反函数怎么求

反函数怎么求（精选17篇）

反函数怎么求 篇1

首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。

例如 y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

二、反函数的性质

1.函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。

2.一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

3.大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常数)，则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} )。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的.直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

4.一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。

5.严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数。

6.反函数是相互的且具有唯一性。

7.定义域、值域相反对应法则互逆(三反)。

反函数怎么求 篇2

求抽象函数的函数值问题, 可以根据题目所给的函数性质、运算性质、恒等式和所求, 对变量取具体恰当的值, 通过运算获解.

(2013年全国高中联赛山东赛区预赛)

解取x=-1005, 得

2. 寻找周期

把题目所给的函数性质或函数方程或恒等式中的变量x换成恰当的代数式 (有时需要反复代换) 后, 再通过代换 (有时需要多次代换) 找到f (x+T) =f (x) , 由此就找到了函数f (x) 的周期T, 使问题获解.

(2013年全国高中联赛甘肃赛区预赛)

3. 猜想

通过赋值运算, 找到规律, 由此猜出函数f (x) 的解析式, 把抽象变成具体.

(2013年北京市高中数学竞赛复赛)

解取n=0, 得

f (f (0) ) +f (0) =3,

又f (0) =1, 所以f (1) =2.

取n=1, 得f (f (1) ) +f (1) =5,

又f (1) =2,

所以f (2) =3.

同理, 可得f (3) =4, f (4) =5, f (5) =6.

由此猜想f (n) =n+1 (n∈N) ,

代入题设条件成立.

4. 递推法

若函数f (x) 的定义域为N*, 且函数关系式是由递推关系式给出的或者由题设通过计算可以得到函数递推式, 可用递推法求出函数f (x) 的解析式.若函数f (x) 的定义域为R, 也可以用递推法求出函数f (x) 的解析式, 但是, 要注意到在函数与数列的整合中寻找规律, 找到正整数n与实数x的联系.

例4 f (x) 是定义在正整数集上的函数, 且满足f (1) =1,

f (x+y) =f (x) +f (y) +xy (x, y∈N*) , 则f (2014) =＿＿.

解取y=1, 得

f (x+1) =f (x) +f (1) +x,

又f (1) =1,

所以f (x+1) -f (x) =x+1.

从而f (2) -f (1) =2,

f (3) -f (2) =3,

…

f (x) -f (x-1) =x,

将以上各式相加, 得

f (x) -f (1) =2+3+4+…+x,

5. 恒等式

把抽象函数图象的对称轴方程转化为恒等式是解决抽象函数背景下的函数值问题的常用的、有效的方法.

例5偶函数f (x) 的图象关于直线x=2对称, f (3) =3, 则f (-1) =＿＿.

(2014年新课标卷Ⅱ·文)

解因为函数f (x) 的图象关于直线x=2对称,

所以f (-x) =f (x+4) 对任何实数x恒成立.

又因为f (x) 是偶函数,

所以f (-x) =f (x) .

故f (x) =f (x+4) ,

取x=-1, 得f (-1) =f (3) ,

因为f (3) =3,

从而f (-1) =3.

6. 换元

此方法是将函数性质或函数方程中关于变量的关系式 (代数式) 用一个新的变量 (中间变量) 来替换, 然后找出函数与中间变量的关系, 从而求出函数解析式.

例6已知f (x) 为R上的增函数, 且对任意的x∈R, 均有f (f (x) -3x) =4, 则f (2) =＿＿. (2013年全国高中联赛福建赛区预赛)

解设f (x) -3x=t, 则f (t) =4.

因为x∈R,

所以可把f (x) =3x+t中的x换成t,

即f (t) =3t+t.

于是3t+t=4,

易知此方程有唯一解t=1.

从而f (x) =3x+1,

经检验, f (x) =3x+1满足f (x) 为R上的增函数,

所以f (2) =32+1=10.

7. 函数模型

有一些抽象函数背景下的函数值问题, 由题目给出的函数关系式或恒等式可以找出一个符合题意的具体函数, 由此, 问题很快得解.

例7已知函数y=f (x) 是定义在正实数集上的增函数, 且满足

解因为函数y=f (x) 是定义在正实数集上的增函数, 且满足

f (xy) =f (x) +f (y) ,

所以函数y=f (x) 的解析式可设为

又f (2) =1,

所以a=2,

从而符合题意的一个具体函数为

f (x) =log2x.

浅谈多元函数求极限 篇3

【关键词】: 多元函数 多元函数极限 邻域

中图分类号:F0174 文献标识码:A 文章编号:1003-8809(2010)06-0113-01

在《数学分析》中,我们讨论了函数的极限。通过对极限的学习。我们应该有一种基本的观念就是“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果。

研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础。研究多元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。本文介绍关于多元函数极限求法的几个定理及例子。

假定函数f(x1,...,xn)是在具有聚点M0(a1,a2,...,an)的某一点集Μ内定义的。

仿照一元函数的极限的定义,常说函数f(x1,...,xn)当变量x1,...,xn依次各趋于a1,a2,...,an时以数A为极限,如果对于任一数ε>0能找出这种δ>0,只要

x1-a1<δ,...,xn-an<δ,

就能使

f(x1,...,xn)-A<ε.

在这时,假定点(x1,...,xn)是取自Μ而且异于(a1,a2,...,an)。因此,对于集Μ中位于M0点的充分小邻域

(a1-δ,a1+δ;...;an-δ,an+δ)

之内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

函数的极限记成:A=limx1→a1......xn→anf(x1,...,xn).

把点(x1,...,xn)及(a1,a2,...,an)记成M及M0,则刚才引入的定义可以用几何的言语重述成:数A称为函数f(M)当点M趋于M0时的极限,如果对于任一数ε>0有着种数r>0存在,只要距离M0M

f(M)-A<ε.

和上面一样,须假定M取自Μ但异于M0。这样,对于集Μ中位于M0的充分小得球形邻域内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

多元函数的极限在高等数学中是非常重要的,但多元函数的自变量太多计算起来太过复杂,而一元函数的极限看起来就相对容易些,因此我们现在把多元函数极限转化为一元函数的极限来求解,现在我们可以以三元函数为例得到如下的定理:

定理1设f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x-x0,y-y0,z-z0)的方向余弦,若

limk→0f(x0+kcosα,y0+kcosβ,z0+kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

推论(1)设f(x,y,z)在点(0,0,0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x,y,z)的方向余弦,若limk→0f(kcosα,kcosβ,kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

定理2设f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x-x0,y-y0)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(x0+kcosα,y0+ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A不存在.

推论(2)设f(x,y)在点(0,0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x,y)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(kcosα,ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx→0y→0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→0y→0f(x,y)=A不存在.

参考文献:

[1]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程第一卷(第八版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3]丁殿坤,吕端良,李淑英.多元函数极限的一种求法[J].山东:山东科技大学公共科部,2004.

[4]旷伟平,孙勇.多元函数极限的一类求法[J].湖南:怀化学院数学系,2007.

[5]任宪林.多元函数求极限[J].邯郸职工大学,2001.

[6]陈明华.关于多元函数极限的一种求法的注记[J].皖西学院计算机科学与技术系,2007.

[7]刘素芳.求二元函数极限的几种方法[J].中山医科大学,1999.

[8]宋志平.二元函数极限的求法[J].内蒙古科技大学理学院,2004.

偏导数求二元函数最值 篇4

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

初探求函数值域的方法 篇5

观察法是求一些简单的函数的值域的最基本的方法，它只须通过对函数的解析式进行简单的变形和观察即可.诸如下面这些函数：

例1.求下列函数的值域：

解：(略)

二、配方法

求二次函数在其定义域内的值域最基本最常用的方法就是配方法.像y=af2 (x)+bf (x)+c (a≠0)类型的函数值域问题均可用配方法.同时要结合二次函数的图像来求解，解决这类问题要从两个方面考虑：对称轴和区间端点处.

例2.求函数的值域.

∵-1≤sinx≤1令t=sinx则t∈[-1, 1]

∵t对=2埸[-1, 1]且开口向上，

∴函数在[-1, 1]上为减函数

例3.求函数y=x2-2x+3, x∈[0, a]上的值域;

∵x对=1且开口向上(定对称轴，变区间)

(1)当0

(2)当1

(3)当a≥2时，f (x)在[0, 1]上为减函数，在[1, a]上为增函数

综上知，当0

当1

当a≥2时，函数的值域为[2, a2-2a+3].

三、分离常数法（把分子变成常数）

四、反解法

例5.求函数y=4x+5x-21, x∈[-3，-1]的值域.

五、判别式法

若一个函数能整理成一个关于x的一元二次方程(y出现在方程的系数位置)，由方程有实数解的条件△≥0，得到一个关于y的不等式，解出y的范围即为函数的值域.

当y-1=0即y=1时，(*)为y=0，无解∴y≠1

当y≠1时，(*)式有实数解即x∈R得

六、换元法

运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.

七、图象法（数形结合法）

有的函数(如：分段函数、含绝对值的函数等)往往利用函数的图象即函数所表示的几何意义，借助于几何方法来求函数的值域会比较形象直观、容易快捷，这样的方法就叫做图象法.

例8.已知实数x、y满足的最值.

解：如图所示可看作是动点P (x, y)与原点O (x, y)连线的斜率，而动点P (x, y)在圆(x-2) 2+(y-1) 2=4上

八、函数的单调性法

确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法.

九、均值不等式法

利用均值不等式求函数的值域时要注意“一正、二定、三相等”.

例10.求函数y=log3x+logx3-1的值域.

解：原函数可化为(题目隐含条件x>0且x≠1)

当00,

综上知，函数的值域为(∞，-3]∪[1，+∞).(体现分类讨论的思想)

十、利用导数确定极值、最值或判断函数单调性，从而得值域

解：(略)

综上知，f (x) max=f(-1)=f (2)=1, f (x) min=f (1)=f(-2)=-1

∴函数的值域为[-1, 1].

如何求一次函数解析式？ 篇6

一、两点式

例1一次函数的图象过点M（3，2）、N（1，6）两点.

（1）求函数的解析式；

（2）画出该函数的图象.

解析：（1）设函数的解析式为 =+ ，根据题意，得

由①得= 23.

由②得= 6.

所以23 = 6.

即 = 2.

将 = 2代入②，得 = 4.

所以关于的函数表达式为 = 24.

（2）图象如右图，由 = 24知，图象与轴、 轴的交点坐标分别为（2，0）、（0，4）.

二、对应值式

例2 已知函数 =+ （，是常数），当 = 1时， = 7；当 = 2时， = 16，求这个函数的解析式.

解析：由已知条件可得如下两个方程

由①得= 7.

由②得= 162. 所以7=162，解得= 9.

将 = 9代入①得= 2. 所以函数解析式为= 92.

三、图象式

例3如图，已知直线AB与轴交于点A，与轴交于点B.

（1）写出A、B两点的坐标；

（2）求直线AB的函数解析式.

解析：（1）A（2，0）、B（0，4）；

（2）设直线AB的函数解析式为 =+ .因为直线AB经过A、B两点，可得

解得 = 2， = 4.

故所求的函数解析式为 = 2 + 4.

四、图表式

例4弹簧挂上物体后伸长，测得一弹簧的长度 （cm）与所挂物体的质量 （kg）之间的数量关系如下表，试求关于的函数表达式.

解析：由图表可知，弹簧总长 （cm）与所挂物体的质量 （kg）之间为一次函数关系，故可设函数解析式为 =+ ，将任意两组对应值代入即可求出解析式.

则有

解得= 0.5.

将= 0.5代入①，得= 12.

所以弹簧总长 （cm）与所挂物体的质量 （kg）之间的函数关系式为 =+ 12（≥0）.

练习：

1.已知一次函数的图象经过点A（0，2）和B（3，1），那么这个一次函数的解析式为（）.

A. =+ 2B. =+ 2

C. = 2 D. = 2

2.若1与成正比例，且当 = 2时， = 4，那么与之间的函数关系式为__________.

3.小明是个书迷，他经常去市图书馆租书.图书管理员李叔叔告诉小明，图书馆有两种租书方式：一种是使用会员卡，一种是使用租书卡.使用这两种卡，租书费用（元）与租书天数（天）之间的关系如右图.

（1）如果小明办理租书卡，那么他租书一个月（按30天计算）应付费多少元？

（2）如果小明办理会员卡，那么他第一个月租书应付费多少元？

4.随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童人数有所减少.下表中的数据大致反映了某地区入学儿童人数的变化趋势.

利用你所学的函数知识解决以下问题：

①入学儿童人数 （人）与年份 （年）的函数关系式为__________.

②如果按照此趋势，预测该地区从________年起入学儿童人数不超过1000人.

参考答案：

1.C.

2. =+ 1.

3.（1）如果办理租书卡，那么租书所付金额1与租书天数之间的函数关系式为1 = 1，∵当 = 100时，1 = 50，∴50 =1001，∴1 = 0.5，1 = 0.5.

当 = 30时，1 = 0.5×30 = 15.

∴办理租书卡，他一个月应付租书金额为15元.

（2）如果办理会员卡，那么租书所付金额2与租书天数之间的函数关系式为2 = 2 + .

∵当 = 0时， = 20；当 = 100时， = 50，

∴解得

∴2 = 0.3 + 20.

当 = 30时， = 0.3×30 + 20 = 29.

∴如果办理会员卡，他第一个月应付29元.

4.①= 2710190（1999）； ② 2008.

圆周率怎么求 篇7

我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法——“割圆术”。所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的`计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。圆周率用希腊字母π(读作pài)表示，是一个常数(约等于3.141592654)，是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。

在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。

三角形边长公式 边长怎么求 篇8

1.在任何一个三角形中,任意一边的`平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦 几何语言：在△ABC中,a2=b2+c2-2bc×cosA 此定理可以变形为：cosA=(b2+c2-a2)÷2bc

2.已知,角A,B,C,边a,求：b,c

根据公式：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

b = a(sinB/sinA)

c = a(sinC/sinA)

反函数怎么求 篇9

1提出问题

求一个字母或者一个式子的最值或者范围是近几年中学数学中一个比较流行的问题，因为这种问题往往涉及到的知识比较广，同时技巧性比较强，解题灵活，学生往往有无从下手的感觉。那么这种问题通常可以从哪些思路切入？又有一些什么技巧？笔者试图通过本文揭开此类问题的神秘面纱，以飨读者。

2分析问题

2.1方程角度

2.2不等式角度

切入点：利用基本不等式通常是解决二元函数最值的重要工具，也是构造不等式的一个途径。

分析：对于问题1，在构造基本不等式的思想指引下，我们可以想，如果用 把 和 表示出来，再利用 和 之间的不等关系，那么我们就可以得到一个关于 的不等式了。

回顾这种构思，不难看出，关键是利用基本不等式来构造不等式，所以目标就变成了利用 把 和 这一和一积表示出来。实际上，如果记 ， ，由韦达定理知， ， 可以看成方程 的根，则 ；另一方面，由基本不等式 可得 。我们发现基本不等式和 竟然不谋而合，实在是意外的收获！此处风景，另有风味。

2.3函数角度

2.3.1通过消元（或称减元）建立目标函数

减元，是一种处理多变元问题时常常采用的一种数学技巧，通常可以起到化繁为简，化多为少，化难为易的效果，实在是解决多变元问题的一大利器。本题正是采用了这种技巧先将目标集中到只含有 的式子，这样只要明确 的取值范围，问题自然迎刃而解。于是，思路由此形成。

2.3.2通过换元简化目标函数

问题3（《南通学科基地密卷》2012年江苏高考数学模拟卷五）

回顾本题，首先消去字母 ，从而得到关于 的代数式，此式是一个二次除以一次的代数式，自然将整个分母看做是一个整体予以换元，从而将式子向对勾函数（或基本不等式）方向转化。如果说减元侧重于将字母的个数减少，那么换元更侧重于简化式子的结构形式，使之与我们学习过的熟悉结构相联系，突破思维的隘口，体现了一种整体思想和转化化归思想的运用。二者均达到了简化问题，明确目标的目的。

2.3.3通过设置主元明确目标函数

在多变元问题中，我们经常将一“元”视作主元，其他视作辅元（即系数），使得我们分析的目标清晰，方向明确。方程如是，函数亦如是。在问题1的解法1中，我们就是通过将方程看做关于 的方程从而建立出关于 的不等式；在本问题（即问题3）中，消元后，我们如果把式子看做关于 的函数，即为二次除以一次的固定模式，自然想到将整个一次部分进行换元，转化为对勾函数。主元意识实际上就是一种观察事物的一种角度上的变换，正所谓“横看成岭侧成峰”。

3解决问题

4反思感悟

求函数值域的常用方法 篇10

一、直接观察法

例如等可以通过直接观察, 它们的值域分别为{y|y≠0}, {y|y≤0}

二、图像法

例1已知函数f (x) =x2-2x+3

(1) 求函数f (x) 的值域 (2) x∈[-1, 0]求值域

(3) x∈[3, 4]求值域 (4) x∈[0, 3]求值域

评注:因同学们对二次函数的图像比较熟悉, 所以该类函数应用图像法求值域, 先分析对称轴在区间内还是在区间外则可根据单调性直接代入端点求值域, 若对称轴在区间内, 则在对称轴处取得最小值, 再看哪个端点离对称轴远, 在离对称轴远的端点处取最大值。

三、单调性法

例2求函数的值域

可知函数为增函数, 可先求定义域{x|x≥1}因此值域为{y|y≥2}.

四、换元法

例3求函数的值域

分析:此函数单调性不明确, 因此本题可用换元法将该题转化为二次函数求值域。

评注:换元法为求值域问题的常用方法, 有时可将复杂的问题简单化或将我们不熟悉的类型转化为熟悉的类型, 但在换元时应注意变元的取值范围, 即x与t之间应是等价代换。

五、分离常数法

六、反函数法

若上题中x∈[0, +∞]求f (x) 的值域则为第6种方法:反函数法。

评注:对于这种类型的函数, 其求值域的方法有两种, 第一种叫分离常数法, 即将函数分解成一个常数和一个只在分母含x的式子之和, 一般用于f (x) 的自然定义域内求值域, 第二种, “反解x法”即去分母, 反解出x, 根据x的范围, 确定y的取值范围。常用于定义域不是自然定义域的函数值域的求解问题。

七、判别式法

评注:对型的且不可约的函数解析式, 常去分母化为关于x的一元二次方程, 使该方程有解故Δ≥0, 据此求出函数的值域为“判别式”法, 使用判别式求值域, 首先应验证二次项系数为0的情况。但此类问题有一种特殊情况, 在做题时应注意。

摘要：函数的值域及其求法是近几年高考考察的重点内容之一。求函数值域是重点, 也是一个难点, 很多同学对求值域的问题找不到下手点, 本文归纳了函数值域的几种常见类型和常用的方法。

excle函数怎么学好 篇11

记忆函数：常用的函数并不多，一般来说，记忆几个基本函数，就可以解决90%的问题了，sum(合计)，sumif(条件求和)，vlookup(查找并返回同一行的其他值)，offset(偏移函数)，if(假如，则)，count(计数)，countif，index(索引函数)，int(向下取整数)，rand(随机函数)，文本的组合，text，&,concatenate三个函数， 关于时间的函数，mouth,now等。给每一个函数做一个自己的解释。有不超过20个基本的函数，绝对够用了。

使用函数：函数不用，就会忘掉。

不会使用某个函数，就直接去看帮助实例，或者百度看案例。是最直接有效的方法。前面要用3个小时的问题，用这个函数技巧，10分钟就解决了，你要不要学?有学习的动力，就主动学习好用的函数，用多了，就记住了。

心法：要在EXCEL实现某个目标，就必须学会用多种思路解决，此路不通时，可以用其他方法解决。一个基本的思维方式是：表格——工具——函数。比如去重复数据，

1， 直接要求数据来源提供不重复的数据!

2， 利用2007版工具栏中去重复数据。或者数据——筛选——选择不重复记录，粘贴就可以了。

3， 利用函数查找和对比筛选。=IF(COUNTIF(A:A,A1),A1,“”)。

所以最高心法就是，数据从源头到结果，前面的一步走弯了，后面就会走更多的弯路，才能回到正轨。所以从一开始就要求数据输入格式，统一，标准化，都为后面做好准备。其次是基本功能的运用。再次是数据处理过程的自动化，前期把函数设置好，检查好，后期才会省时省力。

excle函数常用公式

AND “与”运算，返回逻辑值，仅当有参数的结果均为逻辑“真(TRUE)”时返回逻辑“真(TRUE)”，反之返回逻辑“假(FALSE)”。 条件判断

AVERAGE 求出所有参数的算术平均值。 数据计算

COLUMN 显示所引用单元格的列标号值。 显示位置

CONCATENATE 将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中。 字符合并

COUNTIF 统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。 条件统计

DATE 给出指定数值的日期。 显示日期

DATEDIF 计算返回两个日期参数的差值。 计算天数

DAY 计算参数中指定日期或引用单元格中的日期天数。 计算天数

DCOUNT 返回数据库或列表的列中满足指定条件并且包含数字的单元格数目。 条件统计

FREQUENCY 以一列垂直数组返回某个区域中数据的频率分布。 概率计算

IF 根据对指定条件的逻辑判断的真假结果，返回相对应条件触发的计算结果。 条件计算

INDEX 返回列表或数组中的元素值，此元素由行序号和列序号的索引值进行确定。 数据定位

INT 将数值向下取整为最接近的整数。 数据计算

求复合函数的导数的关键 篇12

如何求复合函数的导数?分步求导, 再用乘法.在求复合函数的导数的过程中, 应注意哪些问题?下面分三类讨论.

一、一般的复合函数的导数

针对常见的复合函数的求导, 应注意要解到底, 不要半途而废.

例1 求y= (x3-x) 6的导数.

解 令t=x3-x, y= (x3-x) 6,

由y=t6与t=x3-x复合而成,

∴y′= (t6) ′·t′=6t5 (x3-x) ′=6 (x3-x) 5 (3x2-1) .

多数学生求解时, 解到 (t6) ′, 忘记乘以t′.

例2 求$y=\cos \sqrt{x}$的导数.

解 令$t=\sqrt{x},y=\cos \sqrt{x}$,

由y=cost与$t=\sqrt{x}$复合而成,

$\therefore y^{\prime }=(\cos t{)}^{\prime }\cdot t^{\prime }=-\sin t\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\sin \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

多数学生求解时, 注意别忘记乘以$(\sqrt{x}{)}^{\prime }.$

例3 求$y=2{}^{\frac{1}{x}}$的导数.

解 令$t=\frac{1}{x},y=2{}^{\frac{1}{x}}$,

由y=2t与$t=\frac{1}{x}$复合而成,

$\therefore y^{\prime }=(2{}^t{)}^{\prime }\cdot t^{\prime }=\ln 2\cdot 2{}^t\cdot \frac{-1}{x{}^2}=\ln 2\cdot 2{}^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{-1}{x{}^2}.$

注意求解时乘以$\left(\frac{1}{x}\right)´.$

二、隐方程中的复合函数的导数

求隐方程中的复合函数的导数时, 要注意y=f (x) 这个隐含条件.

例4 y3+x3-3xy=0, 求y′.

解 方程两边对x求导, 得

$\begin{array}{l}3y{}^2{y}^{\prime }+3x{}^2-3(y+x{y}^{\prime })=0‚\\ \therefore y^{\prime }=\frac{y-x{}^2}{y{}^2-x}.\end{array}$

注意y=f (x) 这个隐含条件, ∴ (y3) ′=3y2y′.

例5 y=xsinx, 求y′.

解 方程两边取自然对数, 得lny=sinx·lnx.

$\begin{array}{l}\text{方}\text{程}\text{两}\text{边}\text{对}x\text{求}\text{导}‚\text{得}(\ln y{)}^{\prime }=(\sin x\cdot \ln x{)}^{\prime }.\\ \frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=\cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac{1}{x}‚\\ \therefore y^{\prime }=\left(\text{c}\text{o}\text{s}x\cdot \text{l}\text{n}x+\text{s}\text{i}\text{n}x\cdot \frac{1}{x}\right)\cdot y\\ =\left(\text{c}\text{o}\text{s}x\cdot \text{l}\text{n}x+\text{s}\text{i}\text{n}x\cdot \frac{1}{x}\right)\cdot x{}^{\text{s}\text{i}\text{n}x}.\end{array}$

由于y=f (x) 这个隐含条件, $\therefore (\ln y{)}^{\prime }=\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }.$

三、积分上限函数是复合函数的导数

当积分上限函数是复合函数时, 这类函数的求导常出现错误, 错的原因是认不清它是个复合函数.

例6 求$\left({\displaystyle {\int }_0^{\text{s}\text{i}\text{n}x}\text{t}}\text{a}\text{n}mdm\right)´.$

解 ∵积分上限函数为∫${}_0^{\text{s}\text{i}\text{n}x}$tanmdm

由∫${}_0^t$tanmdm与t=sinx复合而成,

$\begin{array}{l}\therefore \left({\displaystyle {\int }_0^{\text{s}\text{i}\text{n}x}\text{t}}\text{a}\text{n}mdm\right)´=\left({\displaystyle {\int }_0^t\text{t}}\text{a}\text{n}mdm\right)´\cdot (\sin x{)}^{\prime }\\ =\tan t\cdot \cos x\\ =\tan (\sin x)\cdot \cos x.\end{array}$

多数学生没有乘 (sinx) ′导致错误.

例7 求$\left[{\displaystyle {\int }_0^{x{}^2}(}\text{c}\text{o}\text{s}t){}^{2}dt\right]´.$

解 ∵积分上限函数为∫${}_0^{x{}^2}$ (cost) 2dt令m=x2,

由∫${}_0^m$ (cost) 2dt与m=x2复合而成,

$\begin{array}{l}\therefore \left[{\displaystyle {\int }_0^{x{}^2}(}\text{c}\text{o}\text{s}t){}^{2}dt\right]´=\left[{\displaystyle {\int }_0^m(}\text{c}\text{o}\text{s}t){}^{2}dt\right]´\cdot m^{\prime }\\ =(\cos m){}^2\cdot 2x\\ =(\cos x{}^2){}^2\cdot 2x.\end{array}$

多数学生没有乘 (x2) ′导致错误.

如何正确求复合函数的导数呢?关键是正确拆分复合函数, 复合函数只有拆到底, 拆得对, 求导时求到最后一步, 注意到这些, 复合函数的求导就迎刃而解了.

参考文献

[1]李华, 王小军.应用数学 (上册) [M].郑州:大象出版社, 2006 (50-53) .

求函数定义域的题型及解法分析 篇13

例1 一矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的解析式，并写出定义域.

解 矩形另一边长为40-x，并且设矩形的面积为y，则y=x（40-x）=-x2+40x.

因为40-x＞0，并且x＞0，所以定义域为{x|0＜x＜40}.

点评 在实际应用问题中，除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义.

由函数解析式求定义域的基本思想是根据限制条件转化为自变量的不等式（组），进而求得定义域.

在此类问题中，求使函数有意义的x的集合，常用以下依据：?譹?訛 分式的分母不等于0；?譺?訛 偶次根式被开方式大于等于0；?譻?訛 对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；?譼?訛 指数为0时，底数不等于0.

例2 （2010年湖北卷）函数y=的定义域为（）

A. ，1B. ，+∞

C. （1，+∞）D. ，1∪（1，+∞）

解 由log0.5（4x-3）＞0且4x-3＞0，得0＜4x-3＜1，即＜x＜1.所以函数的定义域为，1，答案为A.

点评 求函数定义域时，应全面利用制约自变量取值范围的条件，一般原则是“宁重不漏”，如果漏掉某一限制条件，就会造成自变量取值范围的扩大，从而导致错误.

复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义.它主要有以下三种类型：

1. 已知f（x）定义域，确定函数f ［g（x）］的定义域

设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D.又f对g（x）作用，作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为f ［g （x）］的定义域.

例3 若函数f（x）的定义域为［0，1］，求函数f（x2-1）的定义域.

解 据题意，0≤x2-1≤1，所以1≤x2≤2，所以1≤x≤或-≤x≤-1，所以f（x2-1）的定义域为［-，-1］∪［1，］.

点评 g（x）必须符合f（x）的定义域，否则不可以代入.

2. 已知f ［g （x）］定义域，确定函数f（x）的定义域

设f ［g （x）］的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E.又f对x作用，作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.

例4 若函数f（x2+1）的定义域为（-3，-1）∪（1，3），求函数f（x）的定义域.

解 据题意，-3＜x＜-1或1＜x＜3，则2＜x2+1＜10，故f（x）定义域为（2，10）.

3. 知f ［g （x）］定义域，求函数f ［h（x）］的定义域

设f ［g （x）］的定义域为D，即x∈D，由此得g （x）∈E，f 的作用范围为E.又f 对h（x）作用，作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f ［h（x）］的定义域.

例5 已知函数f（x+1）的定义域为［0，1］，求函数f+1的定义域.

解 据题意，0≤x≤1，故1≤x+1≤2，于是1≤+1≤2，故0≤≤1，所以x≥1，故f+1定义域为{x|x≥1}.

点评 该题型综合了前两种题型的解法.

综上，若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子集.

1. 函数f（x）=+lg（2+5x-3x2）的定义域是（）

A. -，2B. -，1

C. -2，D. -∞，-

2. 若函数f （x）的定义域是［0，2］，则函数g （x）=的定义域是（）

A. ［0，1］B. ［0，1）

C. ［0，1）∪（1，4］D. （0，1）

3. 已知函数f （2x-1）的定义域为［1，4］，那么函数f （x）的定义域为.

4. 已知函数f （2x）定义域是［1，2］，则函数f（log2x）的定义域为.

初中三角函数怎么学 篇14

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·初中三角函数积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·初中三角函数和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

最后，初中三角函数怎么学才能掌握好，才能为高中三角函数打下扎实基础?

既然谈到初中三角函数实为高中三角函数的基础，我给大家举一个高中的例子：

我记得有一年，有个高一的学生找到我，说高一数学学得很一般，希望我能给他点拨点拨。他就拿着一套卷子来到我办公室，上面有一道题是：

y=sinx23sinxcosx4cosx2

求这个函数的最值。

我一看高一的学生，连这个题都不会做，可见他的水平太一般了。这个题我几句话就能给他讲明白，但我不能光给他讲这个题，而是考虑这个孩子的问题出在哪儿，否则同样的题他还是不会做。

我就问他：“降幂公式会吗?”

他说不知道。

我心想今天是碰着“高手”了，我继续问：“三角函数的倍角公式你会吗?”

他想了想：“没有印象了。”

我继续往回推：“两角和与差的三角函数你会吗?”

他想了想：“sin(αβ)好像等于sinαsinβcosαcosβ。”

我都想跳楼了，一个高一的学生，两角和与差的三角函数都记不住，还有什么可说的?但是我这个人也比较固执，我一般要帮的学生，他再怎么差，我也要把他帮到底。我想今天豁出去了，我非要把他不会的根源挖掘出来，继续往回退，问他：“任意角的三角函数定理，你知道吧?”

他说不知道。

再往回退，一直退到初二的内容上：“锐角三角函数的定理你知道吧?”

他说：“老师，你能不能说得具体一点儿?”

我说：“在一个直角三角形里，那个sinα等于什么?”

他眼睛一亮：“sinα等于对边比斜边。”

我说：“就是它。”又问：“cosα等于什么?”

“cosα等于邻边比斜边。”

“tanα呢?”

“等于对边比邻边。”

我总算松了一口气，说：“孩子你太厉害了，你竟然连这个东西都记着，就从它开始。”

我为了把这个学生的问题解决，一直给他退到初二的内容了，从初二开始讲起。

我说：“跟着我想，我们要把这个直角三角形平移到直角坐标系下边，你看那个斜边成了直角坐标系下的一个角的终边，那么你说，sinα等于什么?cosα等于什么?”

他一想，于是就出现了任意角的三角函数定义，然后用任意角的三角函数，我引导着他派生出同角三角函数间的基本关系、平方关系、商数关系、倒数关系，这些都是他自己推导的。我继续引导这个学生往前走，结果在我的引导下，用了两个小时的时间，这个学生竟然从锐角三角函数定义开始，把他高中学过的所有的三角函数的公式全部推导了一遍。我在旁边看着，他的鼻尖上都冒汗了，状态非常投入。

我说：“今天这个课就上到这儿吧，我看你这两个小时把三角函数的内容全给搞定了。”

他吃了一惊，问：“老师，多长时间了?真的过了两个小时了吗?”

我说：“你看看表，咱们从八点开始，你看现在都十点多了。”

他说：“老师，原来学习这么好玩!我学了这么多年数学，也没找着一次这样的感觉，这两个小时我怎么把三角函数全给搞定了?”

我笑着问：“现在三角函数的公式还需要记忆吗?”

他说：“不需要记忆，我现在绝对能记住。因为我都会推导它了，我还怕它吗?”

在理解的基础上，加以记忆，这是一个很好的办法。碰到记不住的公式，自己推导一下，就算考试时一时想不起来，现推都来得及。而且你推导过几次，那个公式就逐步成为你永恒的记忆。

由此可见，要在理解的基础上加以记忆。其实好多问题，你理解了，就记住了;你不理解它，硬性的记忆，可能用的时间很长，也记不住，就算记住也会忘得很快。

数学上的很多定理，你要把它记下来很难，但你要是把这个定理求证一遍，它就活灵活现地展现在你面前，这个定理你不用记就记住了。

注意事项

函数怎么学最简单最学习方法 篇15

高中函数学习方法：

1、理解函数的概念，了解映射的概念。

2、了解函数的单调性的.概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。

3、了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。

4、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

5、理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。

6、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

巧用函数性质求数列通项 篇16

不动点的定义:函数f (x) 的定义域为D, 若存在x0∈D, 使f (x0) =x0成立, 则称x0为f (x) 的不动点;或称 (x0, x0) 为函数f (x) 图像的不动点.尽管不动点是函数中的知识, 但是利用不动点的知识求数列的通项会取得意想不到的效果.

一、形如“an=Aan-1+B (n≥2, n∈N*, A, B是 非零常数 ) ”求通项

二、形如“an=Aan-1+Bn (n≥2, n∈N*, A, B 是 非零常数 ) ” 求通项

例2:已知数列{an}满足a1=2, an=3an-1+2n (n≥2) , 求数列{an}的通项.

解析:待定系数法

三 、形 如 “an=Aan-1+Bn +C (n ≥2, n ∈N*, A, B, C 是 非 零 常数) ”求通项

例3:已知数列{an}满足a1=2, an=3an-1+2n+3 (n≥2) , 求数列{an}的通项.

四、形如 (n≥2, n∈N*, A, B, C是非零常数 ) ”求通项

由以上四个例题, 不难发现利用不动点原理求数列的通项的一般步骤: (1) 找到递推数列对应的特征函数f (x) ; (2) 令f (x) =x, 求出不动点x0; (3) 在递推公式的两边减去x0, 构造等比数列; (4) 化简、整理, 求出数列{an}的通项.

对于第一种类型:“an=Aan-1+B (n≥2, n∈N*, A, B是非零常数) ”, 由于题目比较简单, 以上两种方法都适用.但是对于第二种类型:“an=Aan-1+Bn (n≥2, n∈N*, A, B是非零常数 ) ”;第三种类型:“an=Aan-1+Bn+C (n≥2, n∈N*, A, B, C是非零常数 ) ”;第四种类型: (n≥2, n∈N*, A, B, C是非零常数 ) ”, 求通项时, 用待定系数法计算量较大, 参数较多, 运算比较繁琐, 考生易出错.用不动点法可以弥补以上不足, 达到事半功倍的效果.有些特殊的题型用常规方法很难解决, 但是利用不动点的知识求数列的通项会取得意想不到的效果. 例如以下类型.

五、形如“an=Aan-1p (n≥2, n∈N*, A, p是 非零常数 ) ”求通项

例5:已知数列{an}满足a1=3, an=3a2n-1 (n≥2) , 求数列{an}的通项.

六、形如“an=A+B/an-1 (n≥2, n∈N*, A, B是非零常数) ”求通项

用不动点法求数列通项, 的确能取得意想不到的效果, 但它不是万能的.在有些题型中, 不动点不易求出, 这时就不如直接利用待定系数法求同项.例如以下类型.

七、形如“an=Aan-1+Bn2+Cn+D (n≥2, n∈N*, A, B, C, D是 非零常数) ”求通项

求一次函数解析式的常见类型 篇17

一、定义型

例1 已知函数y=（m+2）xm-3-5，当m=_____时，表示y是x的一次函数，此时函数解析式为_______。

解析 一次函数y=kx+b中自变量x的次数为1，系数k≠0，得m2-3=1且

m+2≠0，解得m=2，此时函数解析式为y=4x-5。

点评 利用定义求一次函数解析式时，不要忽视一次项系数k≠0。如本题中要特别注意m+2≠0。

二、性质型

例2 某一次函数的图像过点（-1，2），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数的解析式为_______。

解析 设所求一次函数解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。由题意可知，k应取小于0的数，如取k=-1，又因为一次函数的图像过点（-1，2），把点（-1，2）的对应值代入y=kx+b，得-1×（-1）+b=2，解得b=1，故所求函数的解析式为y=-x+1。

点评 本题答案不唯一，属结论开放型题目，抓住题中的条件，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键。

三、两点型

例3 若一次函数的图像经过点（-1，8）和点（2，-1），求这个函数的解析式。

解析 设一次函数的解析式为y=kx+b，把点（-1，8）和点（2，-1）的对应值代入得

-k+b=8，2k+b=-1。解得k=-3，b=5。故所求函数的解析式为y=-3x+5。

点评 已知两点坐标，即知道了自变量和函数值的两对对应值，将它们分别代入y=kx+b构造方程组，求出待定系数k、b的值，就可得到函数的解析式。

四、表格型

例4 下表给出了y与x的一些对应值，你能得出y与x之间的函数解析式为_______。

解析 根据表格提供的信息发现，自变量x值均匀增加时函数y的值也随着均匀增加，因此y是x的一次函数。设函数解析式为y=kx+b，可从表格中任选取两对x、y的值如（3，5）、（5，13）代入得3k+b=5，5k+b=13。解得k=4，b=-7。故所求一次函数解析式为y=4x-7。

点评 如果一个变量的取值随着另一个变量取值的均匀变化而变化，那么这两个变量之间存在一次函数关系。

五、图像型

例5 如图1，直线l对应的函数解析式为（ ）

A.y=-2x+1B.y=-2x+2

C.y=x-2D.y=2x-2

解析 由图像可知，直线l经过点（1，0）与点（0，-2）， 因为一次函数的图像是一条直线，所以可设所求函数解析式为y=kx+b，把（1，0）与（0，-2）代入得k+b=0，b=-2。解得k=2，b=-2。故直线l对应的函数解析式为y=2x-2。故答案选D。

点评 根据函数图像求解析式时，要设法找到图像上两个已知点的坐标，才能确定直线的解析式。

六、平移型

例6 把直线y=-2x+4向右平移2个单位得到的直线的解析式为_____。

解析 设直线的解析式为y=kx+b，由题意知这两条直线互相平行，所以k=-2，因为直线y=-2x+4与x轴的交点为（2，0），将该直线向右平移2个单位得到的直线与x轴的交点为（4，0），把点（4，0）的对应值代入y=-2x+b得b=8，故所求直线的解析式为y=-2x+8。

点评 本题也可以根据直线平移的规律“自变量左加右减，常量上加下减”的原则来确定解析式。把直线y=-2x+4向右平移2个单位，自变量x变为x-2，所求直线的解析式为y=-2（x-2）+4，即y=-2x+8。

七、面积型

例7 已知直线y=kx-4与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求该直线的解析式。

解析 在直线y=kx-4中，令x=0，得y=-4；令y=0，得x=，

所以直线y=kx-4与两坐标轴交点分别为A（0，-4）和B（，0），

则OA=-4=4，OB=，由题意得×4×=4，即k=2，解得k=±2。

故所求直线的解析式为y=2x-4或y=-2x-4。