线的构造，讲一下什么是双曲线？
学生：平面上一个动点到两个定点的距离的差的绝对值是一个定值，且这个定值小于两定点间的距离的点的轨迹。„„
在“双曲线”定义概念的教学中，我们事先并没有制作好课件，而是把制作的过程展现在学生的面前，力图正确利用“几何画板”这一优秀软件，通过这一“过程”来让学生完成“双曲线”的“意义建构”。整个过程不把教师的认识强加给学生，始终让学生处于认知的“主体”地位。学生的思维得到了发展，观察能力、归纳能力得到提高；概念的理解更加清晰、准确；知识间的联系建立；印象更加深刻。
含有参数的函数问题往往比较复杂,解答中存在的主要问题是画图困难、看图困难、把图与解析式联系起来困难。几何画板中的参数是不同于度量值和计算值的能够独立存在的一种数值,它的建立不依靠具体的对象。使用几何画板的参数功能可以构造动态函数,为解决含有参数的函数问题开启了便利之门。在教学过程中,使用几何画板就像使用黑板和粉笔一样自然、流畅。比如,对于y=ax2,不断变化参数a,要在黑板上画是很难实现的。如果使用几何画板,连续改变参数,实现动态解析式及其动态图像,就可以生动直观地揭示函数的变化规律,为解决含有参数的函数问题提供了一个进行数学实验的环境。a从负到正的过程中,可以看到图像从x轴下方到x轴上方的渐变过程,a取不同的值时,函数的性态一目了然。
1 构造动态函数
构造动态函数的步骤是:(1)建立参数。运行几何画板软件,使用“数据”→“新建参数”命令即可建立参数。直观的办法是,在轴上取一点,利用“作图”→“垂线”命令得到该点的垂线段。选取垂线段的另一端点,使用“度量”→“纵坐标”命令得到该点的纵坐标,纵坐标值即为一个参数。(2)构造解析式并绘图。使用“绘图” →“绘制新函数”命令,在调出的“新建函数”对话框内构造函数的解析式。在构造函数的解析式时,除可以使用计算器面板上的所有数字、数值、内部函数、单位外,还可以使用当前画板上已经存在的计算值、度量值、参数值,以及已经创建的函数。(3)控制参数。选中参数,按键盘上的“+”或“-”,可以增加或减小参数的值。选中参数,使用“编辑” →“编辑参数”命令,对参数进行范围、精确度、变化速度、自动等控制。用直观办法得到的参数,只要拖动线段的端点,就可以改变参数值。改变参数,得到动态函数。
2 应用
构造动态函数的步骤,也是解决含参数函数问题的步骤。下面列举两个典型例题予以说明。
例1:研究方程ax=xa(a>0且a≠1)在x>0时根的个数。
分析:对于探讨含有参数方程根的个数、根的范围问题,可通过恒等变形,把方程根的问题转化为直线和曲线的交点问题,而且把方程中所含参数,分离到直线方程中,利用几何画板绘制含参数的直线方程,改变参数,观察图形变化,问题就变得非常容易。
由于x>0,方程两边取对数xlna=alnx,变形得
打开几何画板,使用“图表” →“绘制新函数”命令,绘制函数
(1)在x轴上取一点A,选择A和x轴,利用“作图” →“垂线”命令得到过A的垂线。在垂线上取一点,并加上标签a,作线段Aa,选择a点,利用“度量” →“纵坐标”命令得到a的纵坐标。
(2)隐藏垂线,用“文本工具”把度量值的标签改为a,利用“图表” →“绘制新函数”命令,创建函数
拖动a,观察两图像交点的个数的变化规律。
①当0<a<1时,函数
②当a>1时,存在一个常数m≈2.70,函数
于是,当0<a<1或a=e时,方程ax=xa只有一个根;当1<a<e或a>e时,方程ax=xa有两个根。
例2:求函数y=f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]内的最大值M(a)。
分析:这类问题,随着a的变化所得的函数的最大值M(a)也在变化,动态函数的实现,生动直观的揭示了含有参数函数的性态。
同例1,创建函数y=f(x)=|x2-a|并绘制其图像。
拖动a,观察图像的变化。当a≤0时,即将a点拖动到轴x及其下方时,函数y=f(x)=|x2-a|的图像为抛物线如图2所示,在区间[-1,1]内M(a)=1-a。
当a>0时,即将a点拖动到x轴上方。存在一个a值,使得在区间[-1,1]内,y=-x2+a和y=x2-a的最大值相同,即a=1-a,则
综上,问题的解为:
摘要：用几何画板描述含有参数的函数,可以通过参数的改变来控制解析式的改变,进而控制函数图像的变化。
关键词：几何画板,参数,动态函数
参考文献
[1]刘同军.几何画板在数学教学中的应用[M].山东:中国石油大学出版社,2005.
[2]王波.含参数方程问题的几何画板解法[J].邢台职业技术学院学报,2009(3):41-42.
关键词：几何画板；初中数学教学；函数
中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）22-029-010
前言
作为我国当下最出色教学软件之一，在初中数学的函数教学中，教师能够通过几何画板将自身的教学思想具现化，并以此进行具体教学课件的编制，这样就能够有效提升学生对于初中数学函数学习的积极性，最终实现初中数学函数教学有效性的提升。
一、突破函数教学的难点与重点
在初中函数教学的几何画板应用中，教师可以通过对几何画板的灵活应用，较为直观的对函数知识进行展示，这样就能够通过几何画板本身的优势，较好地突破函数教学的难点与重点，实现数学函数教学效果的提高。在传统的初中函数教学中，教师会通过黑板或多媒体教学设备进行函数知识的教学，但由于这两种方式下的函数图像不能够自动进行绘制，这就使得这种教学不能够实现学生与教师的较好互动，学生本身处于一个被动接受知识的状态，教学效果自然不会太好，但如果教师能够灵活运用几何画板，那么教学效果将发生较大的转变。
二、培养学生空间现象能力
在初中数学的函数教学中，对于学生数形结合思想的培养也是教学的重要组成部分之一，传统的初中数学函数教学由于技术手段的限制，黑板作图不仅需要较长的时间，还不能很好地实现数学结合这一教学思想，但如果教师能够较好地运用几何画板，就能够在信息技术背景下通过测量各种数值，展示不同函数数值变化下函数图像的变化，为学生提供数形结合思想学习的舞台。
例如，在华师大版初中数学二次函数的教学中，在对类似y=ax+bx+c这种问题的解决中，教师就可以通过灵活运用几何画板，创建如图2所示的函数图像，使学生有效掌握二次函数图象的形状与字母系数之间的相互关系，透彻这类问题中最深层次的规律，逐步在教学过程中向学生渗透数形结合思想。在运用几何画板进行函数图像的呈现中，教师还可以利用几何画板本身具备的提供图像动画模型功能，使学生能够更加直觀地了解二次函数，学生在这种直观且形象的几何画板下的数学函数教学中，将大大提高自身对于函数知识的理解程度，为学生日后的数学学习打下了坚实的基础。
三、展示函数知识内涵
除了上文中提到的激发学生参与函数学习的兴趣与培养学生的空间想象能力外，在初中数学函数教学汇总应用几何画板，还能够较好的展示初中函数知识的内涵，使学生明晰自身所学习的数学函数知识的本质，保证学生能够较好地对相关函数知识进行理解与掌握。在传统的初中数学函数教学中，通过黑板绘制的函数图形有时不能很好地保证图形的精准度，这种问题的出现对于函数的教学会产生一定的负面影响，对于学生理解数学函数知识的内涵也较为不利，但几何画板的应用能够保证每一幅函数图形的精确绘制，有效提高了初中数学函数教学效果。
结论
综上所述，在我国当下的初中数学函数教学中，几何画板教学软件的使用，能够有效的对函数知识进行直观展示，对于我国初中数学函数教学，有着不俗的辅助作用，值得在我国初中数学教学中进行广泛应用。
[参考文献]
[1]万剑.几何画板在初中二次函数教学中的应用研究[D].南昌大学，2013.
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[3]刘发炼.几何画板在农村初中二次函数教学中的应用研究[D].贵州师范大学，2015.
(1)课堂教学手段的转变
现代信息技术多种多样，其中适合与数学进行整合的有几何画板，图形计算器，mathcad,powerpoint,Excel,Internet等。
a、 图形计算器
图形计算器的出现，对数学教与学的改革起了革命性的作用。Ti-92 plus图形计算器小巧玲珑，功能丰富，用于课堂教学不仅灵活机动，也为构造学生自主学习环境提供了丰富的认知工具。图形计算器是专门为学生学习数学设计的，它集符号代数功能、几何作图功能、数据处理及编辑功能于一体，它可以直观形象地绘制各种图形，并进行动态演示、跟踪轨迹，这正是多年来已经形成的关于数形结合的共识，还可以与有关设备结合，进行各种探索性的实践活动。很多过去用传统教法费时费力的问题，今天普通学生借助Ti-92 plus图形计算器能够弄明白，而且十分有兴趣。
在近三年的课题实验过程中，实验教师与学习共同利用图形计算器上了多堂实验课。
b、 几何画板——21世纪的动态几何
《几何画板》是一个适用于教学和学习的工具软件平台，既可用于平面几何、平面解析几何、代数、三角、立体几何等学科的教学或学习中，也可用于物理、化学、机电等课程的教学中。《几何画板》操作简单，只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件，它无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，用来进行开发速度非常快。
《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境：学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。《几何画板》能帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并发展思维能力。
c、Internet
用信息技术提供资源环境就是要突破书本是知识主要来源的限制，用各种相关资源来丰富封闭的、孤立的课堂教学，极大扩充教学知识量，使学生不再只是学习课本上的内容，而是能开阔思路，接触到百家思想在丰富资源环境下学习，可以培养学生获取信息、分析信息的能力，让学生在对大量信息进行筛选的过程中，实现对事物的多层面了解。教师可以为学生提供适当的参考信息，如网址、搜索引擎、相关人物等，由学生自己去Internet或资源库中去搜集素材。
(2)教师教学理念的转变
教师教学的理念使学生由“学会”向“会学”转变，由“授人以鱼”向“授人以渔”转化。
《国家数学课程标准》在高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程标准力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
传统灌输式的教学方法的主要弊端，就在于“教师主导作用越位”，“学生主体地位失位”。课堂教学的创新，正应从此突破。教师作为课堂的主导者，要善于给学生“主体”地位，让学生积极主动、生动活泼地去学习。
“信息技术与数学的整合”对教师的教产生了深刻的影响，有利于教师对数学语言文字、符号、图形、动画、实物图象、声音、视频等教学信息进行有效的组织与管理，能使过去难以实现的教学设计变为现实。
教师的任务是教学，目的是教好学生，但怎样才算教好学生，如何教好学生，主要与教师的教学观念、教学方式有关。素质教育和教育手段的现代化对教师角色产生强烈的冲击和深刻的影响。
数学教学应该引导学生通过自己的参与，通过“做数学”来体验数学，应该引导学生学会用数学的方式去思考，去探索。在教学中，教师属于“主导”地位，由于学生很容易通过电脑从外部数据资源中获取知识和信息，教师不再以信息的传播者，讲授或组织良好的知识体系的呈现者为其主要职能，他的职责从“教”转变为“导”，表现为引导、指导、诱导。
总之，信息技术进入中学数学课堂，对中学数学教育教学质量的提高，加快信息技术与数学课程的整合都有着积极的促进作用，促进了教师教育观念的转变，同时也对教师提出了更高的要求。
(3)学生数学研究性学习方式的转变
一直以来，教师主教，学生主学，随着人们教育观念的转变，教师是主导，学生是主体，在“主导——主体”的教学模式中，学生是“主体”，是信息加工与情感体验的主体，是知识意义的主动建构者。在信息技术与数学的整合中，对学生的培养目标与培养模式也提出了新的要求。
在信息技术支持下，学习数学研究性学习方式主要包括下面三种模式：
①课堂学习的“角色扮演”模式
在教师、知识和学生三者关系中，尤其以“教师与学生”这一对关系最为重要。“传统教育”与“现代教育”本质区别不是看是否使用了多媒体教育手段，而是看是否“以学生为中心”。“以学生为中心”是素质教育的本质特征，是实现教育全球化、现代化、素质化的重要举措。
普通高级中学实验教科书(信息技术整合本)数学第一册(上)第二章《函数》第2.6节的例2，它是对指数函数及其图象平移的.一个总结，同时又为一般函数图象的平移提供了研究的方法，同时可进一步培养学生数形结合的数学思想。
这节课内容多，也比较抽象，学生往往难以很好地掌握，用以往的教法，学生大多数只能死记硬背。为了解决这个问题，实验教师决定这一节课让学生去进行探讨，一方面想让学生通过自己的动手操作加深对知识的理解，另一方面也想由“以教师为主导”变为“以学生为中心”，让学生去扮演“教师”的角色。
高中函数图象变换主要有以下四种：
1、对称变换 。
2、平移变换。
3、伸缩变换 。
4、翻转变换。
四种主要变换包括12种不同的变换。
与传统的教学相比，这节课的教学实验具如下功能：首先，是为了引导出更积极的教学活动;其次，极要求学生提高学习的兴趣，加强自挑战意识，从而减少学习的恐惧心理。
开展课题研究以来，由于实验教师经常需外出听课学习，有时一周的课程不得不通过调课提前上，但有时因特殊原因不能调课，因此，实验教师通常由数学科代表或其它学生“代课”。
下面是高一(3)班学生张俊宏在上完“任意角的三角函数”了这节课以后的感想：
①代数学老师上完课以后，我对数学教学又有了新的认识。
②数学课应该讲究互动性。只有大家一起学习，教学才会变得更容易。这样，同学们学习的积极性才会大大提高。
③数学课不能太过于侧重于概念，应该要和例题配合，才能使别人更加容易明白。
④上数学课应该尽量与实际结合，使学生能把学到的知识应用到生活中去。
⑤数学课的内容应该要比较新奇，这样，同学们学习的积极性才会更高。
⑥由学生来代替老师上课，这的确是比较新奇，希望以后更多的同学能够有这样的机会。
②数学实验的“创造体验”模式。
作为一门自然科学，“实验”是数学的一个必要且重要的部分。著名数学家教育家波利亚精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这方面看，数学是一门系统的演绎科学;但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学。” 高斯曾提到，他的许多定理都是靠实验和归纳发现的。欧拉也认为，数学这门科学需要观察，也需要实验。前苏联数学界更是明确提出，“实验是现代科学和实践的产物”。所以，数学和发现往往离不开数学实验，需要经过猜想和证明两个过程。
数学的猜想与数学的实验是分不开的，在数学实验中，往往要通过观察、分析、归纳、处理数据、发现规律。“数学实验”很多学生还是第一次听到，更不用说去做了。传统的教学方法，学生根本没有“做数学实验”做个概念，学生大部分时间处于静听、抄笔记的状态，并没有积极参与。信息技术能够突出数学教与学“互动”，利于学生主体参与。数学学科的特点要求学习者在数学学习中必须进行充分、积极、主动的思维活动，数学学习离开了学生的积极参与是必然失败的。
在信息技术引入数学教学时，学生就由原来的“听”数学，变成了“做”数学。
例如在《函数》这节课时，学生之前已掌握了“带参数的函数图象与性质”的研究方法，在多媒体实验室上课时，学生自己上机操作，利用“几何画板”制作了课件，通过控制三个参数，观察图象的变化，摸索A、ω、和φ对图象的影响，在电脑图形的不断变化、同学之间的互相讨论、教师的点拨指导等反馈中，逐渐形成自己的知识体系，达到自我知识的重新建构。
又如在“椭圆的定义”一节课中，由于知识联系多，为让学生更容易掌握好定义，因此实验教师与学生一起利用TI-92plus图形计算器的进行操作。
画椭圆的过程是研究椭圆的性质的重要过程，让学生根据椭圆的定义画出图形，让学生边观察边思考。在作图的过程中，学生在屏幕中间画线段FG，并比较FG的长度与线段CE的长度大小关系，学生思维灵活，动手操作能力强，很快就发现问题所在：FGCE时，轨迹是双曲线。(如下两图)
许多数学发现都源于实验——观察、试验、猜测、验证。正如弗赖登塔尔说“从事创造性数学的人都知道，在与数学相关的任何问题中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用”。
在这个过程中，学生的主体地位充分得到了体现，事实也证明学生非常喜欢这样的研究性学习模式。
③课外假期的“课题研究”模式
在课外学习与假期研究中，学生通过选择自已所研究的内容，选择几个同学作为学习伙伴，组成数学研究性学习小组，相互帮助，直到问题解决。
例如在研究“正方体的截面是什么图形?”此课题中，学生通过自己的研究性学习小组，根据课本的提示，总结得到了以下的几种解决方案：
1) 用橡皮泥为模型捏出各种截面;
2) 用红萝卜切出各种截面;
3) 用玻璃与玻璃胶做了一个中空的正方体，灌进清水，由水面的形状得到各种截面;
4) 参考有关资料，用几何画板做出课件，演示各种截面。
摘要：随着科技的进步，几何画板成为数学课堂中一种非常重要的辅助教学手段，这在很大程度上提高了课堂教学效果。本文结合初中数学教学实践，对几何画板在课堂教学中的应用进行了探索研究，提出了几点教学建议。
关键词：初中数学;几何画板;应用
几何画板作为一种辅助教学工具，以其自身的优势在数学课堂中发挥了积极的作用。本文结合教学实践，对几何画板在初中数学教学中的应用进行了探究。
一、巧妙运用几何画板，激发学生的参与兴趣
在传统几何教学中，一般都是教师在黑板上画出一个几何图形，然后通过推理、验证、在黑板上画线等方式，来验证边、角、线段之间的关系，这样的过程实际上是让学生被动接受知识的过程，没有真正调动学生的主动性，更无法在学生脑海中形成直观、生动的印象，只能提高几何知识的抽象性，让学生对几何敬而远之，极大地压制了学生的学习兴趣。例如，在教学《图形的旋转》时，其中对于旋转性质的探究，有些教师先让学生结合教材内容，自主动手操作：先在硬纸片上挖出一个三角形的小洞，再挖一个小洞作为旋转的中心，然后在硬纸板下放一张白纸。第一次挖出的三角形为△ABC，围绕中心挖掉的三角形为△A′B′C′，之后再移开硬纸板，此时要求学生探究线段OA与OA′之间的`关系?∠AOA′与∠BOB′之间的关系?△ABC与△A′B′C′的形状与大小有什么关系?由于学生是在自主动手之后再进行度量探究的，所以中间可能会存在一定误差，很多学生会对探究结论产生怀疑。为了解决这一问题，教师可以利用电子白板与几何画板软件，在课堂上进行演示，先是用三角形工具构造一个三角形△ABC，再画出一个点O，将△ABC围绕点O旋转任意角度得出另外一个三角形△A′B′C′，之后借助度量工具将线段长度和角的度数度量出来，最后引导学生观察比较，对旋转的性质进行总结归纳，最后达到预期的教学目标。
二、精确绘制几何图形，充分展示几何内涵
由于几何画板所做出的图形具有很强的动态性，并且能够在运动过程中保持几何各个要素之间的精确关系，并且对数学知识和本质内涵进行精确的表达，所以教师要不断提高自身的信息技术素养，善于运用信息技术实施教学，全面提高课堂教学效率。例如，在教学二次函数时，在传统教学中，教师为了让学生掌握二次函数的顶点、开口方向、对称轴等要素的变化，需要黑板上画出抛物线的图像，并进行理论方面的讲解，还要画出各种不同的交叉图形。但是由于图形的抽象性和静态化，使得学生不能很好的理解与消化。此时，如果借助多媒体技术进行演示，则可以化抽象为形象，化静态为动态，用动态图形将抛物线形状随着系数的变化而变化的情况清晰呈现出来，从而降低知识的难度。同时，还可以让学生自主操作，这样不但可以激发学生浓厚的学习兴趣，而且可以开发学生的智力，让学生经历知识的形成过程，加深学生对知识的印象，提高学生对数学知识的应用能力。
三、引入数形结合思想，培养学生的空间想象能力
我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”数形结合思想是一种非常重要的学习思想，在众多数学思想方法中，数形结合为重中之重，无论在函数部分还是几何部分都有着非常重要的体现。在传统教学中，教师往往利用黑板作图法实施数形结合思想的导入，但是黑板作图呆板无趣，难以激发学生的学习兴趣。所以在信息技术背景下，教师可以运用几何画板，为学生提供充分展示数形结合思想的平台，让学生产生耳目一新之感。运用几何画板，可以测量各种数值，展示各种函数运算。当图形发生变化时，可以将与之相对应的数据展现在学生面前，这样的教学方法所取得的效果是传统教学模式无法比拟的。借助几何画板可以为数形结合思想提供便捷通道，不但能够绘制图形，还能提供动画模型，为图形的变化增加动感因素，增强知识的直观性和形象性，便于学生找到解决方法的有效途径。例如，在解决“二次函数y=ax2+bx+c的图像”的问题时，教师可以借助几何画板向学生说明y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k等函数图像之间的关系，帮助学生顺利解决疑惑与问题。
四、加强数学实验教学，鼓励学生自主研究
几何画板是一种简单易学的操作软件，教师可以利用空闲时间教会学生使用几何画板，让学生在课堂上自己动手操作，并在操作过程中观察、发现、感受、验证，促使学生在“做中学”，以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率。为此，教师要积极打造适合进行实验的环境，加强数学实验教学，引导学生参与其中，激发学生的自主意识，提高学生的实践能力。在现行数学教材中，几乎每个章节都设置了数学实验，而数学实验则需要学生充分发挥自身的主观能动性，提高自身的动手能力。例如，先用几何画板画出一个任意三角形，再画出三角形的三条中线，并说出其中的规律，之后再拖动三角形其中一个顶点随意改变三角形的形状，看看这个规律是否发生改变。通过自主动手探究的过程，可以激发学生的自主意识，提高学生的观察能力和总结能力，让学生在研究过程中找到乐趣，树立学生的自信心，满足学生的成就感。总之，作为初中数学教师，必须要从思想上认识到几何画板的优势和作用，并熟练掌握几何画板的操作应用，根据数学教学内容的实际需要和学生的实际情况，合理有效地应用几何画板，提高初中数学教学的效果，促进学生更好地掌握和应用所学的数学知识，实现课堂教学目标。
参考文献：
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关键词：几何画板；特点；教学运用
在中学阶段，数学教学中最有效最直观的教学软件就要数“几何画板”了。在《义务教育数学课程标准》中就多次提到“几何画板”的使用：七年级利用它：（1）探索两直线的位置关系；（2）画图找规律。八年级利用它：（1）画函数图象；（2）探索轴对称的性质；（3）探索反比例函数的性质。九年级利用它：（1）探索旋转的性质；（2）探索二次函数的性质；（3）探索位似的性质。我在教学中通过使用“几何画板”，感受到它有独特的魅力，“几何画板”在课堂上的合理运用使数学教学不再死板、生硬，课堂教学与学生的心情也随着它开始舞动。
一、“几何画板”的特点
1.“几何画板”最大的特点是“动态性”
可以用鼠标拖动图形上的点、线、圆等基本元素，还能保持事先给定的几何关系不变。
2.“几何画板”能创造一个探索几何图形内在关系的环境
学生可以任意拖动图形来观察图形并进行猜测和验证。从这个意义上说“几何画板”不仅应成为教师教学的工具，更应该成为学生有力的认知工具。
二、“几何画板”在教学中的运用
1.运用“几何画板”将抽象的数学概念形象化
概念教学是重要的，也是困难的。运用“几何画板”来创设教学情境，有助于学生理解抽象的数学概念。例如，在讲授“旋转”的情境引入时，可用“几何画板”制作会转的大风车和大风车的形成动画。漂亮动感的大风车和形成动画，立刻就会吸引全班学生的注意，学生根据风车风轮的叶片在旋轉中不断重合的现象，很快就理解了“旋转”的定义，以及旋转中心、旋转角度等概念。还可以观察、验证旋转的性质。
2.运用“几何画板”将数与形有机结合在一起
函数的图象，一直是初中数学教学中的重点也是难点。学生在学过函数的图象后，很难理解函数解析式与函数图象的对应关系。运用“几何画板”就很容易解决。例如，在教学“二次函数的图象及其性质”时，教师先用“几何画板”制作好二次函数“y=ax2+bx+c”的课件（见图一），设置a、b、c三个参数的值，再计算b2-4ac和-b/2a的值，拖动a、b、c，观察二次函数图象的变化情况，再拖动二次函数的图象观察以上各值变化。学生从中可以直接概括出二次函数图象中：开口方向、开口大小与系数a的关系；对称轴与-b/2a的关系；常数c和b2-4ac与函数图象和坐标轴交点的关系，以及函数图象所经过的象限与参数a、b、c之间的关系。
3.运用“几何画板”将“动的”真的“动”起来
几何中，经常会出现“任意一点”“任意一条直线”“任意一个三角形”等，这些要在黑板上表现出来是很困难的，运用“几何画板”的动态特点，就可以很形象地表现出来。例如，运用“几何画板”验证三角形内角和等于180°（见图二）。先画一个三角形，用测量工具测出每个内角，计算内角和。然后拖动三角形改变三角形的形状，让它变成各种三角形，学生会发现无论怎样拖动三角形，三角形内角和总等于180°。
4.运用“几何画板”搞好研究、探索课教学
研究、探索型课堂教学中，利用“几何画板”使教学结构发生了很大变化。第一，时间和空间上，学生有了支配权。几何画板是学生自主学习、探索性学习的工具，学生可利用它帮助自己研究性学习。第二，提出问题、解决问题以及对某些问题的验证都可以通过“几何画板”迅速而准确地得到解决。借助“几何画板”习题很容易得到了拓展。
当然，计算机演示不能完全代替学生的直观想象，不能代替学生对数学规律的探索。“几何画板”毕竟只是使数学“动”起来的工具，并不是全部，对数学的探索还需要学生自己来完成。但是当我们用“几何画板”如同用粉笔、三角板、圆规一样时，现代技术与传统的数学知识才会完美结合，才能充分体现出现代技术对数学教育的帮助。
我相信“几何画板”会被越来越多的数学老师和学生掌握，它会深入课堂，深入学生。在此抛砖引玉，共同提高。
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