函数概念教学研究论文

摘要：反函数概念是中学数学中的一个难点，本文作者就反函数的教学提出了自己的一些看法。下面是小编整理的《函数概念教学研究论文 (精选3篇)》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

函数概念教学研究论文 篇1：

函数概念教学研究

[摘 要]函数概念是高中数学的核心概念之一.以“对应”为主线展开函数概念教学，能促进学生理解函数概念，掌握函数本质.

[关键词]函数;概念;对应

一、问题的提出

函数作为贯穿高中数学课程的一条主线，其重要性毋庸置疑.函数概念是函数的核心内容，是进一步学习函数的重要基础，但由于其本身的抽象性，被公认为是最难教的概念之一.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“新课标”)的基本理念之一是“把握数学本质，启发思考，改进教学”.教学函数概念时，必须创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握函数概念的本质.

“对应”是函数概念始终保持不变的属性.对应指的是对给定的集合[A]和[B]，如果存在一个关系[f]，对于集合[A]的任意一个元素[a]，根据关系[f]，得到集合[B]中的一个(或多个)元素[b]，那么称这个关系[f]为从[A]到[B]的一个对应.“非空数集”和“单值对应”都不是函数概念始终保持不变的属性.中学数学中的函数是单值函数，且为了降低中学生的学习困难，将函数限定在数集上，其本质仍然是对应.

本文以“对应”为主线，设计函数概念的教学过程，让数学概念的教学回归到数学本质教学中去.

二、教学设计

(一)教学说明

学生在初中已经学过函数定义以及一些简单的函数，对函数有基本的了解.初中函数是“变量说”定义，高中是“对应说”定义，两者的描述方式不同，但本质相同.初中描述的两个变量之间的对应关系，高中强调的是两个数集间元素的对应关系，并用抽象的符号[f]表示.高中函数概念的核心是对应关系，在教学中要围绕“对应”关系展开.

(二)教学目标

新课标要求在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念的作用.了解构成函数的要素，能求简单的定义域.此外，掌握函数的本质，并学会利用函数本质去判断两函数是否相同.

(三)教学过程

根据教材的编排特點，结合教学目标，将本节课的教学流程设计如下.

1. 实际问题驱动，抽象出函数的概念

问题1： 函数在初中已经学过，大家还能回想起初中的函数定义吗?能举几个函数的例子吗?

设计意图：通过回顾初中函数概念，为接下来学习函数概念做好铺垫.此外，让学生自己举例，教师可从中了解学生对函数的理解情况.

问题2： 刚刚同学们列举了一些函数，能讲讲你们是如何判断它们是函数的吗?

设计意图：从学生的判断理由中，教师可以发现学生对函数本质的掌握情况.若学生的理由不恰当，教师可以根据学生对函数的错误理解，适时列举出相应的例子让学生思考，纠正错误，让学生清楚函数的本质——对应，只有当“每一个[x]值都有唯一确定的[y]值与其对应”时，它才是函数.

问题3： 一枚炮弹发射后，经26秒后落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，且炮弹距地面高度[h](单位：m)随时间[t](单位：s)的变化规律是[h=130t-5t2].当炮弹飞行时间为[3 s]时，炮弹距地面高度[h]为多少?[6 s]，[9 s]呢?炮弹距地面的高度[h]是时间[t]的函数吗?

问题4： 近几十年来，大气层中臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，图1中的曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.当臭氧层空洞面积[S=15]时，时间[t]为多少?此时，臭氧层空洞面积[S]是时间[t]的函数吗?

设计意图：当[S=15]时，有3个时间[t]与其对应.此时，通过设置第2问，让学生知道当[y]是[x]的函数时，可以有多个[x]对应同一个[y].

问题5： 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表1中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.令时间为[t]，恩格尔系数为[k]，当恩格尔系数[k=49.9]时，时间[t]为多少?此时，系数[k]是时间[t]的函数吗?反过来，时间[t]是系数[k]的函数吗?

设计意图：当[k=49.9]时，[t]为1994和1995.通过例2学生知道可以多对一.通过反问，让学生进一步理解函数本质.当[y]是[x]的函数时，同一个[x]不可以对应多个[y].这时教师强调函数关系中数值之间的对应可以“一对一”“多对一”，但不可以“一对多”.

问题6： 刚刚我们在判断两个变量[x]与[y]之间是否构成函数时，我们根据的是每一个[x]值是否有唯一确定的[y]值与其对应.这时，两变量之间有什么关系呢?

设计意图：目的是引出“对应关系”，在上述问题中，变量之间形成一种对应的关系，它们是这样对应：对于[x]的每一个值，按照某种确定的对应关系，[y]都有唯一确定的值与其对应.

问题7： 初中函数概念是从变量角度来描述的，但是随着数学的发展，数学家对函数概念的理解不断深入，函数概念已经不仅仅只能从变量的观点出发.在本章我们学习了集合，是否可以用集合与对应关系的语言来描述这三个函数，将自变量与因变量的取值范围用集合来表示?

设计意图：通过让学生自己用集合与对应关系的语言来描述函数，让学生了解到不同角度的函数概念，两者只是描述方式不同，本质并无区别.

问题8： 刚刚我们用集合与对应关系的语言来描述上述函数，它们之间有什么共同点和不同点?

设计意图：通过分析、归纳概括出它们之间的共同属性，进而抽象出函数概念.

2. 视觉化呈现，理解“对应是函数概念始终保持不变的属性”

一般地，设[A]，[B]为非空的数集，如果按照某种确定的对应关系[f]，使对于集合[A]中的任意一个数[x]，在集合[B]中都有唯一确定的数[f(x)]和它对应，那么就称[f：A→B]为从集合[A]到集合[B]的一个函数.记作[y=f(x)b ，x∈A].其中，[x]叫作自变量，[x]的取值范围[A]叫作函数的定义域.与[x]的值相对应的[y]值叫作函数值，函数值集合[{f(x)x∈A}]叫作函数的值域.显然，值域是集合[B]的子集.

“对应关系[f] ”是数集[A]与数集[B]中元素之间的一种关系，根据对应关系[f]，对于任意一个[x∈A]，都有唯一确定的取值[f(x)∈B]和它对应.对应关系[f]强调的是对应的结果，而不是对应的过程，即对应的建立方式是多种多样的，可以是解析式、图像与表格，甚至解析式也不是唯一的.由于对应关系的表现形式多种多样，统一用符号[f]只是表示对应关系，也可以是[g]、[h]等.函数定义可由图2表示.

设计意图：高中函数定义之所以被公认为教学难点，其中一部分原因是函数定义中大量的非本质属性的概念和符号，使学生对函数概念的形成产生困难.因此，为了凸显出函数的本质——对应，用图2来简单表示函数定义，促进学生理解函数概念，掌握函数本质.

3. 把握函数相等，巩固函数概念

由函数的定义及图2可得，定义域、对应关系和值域构成一个函数，称其为函数的三要素.其中值域由定义域和对应关系确定.因此，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.其中“对应关系完全一致”指的是：相同的[x]值对应相同的[y]值.

4.举例

设计意图：“函数相等”是根据函数三要素来定义的，而函数三要素是函数定义的概括、浓缩，通过“判断两个函数是否相等”能够促进学生对函数概念的理解.由“函數相等”定义可知，定义域和对应关系是决定两个函数是否相等的关键因素.定义域不同，两个函数一定不相等，学生对于这一点掌握得较好.需要重点掌握的是对应关系，不少学生存在经验性的解析式认知，把解析式等同于对应关系.解析式相同，对应关系一定相同，但是解析式不同，对应关系也可能相同.运用函数相等，让学生进一步认识到对应关系强调的是对应的结果，而不是对应的过程.不管两个函数的表达形式如何，只要数值间的对应是相同的，那么这两个函数的对应关系就相同.

5. 设计说明

本文紧紧围绕函数的本质“对应”展开教学.首先回顾初中函数概念，并通过让学生在判断函数的过程中，一步一步地让学生知道中学函数的本质——对应，以及对应的类型是“一对一”“多对一”，但不可以“一对多”或“多对多”;接着让学生用集合与对应关系的语言来描述函数，初步接触高中函数概念的描述方法，分析归纳出函数概念的共同属性，形成完整的函数概念;然后借助图2来表达抽象的函数定义，以帮助学生理解函数描述的是数集间元素的对应关系.

最后，在“函数相等”中，进一步体现函数的本质，让学生清楚函数的本质是解题的关键，与函数的表示方法无关.由此让学生理解“对应”才是函数概念始终保持不变的属性.

(责任编辑 黄桂坚)

作者：顾思敏 廖运章

函数概念教学研究论文 篇2：

基于反函数概念的教学研究

摘 要： 反函数概念是中学数学中的一个难点，本文作者就反函数的教学提出了自己的一些看法。

关键词： 反函数 概念 教学设计

学生普遍对反函数一节的理解和灵活运用上存在一定困难，根据学生反映出的情况，我对反函数一节中的教学内容提出一些建议.

我认为教学重点应该放在：反函数概念、求法、图像关系，并基于图像来理解.教学难点主要有：①f(a)=b?圳f(b)=a的应用;②复合函数的有关问题.

一、定义的内涵

1.定义讲完后，提出问题“任何函数都存在反函数吗?”进而启发、诱导学生得出反函数存在的条件：确定函数的映射f:A→B是从定义域A到值域B的一一映射，则函数f(x)存在反函数.

逆映射：f:A→B所确定的函数y=f(x)，x∈B，y∈A，叫y=f(x)的反函数，f(a)=b?圳f(b)=a.

2.进一步提供了反函数存在性的判断方法：

①代数法：x≠x?圯y≠y即≠0(x≠x).

②几何法：图像上任两点连线不平行于x轴，也不与x轴重合.

例如：y=，y=，y=x+，y=+x等.

(反函数的常规解法及步骤，重要条件在此不述了.)

二、互为反函数的两个函数y=f(x)与y=f(x)的关系

在这里要让学生搞清x=f(x)，y=f(x)，y=f(x)三者之间函数图像关系.

三、特例

反函数图像自身关于直线y=x对称，函数自身定义域等于值域，在解一些有关此类函数题时，可以应用.(如下表)

例1.若函数y=(a≠)的图像关于直线y=x对称，则a=?摇?摇?摇?摇.

解：依题意，y=(a≠)的反函数是其本身，则定义域A与值域C相同.

∵A={x|x≠-}，C={y|y≠}且A=C,

∴-=,得a=-5.

四、复合函数的反函数

y=f(ax+b)的反函数y=;

y=f(ax+b)的反函数y=.

例3.设函数f(x)=，函数g(x)的图像与y=f(x+1)的图像关于直线y=x对称，则g(1)=?摇?摇?摇?摇.

五、常用结论

1.一个函数y=f(x)在定义域A上存在反函数是这个函数在A上单调的必要非充分条件.

2.若函数y=f(x)在定义域A上单调，则y=f(x)一定存在反函数y=f(x)，且y=f(x)在其定义域B上具有相同单调性.(A、B不一定相同)

3.f[f(x)]=x(x∈C); f[f(x)]=x(x∈A).

4.若一个奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数.(若补充了“奇偶性”，可讲此点.)

5.若函数y=f(x)与其反函数y=f(x)的公共点不一定都在y=x直线上.

六、补充练习

1.函数y=f(x)的反函数y=f(x)的图像与y轴交点于P(0,2)，则方程f(x)=0在[1，4]上的根是x=?摇?摇?摇?摇.

2.函数f(x)=log(x+b)(a>1,a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a+b等于?摇?摇?摇?摇.

3.函数f(x)=x-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是()

A.a∈(-∞，1]B.a∈(2,+∞)

C.a∈[1，2] D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)

4.已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0，f(x)=3-1，设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=?摇?摇?摇?摇.

5.f(x)是函数f(x)=(a-a)(a>1)的反函数，则使f(x)>1成立的x的取值范围是()

A.,+∞ B.-∞,C.,aD.[a,+∞)

补充练习答案：

1.x=2

2.a+b=4

3.D

4.x=-2

5.A

参考文献：

[1]乔治.波利亚.数学的发现.科学出版社，2006.7，第一版.

[2]张雄等.数学方法论与解题学研究.高等教育出版社，2003.8，第一版.

[3]余元希等.初等代数研究.高等教育出版社,1988年版1999年12次印刷.

基金项目：西安文理学院教改立项《幼儿教师数学文化观念的调查分析与应对侧略》(2010C202)。

作者：闫成海

函数概念教学研究论文 篇3：

浅谈对数学概念教学的探索

数学概念的教学研究是数学教育的重要组成部分，数学概念是数学知识中最基本的内容，是数学认识结构的重要组成部分，一切数学思维都以数学概念为基础，凭借数学概念来进行。作为数学教师，应如何开展概念教学呢?

一、掌握由具体到抽象转变的教学节奏

数学概念有抽象性和具体性双重特点，由于反映了数学对象的本质属性，所以是抽象的，数学概念往往用特定的数学符号表示，这在简明的同时又增大了抽象程度，同时数学概念又有具体性的一面。比如，点、线、面的教学应先让学生从具体事物中对概念有所体会，笔尖在纸上点一下得到的痕迹是点的形象、拉紧的绳子得到直线的形象、平静的湖面得到平面的形象，这属于基础，必须掌握，然后再把数学概念与日常生活中的概念加以区别。再比如，在方程的教学中可以先给出实际问题，让学生找出其中的等量关系，得出方程，再明确该类方程的定义，在探索知识的过程中达到理解的目的，使学生更容易接受概念。

二、牢记数学符号并正确使用数学符号

充分揭示一个概念的内涵，就是指揭示基本内涵的重要的、常用的等价形式，这是学生内化知识的一种方法。比如，对于平行四边形的概念，除了定义以外，“两组对边分别相等的四边形”“两组对角分别相等的四边形”“一组对边平行且相等的四边形”“两条对角线互相平分的四边形”这些等价形式，都揭示了平行四边形的本质属性。再比如，对于一次函数的概念，在教学过程中应强调y=kx+b只是定义的一种表现形式，当采用不同字母时，也是一次函数，若不能理解这一点，就不能算真正理解了一次函数的概念。

三、渗透逻辑知识，促进概念的内化

中学数学教师应该将逻辑知识渗透到概念教学之中。例如，各种特殊四边形概念的建立就需要渗透逻辑知识，在四边形概念的基础上定义平行四边形时，应该让学生懂得平行四边形是四边形的特例，它具有一般四边形的一切性质，此外还具有特有的性质——两组对边分别平行，再用韦恩图表示出这两个概念之间的关系，那么不仅能使学生理解平行四边形的概念，防止仅形式地记住定义，而且容易用同样的方法建立起各种特殊四边形的概念，这就促进了新概念在学生头脑中的内化。当各种特殊四边形的概念都建立起来以后，还可以把它们综合在一起，用韦恩图表示出四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形等概念间的逻辑关系，从而使学生对这些概念的理解更深入更系统。

四、重视概念的形成，注意设计多种教学方案

概念形成的过程是从大量具体例子出发，根据实际经验，分化出各种属性，类化出共同属性，以归纳的方法抽象出本质属性，再概括到一类事物中，从而形成概念。概念形成的学习形式接近于人类自发形成概念，在教学过程中，学生掌握概念不必经历概念形成的较长过程，可以在教师指导下进行。例如，在学习直线与直线的位置关系时，可以让学生观察实例，回顾把几根杆子立直的生活经验，观察铁轨等，让学生尝试描述其本质属性。如果学生回答不正确，教师不能简单地加以否定，应在讨论中引导学生逐步向本质属性靠拢，最后得出准确定义;如果学生较早地回答出正确结果，教师也可暂时不加以肯定，而是让学生来判断，并可有意提出错误答案让大家辨别，当学生能说出其错误所在之后，教师才给出结论，由于这种教学容易受到突发状况的影响，所以教师在课前需要进行多种考虑，设计出多种可能的教学方案。这种概念教学的形式虽然比较费时，但可以使教学过程生动活泼，加深学生对知识的理解和掌握。

五、揭示定义的合理性，加强对概念的理解

在教学中，教师应充分揭示定义的合理性。例如三角函数概念的引入，这相对于学生以往接触的函数，有其特别之处，除了自变量是角以外，学生常容易困惑的是，如何在角的终边上任取一点P?解决这个教学难点的关键就在于揭示定义的合理性，即这四个比值都不随角的终边上P点选取的不同而变化，达到这个理解层面，就可以攻破难点了。对于由概念的推广引入的新概念，都存在揭示定义合理性的问题。一个数学概念在数学发展的一定阶段，其内涵与外延都是确定的，但是在不同的阶段它的内涵与外延又是发展的。例如指数概念的教学，从正整数指数，扩充到零指数和负整数指数，整数指数进一步发展，扩充到分数指数，发展到有理数指数，每一步推广都存在合理性问题，即新概念完全包含了旧概念作为它的特殊情况并使幂的运算法则仍适用，所以随着概念教学的深化，层次的明确有利于学生掌握并熟练使用。

以上只是我在教学过程中总结积累的几点经验，中学数学概念教学还在尝试探索阶段，需要进一步提高，很多方面还有待于寻找更好的方法，作为数学教师，我会继续探索如何更好地进行概念教学。

(责任编辑 冯 璐)

作者：于莉