二次函数压轴题分类（共10篇）
分类综合专题复习练习
1、如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）点是直线上方抛物线上一点，若，求此时点的坐标．
2、如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，二次函数的图象与轴交于点、点两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接、，若点在线段上运动（不与点、重合），过点作，交于点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）在（2）的结论下，若点在第一象限，且，线段是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．
4、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是抛物线对称轴上的一点连接，求的最小值．
（3）若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，交直线于点，交抛物线于点，连接，当时，请求出的值．
5、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点．
（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；
（2）点在抛物线上，当时，解决下列问题：
①在直线下方的抛物线上求点，使得的面积等于20；
②连接，，作轴于点，若和相似，请直接写出点的坐标．
6、如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为，则它的所有“风车线”可以统一表示为：，即当时，始终等于．
（1）若抛物线与轴交于点，求该抛物线经过点的“风车线”的解析式；
（2）若抛物线可以通过平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为，求该抛物线的解析式；
（3）如图2，直线与直线交于点，抛物线的“风车线”与直线、分别交于、两点，若的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．
7、如图1，已知抛物线过点，．
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）设点是轴上一点，当时，求点的坐标；
（3）如图2．抛物线与轴交于点，点是该抛物线上位于第二象限的点，线段交于点，交轴于点，和的面积分别为、，求的最大值．
8、已知：抛物线经过点和点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为第四象限内抛物线上的点，连接，．设点的横坐标为．
①如图1，当时，求的值；
②如图2，连接，过点作轴的垂线，垂足为点．过点作的垂线，与射线交于点，与轴交于点．当时，求的值．
9、如图，抛物线与轴交于，两点在的右侧），且与直线交于，两点，已知点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点的直线与线段交于点，且满足，与抛物线交于另一点．
①若点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大；
②过点向轴作垂线，交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
10、如图，抛物线分别交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点，过点作的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
（1）如图（1），．
①直接写出点的坐标和直线的解析式；
②直线上有两点，横坐标分别为，分别过，两点作轴的平行线交抛物线于，两点．若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
（2）如图（2），若，求的值．
11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点的坐标为，与轴于交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图，①求点的坐标及的半径；
②过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
12、如图，二次函数的图象与轴、轴交于点、、三点，点是抛物线位于一象限内图象上的一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）作点关于直线的对称点，求四边形面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，连接线段，将线段绕点逆时针旋转到，连接交抛物线于点，交直线于点，试求当为直角三角形时点的坐标．
13、如图所示：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，若点为抛物线上线段右侧的一动点，连接，．求面积的最大值及相应点的坐标；
（3）如图2，该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
14、在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，抛物线的顶点纵坐标为4．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是抛物线第一象限上一点，设点的横坐标为，连接、、，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，在上有一点，连接、，与交于点，连接，延长交轴于点，若，点为中点，连接，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的长．
15、已知抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点，同时从点出发，点以每秒4个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为秒．
①如图1，连接，再将线段绕点逆时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
1.函数是初等数学中最基本的概念之一, 贯穿于整个初等数学体系之中, 也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位, 它不仅是初中代数内容的引申, 更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础.在历届中考试题中, 二次函数几乎是压轴题中不可缺少的内容;
2.二次函数的图象和性质体现了数形结合的数学思想, 对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用;
3.二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系, 使学生能更好地将所学知识融会贯通.
二、中考要求
1.能描述二次函数的特征和由来, 明确地阐述二次函数与有关对象之间的区别和联系;
2.能在理解的基础上, 把二次函数的图象及性质运用到新的情境中;
3.参加特定的数学活动, 在具体情境中初步认识二次函数的特征, 获得一些经验.
三、学情分析
1.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图象及性质等基本知识;
2.学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高;
3.学生具有一定的自主探究和合作学习的能力;
4.学生能力差异较大, 两极分化明显.
四、教学目标
1.认知目标
掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与系数符号之间的关系.
2.能力目标
(1) 能根据题目给出的已知条件, 求出二次函数的解析式;
(2) 能准确说出二次函数图象的顶点、开口方向、对称轴;
(3) 熟练应用二次函数y=ax2+bx+c的图象性质;
(4) 使学生掌握类比、转化等学习数学的方法, 养成既能自主探索, 又能合作探究的良好学习习惯.
3.情感目标
在教学中渗透美的教育, 渗透数形结合的思想, 让学生在数学活动中学会与人相处, 感受探索与创造, 体验成功的喜悦.
五、教学重点与难点
1.根据不同的已知条件, 正确求出二次函数的解析式;
2.在综合题目中, 熟练运用二次函数的图象性质.
六、教学方法
1.师生互动探究式教学.以教学大纲为依据, 渗透新的教育理念, 遵循教师为主导、学生为主体的原则, 结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学.形成学生自动、生生助动、师生互动, 教师着眼于引导, 学生着眼于探索, 侧重于学生能力的提高、思维的训练.同时考虑到学生的个体差异, 在教学的各个环节中进行分层施教, 让每一个学生都能获得知识, 提升能力;
2.采用中考真题有关二次函数的试题作为例题, 让学生提前接触中考;
3.运用多媒体、真题、学案进行辅助教学, 既让学生在听课的过程中动手、动脑, 又丰富了课堂的内容, 有利于突出重点、分散难点, 更好地提高课堂效率.
七、学法指导
1.学法引导
学法突出自主学习、研讨发现.知识是通过学生自己动口、动脑, 积极思考、主动探索获得, 学生在讨论、交流、合作、探究活动中总结方法和规律.在活动中注重引导学生体会用类比和数形结合的方法扩展知识的过程, 培养学生学习的主动性和积极性.
2.学法分析
新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”, 因此教师要有组织、有目的、有针对性地引导学生参与到学习活动中, 鼓励学生采用自主学习, 合作交流的研讨式学习方式, 培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力, 使学生真正成为学习的主人.
3.设计理念
《大纲》要求, 教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展, 要处理好传授知识与培养能力的关系, 关注个体差异, 满足不同学生的学习需要.
4.设计思路
直击中考压轴题当中有关二次函数的部分, 通过复习旧知识, 拓展学生思维, 提高学生学习能力, 增强学生分析问题, 解决问题的能力.
八、教学过程
1.教学环节设计
根据中考压轴题的特点, 紧紧抓住其内在联系, 运用类比、联想、转化的思想, 突破难点.本节课的教学设计环节:
(1) 创设情境, 引入新知
复习旧知识的目的是对学生新课应具备的“认知前提能力”和“情感前提特征”进行检测判断, 学生自主完成, 不仅体现学生的自主学习意识, 调动学生学习积极性, 也能为课堂教学扫清障碍.为了更好地掌握根据已知条件求二次函数解析式的方法, 根据不同学生的学习需要, 按照分层递进的教学原则, 设计安排了5个由浅入深的练习题.让每一个学生都能为下一步的探究做好准备.
(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
顶点D的坐标有以下两种解法:
例2 (2012, 深圳中考) 如图, 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A (-4, 0) 、B (1, 0) 、C (-2, 6) .
(1) 求经过A、B、C三点的抛物线解析式;
解法一:利用二次函数两点式求解.
解:∵抛物线经过点A (-4, 0) 、B (1, 0) ;
∴设函数解析式为:y=a (x+4) (x-1) .
又抛物线经过点C (-2, 6) .
∴6=a (-2+4) (-2-1) .解得:a=-1.
∴经过A, B, C三点的抛物线解析式为:
解法二:利用二次函数一般式求解, 运用待定系数法列方程作答.
∵抛物线经过A (-4, 0) 、B (1, 0) 、C (-2, 6)
∴设函数解析式为y=ax2+bx+c.
∴函数解析式为y=-x2-3x+4.
例3 (2013, 山东中考) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A (2, 0) , 与y轴的交点为B (0, -1) .
(1) 求抛物线的解析式;
解:利用二次函数顶点式求解.
∵抛物线的顶点是A (2, 0) ,
∴设抛物线的解析式为y=a (x-2) 2.
(2) 拓展思维, 深入中考
本环节通过设置开放性例题, 发散学生思维, 帮助学生全面分析二次函数的性质.让学生在教师的引导下, 独立思考, 相互交流, 培养学生自主探索, 合作探究的能力.通过学生观察、思考、交流, 经历发现过程, 加深对重点知识的理解.
(1) 运用知识, 体验成功
根据不同层次的学生, 同时配有由低到高、层次不同的巩固性练习, 体现渐进性原则, 希望学生能将知识转化为技能.让每一个学生获得成功, 感受成功的喜悦, 安排三个层次的练习.
A.基本练习:通过反馈使学生掌握重点内容;
B.综合练习:将新知识纳入已有知识体系, 发展学生思维的机智性与灵活性;
C.提高练习:既培养学生运用知识的能力, 又培养学生的创新意识.
(2) 知识深化, 应用提高
引导学生对内容进行梳理, 将知识系统化, 条理化, 网络化, 对获取新知识过程中体现出来的数学思想、方法、策略进行反思, 从而加深对知识的理解, 并增强学生分析问题, 运用知识的能力.
(3) 归纳小结、形成结构
把“反馈———调节”贯穿于整个课堂, 教学结束, 应针对教学目标的层次水平, 进行测试, 对尚未达标的学生进行补救, 以消除错误的积累, 从而有效地控制学生学习上的两极分化.由学生总结、归纳、反思, 加深对知识的理解, 并且能熟练运用所学知识解决问题.
(1) 若抛物线过点C (-1, -2) , 求实数a的值和抛物线的解析式;
(2) 在 (1) 的条件下, 解答下列问题:
(1) 求△ABD的面积;
(2) 在抛物线的对称轴上找出一点P, 使PB+PD的值最小, 写出点P的坐标.
由于点P在对称轴上, 根据二次函数性质, A、B关于对称轴对称, 即PA=PB.所以求PB+PD最小值, 即求PA+PD最小值, 根据三角形两边之和大于第三边可知, 当P、A、D三点共线时, PA+PD的值最小, 恰等于线段AD的长度.
例5某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场, 鸡场的一边靠墙, (墙长25m) 另外三边用木栏围成, 木栏长40 m.
(1) 若养鸡场面积为168 m2, 求鸡场垂直于墙的一边AB的长.
(2) 请问应怎样围才能使养鸡场面积最大?最大的面积是多少?
(3) 养鸡场面积能达到205m2吗?如果能, 请给出设计方案, 如果不能, 请说明理由.
解: (1) 设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x m, 则
解得:x1=14, x2=6.
∵墙长25 m, ∴0≤BC≤25.
即0≤40-2x≤25, 解得7.5≤x≤20
答:鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米.
(2) 围成养鸡场面积为S, 则
∴当x=10时, S有最大值200.
即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10m时,
围成养鸡场面积最大, 最大值200m2.
(3) 不能, 由 (2) 可知养鸡场面积最大值200m2,
故养鸡场面积不能达到205m2.
(另外可用方程, 利用判别式来做)
小结:
(1) 本节课突出强调了二次函数在中考压轴题里的重要性;
(2) 强化学生在中考压轴题中一些必要部分的解题能力和计算能力;
(3) 让初三学生在主动动手、动脑的过程中贴近中考.
2.作业设计
课外作业分必做题、选做题, 体现分层思想, 通过作业, 内化知识, 检验学生掌握知识的情况, 发现和弥补教与学中遗漏与不足.同时, 选做题具前瞻性, 可引导学生进行自学探究.
课后作业
第1题如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y=ax2+bx+c经过A (-2, -4) , O (0, 0) , B (2, 0) 三点.
(1) 求抛物线y=ax2+bx+c的解析式; (必做)
(2) 若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM+OM的最小值. (选做)
(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (必做)
(2) 判断△ABC的形状, 证明你的结论; (必做)
(3) 点M (m, 0) 是x轴上的一个动点, 当MC+MD的值最小时, 求m的值. (选做)
例1（2008年·南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地.两车同时出发.设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km.图1中的折线表示y与x之间的函数关系.请根据图象进行以下探究.
（1）甲、乙两地之间的距离为 km.
（2）请解释图中点B的实际意义.
（3）求慢车和快车的速度.
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系的解析式，并写出这时自变量x的取值范围.
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30 min后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时.
解析：图中的折线是由三条线段组成的，三条线段各自表示一个一次函数关系，并且每一个函数自变量的取值范围也都是确定的（因为线段有头有尾）.
x轴上的数表示慢车行驶的时间，y轴上的数表示两车之间的距离.知道了这些，我们就可以着手做题了.
（1）因为y轴上的数表示两车之间的距离，所以当两车出发时，即两车行驶的时间为0 h时，对应的纵坐标就是甲、乙两地之间的距离.所以读取到的第一个信息是: 甲、乙两地之间的距离为900 km.
（2）点B的横坐标为4，说明慢车开出了4 h；而纵坐标为0，说明两车之间的距离为0 km，即两车相遇.所以图中点B的实际意义是：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇.
（3）由图象可知，慢车12 h行驶的路程为900 km，所以慢车的速度为 =75（km/h）.又当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇，此时两车行驶的路程之和为900 km.设快车的速度为v km/h，则75×4+v×4=900，解得v=150.所以快车的速度为150 km/h.
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系的解析式，需要知道点B、C的坐标.B点坐标已知.C点隐含的一个重要信息是：快车已到达乙地.
根据题意，快车行驶900 km到达乙地，所以快车行驶 =6（h）后到达乙地.此时两车之间的距离为6×75=450（km）.所以点C的坐标为（6，450）.
知道了B、C两点的坐标后，利用待定系数法易求得线段BC所表示的y与x之间的函数关系为y=225x-900.自变量x的取值范围是4≤x≤6.
（5）第二列快车与慢车相遇时，慢车行驶了4.5×75=337.5（km）.故第二列快车行驶了900-337.5=562.5（km），它的行驶时间为 =3.75（h）.这时，第一列快车已行驶了4.5 h，故第二列快车比第一列快车晚出发4.5-3.75=0.75（h）.
点评：本题既有明了的信息，也有隐含的、需要动脑筋寻找的信息，张弛有度，难易适中，是一道很好的一次函数的综合应用题.虽然题目本身看似庞大、复杂，但只要一步一步地进行分析，把列车运行过程中的实际状态与图象中的各段对应起来，就可逐步加以解决.
例2（2007年·吉林）今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车.已知每隔1 h有一列动车组列车从甲城开往乙城，它们的速度相同.图2中，OA表示的是第一列动车组列车与甲城的距离s（单位：km）和时间t（单位：h）的函数关系，BC表示的是一列从乙城开往甲城的普通快车与甲城的距离s（单位：km）和时间t（单位：h）的函数关系.请根据图中信息，解答下列问题.
（1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间 h，点B的纵坐标300的意义是 .
（2）请你在图中直接画出第二列动车组列车与甲城的距离s和时间t的函数图象.
（3） 若普通快车的速度为100 km/h.
①求直线BC的解析式，并写出自变量t的取值范围.
②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通快车相遇.
解析：（1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间晚0.5 h.点B的纵坐标300的意义是甲、乙两城相距300 km.
（2）第二列动车组列车与第一列动车组列车的行驶路程与行驶时间都是一样的，只是发车时间相隔1 h，所以它们的函数的图象是平行、“相等”的.其函数图象如图3中的线段MN所示（第二列较第一列晚出发1 h，晚1 h到达，所以MN∥AO）.
（3）①设直线BC的解析式为 s=kt+b.
∵B（0.5，300）， C（3.5，0），
∴由待定系数法可求得s=-100t+350.
自变量t的取值范围是0.5≤t≤3.5.
②设直线MN的解析式为s=k1t+b1.
因M（1，0），N（3，300），故由待定系数法可求得s=150t-150.
BC与MN的交点的实际意义就是第二列动车组列车与普通快车的相遇.
∴150t-150=-100t+350.解得t=2.
因2-1=1，故第二列动车组列车发车1 h后与普通快车相遇.
点评：在画线段MN时，端点要明确，莫画成直线或射线.另外，题中已隐含了动车组列车与普通快车的速度：150 km/h和100 km/h.利用它们也可解题.
很多同学就说唐老师怎么讲的题太简单了，对于中考来说并没有太大的帮助。但是我想说在中考复习当中，我们并不是每一部分的内容只盯着最难的题型来进行讲解，唐老师讲解的每一个视频或者是某一部分的内容都是针对该考点近几年的考察方式进行考点的解析，希望能够全面地帮助同学们了解考点以及其考察的形式。如果同学们都能做到将每一个考点的考察形式和解决该考点问题的方法都能掌握熟练，那么在压轴题或者是难题当中，其丢分也不会太多。
在每一个考点所对应的经典的考题，例题解析的背后。针对该知识点和考点所涉及到的基础内容都进行了详细的讲解，希望通过该例题讲解的形式，将其涉及到的知识点能够进行适当的补充，这也是给同学们在复习阶段做了很好的例证。这样复习的方式，通过例题结合知识考点的方法能够帮助同学们复习该考点所涉及到的知识点和该类型的题型在解题过程中，其基本的思路和思路的突破方法都有哪些？
其次，针对不同的考点可能涉及的方法都略有不同，那么针对同一题型有不同的解法，对于在复习阶段的同学来说是非常不错的选择。不仅能够解决际的问题，通过以自己方法的比对进行思维的拓展与补充。
从不同的角度去思考这类型的题，会让同学们在遇到自己没见过的题型时，从自己学习的知识点和内容出发，一步一个脚印地去分析题型，那么解决这类题型也将是指日可待。
二次函数图像与性质算是二次函数考点当中比较重要，运用比较多的考点之一。它要求同学们对二次函数的性质有充分的了解，结合图形通过数形结合的方法，将二次函数的基本运用能够达到快速，高效的解题，这个过程当中就需要同学们结合实际的题型进行条件的分析以及各个结论的推导，这是我们在备考阶段必须经历的一个过程，这类题型在选择的压轴题当中也会出现。这类题型大多是利用数形结合的方法来进行解题，很多重要的解题思路和数据都是来源于图像，只需要大家搞清楚这类题型的考察的套路，解决这类题型将会变得容易得多。
（二）四.写作（60分）
22．阅读下面的材料，根据要求写作。（60分）
子思受邀回到高中母校宣讲成长经历及学习心得。他说自己在母校学习期间就非常喜欢儒家文化；现在，他正跟着研究生导师进行更深入的学习和研究。
有位同学向他提问：“对儒家文化，我们有所了解，像‘约之以礼’‘以德服人’‘推己及人’之类的道理，我也很认可；可是，在生活中真要那样做，会不会连公交车都挤不上去？”
如果你是子思，你将怎样用书信的方式回应这样的提问？要求选好角度，确定立意；明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不少于800字。【审题】
此题有两个焦点“儒家文化的仁义”和“挤公交车的尴尬”，原本是相对独立事件，没有什么关联，这位同学硬要扯上关联，可以说，写文章算反有机关联的逆推考验。
题目的主体部分完全可以当成今年流行的第21题（逻辑谬误）的出题素材，我们要分析这位同学的逻辑谬误在何处，进而逆推他偷换概念、不明概念、误读曲解经典乃至忽视传统文化的精髓。
好文章应该有思辨价值，即承题的时候不否认这位同学的“问题”，从而站在存在即时合理的角度指出他困惑的核心所在——他是要找一个能立竿见影马上指导行动的思想武器，再冠冕堂皇地称之为：儒德的现实化或现代化。
“对儒家文化，我们有所了解，像‘约之以礼’‘以德服人’‘推己及人’之类的道理，我也很认可；可是，在生活中真要那样做，会不会连公交车都挤不上去？”这句话的“可是”蒙蔽了我们，让我们误以为审题重心在“奉行儒德与主张个人权益的矛盾”。其实不然。“可是”取消了“儒家文化”和“那样做导致挤不上公交”的独立性，强行扯上关系。所以高分作文在立论之前，要界定“困惑”的荒谬和儒家文化、儒学精神的真正意义，此谓拨乱反正。
中上等作文可以浅化为“儒家美德的知行不统一”现象的看待。但如果对儒家文化一窍不通，文章会死在科学性不足上。
驱动是“你将怎样回应这样的提问？”每一个考生需要扮演子思而后“回应”之，“回应”的对象是“那些困惑的同学们”，文章要有明确的写作对象。或是以第一人称“我”对“你们”的娓娓道来，或是干脆来封信或演讲稿。【立意】
（一）类似“天文家掉井”，儒家文化关注的点并不局限于家长里短。
（二）儒家思想调控人与人之间的关系，并不能拿假恶丑现象来涵盖人与人交往的全部。
（三）批判功利主义实用主义反智主义思潮，不当小市民，要涵养人生大格局。
千载儒文化，今朝犹可行 ————答学弟学妹问
亲爱的同学：
你好！
你能提出这样的问题我很高兴。你能提及儒家种种理论又将它们放于生活场景，证明你在思考理论与实践的关系；你能由古书所写，联想到现代化的社会，证明你在思考 旧道理和新时代的关系。面对你的困惑，我的回答是笃定的：有着千载悠悠历史的儒家文化，现代化的今天，仍有学习、推行的意义与必要。
在思考“为什么”之前我们应先明确“是什么”。所谓的“儒家文化”究竟是什么呢？书房中高悬“厚德载物”或让牙牙学语的孩童穿着长袍、梳上发冠真的是在学习儒家文化吗？显然并非如此。儒家文化的核心是“仁”，学习儒家文化实质上就是在学“仁”，学成“仁”，学成人。
儒家之理义虽简洁但蕴含却很丰厚。“约之以礼”并非是指用冷冰冰的礼仪教条束缚人的行为，而是教人友善而自律；“以德服人”中的“德”并非是言语上的大道理而是人在诸多事件中显露出的高尚德行；“推己及人”并非是简单的换位思考，而是难能可贵的同理心与悲悯情怀的体现。因此，我们不难发现儒家思想在“育人”方面，并没有明显的时代局限性，如果你成为了一个具有君子之风范的青年，不论是千年前还是现如今，都会受到人们的尊敬与爱戴。
理论总是灰暗的，而生活之树常青。儒家在生活中的意义与价值超越了个人而上升到了社会，最终让社会中的每一个个体如沐春风。同学，你有没有思考过你为什么需要去“挤”公交而不是“登上”公交？你的生活似乎缺少了一些规范与秩序，而儒家可以重塑出一个有序运转的社会。试想，如果人人都将“克己”之剑悬于头顶，都将“己所不欲，勿施于人”八字刻于心间，我们所生活的社会将多么可爱！儒家所代表的道德精神层面的教化如一束光，驱走了黑暗的粗俗与野蛮，将文明之光赐予世界。所以，儒家文化不能教你怎么挤公交，却能让你不必再挤公交。
此外，儒家思想也极具现实性。儒家讲求“修身齐家治国平天下”，此句对你这位高中生尤有现实意义。千里之行，始于足下，目光长远，终有所得。另一方面，儒家所强调的入世也能与时代相适应。持儒家文化，抱拼搏之心，于个人于国家都颇有益处。
蒋梦麟曾这样评价蔡元培“先生之中庸为白刃可蹈之中庸，而非无举刺之中庸”。愿你在今后的学习生活中继承这份智慧与力量。不着儒袍，但显君子之风。
千载儒文化，今朝犹可行！此祝 进步
你的朋友：子思
X年X月X日
(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=
∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证
明你的结论；
(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD
是什么特殊四边形？并证明你的结论．
F3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测
量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长
线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜
想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A(B(E)图13－1 图13－
2图13－
31.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM
(2)等腰三角形.证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC 21.即DC=BC.2
所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90 即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF
2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k3
2.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．
∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．
∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
题目1(2010年江苏高考14)将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则S的最小值是__.
分析本题易建立函数(其中x是梯形上底的边长)，从代数的角度考虑可以用导数法和判别式法等求解.能否从形的角度考虑呢?
从以上解题方法可看出，本题来源于我们常见的分式函数求最值问题.如“求函数的值域”问题，从代数的角度考虑可以用导数法、判别式法、不等式法等求解，但较繁琐.从形的角度该如何构造斜率呢?先将函数变为可看成动点A(cos x,sin x)和定点B(-2,0)连线的斜率，而动点A(cos x,sin x)的轨迹是单位圆，故所求的值域问题就化为斜率的最值问题，只要求出过定点B(-2,0)且与单位圆相切的直线斜率即可———数形结合法求解起到了事半功倍的效果!但题目改为：“设0
通过以上问题的解决，我们可以看出用数形结合思想求解问题的优越性.而“观察分式结构特点，联想斜率公式并恰当构造斜率”是处理这类问题的关键，这就需要教师在数学课堂教学中对学生加以引导和训练，使他们会借一双慧眼来观察，恰当展开联想，巧妙进行构造，揭掉函数的面纱!
题目2(2008年江苏高考14)设函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立，则a=__.
分析本题是含参数的函数恒成立问题，利用“分类讨论法，结合导数知识求函数最值”或“分离参数法，结合导数知识求函数最值”等代数法也是可行的，但较复杂.能否从形的角度考虑呢?
(思路一)由题f(x)=ax3-3x+1≥0在x∈[-1,1]恒成立，即ax3≥3x-1在x∈[-1,1]恒成立.设f(x)=ax3,g(x)=3x-1，则f(x)≥g(x)在x∈[-1,1]恒成立.作出两个函数f(x)=ax3,g(x)=3x-1的图像，易知a≤0时不合题意，故a>0.设在P(x0,y0)处直线g(x)=3x-1与曲线f(x)=ax3,(a>0)相切，则解之得a=4，此时直线g(x)=3x-1与曲线f(x)=ax3,(a>0)还相交于Q(-1,-4)，若a≠4(a>0)时，数形结合可知不合题意.
(思路二)易知a≤0时不合题意，那么ax3≥3x-1还可以化为在x∈[-1,1]恒成立，构造并作出这两个函数(a>0)的图像再数形结合求解.
(思路三)当x=0时，则a∈R，当-1≤x<0时，ax3-3x+1≥0可化为的图像再数形结合求解.构造并作出这两个函数
解数学压轴题可分为五个步骤：1.认真默读题目，全面审视题目的所有条件和答题要求，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，理解好题意;2.利用重要数学思想探究解题思路;3.选择好解题的方法正确解答;4.做好检验工作，完善解题过程;5.当思维受阻、思路难觅时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃.
二、解动态几何压轴题的策略
近几年的数学中考试卷中都是以函数和几何图形的综合作为压轴题，用到圆、三角形和四边形等有关知识，方程与图形的综合也是常见的压轴题.动态几何问题是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.动态几何题解决的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置;在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律.通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质.简析：本题是一个双动点问题，是中考动态问题中出现频率最高的题型，这类题的解题策略是化动为静，注意运用分类思想.
三、巧用数学思想方法解分类讨论型压轴题
几何证明压轴题
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)
求证：DC=BC;
(2)
E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
(3)
在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.[解析]
（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，△DEC≌△BFC
所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以
所以.2、已知：如图，在□ABCD
中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形
BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
[解析]
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD
．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD
．
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF
．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形
AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
．
∵AG∥BD，∴四边形
AGBD
是平行四边形．
∵四边形
BEDF
是菱形，∴DE＝BE
．
∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE
．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD是矩形
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图13－1
A（G)
B（E)
C
O
D（F)
[解析]（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴
∠ABD
=∠F
=45°，OB
=
OF．
又∵∠BOM=∠FON，∴
△OBM≌△OFN
．
∴
BM=FN．
（2）
BM=FN仍然成立．
（3）
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF，∴
△OBM≌△OFN
．
∴
BM=FN．
4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若，求CD的长；
（2）若
∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。
[解析]
（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5
所以∠ADB＝90°，AB＝10
在Rt△ABD中，又，所以，所以
因为∠ADB＝90°，AB⊥CD
所以
所以
所以
所以
（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD
所以
所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD
因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO
所以∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x
由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x
因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°
所以
所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
所以∠AOC＝∠AOD＝100°
5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
[解析]
(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF
∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD
(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′
方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)
(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
可证得：FA＝FG，且AB＝BG
由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2
由、得：FG2-4FG-12=0
解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）
∴AB＝BG＝
∴⊙O半径为26、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．
（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；
（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]
解:
1点P的坐标是（2,3）或（6,3）
2作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
在中，又AP=12-4=8,∴
∴AC=≈1.94
∵1.94<2
∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，C
A
B
D
O
E
DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=∠OAC.[解析]
证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）
∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=∠OAC.8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．
1求AO与BO的长；
2若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；
②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝，试求AA’的长．
[解析]
1中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米.米.--------------
(3分)
2设在中,根据勾股定理:
∴
-------------
(5分)
∴
∵ ∴
∴
-------------
(7分)
AC=2x=
即梯子顶端A沿NO下滑了米.----
(8分)
3∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点
∴，-------------
(9分)
∴-------
(10分)
∴
∴
∵
∴
-----------------------
(11分)
∴-----
(12分)
∴米.--------
(13分)
9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)
求直线AB的解析式；(2)
当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3)
当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b
由题意，得
解得
所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．
（2）由AO＝6，BO＝8
得AB＝10
所以AP＝t，AQ＝10－2t
1°
当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以 ＝
解得 t＝(秒)
2°
当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以 ＝
解得 t＝(秒)
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝
在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8
－t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)
＝－＋4t＝
解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．
（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）
点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作
PE⊥AB．
10．（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．
（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．
（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．
解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．
在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．
∵ PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．
故，即
∴⊿PBC面积＝
又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝
即 y，x的取值范围是0＜x＜10．
（2）这个判断是正确的．
理由：
由（1）可得，⊿PAD面积＝
⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．
、密度为的某种液体和密度为的某种液体能够相互相溶，其中＞，若将它们分别按照等质量混合和等体积混合，请证明等体积混合后溶液的平均密度大于等质量混合后溶液的平均密度。不考虑溶液体积混合后的变化
、由欧姆定律和串联电路的特点导出：串联的两个导体的总电阻等于各导体的电阻之和。并请你设计一个实验方案进行验证。
、由欧姆定律和并联电路的特点导出：并联的两个导体的总电阻的倒数等于各导体的电阻倒数之和。并请你设计一个实验方案进行验证。
、请证明在有两个电阻和的串并联电路中都有
、请证明：在远距离传输电能过程中若发电机输出功率和传输导线电阻一定的情况下，输电导线上因发热而损失的功率与传输电压的平方成反比。
、使用滑轮组提升物体在不计摩擦和绳重的情况下其机械效率与动滑轮上绳子的股数和物体被提升的高度无关。
、请证明对于同种材料制成的均匀实心的不同种柱体在高度相等时对水平面的压强相等。、对于能够漂浮在液体上的物体总有：物
液V排V物
、对于密度比液体大的实心物体用弹簧秤悬挂并完全浸没在液体中时总满足：物G液GT示数
、一架不准确的天平，主要是由于它横梁左右两臂不等长。为了减少实验误差，在实验室中常用“交换法”来测定物体的质量。即先将被测物体放在左盘，当天平平衡时，右盘中砝码的总质量为；再把被测物体放在右盘，当天平平衡时，左盘中砝码的总质量为。试证明被测物体的质量mm1m2
、一具形状不规则的木棒水平放置于地面上，采用如下方法测定其重量：在木棒左端以的竖直向上的力刚好能提起木棒，在木棒右端以的数值向上的力也能刚好提起木棒。证明木棒的重量。
、某汽车质量为，当其在水平路面行驶时，发动机输出功率恒为，此时汽车以的最大速度匀速行驶。当汽车行驶入长度为高为的斜坡上，发动机输出功率为，已知在斜坡上汽车受到的总阻力为水平路面上的倍。证明在斜坡行驶时汽车的最大速度v2P2v1LMghvPkL1
1、一辆满载物资的总重为牛顿的运输车，将物资沿路线运至处，段海拔高度为米，段海拔高度为米，如图甲所示。在整个运输过程中，汽车以恒定速度米／秒运动，汽车时经过处，时经过处，时经过处，在此过程中汽车牵引力功率随时间，变化的图象可简化为图乙所示、、和也为已知量。
甲乙
请利用已知量证明汽车沿斜坡段运动时所受总阻力fP2(t2t1)G(h2h1)v(t2t1)
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