小结函数对称性

小结函数对称性（精选12篇）

小结函数对称性 篇1

数学组

刘宏博

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）

(B)是偶函数，但不是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

小结函数对称性 篇2

首先，让我们一起看看二次函数对称性的探究过程．

先看:f(x)=ax2(a≠0)关于y轴对称(这是因为它是偶函数)．

再看:f(x)=a(x-x0)2+h(a≠0)根据函数平移规律易知该函数的图象关于直线x=x0对称．

下面我们利用这种方法探究三次函数的对称性!

先看三次函数f(x)=ax3+px(a≠0)，它的对称中心是点O(0,0)(这是因为它是奇函数)．

再看函数f(x)=a(x-x0)3+p(x-x0)+h(a≠0)，显然它的图象关于点(x0,h)呈中心对称．

对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是否有对称中心，主要是看它是否能化成f(x)=a(x-x0)3+p(x-x0)+h(a≠0)的形式．下面令:ax3+bx2+cx+d=a(x-x0)3+p(x-x0)+h，等号右面展开易得:

下面对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)关于点中心对称我们可以给出证明．

探究函数的对称性 篇3

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a ,b）对称的充要条件是

f （x）+ f （2a－x）=2b

证明：（必要性）设点P（x ,y）是y= f （x）图像上任一点，∵点P（x,y）关于点A（a ,b）的对称点P′（2a－x，2b－y）也在y = f （x）图像上，∴ 2b－y = f （2a－x）

即y + f（2a－x）=2b故f（x） +f （2a－x） = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P（x0,y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0 =f（x0）

∵f（x）+f（2a－x）=2b∴f（x0）+f（2a－x0）=2b，即2b－y0=f（2a－x0）。故点P′（2a－x0，2b－y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P′关于点A（a ,b）对称，充分性得征。

推论：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（－x）=0

定理2.函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是

f（a +x）=f（a－x）即f（x）=f（2a－x）（证明留给读者）

推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（－x）

定理3.①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a ,c）和点B（b ,c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

②若函数y=f（x） 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

③若函数y=f（x）图像既关于点A（a ,c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4a-b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f（x）图像既关于点A(a ,c)成中心对称，

∴ f（x）+f（2a－x）=2c，用2b－x代x得：

f（2b－x）+f［2a－（2b－x）］=2c………………（*）

又∵函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，

∴ f（2b－x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c－f［2（a－b）+x］…………（**），用2（a－b）－x代x得:

f［2（a－b）+x］=2c－f [4(a－b)+x]代入（**）得：

f（x）=f ［4（a－b）+x］,故y=f（x）是周期函数，且4a-b是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4. 函数y =f （x）与y=2b－f （2a－x）的图像关于点A （a ,b）成中心对称。

定理5.①函数y=f （x）与y=f （2a－x）的图像关于直线x =a成轴对称。

②函数y=f （x）与a－x=f （a－y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f （x）与x－a=f （y + a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

設点P（x0 ,y0）是y= f （x）图像上任一点，则y0=f（x0）。记点P（x ,y）关于直线x－y=a的轴对称点为P′（x1， y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1 ,y0=x1－a代入y0=f（x0）之中得x1－a=f（a+y1）∴点P′（x1， y1）在函数x－a=f（y+a）的图像上。

同理可证：函数x－a=f（y+a）的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5－x）=f（5+x）,则f（x）一定是（ ）

（A）是偶函数，也是周期函数

（B）是偶函数，但不是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数

（D）是奇函数，但不是周期函数

解：∵f （10+x）为偶函数，∴ f （10+x） =f （10－x）.

∴ f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f （x）是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f （x）的对称轴，因此f （x）还是一个偶函数。

故选（A）

例2：设定义域为R的函数y = f （x）、y = g（x）都有反函数，并且f（x－1）和g-1（x－2）函数的图像关于直线y = x对称，若g（5） = 1999，那么f（4）=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f （x－1）和y = g-1（x－2）函数的图像关于直线y=x对称，

∴y = g-1（x－2） 反函数是y=f （x－1），而y=g-1（x－2）的反函数是:y=2+g（x）,∴f （x－1）=2+g（x）,∴有f （5－1）=2+g（5）=2001

故f （4）=2001,应选（C）

小结函数对称性 篇4

基础

（一）二次函数的顶点坐标、对称轴及增减性

1、对称轴是直线x2的抛物线是（）

2A.yxB.yx2

C.y122y4x2x2 2

D.2、将抛物线yx21先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数关系式是（）

2yx2

2A、3、二次函数

B、2yx22C、yx22

2D、yx222

yx12的最小值是（）

A、2

B、1

C、-1

D、-2

4、二次函数y2x24x5当x=

时，y有最小值为

；若y随x的增大而减小，则x的范围为。

22yxxyx3x2的图像，5、将函数的图像向右平移a（a＞0）个单位，得到函数则a的值为（）

A、1

B、2

C、3

D、4 2yax4axb过点A（0,1）

6、二次函数，A，B关于对称轴对称，则B点坐标为

。2yx7、把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

yx1A、C、B、D、2yx13yx1322 yx1

328、把二次函数yx12的图像绕原点旋转180°后得到的图像解析式为。

9、把二次函数yax2bxca0的图像如图所示，对称轴为

x12，下列结论中，正确的是（）

A、abc＞0

B、ab0

C、2bc＞0

D、4a+c＜2b yaxbxca0

10、已知二次函数的图像如图所示，下列说法错误的是（）A、图像关于直线x=1对称

B、函数yax2bxca0的最小值是-4 的两个根

C、-1和3是方程ax2bxc0c0

集合与函数概念小结复习18 篇5

为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.推进新课 新知探究 提出问题

①第一节是集合，分为几部分？ ②第二节是函数，分为几部分？

③第三节是函数的基本性质，分为几部分？ ④画出本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1 应用示例

例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A.P∩Q= B.PQ

C.P=Q

D.PQ

点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练

1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是（）A.M=P

B.PM

C.MP

D.M∩P=R

2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于（）A.A∩B

B.A∪B

C.A

D.B 点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.例2求函数y=x2+1的最小值.分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值； 思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.点评：求函数最值的方法：

观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或x时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,x≥0等，直接观察写出函数的最值；

公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.例3求函数y=3x的最大值和最小值.2x4分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.ax2bxc点评：形如函数y=2(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判dxcxf别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组n24mk0,此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大m0.值和最小值.例42007河南开封一模，文10函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=f(x)在区间（1，+∞）上一定（）xA.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值.变式训练

求函数f(x)=x-1的单调区间.点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)2

有相同的单调性时，函数y=f［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.例5集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若BA，则实数m＝________.黑色陷阱：本题任意忽视B=的情况，导致出现错误m=-1,问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.变式训练

1.避免此类错误的方法是考虑4x20已知集合A={x|}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围.5x0

点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；

要重视常见结论A∩B=BA∪B=ABA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.例6求函数y=x+4,x∈［1,3］的最大值和最小值.x分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性.点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b］上是减函数，在区间［b,c］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b］上是增函数，在区间［b,c］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.例7求函数y=x4+2x2-2的最小值.点评：求形如函数y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+bxc(ab≠0)的最值时，常用设xm=t或bxc=t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.例82007江西金太阳全国第二次大联考，理22定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f（xy).1xy(1)求证：函数f(x)是奇函数；

(2)若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练

1.2006陕西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于（）A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{1,2}

D.{2} 2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则等于（）A. B.{2,4,7,8}

C.{1,3,5,6}

D.{2,4,6,8} 3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x.（1）求f（x）；

（2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.课堂小结

本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.作业

高中数学反三角函数的公式小结 篇6

反三角函数主要是三个：

y＝arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 其他公式:

三角函数其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x

当x∈[0,π],arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

利用对称性,巧解函数题 篇7

一、巧用正比例函数与反比例函数的对称性

1. 求特殊关系点的坐标

例1如图1, 直线y=mx与双曲线y=k/x的一个交点A的坐标是 (3, 1) , 则它们的另一个交点B的坐标是 () .

A. (1, 3) B. (-1, -3)

C. (-3, -1) D. (-2, -3)

【解析】本题一般可以采用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的解析式, 然后再求出两函数图像的交点. 但如果能够利用反比例函数和正比例函数都是中心对称图形, A、B两点以原点 (0, 0) 为对称中心, 那么B点坐标便容易求出.故本题选C.

2. 求特殊图形的面积

例2如图2, 正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点.分别以A、B两点为圆心, 画出与y轴相切的两个圆.若点A的坐标为 (1, 2) , 则图中两个阴影部分面积的和是_______.

【解析】分别求两个阴影部分面积显然不可行. 由于正比例函数与反比例函数图像都关于原点对称, 可知A、B两点关于原点对称. 从而⊙A与⊙B也关于原点对称, 故阴影部分面积和等于⊙A (或⊙B) 的面积.⊙A与y轴相切, 则⊙A的半径为1.故阴影部分的面积和等于π×12=π.

3. 求代数式的值

例3 如图3, 直线y=kx (k>0) 与双曲线y=4/x交于A (x1, y1) 、B (x2, y2) 两点, 则2x1y2-7x2y1的值等于_______.

【解析】通过上面例子, 大家肯定会发现本题如利用对称性解会更简单. 由中心对称性知A、B两点关于原点对称, 则x1=-x2, y1=-y2.

∵A、B两点在双曲线上,

∴x1y1=4, x2y2=4,

∴2x1y2-7x2y1=-2x1y1+7x2y2

=-2×4+7×4=20.

二、巧用反比例函数y=k/x图像的对称性

例4如图4所示的是反比例函数y=1/x与y=-1/x的图像, 以及半径为2的圆 (圆心为O) , 则图中阴影部分的面积和等于_______.

【解析】分别求各个阴影部分的面积显然不可行.由y=1/x与y=-1/x的图像的“轴对称性”及圆的对称性可得:S1=S3=S5=S7, S2=S4=S6=S8.因此阴影部分的面积和等于⊙O面积的一半, 即S阴影=1/2×π×22=2π.

三、巧用二次函数的对称性

1. 利用抛物线的对称性比较函数值的大小

例5小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图像上, 依横坐标找到三点 (-1, y1) , (0.5, y2) , (-3.5, y3) , 你认为y1, y2, y3的大小关系应为 () .

A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1

C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1

【解析】本题可以把x的值代入函数求出对应的y的值, 但这样计算量会很大, 如果能够利用二次函数的对称性本题就会省去很多的计算过程了. 由题可知该抛物线的对称轴为x=-1, 所以x=0.5时的函数值与x=-2.5时的函数值相等, 再利用二次函数的增减性可得出y3>y2>y1.故选D.

2. 利用抛物线的对称性求抛物线的对称轴和与x轴的交点坐标

例6 下表是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的函数值y与自变量x的对应值.

(1) 找出抛物线上关于对称轴对称的两点_______、_______.

(2) 写出抛物线的对称轴_______, 抛物线与x轴的交点坐标是_______.

【解析】本题的常规做法是先求出解析式, 然后解出抛物线与x轴的交点, 并求出其对称轴. 但若能掌握抛物线是轴对称图形, 由表中当x=-3和x=5时的函数值都是7, 可知这两点的连线平行于x轴, 故被对称轴垂直平分, 所以这两点关于对称轴对称, 从而得出抛物线的对称轴为x=1. 再由当x=-2时y=0可知抛物线与x轴的另一个交点为 (4, 0) .

3. 利用抛物线的对称性求最短距离

例7如图5, 抛物线y=0.5x2+bx-2与x轴交于A, B两点, 与y轴交于C点, 顶点为D, 且A (-1, 0) .若点M是对称轴上的一个动点, 当MC+MA的值最小时, 求M点的坐标.

【解析】本题若按题意可先来解出抛物线解析式, 并求出其对称轴, 然后设出点M的纵坐标, 利用勾股定理表示出MC和MA的长, 最后利用二次函数求最大 (小) 值的方法求出对应的M点的坐标. 但若利用抛物线的对称性可知, 由于点M在对称轴上, 所以MA=MB.本题就转化为求MC+MB的最小值了, 那么求出直线BC的解析式再代入对称轴的横坐标即可.

试论高中数学函数的对称性教学 篇8

关键词：函数；对称性；思维能力

高中函数的学习其中包含：正反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、对数函数等。从许多经验来看复合函数就是将所有基本函数放在一起的函数，这种复合函数是高考的必考内容，所以由此看来高中数学中函数的教学尤为重要。由于高中数学函数的对称性教学有一定的难度，并且学生学习起来也比较困难，这就要求高中数学教师要对函数的对称性进行充分的诠释。这种教学方式不仅仅能够帮助学生对函数的理解，还能够提高高中生的解题效率。高中函数的對称性教学的策略有：

一、引入理论知识时，应当注重其趣味性

一切活动的开展我们都不能忽视理论的作用，所以教师要在教学过程中对理论知识的讲解首先要清晰明确，不能用含糊不清的内容误导学生，而且严格要求学生对理论知识的掌握，教师也一定要将函数自身以及函数之间的对称性梳理清楚，重点讲解函数学习中的重难点知识，并注意将这些基本理论知识牢固扎在学生的脑海中。但是也不是要求教师机械地灌输这些理论知识，因为本身高中函数的学习就是一件比较困难，也是一件比较枯燥的事情，如果教师只是一味地将理论传授给学生，这种方式不一定会带来很好的学习效果，反而会降低学生的学习兴趣。所以在教学过程中教师要充分了解学生比较感兴趣的话题，引起学生的注意，并且将理论知识结合实际生活中的案例进行讲解。在引入知识时，教师应结合现实生活中的案例或者事物进行教学，这样就可以使得学生的学习兴趣有所提高。例如，在教学函数的单调性时，可以引入一首诗歌：

勤学似春起之苗，不见其增，日有所长；

辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。

大家知道这是一首文学诗，主要告诉我们要坚持学习，我们现在要从一个数学的角度来分析这首诗歌，日有所长就是随着日子的变化不断增加；日有所亏就是随着日子的变化不断减少。我们就这个知识点来讲，有没有见过这样的函数，随着自变量的增加，函数值在不断增加，随着自变量的增加，函数值在不断减小呢？分析这个例子我们可以结合语文诗歌的内容将数学学科相结合起来，不仅能调动学生的学习积极性，同时也能从语文的角度提升学生对相关概念的理解。这样不仅能够加深学生对理论知识的记忆力，还能激发学生学习函数的兴趣。

二、区分函数对称性的重难点内容，重点突破难点知识

在教学过程教师要充分尊重学生的想法，经常和学生交流心得体会，使教师能够根据学生的学习习惯进行教学，但是高中函数学习中难度非常大，这就要求教师能够准确把握教学过程中函数对称性的重难点内容，并且将难点内容重点突破。教师可以设置一些专题讲解或者根据了解到学生学习信息制定一个比较全面的教学方案，针对部分学生的部分问题进行教学方法的分析，这样可以大大提高教师的教学水平和教学效果。

三、开发学生的思维能力

高中数学需要培养学生更加活跃的思维能力，所以在高中数学教学过程中，教师要注重培养学生的思维能力、自主学习的能力，能够经过教师的提点引导学生建立一套具有自己思维特点的体系。在学生自己的大脑里面呈现出对高中函数对称性知识的系统思维，能够帮助学生在学习过程中对其他类型的函数的理解，起到举一反三的效果。教师具体需要做的工作就是将学生按照相互之间的差异性进行分组，然后将函数图片分发给每个小组，让每个小组根据自己手中的图片分辨出哪些函数是具有对称性的，并且试着将函数式列出来，整个过程中能够培养学生独立自主的学习能力，引导学生独立思考。例如，假设函数y=f（x）是定义在函数A上的偶函数，并且f（1+x）等于f（1-x），当x为大于等于-1小于等于0时，f（x）=-x，求f（8，6）的值，此时教师可以先给学生一点点提示，根据已知条件我们可以得知，在定义A中是偶函数，所以，x=0是y=f（x）的对称轴，学生就可以根据教师所提示的进行解题。这样可以锻炼学生自主思考的能力。

综上所述，高中数学函数的对称性教学贯穿整个高中数学学习，由此可见，这种教学思路是非常重要的，所以高中数学教师要充分重视函数教学的对称性。函数对称性教学能够帮助学生在理解各种类型函数的时候降低难度，这样才能使学生提高解题能力。

参考文献：

包秀芝.试论对抽象函数的性质教学体会[J].读写算：教育教学研究，2014，13（36）：140.

小结函数对称性 篇9

【关键词】高中数学函数对称性

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A【文章编号】1674-4772(2014)06-029-01

一、分析学生知识结构，恰当引入课题

在做高中数学函数教学时，提前要了解学生的兴趣爱好，以学生的兴趣爱好为课堂的切入点，把学生的兴趣爱好和函数对称性这部分的教学内容相结合，从而进行课题导入，比如：以学生比较熟悉的生活或者平时的爱好入手，这样有利于拉近学生与函数知识之间的距离，更有利于激发学生的学习热情、以及主动学习的主观能动性，这样恰当的教学情境设置，活跃了课堂氛围，增添了课堂活力，如下例;

老师：在我们的生活中，“对称”的东西随处可见，接下来有请同学们充分发挥你们的想象力，举出你们生活中对称的例子：

学生1：飞机、风筝。

学生2：等腰梯形、汽车、民间剪纸……

老师：对称是紧密联系生活的，在生活中到处可见，而对称在数学领域中也涉及的较多，学习好对称对以后的生活有很大意义，本节课，我们就围绕数学中函数的对称性展开。

二、明确重点和难点，层层深入讲解

在教学中明确重难点，有助于教师在教学中对知识的讲解，对学生学习和掌握知识有针对性；明确重难点，也有助于集中学生的注意力，对新知识的掌握，让学生认真思考，从而提高学习效率，比如：在对高中数学函数的对称性的教学过程中，结合这一部分的重难点，函数的奇偶性、几何意义进行讲解。

三、培养数学思维，提高解题能力

新课程改革的理念中强调，要注重培养学生的思维能力的发展，在对数学函数对称性教学中，可以将抽象概括、归纳总结、观察对比等学习方法运用于其中，从而提高学生的数学思维能力。

例如：在对函数对称性部分的教学中，老师可以提前准备好多组函数图象，把学生分成多个小组，让每一个小组选择一组图象进行观察，找出图象的共同处与不同处。这样为学生创造独立思考的机会，能最大限度地发挥学生的主体性，同时也尊重了学生的主体地位，锻炼了学生的思维能力，也有利于激发学生对数学的学习积极性，从而取得良好的教学效果。在学生观察图象的过程中，有利于学生对函数知识的深度理解，这一方法在高中数学函数对称性中具有重要作用。

四、增加师生、生生交流，取长补短

在教学中让学生融入课堂是教学的重要部分，所以在数学函数教学中，教师要鼓励学生积极发言，多组织小组讨论，增加学生和学生之间、学生和老师之间的交流互动，相互学习，增加课堂交流有助于构建平等和谐，充满活力的课堂学习氛围，也有助于学生的探索能力的发展，通过对一部分学生的调查，学生通过自我探索获取的知识往往记忆更加深刻，不那么容易忘记，保持的时间也更长久，所以通过课堂交流，调动学生的探索能力，对数学函数的学生效果也会得到进一步的提高。在数学函数对称性的教学实践中，在讲授函数的奇偶性时，教师可以先利用黑板，对函数的奇偶性进行归纳，接下来让学生带着奇偶性概念去思索奇函数的概念或者偶函数的概念。在课堂上老师把握好学生主体地位的同时，还需要适时地对知识点进行合理的引导点播，对学生的逻辑思维方向做好把控，让学生始终处在正确的思维方法中，以便让学生的思维方式严谨、有成效。

五、选好典型例题，对教学内容进行归纳总结

典型例题一般的含有多个知识点，或者包含一个知识学习的重点或者难点，在知识掌握中具有很强的代表性，学生如果对典型例题能熟练的解答，那么在做练习题的时候，就容易通过典型例题做到举一反三，充分运用典型例题的解题步骤或者技巧，进行自我知识的归纳和总结。通过做典型例题，更有利于学生对数学知识体系的把握，从而发现其中的规律，函数的对称性尤其如此。总之，运用好典型例题，对学生解决问题的能力有很大帮助。此外，老师还需要布置好课后练习，对课后练习内容要精心设计，课后练习内容要坚持以巩固课堂知识为主，又要在此基础上有一定的知识延伸拓展，真正发挥课后练习的效果，最终使学生通过课后练习，巩固课堂知识，以达到掌握知识，实现能力提升的效果。

六、总结

综上所述，面对高中数学函数对称性的教学问题，通过以上的教学环节，从学生的兴趣爱好进入到函数对称性的重难点，再通过观察函数图象和学生的数学思维解决函数中的难题，最后通过教师和学生的相互交流、课后的练习巩固，达到高中数学函数对称性的有效学习。人们常说，做任何事情，要有行之有效的方法，老师的教学何尝不是如此，只有老师在教学中找到了科学的、行之有效的方法后，才能对教学知识进行有效传授，学生接收起来也才会更加轻松。随着教育改革的不断深入，对未来的教学提出了更高的要求，只有不断探索出新的、适合未来发展趋势的教学方式，方能适应未来发展的变化。

[ 参考文献 ]

[1] 王联华. 高中数学教学中函数的对称性教学研究[J]. 成功(教

育),2013,02:44.

[2] 刘佰秋. 函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究[D].东

北师范大学,2012.

[3] 李金莲. 高中数学课程标准与高中数学教学大纲中函数部分

内容设置的比较研究[D].西北师范大学,2007.

[4] 王小杭. 高一学生函数对称性的认知研究[D].华东师范大学,

2008.

例谈高中数学函数对称性的应用 篇10

中学数学的教学应该努力揭示数学概念、法则、结论的形成和发展过程, 揭示人类探索真理的艰辛与反复.要通过典型例题的分析和学生自主探索活动, 使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的经历, 体会蕴含在其中的思想, 体验寻找真理和发现真理的方法, 追寻数学发展的历史足迹.下面笔者将给出一些例题.

例1定义在R上的非常数函数满足:f (10+x) 为偶函数, 且f (5-x) =f (5+x) , 则y=f (x) 一定 () .

A.是偶函数, 也是周期函数

B.是偶函数, 但不是周期函数

C.是奇函数, 也是周期函数

D.是奇函数, 但不是周期函数

解∵f (10+x) 为偶函数, ∴f (10-x) =f (10+x) .

∴y=f (x) 有两条对称轴x=5与x=10, 因此y=f (x) 是以10为其一个周期的周期函数, ∴x=0即y轴也是y=f (x) 的对称轴, 因此y=f (x) 还是一个偶函数.故选A.

变式: (2008江苏南通) 已知函数y=f (x) 是R上的偶函数, 对于x∈R都有f (x+6) =f (x) +f (3) 成立, 且f (-4) =f (x1) -f (x2) -2, 当x1, x2∈[0, 3], 且x1≠x2时, 都有.给出下列命题:

(1) f (2008) =-2;

(2) 函数y=f (x) 图像的一条对称轴为x=-6;

(3) 函数y=f (x) 在[-9, -6]上为减函数;

(4) 方程f (x) =0在[-9, 9]上有4个根.

其中所有正确命题的序号为______.

这道题的正确结果是 (1) (2) (3) (4) , 其中 (2) 和 (4) 都涉及对称性.

练习:

(1) 设函数y=f (x) 是定义在R上的偶函数, 且f (1+x) =f (1-x) , 当-1≤x≤0时, f (x) =-x, 则f (8.6) =_____.

提示∵f (x) 是定义在R上的偶函数, ∴x=0是y=f (x) 的对称轴.

又∵f (1+x) =f (1-x) , ∴x=1也是y=f (x) 的对称轴.故y=f (x) 是以2为周期的周期函数,

(2) 设函数y=f (x) 是定义在R上的奇函数, 且f (x+2) =-f (x) , 当0≤x≤1时, f (x) =x, 则f (7.5) =.

解∵y=f (x) 是定义在R上的奇函数, ∴点 (0, 0) 是其对称中心.

又∵f (x+2) =-f (x) =f (-x) , 即f (1+x) =f (1-x) , ∴直线x=1是y=f (x) 的对称轴, 故y=f (x) 是周期为2的周期函数.

∴f (7.5) =f (8-0.5) =f (-0.5) =-f (0.5) =-0.5.故选B.

通过对以上实例的研究和分析, 笔者发现, 大部分学生动手能力差, 应用意识弱.因此, 在教学实践过程中, 教师应让学生多动手, 在解决问题的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法, 当学生理解并掌握之后, 往往能诱发知识的迁移, 使学生能举一反三、融会贯通地解决函数对称性问题.新教材中内容多, 知识的连贯性不强, 譬如函数的对称性, 需要教师指导学生去学习, 去总结.学生在其他很多方面都有类似的学习困难, 如何让学生能更好地适应高中数学的学习, 我们应根据不同的教学内容采取合适的教学方法, 学生创造反思的机会, 引导学生积极主动地提出问题, 总结经验.着名数学教育家弗赖登塔尔指出:“反思是数学思维活动的核心和动力.”教师应引导学生去反思一些问题, 如:这种解法是怎样想出来的?关键是哪一步?这个方法能推广吗?通过解这个题, 我学到了什么?这种反思能较好地概括思维的本质, 从而上升到数学思想方法上来.同时由于学习的不可代替原则, 教师在积极引导学生进行反思的同时还要善于引导学生学会自己提炼数学思想方法, 帮助学生领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法.笔者将在其他方面作相应的研究.

摘要：新课标苏教版高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性, 但在高考中不乏对函数对称性的考查, 因为教材上对对称性有零散的介绍, 例如二次函数的对称轴, 奇函数、偶函数的对称性, 三角函数的对称性, 因而考查的频率一直比较高.以笔者的经验看, 这方面一直是教学的难点, 尤其是抽象函数的对称性判断.本文拟通过函数对称性的简单总结以及一些应用举例来探讨函数与对称有关的性质.

小结函数对称性 篇11

一、巧借函数的奇偶性, 探究函数的对称性

以上各结论均是借助构造函数, 利用函数的奇偶性, 研究函数f (x) 本身的对称性, 在教学中可以发挥小组的团队作用, 通过小组的合作交流, 大多数问题都是可以自行解决的.

二、借助函数对称性的结论, 继续探究函数的周期性

“高中数学函数对称问题”的探究 篇12

讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

高考题回放：（2005年广东卷I）设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上只有f（1）=f（3）=0

（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数并证明你的结论。

分析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）可得：函数图像既关于x=2对称，又关于x=7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

定理1 函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）

证明（略）

推论 函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）

定理2 函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b

证明（略）

推论 函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0

偶函数、奇函数分别是定理1、定理2的特例。

定理3 ①若函数y=f（x）的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f（x）的图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

③若函数y=f（x）的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4 函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称。

证明：设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a-x0，2b-y0），此点坐标满足y=2b-f（2a-x），显然点P'（2a-x0，2b-y0）在y=2b-f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=2b-f（2a-x）图像上关于点A（a，b）对称的点也在y=f（x）的图像上。

推论 函数y=f（x）与y=-f（-x）的图像关于原点成中心对称。

定理5 函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像關于直线x=a成轴对称。

证明 设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任意一点，则y0=f（x0）。点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P'（2a-x0，y0），显然点P'（2a-x0，y0）在y=f（2a-x）的图像上。

同理可证：y=f（2a-x）图像上关于直线x=a对称的点也在y=f（x）图像上。

推论 函数y=f（x）与y=f（-x）的图像关于直线y轴对称。

定理6 ①函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称。

②函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称。

推论 函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1 定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（ ）

A.是偶函数，也是周期函数 B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数 D.是奇函数，但不是周期函数

解：因为f（10+x）为偶函数，所以f（10+x）= f（10-x）。

所以f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选（A）。

例2 设定义域为R的函数y=f（x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）的函数图像关于直线y=x对称，若g（5）=2002，那么f（4）=（ ）

A.2002 B.2003 C.2004 D.2005

解：因为y=f（x-1）和y=g-1（x-2）的函数图像关于直线y=x对称，所以y=g-1（x-2）的反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函数是y=2+g（x），所以=f（x-1）=2+ g（x），所以有f（5-1）=2+g（5）=2004

故f（4）=2004，应选（C）。

例3 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=- ，则f（8.6）=___________

解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以x=0是y=f（x）的对称轴；

又因为f（1+x）=f（1-x）所以x=1也是y=f（x）的对称轴。故y=f（x）是以2为周期的周期函数，所以f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3

例4 设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图像关于直线x= 对称，则：

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=_____________