二次函数最值应用问题

二次函数最值应用问题（精选8篇）

二次函数最值应用问题 篇1

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

二次函数最值应用问题 篇2

一、函数f (x) =x2-2x+2在区间[-1, 3.2]上的 最大值和最小值的动态演示

二、函数f (x) =x2-2x+2在区间[t, t+2]上的最 大值和最小值的动态演示

2.隐藏图像上不要的元素, 使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴, 过A、B两点作x轴的垂线段, 作出线段PM, 再过M作y轴的垂线段 (虚线) , 最后将A、B、P、M的标签改为t, t+2, x, f (x) , 如图2.

4.当t≤-1时, 函数的最大值为f (t) , 最小值为f (t+2) ;当-1<t≤0时, 函数的最大值为f (t) , 最小值为f (1) ;当0<t≤1时, 函数的最大值为f (t+2) , 最小值为f (1) ;当t>1时, 函数的最大值为f (t+2) , 最小值为f (t) .

三、函数f (x) =x2-2tx+2在区间[-1, 1]上的最 大值和最小值的动态演示

1.在x轴上构造一点A, 过A点构造x轴的垂线, 再在垂线上构造一点B, 度量其纵坐标, 记为t, 并将B点标签改为t.

3.隐藏图像上不要的元素, 使图像更加简洁.作出对称轴, 并作出线段EF, 再过F作y轴的垂线段 (虚线) .将点E、F的标签改为x, f (x) .

二次函数最值应用问题 篇3

一、函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值的动态演示

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.

图1

二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.

图2

3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.

4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-11时，函数的最大值为f（t+2），最小值为f（t）.

三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示

1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.

2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.

3.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出对称轴，并作出线段EF，再过F作y轴的垂线段（虚线）.将点E、F的标签改为x，f（x）.

4.拖动参数t，观察图像的变化，然后保持参数t不变，再拖动点x，观察其函数值的变化，得出函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值（图略）.

5.当t≤-1时，函数的最大值为f（1），最小值为f（-1）；当-11时，函数的最大值为f（-1），最小值为f（1）.

二次函数的最值问题的研究 篇4

（文献综述）

（内江师范学院数学与应用数学，四川 641100 王强）

摘 要函数的最值问题是高中阶段研究函数性质的一个重要指标，除了知道什么是函数最值如何求解最值这类高中生必须达到的基本要求外，能够精通求解函数最值的各种解法以及巧妙解答各类题型是对高中教师乃至高中学生的进一步要求。近年来，随着新课程的改革，教材中需要掌握的内容越加繁杂，对于知识的领悟程度也越发要求的高，高考中考查最值的题目难度增大，这不管是对于教师还是学生来说都是一个大的挑战，适应这一系列的变化，已经成为一种趋势，教师需要大量的学习、更精深的知识以及更多的方法来帮助学生度过难关，以达到一个高中生该具有的基本数学素养。

关键词 函数最值 解法 解题

前 言 最值问题是是高中数学乃至高考的热点以及重点，也是考察其他知识点的载体，它不但可以训练学生的逻辑思维，而且可以掌握很多的解题技巧，提高解决问题的能力，是解决函数问题的基准．如二次函数的最值问题可以更确切的认识图象，能够形象地判断所求闭区间内函数的最值．在实际生活中在具体问题中建立数学模型，解决高中数学建模中简单的最优化问题，以明确在生产生活中何时利润最大，成本最低，用料最省等等，它对其他学科也有辅助作用，如物理中的最短路线问题，经济学中的投资收益，航天发射计算最佳时间等．学习最值问题主要还是为了在高考中解决涉及最值问题的题型，如线性规划、三角函数、数列、圆锥曲线、导数等都会适当考查运用，是决战高考的基础知识。

1.高中生学习函数最值问题的困难

现在有很多学生遇到题目不会灵活应用，只会一味模仿以前做题的方式，用学到的很浅显的最值概念去解题，而没有作融会贯通，举一反三，计算能力以及解题技巧都还处在很基础的水平，在解题的时候很多学生搞不清已知条件所要传达的信息，无法正确的得出结论，更无法自如的应对结合诸多知识点的难题，亦或是高考．在平时的生活中，更是照本宣科，无法将学习到的最值问题，数学模型应用到实际生活中，当今时代，经济、金融已经是毕业生们想要争先步入的龙头行业，众所周知，学好经济学要很扎实的数学基础，由此看来，从长远考虑，最值问题是高中生在高中的一堂必修课。

2.先前研究成果

由于函数最值在高考以及日常生活的重要性，所以，对于函数的最值的研究也一直没有间断．如陈克胜于2005年在高等函授学报（自然科学版）发表的《求函数最值的方法举例》中为求解函数最值提供思路，重点是为了拓宽学生解决函数最值有关问题的视野，倡导应该通过解题，在解答过程中培育创新思维能力；游波平在《函数最值解法技巧探究》（《重庆文理学院》（自然科学版）2007.4）给出了一些求解函数最值的技巧，如数形结合思想这一类比较惯用的思想，并致力解决生产、生活和科学研究中的常见问题；王贵军2010年3月发表一篇题为《几何法在求解函数最值问题中的应用》的文章，旨在运用几何图形以及题目的几何意义来解决函数的最值问题，给我们以新的启迪．颜世序2012年3月在解题技巧与方法发表《浅谈导数在求函数最值中的应用》，将求函数最值的问题融入到求导的问题当中，导数也是高考的一个比较重要且相对较难的考点，笔者把函数最值与高考结合起来，更加说明函数最值的应用广泛性．2013年，张永红发表《新课标下高中数学应用题中的最值问题研究》，他在这项研究中紧密结合我国现阶段高中数学教学状况，精心挑选了部分高考题进行方法总结，并通过问卷调查得出实证，为读者分享了自己应对此问题的教学策略．陈荣灿在2010年发表毕业论文《高中数学最值问题的教学研究》，他主要指出了高中最值问题在教学过程中本身存在的一些不足，并且为了提高教学质量从例题的讲解、课时的安排、激发学生的学习兴趣、运用数学观点数学思想等方面给出建筑性的意见．

以上这些文献期刊都没有做到全面系统的给出有关最值的解题方面行之有效并且实用的方法。

3.二次函数最值问题的研究点

求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，前面的文献很多都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑，这样学生依然会陷入自己原有的思维定势，不懂得理论与实践的结合，在今后的做题中依然会遇到同样的问题．本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，主要针对做题，也给教师一些习题课的建议，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。函数最值的问题包括求解某初等函数在闭区间内的最值，复合函数的最值，经济生活中的最大收益、最小成本、最大期望等的最值，而求解函数最值的主要核心是解法，俗话说，凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，这样一来，学生多学习课外知识就显得尤为重要．眼观六路，容易充实人的大脑，耳听八方，可以丰富人的思维，高中生需要这样的实践来提升自己．文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题。

参考文献

【1】谭永基，俞红．现实世界的数学视角与思维［M］．上海：复旦大学出版社．2010：41-45．

【2】梁红．高考三年真题研究（文数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【3】梁红.高考真题超详解（理数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【4】陆军．三角函数最值问题的八种求解策略［J］．延边教育学院学报．2012，26（1）：46-53．

【5】游波平．函数最值解法技巧探讨［J］．重庆文理学院学报．2007，26(2)：108-110．

二次函数最值应用问题 篇5

设计意图: 同学们学习了二次函数以后，有一类问题就是讨论二次函数在闭区间上的最值问题，同学们可能感觉不太好做。这节课就这样一类问题进行讨论。教学目标：

希望通过这节课的讨论，同学们能够对这一类问题有一个清晰的认识，以后再碰到类似的问题会思考，从而会解题。教学重难点：

让学生通过仔细观察二次函数图像，体会和理解二次函数在闭区间上最值问题的解法，并逐步培养对参数进行讨论的意识和习惯。教学方法：

借助多媒体进行教学。

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)axbxc(a0)，求f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。2b4acb2b分析：将f(x)配方，得顶点为、对称轴为 x，2a4a2a 当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

bm，n时，f(x)的最小值是（1）当2a2b4acbf，f(x)的最大值是2a4af(m)、f(n)中的较大者。

bm，n时 2abm，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)若2ab若n，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a

当a0时，可类比得结论。（2）当例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下三种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定

第1页（共4页）区间上的最值”。

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

分析：画出函数图像如下不难求出最值。2图1 练习.已知2x3x，求函数f(x)xx1的最值。

22图2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

2图1图2图8 2f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 练习.已知

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

第2页（共4页）

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图3)b12af(m)，(mn)(如图1)bb2a2f(x)minf()，mn(如图4)

b12a2af(n)，(mn)(如图2)b2a2f(m)，m(如图5)2a

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图6)b12af(m)，(mn)(如图9)2a2bb f()，mn(如图7)f(x)minb12a2af(n)，(mn)(如图10)b2a2f(m)，m(如图8)2a

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知对称轴x22a1即可得最值。2

图3 练习.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。

2第3页（共4页）二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例4.已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。分析：分三种情况：最大值是在-3,2，还是在顶点处取得，求出a，然后再检验即可。

练习.已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间3求实数,2上的最大值为3，2a的值。

三．作业

21．函数yxx1在[1,1]上的最小值和最大值分别是

（）

(A)1 ,3

(B)2311 ,3

（C） ,3

（D）, 3

424

2已知函数yx2x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________3．设f(x)x24x4,x[t,t1](tR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。

4．已知f(x)xax

小结与反思：

这节课学习了二次函数在闭区间上的最值得求法。课后了解到并没有达到预期的目的。这样设计的优点是：这类问题讨论得比较全面。不足是：内容太多，讲解不够仔细，学生并不能掌握。如何改进：我想针对以上不足，可以把以上内容分两个课时来上，或者选择例题更简单些，让学生易于接受，同时，如果借助多媒体教学，会更直观形象一些，效果可能会更好一些。

二次函数最值应用问题 篇6

（二次函数与线段、面积最值综合题型）

一．

突破与提升策略：

1．面积最大值

（1）三角形有一条边在坐标轴上：

以在坐标轴上的边为底边，过不在坐标轴上的顶点作垂线；

（2）三角形的三边都不在坐标轴上：

过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线(应用最多)；

（3）四边形有两边在坐标轴上：

过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线.2.面积倍数关系：先求出其中一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解．

二．典型题提升练习

1.如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B，C，D三点，且B点的坐标为(－1,0)，(1)求二次函数的解析式；

(2)在二次函数的图象位于x轴上方部分有两个动点M，N，且点N在点M的左侧，过点M，N作x轴的垂线交x轴于点G，H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

2.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是多少？

3.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC.求线段PM的最大值；

4.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

5.在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，已知A(1,4)，B(3,0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)探究：如图①，连接OA，过点D作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；

(3)应用：如图②，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m＋n＝－1，连接PA，PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．

提示：若点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为.6.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y

轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横

坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

7.如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动

点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．

（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）．

（1）求b，c的值；

（2）直线l与x轴交于点P．

①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；

②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式．

9.如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将

直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．

（1）求直线AD的函数解析式；

（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点

①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；

②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．

10.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC.(1)

求抛物线的解析式；

(2)

点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为；

(3)

点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)

若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且

OB=OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边

形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5

两部分，求点P的坐标．

12.如图,已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(－5,0),B(－4,－3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的表达式;

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图，已知抛物线经过点（-1,0）、（5,0）.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积

（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）

14.如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）当点在直线l上方的抛物线上时，过点作轴交直线l于点，作轴交直线l于点，求的最大值；

二次函数在闭区间上的最值问题 篇7

一、定轴定区间

例1.已知函数f (x) =2x2+x-3, 求f (x) 在[-1, 2]上的最值。

解析:这里f (x) 图象 (抛物线) 开口向上, 对称轴, 且, 故

评注:例1中函数的对称轴确定, 区间也确定, 因而最值也是确定的。求解的关键是判断图象的开口方向及对称轴的位置 (即对称轴在不在给定的区间内) 。

一般的, 二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 在闭区间[p, q]上的最值可能出现以下三种情况:

(1) 若则f (x) 在区间[p, q]上是增函数, 则

(3) 若则f (x) 在区间[p, q]上是减函数, 则

二、定轴动区间

例2.设函数f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求g (t) 的解析式。

解析:由题意, f (x) = (x-1) 2-2, 则:

(1) 当t>1时, f (x) 在[t, t+1]上是增函数, 故g (t) =f (x) min=f (t) =t2-2t-1。

(2) 当1∈[t, t+1], 即0≤t≤1时, g (t) =f (x) min=f (1) =-2。

(3) 当t+1<1, 即t<0时, f (x) 在[t, t+1]上是减函数, 故

评注:例2中函数的对称轴给定, 定义区间因含参数而位置不定, 故求解方法是依对称轴与区间的位置分三种情形讨论。

三、动轴定区间

例3.已知函数f (x) =x2+ax+3-a, 若x∈[-2, 2]时, f (x) ≥0恒成立, 求实数a的取值范围。

解析:本题即求在[-2, 2]上, f (x) 的最小值非负时实数a的取值范围。

由, 则讨论如下:

(1) 当, 即a>4时, f (x) 在[-2, 2]上是增函数, 则f (x) min=f (-2) =7-3a≥0, 得, 这与a>4矛盾, 舍去。

(2) 当-2≤-2a≤2, 即-4≤a≤4时, , 得-6≤a≤2, 从而可得-4≤a≤2。

(3) 当, 即a<-4时, f (x) 在[-2, 2]上是减函数, 则f (x) min=f (2) =7+a≥0, 得a≥-7, 又a<-4, 从而-7≤a<-4。

综上, 实数a的取值范围是[-7, 2]。

评注:例3中的函数区间确定, 而对称轴含参数不确定, 从而仍按对称轴与区间的三种位置关系讨论。

四、动轴动区间

例4.已知y2=4a (x-a) (a>0) , 求f (x) = (x-3) 2+y2的最小值。

解析:将y2=4a (x-a) 代入f (x) 中,

得f (x) = (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2, x∈[a, +∞)

(1) 当3-2a≥a, 即0<a≤1时, f (x) min=f (3-2a) =12a-8a2。

(2) 当3-2a<a, 即a>1时, f (x) min=f (a) = (a-3) 2。

评注:例4中的函数不定, 区间亦不定, 同样是按对称轴关于区间位置分情况讨论。

总之, 二次函数在闭区间上的最值, 受限于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是其中的含参数最值问题, 注意“定”“动”结合, 合理突破, 所以, 分类讨论常常成为解决此类问题的通法。

摘要：二次函数 (fx) =ax2+bx+c (a≠0) 在闭区间[p, q]上的最值问题实质是利用函数的单调性, 就对称轴与区间的“定”“动”关系, 分类解析

数学中考中的二次函数最值问题 篇8

关键词：中考数学；二次函数；最值问题；解题方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）12-367-01

二次函数一般出现在综合题中，变化比较多，本文就二次函数最值问题，结合中考真题，粗略地谈谈。

要想解决二次函数最值问题，必须掌握二次函数最值问题最基本的基础知识：二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，顶点为 ，对当a＞0时，当x= 时，函数最小值为 ；当a＜0时，当x=时，函数最大值为 。如果把二次函数y=ax2+bx+c通过配方法变为：y=a(x－h)2+k的形式，则对当a＞0时，当x=h时，函数最小值为k；当a＜0时，当x=h 时，函数最大值为k。

一、在中考中有很多题目都是直接运用这些基础知识的，来看看几个例题：

例1、(2013年广东湛江)抛物线 的最小值是．本题中，a＝1>0，我们知道，有最小值是1

例2、（2013•内江）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）

A、抛物线开口向上B、抛物线的对称轴是x=1

C、当x=1时，y的最大值为﹣4D、抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）

本题中的C选项就是一个最值问题，只要了解二次函数最基本的知识就能完成，解答如下：

解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c，得c＝－3则y=x2﹣2x-3＝（x-1）2-4

在关系中，a＝1>0，我们知道函数有最小值，是－4.

所以，本题唯一错误的选项就是C

所以说，在数学中考中，二次函数最值问题考察得比较多，题型也比较多，有选择、填空，也有综合题。

二、并不是所有的二次函数最值问题都是直接用基础知识解答的，有一些问题中，自变量的变化范围并不是全体实数，有取值范围，学生们在作题的时候，不要在配方为y=a(x－h)2+k的形式后，就马上迫不急待地写：当x=h时，函数最大（小）值为k，要把考虑x=h是否在题目要求的取值范围内作为一个程序编在大脑里，避免不必要的错误。

（三）还有些题目是上述形式的综合，在一个问题中，在自变量不同的取值范围有不同的函数，我们要分别求出在不同取值范围内的最值（而在不同函数中的最值可能是有上述的各种情况出现），再得出最终的最值，更需要学生认真思考，如下一题：

例3、（2013•呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为 ；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

①请P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．

本题中的第（3）问的第③小问是一个最值问题，要分三种情况进行讨论：

当E在OC上，D在OA上，即当0≤t≤1时，此时S= OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S= OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；当E，D都在CA上时，即当2＜t＜ 相遇时用的时间，此时S=S△AOE﹣S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；