函数奇偶性的归纳总结

函数奇偶性的归纳总结（精选7篇）

函数奇偶性的归纳总结篇1

考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：

1、理解函数奇偶性的概念；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；

3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；

4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：

1、理解奇偶函数的定义；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：

1、对奇偶性定义的理解；

2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx〔或或fxfx0〕函数f（x）是偶函数；

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx〔或

fx1fxfxfx0 函数f（x）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较f(x)与f(x)的关系。③、扣定义，下结论。

fx1或fx⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。③若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)。

二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.【例1】判断下列函数的奇偶性：(1).f(x)x2x1;(2).f(x)

解：f(x)函数的定义域是(，)，∵ f(x)x22x1，∴ 2x22x3,xx0;xx3f(x)(x)22x1x22x1f(x)，∴ f(x)x22x1为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数f(x)x22x1的图象如下：由函数f(x)x22x1的图象可知，f(x)x22x1为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2).解：由 x30，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).x3∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】判断下列函数的奇偶性：

1x04x23;(2).f(x)3sin((1).f(x)。2x);(3).f(x)2x33x1222x24x0解：(1).由，解得 

x330x0且x64x24x2∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则f(x);.x33x4(x)24x2∴f(x)f(x);.xx4x2∴f(x)为奇函数.x33说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2).函数f(x)3sin(∵f(x)3sin(32x)定义域为R，232x)3cos2x，2∴f(x)3cos2(x)3cos2xf(x)，3∴ 函数f(x)3sin(2x)为偶函数。

2x0x0(3).由2，解得 ，∴ 函数定义域为xRx0,x1，x1x101x01120，∴f(x)0，又∵f(x)2x1x1∴f(x)f(x)且f(x)f(x)，1x01120 既是奇函数又是偶函数。所以f(x)2x1x1【例3】判断下列函数的奇偶性：

x(1x),(x0)(1).f(x)log0.5(xx21)；(2).f(x)0,(x0)

x(1x),(x0)解：(1).定义域为R，∵f(x)f(x)log0.5(x(x)21)log0.5(xx21)log0.5((x21)x)log0.510，∴ f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数。

说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找f(x)与f(x)关系，但当直接找f(x)与f(x)关系困难时，可用定义的变形式：fxfx0函数f（x）是偶函数；fxfx0 函数f（x）是奇函数。

(2).函数的定义域为R，当x0时，x0,f(x)(x)(1x)x(1x)f(x);当x0时，x0,f(x)0f(x);

当x0时，x0,f(x)(x)1(x)x(1x)f(x).综上可知，对于任意的实数x，都有f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

2、抽象函数判断其奇偶性：

【例4】已知函数f(x)(xR且x0),对任意的非零实数x1,x2,恒有f(x1x2)f(x1)f(x2),判断函数f(x)(xR且x0)的奇偶性。

解：函数的定义域为(,0)(0,)，令x1x21，得f(1)0，令x1x21，则2f(1)f(1),f(1)0, 取x11,x2x，得f(x)f(1)f(x),f(x)f(x)，故函数f(x)(xR且x0)为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：

(1).求字母的值：

ax21【例5】已知函数f(x)(a,b,cZ)是奇函数，又f(1)2，f(2)3，bxc求a,b,c的值.解：由f(x)f(x)得bxc(bxc)，∴c0。

4a1又f(1)2得a12b，而f(2)3得3，2b4a1∴3，解得1a2。

a1又aZ，∴a0或a1.1若a0，则bZ，应舍去；若a1，则b1Zb=1∈Z.2∴a1,b1,c0。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(－1)=－f(1)，得c =0。(2).解不等式：

【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知f(x)＜0的解集为｛x｜－1＜x＜1｝，∴f(x－1)＜0的解集为｛x｜0＜x＜2｝.答案：｛x｜0＜x＜2｝

说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x－1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.(3).求函数解析式：

【例7】已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).分析：先设x＞0，求f(x)的表达式，再合并.解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.当x＞0时，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，∴f(x)=－xlg(2+x)(x＞0).∴f(x)xlg(2x)(x0)。

xlg(2x)(x0)说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。

三、巩固训练：

一、选择题

1.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1－x)，且f(x)为奇函数，则x∈(－∞，0］时f(x)等于

A.－x(1－x)B.x(1+x)

C.－x(1+x)D.x(x－1)

ex11x2.已知四个函数：①ylog2，②yx，③ y=3x+3-x，④ y=lg(3x+3-x).1xe1其中为奇函数的是

A.②④ B.①③ C.①④ D.①②

3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－2x，则在R上f(x)的表达式为 A.－x(x－2)

B.x（｜x｜－2）

C.｜x｜(x－2)

D.｜x｜（｜x｜－2）

二、填空题

4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a=_____________，b=____________.15.若f(x)xa(x∈R且x≠0)为奇函数，则21a=_______________.6.已知f(x)=ax7－bx+2且f(－5)=17，则f(5)=_______________.7.已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________

三、解答题 8.已知G(x)11且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。f(x)2f(x)3，求f(x)和x39.已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.10.设函数f(x)是偶函数，函数g(x)是奇函数，且f(x)g(x)g(x)的解析表达式。

11.已知f(x)＝x5+ax3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。12.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)af(x)bg(x)2在区间(0,)上的最大值为5，求F(x)在区间(,0)上的最小值。

13.已知f(x)是奇函数，在区间(2,2)上单调递增，且有f(2a)f(12a)0，求实数a的取值范围。

四、巩固训练参考答案：

一、选择题

1.解析：x∈(－∞，0］，－x≥0，∴ f(－x)=(－x)(1+x)，－f(x)=－x(1+x).∴f(x)=x(1+x).答案：B 2.提示：可运用定义，逐个验算.答案：D 3.解析：设x＜0，则－x＞0，∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(－x)=－［(－x)2－2(－x)］=－x2－2x.x22x(x0)∴f(x)2，即f(x)= x（|x|－2），故答案：B。

x2x(x0)

二、填空题

4.解析：定义域关于原点对称，故a－1=－2a，a又对于f(x)有f(－x)=f(x)恒成立，∴b=0.答案：

1，31，0。31115.解析：特值法：∵f(－1)=－f(1)，1a(1a)，a。

212121答案：。

26.解析：整体思想：f(－5)=a(－5)7－ b(－5)+2=17(a·57－5b)=－15，∴ f(5)=a·57－b·5+2=－15+2=－13.答案：－13。

7.解析：∵ f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，∴ 补充其图像如图，又∵不等式

f(x)0f(x)0或，解得x3，或x1或f(x)cosx0同解于22cosx0cosx00x1，∴不等式f(x)cosx0的解集是,10,1,3，答案：

22,10,1,322。

三、解答题

8.解：由x=lnf(x)得f(x)=ex.111x11xxe(ee)。f(x)xe22f(x)211又G(x)(exex)(exex)G(x)，∴G(x)为奇函数。

22∴G(x)9.证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).∵ f(0)≠0，∴f(0)=1.令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).∴ f(－y)=f(y).∴ f(x)是偶函数.归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.10.解：∵f(x)g(x)33(1)，∴f(x)g(x)，x3x3又∵函数f(x)是偶函数，函数g(x)是奇函数，∴f(x)f(x)，g(x)g(x)，∴上式化为f(x)g(x)f(x)99x23(2)，解(1),(2)组成的方程组得

x33x(xR,x3)，g(x)2(xR,x3)。

x911.分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解

解：令g(x)=x5+ax3-bx，则g(x)是奇函数，所以g(-2)＝g(2)，于是f(-2)＝g(-2)-8,∴ g(-2)=18.所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.12.解：设h(x)af(x)bg(x)，则h(x)af(x)bg(x)为奇函数，因为当x(0,)时，F(x)5,所以h(x)af(x)bg(x)F(x)23, 所以当x(,0)时，F(x)2h(x)af(x)bg(x)3,即F(x)1, 故F(x)在区间(,0)上的最小值为-1。

函数奇偶性的归纳总结篇2

一、函数奇偶性的产生背景

从数学概念产生的客观背景来说, 一般有两种情形:一是直接从客观事物的空间形式和数量关系反应得来的。二是在已有数学概念的基础上, 经过多层次的抽象概括而形成的。显然, 函数奇偶性的产生属于前者。在现实世界中, 存在着大量对称性的物体或图形。我们将这些物体或图形抽象为平面内的一条曲线, 并将其放于平面直角坐标系中。然后, 以坐标为工具通过数量关系来反映曲线上点与点之间的对称关系。具体来说, 若一个函数的图象关于点成中心对称 (或关于直线成轴对称) , 我们把该图象进行平移, 使得对称中心与原点重合 (或对称轴与轴重合) , 这就是奇函数 (或偶函数) 的图象。因此, 函数奇偶性是对客观事物属性的抽象产物。

二、函数奇偶性的数学意义

研究函数的奇偶性即研究函数图象的对称性。对于具有对称性的物体或者图象, 我们可以从其对称中心或对称轴将其平分成两部分, 进而可以根据其中一部分的形状和特点推导出另一部分的形状和特点。因此, 对于中心对称或轴对称的函数图象, 我们常常可以通过对其中一侧的研究而得到另一侧的性质。

三、函数奇偶性的本质属性

奇函数和偶函数的本质属性有两个侧面:“形”的特征和“数”的表示, “数”与“形”有着密切的联系。在“形”的方面, 奇函数关于原点对称, 偶函数关于y轴对称;而在“数”的方面, 则是利用函数解析式描述函数图象的对称特征, 对于函数f (x) 的定义域内的任意一个x, 都有f (-x) =f (x) , 那么f (x) 就叫做偶函数;若都有f (-x) =-f (x) , 那么f (x) 就叫做奇函数。

因此, 对函数奇偶性的教学要突出从“形”“数”两个方面, 由“形”得“数”, 由“数”思“形”, 体现发现和探究的理念。教学时不适合一开始就给出定义, 而是应该先让学生观察图形, 从中寻找它们的共性, 目的是让学生先有个直观上的认识, 体会“形”的特征。另外, 为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述, 应先提示学生图形是由点组成的, 找出其间的关系后, 建立奇 (偶) 函数的概念。

数学概念是数学知识中最基本的内容, 是数学认知结构的重要组成部分。现代的一些学者认为“数学的学习过程, 就是不断地建立各种数学概念的过程。”然而, 数学概念具有抽象性, 学生对概念的理解在一定程度上受教师的影响。因此, 教师必须深刻理解每一个数学概念。只有这样, 我们的教学才是有效的、科学的。

摘要：数学概念是数学知识中最基本的内容, 是数学认知结构的重要组成部分。学生对数学概念的理解在一定程度上受教师的影响。教师对概念的深刻理解显得尤为重要, 从三个方面阐述了对函数奇偶性的认识:函数奇偶性的产生背景、函数奇偶性的数学意义、函数奇偶性的本质属性。

关键词：概念,函数奇偶性,本质

参考文献

比较函数奇偶性的代数法和图像法篇3

【2012年高考广东文4】下列函数为偶函数的是（）

A. y=sinx B. y=x3 C. y=ex D. y=In■

【分析】研究函数的奇偶性主要在两个方面：

1. 求出函数的定义域，通过数轴去看定义域是否关于原点对称.2. 验证函数表达式是否满足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），满足前一个等式是奇函数，后一个等式是偶函数，两个等式都不满足的是非奇非偶函数.

对于本题的四个选项的函数的定义域都是R，关于原点对称．然后通过验证函数表达式易知选项A 、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数，对于D有f（-x）=In■=In■=f（x），为偶函数.此法称为代数法.

另解：对于函数的奇偶性也可通过观察函数的图像进行快速判断：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.选项A，B，C都是常见函数，容易画出它们的图像，易看出A，B的函数图像关于原点对称，是奇函数，C的函数图像既不关于原点对称也不关于y轴对称，是非奇非偶函数，因此都被排除，D是正确答案.此法称为图像法.

【答案】D.

小结：对于函数奇偶性的判断问题，如果能够画出图像的，优先考虑图像法；图像法解决不了的再考虑代数法.

变式训练1：【2012年高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A. y=x+1 B. y=-x2 C. y=■ D. y=x｜x｜

【解析】图像法：容易画出选项A，B，C的函数图像，通过观察图像可知A为非奇非偶函数；B为偶函数；C为奇函数；但在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数；而D则先转化为分段函数 y=x2，x≥0-x2，x＜0，再画出它的图像，通过观察可得是奇函数，而且是增函数.因此，选D.

小结：解本题也可以用代数法来判断四个选项的奇偶性，但是在判断单调性时还是用到图像法比较容易解决.因此一开始就采用图像法可以达到一举两得的效果.

变式训练2：【2012年高考重庆文12】函数f（x）=

（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a= .

【解析】本题涉及的函数为二次函数，同学们对它的图像较为熟悉，因此可以用图像法.

图像法：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函数知识可知图像为抛物线，对称轴为x=-■，要使二次函数为偶函数，则对称轴应为y轴，即x=-■=0,这时得a-4=0，得到a=4.

代数法：因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以满足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

小结：对比可知图像法比代数法运算量少，节省时间，减少出错机会.

在高考中，考查函数的奇偶性还会与单调性或周期等知识综合出现，还有一种情况是函数的局部奇偶性，这时应选用图像法还是代数法？请看以下高考题：

【2012年高考浙江文16】设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则

f（■）=______.

【解析】本题是对函数的奇偶性和周期性等知识的综合考查，有一定的难度，用代数法：f（■）=f（■-2）=

f（-■）=f（■）=■+1=■.

另：本题也可用图像法，第一步：先画出当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1的图像，即图1；第二步：由条件f（x）是偶函数可得它的图像关于y轴对称，因此由图1画出关于y轴对称的图像，即图2；第三步：由条件f（x）是定义在R上的周期为2，可由图2得到图3，这时观察图像可求得当x∈[1，2]时f（x）的函数表达式，f（x）=-x＋3 ，最后得到f（■）=-■+3=■.

小结：对比可知在本题中代数法和图像法各有特点.

变式训练3：【2012年高考重庆理7】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]为上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）

A．既不充分也不必要的条件

B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件

D．充要条件

【解析】本题属于抽象函数问题，通过图像法去推理可以起到化抽象为具体的作用，过程如下：先考虑充分性，若f（x）为[0，1]上的增函数，草图可如图4，由条件f（x）是定义在R上的偶函数可知f（x）的图像关于y轴对称，如图5,所以f（x）在[-1，0]上为减函数；再由条件

f（x）以2为周期可知，f（x）在[-1，0]，[-1+2，0+2]= [1，1]，[1+2，2+2] =[3，4]这三个区间上的图像是相同的，如图6，因此具有相同的单调性，都为减函数.因此充分性成立.必要性的原理同上，具体过程留给同学们完成.

而本题若用代数法的话则要繁琐很多，不建议使用.

【答案】D.

【2012年高考上海文9】已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）= .

【解析】本题也属于抽象函数问题，由于没有涉及周期，因此较难用图像来表达函数的特点.而从代数法的角度考虑，g（x）为非奇非偶函数，但是f（x）是g（x）表达式的一部分，是奇函数，也就是说g（x）具有局部奇函数的性质，利用f（-x）=-f（x）便可解决问题.具体过程如下：由g（1）=f（1）+2=1，得f（1）=-1，所以g（-x）=f（-1）+2=-f（1）+2=3.

【答案】3.

变式训练4：【2012年高考上海理9】已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）= .

【解析】本题与上题一样，难用图像法去解决.从代数法去考虑g（-1）=f（-1）+2，设h（x）=f（x）+x2，因为h（x）为奇函数，所以有h（-x） =-h（x），即f（-x）+（-x）2=-f（x）-x2，整理得f（-x）=-f（x）-2x2，因此有f（-1）=-f（1）-2=-1-2=-3，最后得g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1.

【答案】-1.

总结：

1．对于函数奇偶性的问题，若是常见函数的话，一般情况下用图像法会比较直观快速地解决.

2．对于函数奇偶性与周期性的综合问题，一般来讲图像法与代数法各有特点或图像法优于代数法.

3．对于局部奇偶性的问题，往往是用不了图像法的，只能用代数法.

希望同学们在平时解题要善于总结这两种方法的优劣，最后做到取长补短，又快又准地解决问题.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

函数奇偶性的归纳总结篇4

引

言 ········································································································· 1

一、基本概念与基本理论 ············································································ 2(一)函数极限 ··························································································· 2(二)重要极限 ··························································································· 9(三)函数的上极限与下极限 ·································································· 10(四)Stolz定理的推广定理 ···································································· 11

二、习题类型与其解题方法归纳 ······························································ 11(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。················· 12(二)根据定义与极限性质证题的方法 ·················································· 14(三)求函数极限方法 ············································································· 15(四)判断函数极限存在与不存在的方法 ·············································· 20 参考文献： ································································································· 24

函数极限理论的归纳与解题方法的总结

薛昌涛

(渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国)摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。关键词：函数、极限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other.Function emerged for the need of describing this relation.The thory of function limit plays a key role in function theory.There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing.It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis.This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.Key words: Function Limit

Method

引

言

“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把x的函数记为f(x),(x)等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数y与变量x的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。在整个宇宙中，我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。

一、基本概念与基本理论

（一）函数极限

1．函数正常极限与非正常极限定义共4624个，它们的形式是：

xx0xx0xx0xxxlimA(A为有限数)可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义，再推及其它而总观24个定义。

(1)四个基本定义

定义1(M定义)设f是定义在[a,)上的函数，A是一个确定的数，若0，M0，当xM时，有f(x)A，则称函数f当x时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(x)，或

xf()A。

此时也称A为f在正无穷远处的极限。

注1 此M定义，是数列极限limxna之N定义的推广，只

n需将N定义中之n换为x，N换为M即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故n,N均为自然数集的成员，而函数f(x)的定义域为实数集，因而改为R中之x，m来描述。

注2 定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点x0处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述xM改为x0的空心邻域的描述0xx0即可，因变量刻划相同。

定义2(双侧极限定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U0(x0,)内有定义，A是一个确定的数。若0,0,()，当0xx0时，有f(x)A，则称f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(xx0)。

xx0问题1 在limf(x)A的定义中，为什么限定xx00(即xx0)？xx0如果把此条件去掉，写作“当xx0时，有f(x)A”是否可以？［3］

答：不可以，极限limf(x)A的意义是：当自变量x趋于x0时，对

xx0应的函数值f(x)无限接近常数A。f(x)在x0的情况，包括f(x)在x0是否有定义，有定义时，f(x0)等于什么都不影响xx0时，f(x)的变化趋势，故应把xx0这一点排除在外。如果把此条件去掉，把limf(x)A的定义

xx0写作“0，0，当xx0时，有f(x)A”，则当xx0时，也有f(x)A，由的任意性，要使此不等式成立，必定有f(x)A，这个条件显然与xx0时，f(x)的变化趋势是不相干的。

定义3(单侧极限定义)设函数f在x0,x0［或x0,x0］内有定义，A是一个确定的数，若0,0()，使当0xx0(或0x0x)时，有f(x)A，则称f在x趋于x0(x0)时以A为右(左)极限，记作limf(x)A，或f(x00)A(limf(x)A或

xx0xx0 3 f(x00)A)。

注3 定义3中右极限(左极限)，则xx0xx0；f定义在x0的右侧，对于左极限，f定义在x0的左侧，则xx0x0x，于是定义2是关键，只要考虑到“单侧”这一特点。

定义4(无穷大量G定义)函数f定义在x0的某个空心临域U0(x0,)内，若G0，使当0xx0时，有f(x)G，0()，则称f当x趋于x0时有非正常极限，或称f当x趋于x0时为无穷大量(或发散到无穷大)，记作limf(x)或f(x)(xx0)。

xx0(2)由自变量变化趋势刻划六种与因变量变化趋势刻划四种搭配成正常极限与非正常极限共24个定义的方法。

自变量变化趋势及其刻划六种：

xx0xx0xx0xxx0xx00xx0(0)0x0x xMxM(M0)xM因变量变化趋势及其刻划四种：

f(x)Af(x)f(x)f(x)f(x)A(0)f(x)G f(x)G(G0)f(x)G将自变量与因变量的变化趋势刻划互相搭配，而构成24种，每一种均按前述四个基本定义的标准叙述法叙述，即得24个定义。

2、正常极限性质(共48个或60个)按华东师大教材，每一种类型极限有8个性质来计算，六种类型极限总共有48个性质。再加上重要的“绝对值性”与“单调有界定理”，则共计60个性质。

前面是按照极限类型而言；若按照性质类型而言，对照数列极限性质，函数极限性质总共8种(或10种)：存在性、唯一性、局部保号性、局部有界性等等，每一种，按六类极限形式又有六类形式，总计仍是48个或60个性质。无论是48个还是60个性质，看似很多，实际上只要扣住前述自变量变化趋势刻划六种，再将数列极限相应性质移过来，这些性质均不难掌握了。

教材中是就极限类型limf(x)A而给出8个性质，这里，再就极限

xx0xlimf(x)A而给出。

极限limf(x)A的性质：

x(1)存在性——三个存在定理

I两边夹定理设xa,，均有y(x)f(x)z(x)，且xlimz(x)limy(x)A，则limf(x)A

xxII柯西准则

设函数f在[a,)内有定义，则limf(x)存在x0,M0，当x,xM时，有f(x)f(x)。

III单调有界函数定理

设函数f在[a,)内单调且有界，则limf(x)x存在。

注4 单调有界函数定理在有限点x0处为：若函数f(x)在包含x0的某一区间单调有界，则f(x)在x0的左、右极限必存在。

这里是左、右极限存在，但在x0的极限不一定存在，这是与数列单调有界必收敛定理之区别。

(2)唯一性

若limf(x)存在，则它只有一个极限。

x(3)局部有界性

若limf(x)存在，则M0，在M,内，f有界。

x(4)局部保号性若limf(x)A0(0)，则对任何

x当xM时，有f(x)A0［或f(x)A0］。AA0(AA0),M0，(5)不等式性

若limf(x),limg(x)均存在，且M0，当xM时，xx有f(x)g(x)，则limf(x)limg(x)。

xx(6)四则运算法则

若limf(x),limg(x)均存在，则fg,fg,xxf［仅g除法还要求limg(x)0］在x时极限也存在，且有

xxxlim(f(x)g(x))limf(x)limg(x),xxlimf(x)g(x)limf(x)limg(x),xx

f(x)f(x)xlimlimxg(x)limg(x)x(7)归结原则

设函数f在[a,)上有定义，则limf(x)A对任何

xxn[a,),xn，都有limf(xn)A，其中A为有限数。

n推论设f在[a,)上有定义，则limf(x)存在对任何xn[a,)，xxn，limf(xn)均存在。

n注5 归结原则与数列情形之“数列极限与其子列极限关系定理”类似，均是在揭示整体与部分的关系这一意义上而言的。

(8)绝对值性

若limf(x)A，则limf(x)A，且

xxxlimf(x)0limf(x)0

x

3、无穷小量与无穷大量

6(1)无穷小量

若limf(x)0，则称当xx0时f为无穷小量。

xx0无穷小量的四则运算性质：

(i)两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。(ii)无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

(iii)两个无穷小量之商的极限为下述四种情形之一：有限实数a0,0,,不存在，此即无穷小量的阶的比较。

无穷小的阶的比较，是考察它们收敛于零的速度的快慢。设xx0时，f,g均为无穷小量，则

a0,称f与g为同阶无穷小（当xx0时)f(x)0,称f为比g的高阶无穷小（当xx0时)limxx0g(x),称f为比g的低阶无穷小（当xx0时)不存在其中，当a1时，又称f与g为等价无穷小(当xx0时)，记作f(x)~g(x)(xx0)。

若limxx0f(x)l0，l为有限数，n0，则称 f为关于基本无穷小gng(x)的n阶无穷小，n通常为正有理数。

注6 在应用极限运算的四则运算法则时，初学者会写出“0,1”等式子。这是不对的。出现这类“错误”的主要原因是将符号“”误认为一个常数，对它施行了数的运算法则。事实上，“”不是一个常数，而是表示绝对值无限增大的变量，记号“”表示两个绝对值无限增大的变量之差，仍是一个变量。同样地，记号“示两个绝对值无限增大的变量之商，仍是一个变量。

”表问题2 下面的极限运算对吗？［3］

limx2sinx011limx2limsin0

x0xx0x1x答：结果正确，表达错误，这是因为limsin不存在，不能利用积的x0极限运算法则，则可以这样表达：因为limx20，sinx011，所以x1limx2sin0。x0x问题3 如果数列an收敛，数列bn发散，那么数列anbn是否一定收敛？如果数列an和bn都发散，那么数列anbn的收敛性又怎样？［3］

答：在两种题设情形下，数列anbn的收敛性都不能肯定，现分析如下：

情形

1、数列an收敛，数列bn发散。

若liman0，则数列anbn必定发散，这是因为若数anbn收敛，且nliman0，则由等式bnxanbn及商的极限运算法则立即可知数列bn收an敛，与假设矛盾。

若liman0，则数列anbn可能收敛，也可能发散。例如，x(1)an,bnn(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(2)an,bn(1)nn(nN),anbn(1)n(nN)，于是数列anbn发散。

情形2 数列an和bn都发散。1n1n若数列an和bn中至少有一个是无穷大，则数列anbn必定发散。这是因为若数列anbn收敛，而数列an为无穷大，从等式bn得limbnlimanbnlimnnanbn便推an10，与假设矛盾。nan若数列an和bn都不是无穷大，则数列anbn可能收敛，例如，(3)anbn(1)n(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(4)an(1)n,bn1(1)n,(nN),anbn(1)n1(nN)，于是数列anbn发散。

4、几个关系

(1)函数极限与数列极限的关系——归结原则(2)单侧极限与极限的关系

xx0limf(x)Alimf(x)与limf(x)均存在相等，均为A。

xx0xx0(3)无穷大量与无穷小量的关系(倒数)(二)重要极限

1sinx1lim1,lim1e,lim1xxe。x0xx0xxx前者为型的未定式的极限，后两式为1型的未定式的极限。问题4 讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？［3］答：一般说来，讨论函数f(x)在x0点的极限，都应先看一看单侧极限的情形。如果当xx0时，f(x)在x0两侧的变化趋势一致，那么就不必分开研究；如果f(x)在x0两侧的变化趋势可能有差别就应分别讨论记左、右极限。例如，求分段函数在分段点处的极限时，必须研究左、右00 9 极限；有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。例如，tanx在x2的左右极限不一样；有些反三角函数、指数函数也有类似情形，例如，1arctan,ex在x0处的左、右极限都不一样。

x1(三)函数的上极限与下极限

1、概念

设函数f在x0的某个空心临域U0(x0,)内有定义，则定义xx0limf(x)limsupf(x)M，limf(x)liminff(x)m

0xU0(x0,)xx00xU0(x0,)其中M,m为有限数或或，特别当f在U0(x0,)内有界时，［1］ M,m均为有限数。

2、性质(1)上极限性质

设limf(x)M,M为有限数，则(I)0,0,当0xx0时，xx0有f(x)M；(II)0，在x0的每一个空心临域内，必有x，使得f(x)M

(2)下极限性质

设limf(x)m,m为有限数，则(I)0,0，使当0xx0时，xx0有f(x)m；(II)0，在x0的每一空心临域内，必有x，使得f(x)m。

3、函数上(下)极限与函数值数列上(下)极限的关系。

xn为此邻域内的任意定理

设函数f在x0的某空心临域内有定义，点列，xnx0(n)，则对应于一切这种点列xn，limf(xn)所成数

n集必有最大值(包括或)，limf(xn)所成数集必有最小值

n 10(包括或)，f在x0的上(下)极限即为这最大(小)值。

4、上(下)极限与极限的关系。

xx0limf(x)llimf(x)limf(x)l，l为有限数或或。

xx0xx0(四)Stolz定理的推广定理

定理

设(i)函数f，g定义于[a,)，且均在[a,)的任意子区间有界。

(ii)对一切x[a,),g(xT)g(x)，其中T为一正常数，(iii)limg(x)，x(iv)limxf(xT)f(x)f(x)l(有限数或或)，则liml。［5］

xg(xT)g(x)g(x)可见，(ii)、(iii)两条是stolz第二定理之“bn”的推广，(iv)是“limanan1l”之推广。

nbbnn1而此stolz定理的推广定理与罗比达法则不同点是：后者为lim型及xf(x)存在，而在这里，f只要定义于[a,)，且在[a,)上的任意子g(x)f(xT)f(x)l即可。

g(xT)g(x)区间上有界，g(x)(x)，及limx

二、习题类型与其解题方法归纳

关于函数极限的习题类型大致有：

(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限。(二)根据极限定义与极限性质证题。(三)求函数极限。

(四)判断函数极限存在与不存在。此外，还有诸如无穷小(无穷大)的阶的比较等，本文将不涉及。关于上述四种类型习题的解题方法在下文给出。(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。

这里是指根据24个定义证明函数的正常极限与非正常极限的方法，属根据定义证题术——扣住定义而证，解题思路均是：0(或G0)，找0(或M0)，使当满足自变量的变化趋势刻划时，有因变量变化趋势之刻划，解题关键是找或M，找法如下。

1、当f以具体形式给出时，扣住因变量变化趋势之刻划f(x)Gf(x)Gf(x)f(x)f(x)A,f(x)G，分析并对f(x)A,f(x)进行恒等变形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)f(x)zx，其中y为正无穷小量，z为正无穷大量，令y(x)，f(x)zx0xx0,xM或z(x)G；再扣住自变量变化趋势之刻划。0xx0,xM对不

0x0x,xMxx0()等式g(x)或不等式z(x)G，关于xx0解之，解得xx0()，取

x0x()xx(G)()或关于x，解之，解得x(G)，取M(G)。

xx(G)2．抽象论证找或找M法

f(x)当f是以抽象形式给出时，与1类似，对f(x)A,f(x)进行恒等变

f(x)

f(x)z(x)形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)，其中y为已知

f(x)z(x)正无穷小量，z为已知正无穷大量，利用此y或z确定抽象的或M。确定或M的具体方法与技巧是：(I)根据已知极限或无穷大量确定或M。(II)根据已知极限的性质或无穷大量确定或M。(III)三角不等式及其它。

可见，与数列的此部分方法完全类似，只是比之更复杂些，下面举一些例子。

例

1、设f在任一有限区间上Riemann可积，且limf(x)A，证明

x1xlimf(t)dtA，(上海交大1987)。xx0x分析

要证：0,M0，当xM时，有If(t)dtA，x01x1x1x1x而If(t)dtAdt(f(t)A)dtf(t)Adt；由f(x)A不x0x0x0x0难联想到已知limf(t)A，于是10,M00当tM0时，有tf(t)A1，而，由于I10(x)，则20,M1M0，当xM1时，1x有I12；又由于I11dt1，再考虑要证I，则取12及

2x0取MM1。

证明：0，因limf(t)A，则M00，当tM0时，有

tf(t)A2。

M0因f 任一有限区间上Riemann可积，则

0f(t)Adt为定数，于是1limxx M00f(t)Adt0，因而MM0，当xM时有 1I1xI1M00xf(t)Adt2,x11xM0f(t)AdtdtxM0xM022x2

由此有：当xM时，1x1x1xf(t)dtAf(t)dtAdtx0x0x01x1x(f(t)A)dtf(t)Adt x0x0I1I2221x即limf(t)dtA xx0——抽象法证找M法(利用已知极限分段处理)。(二)根据定义与极限性质证题的方法

这里是指根据24个定义和48个性质等证题，其方法为：遇到正常极限与非正常极限符号，就用,G等语言表达出来；深入分析题目，联想相关性质；再将之有机结合起来而找到证题方法。

例2 设f在0,内满足f(x)f(x2)，且有x0limf(x)limf(x)f(1)。

x证明：f(x)f(1),0x。

分析

证明恒等问题，首选反证法，如何找矛盾？扣住已恬f(x)f(x2)，不难得到：当x1是，x2(n)，当0x1时，x20(n)而找矛盾。nn证明

反正法

假设f(x)f(1)，则至少存在一点x00,，使f(x0)f(1)，则 f(x0)f(1)或f(x0)f(1)，且显然x01，下面只证f(x0)f(1)的情形，f(x)f(1)的情形同理可证。

(I)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0)0,10，x0当0x时，有f(x0)f(1)f(x)f(1)

(1)，因

ln2nx0(n)，则对0，Nlog2lnx0，当nN时，有0x0；2n022，于是由(1)知不妨取n0N1及取xx0，则显然0xx0n0n0f(x0)f(x)f(x2n00)f(x0)矛盾。

x(II)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0),M10，当xM时，有f(x0)f(x)f(1)

(2)因xlnMM0，Nlog2lnx02n0(n)，则对

，当2n0nN时，有xx0M，不妨取n0N1及取xx盾。2n002n02M，于是由(2)知f(x0)f(x)f(x0)f(x0)，矛，则xx0n0综上即得证f(x)f(1),0x。(三)求函数极限方法

1、根据定义证明函数以A为极限，即已求得了函数的极限。

2、用函数极限的四则运算法则、不等式性、绝对值性及无穷大量的四则运算等性质，根据已知极限求极。

3、根据公式与不等式求极限。

4、用两边夹定理求极限。

5、用stolz定理的推广定理求极限。

6、用罗比达法则求极限。

7、用罗比达法则与微积分学基本定理、含参量积分求极限，用牛顿——莱布尼兹公式求极限。

8、用函数的连续性求极限。

9、用泰勒公式、导数定义等求极限。

10、用函数的上、下极限求极限。

11、用左极限与右极限求极限。

12、用归结原则求极限。

13、用函数项级数理论，如函数项级数收敛的必要条件或函数项级数的和函数求极限。

14、其它，诸如反证法、变量代换等等。

下面在罗比达法则和泰勒公式的选用上，微积分学基本定理与罗比达法则的运用上，两边夹定理，stolz定理的推广定理的运用上重点举几例。

f(x0h4)f(x0)例3 设f在x0可导，求Ilim。2h01coshf(x0h4)f(x0)h4解 Ilim 42h0h1cosh4h3f(x0)limh0sinh22h

2f(x0)——用导数定义、罗比达法则、已知极限、极限四则运算法则求极限。

例4 求Ilimxaaanx1x2xn,(ai0,i1,2,n)。1x 16 分析本题为0型未定式，用罗比达法则试解之。不难发现，用罗比达法则两次之后，所得函数表达式已变得更为复杂，因而用罗比达法则解决不了，需改用它法。考虑到a1,,an为有限个正数，因而必有最大值与最小值，于是联想到用与不等式有关的两边夹定理。

解令kmaxa1,a2,,an，则

k1nnxkxaaan1x1xxlim1xx1x2xnnknk，1xx1x由于limnnxn01。

因而limkn1xxk，1xxa1xan由两边夹定理知：Ilimxnkmaxa1,,an 例5 设f在A,B上连续，AabB。

b证明：Ilimh0abf(xh)f(x)dxf(b)f(a)

hf(xh)f(x)dxf(b)f(a)，只要求出极限值为

h分析要证limh0af(b)f(a)，即已证得，于是归结到求极限问题。显然积分号下不能取极

bb限；而已知f连续，则显然f(x)dx与f(xh)dx均可由其原函数在两端

aa点a,b处的函数值所给出，于是极限问题不难解决。

解因为f在a,b上连续，则f在a,b上有原函数F,F(x)f(x)，由牛顿——莱布尼兹公式知：

bIlimh0af(xh)f(x)dx

hb1blimf(xh)dxf(x)dxh0haa1bF(xh)|baF(x)|ah0hlim[F(bh)F(ah)F(b)F(a)]limh0

F(bh)F(b)F(ah)F(a)limh0h0hhF(b)F(a)f(b)f(a)lim——用原函数存在定理、牛顿——莱布尼兹公式、导数定义等求极限。

1例6 求Ilimex1(中国科技大学)xx2x1分析令f(x)ex1，分析f(x)之结构，xx2易知当x时，ex0,1,f(x)为0型未定式；

1当x时，ex,10,f(x)为0型未定式，按通常方

x110x法，将其化为型或型去解决，于是有f(x)x0ex2x21xx2，其为

型。(当0x11，x时)或型(当x时)分子之导数为12xln10xx1x比1复杂得多，且求导不易，因而此法不可取；另想别法，只得将11按幂指函数法处理如下。xx21xx2 18 f(x)e1x2ln1xx，只求出limx2ln1x即可，易见

x1x0Lx2ln1x为型未定式，需化为型或型，于是可用罗比达

0x法则解之，当然将ln1展成泰勒公式，也可解之。

解法一由罗比达法则知

11limx2ln1xlimxxln11xxxx1xln11xlimxx1 11ln1x1xlimx(1)x2x1121xx1(1x)2limx22x31x则Ie1limx2ln1xxxe

12——用幂指数函数处理法与罗比达法则求极限。

y21解法二令y，由泰勒公式知ln(1y)y(y2)，2x则111112ln(1y)0(y)(y0)，22y2y2y1limx2ln1xxx因而Iee

12——用幂指数函数处理法与泰勒公式求极限。例6解题方法小结：

1°某些问题，看似用罗比达法则解之，但较麻烦；用泰勒公式解之，甚是方便。

2°幂指数函数处理法：形如f(x)g(x)的函数称为幂指数函数，其中f(x)0。遇见这类问题，一般是将其恒等变形如下形式来处理：f(x)g(x)eg(x)lnf(x)，这就是幂指数函数处理法。本例的每种解法中，均用到此法。

(四)判断函数极限存在与不存在的方法

1、判断函数极限存在的方法

(1)求出函数极限，即已断定函数极限存在，因而(三)中各法适用。(2)用函数极限柯西准则。(3)用单调有界函数定理。(4)用归结原则的推论。

(5)证明函数的上极限与下极限相等。(6)反证法、变量代换及它法。

2、判定函数极限不存在的方法

(1)由极限定义而来——极限定义的否命题

对任何实数A，limf(x)A；即对任何实数A，存在某一00，对

xx0任何0，xU0(x0,)，使得f(x)A0，则limf(x)不存在。

xx0(2)由柯西准则而来——柯西准则的否命题。

xx0limf(x)不存在存在某一00，对任何0，x,xU0(x0,)，使得f(x)f(x)0。

(3)左、右极限关系定理的否命题

左极限与右极限均存在且不等；或左极限与右极限中至少有一个不 20 存在，则极限不存在。

(4)归结原则的否命题

,xna,xna,xna(n)，xna(n)，存在两个点列xn,xn)；或存在一个点列xn,xna,xna(n)，但但limf(xn)limf(xnnnnlimf(xn)不存在，则limf(x)不存在。

xa(5)上极限与下极限关系的充要定理的否命题。上极限与下极限不等，则极限不存在。

(6)运算：若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)g(x)]不存在。

xx0xx0xx0(7)反证法，变理代换法及其它。

111例8 1)设f于[1,)连续可微，且f(x)2ln(1) xf(x)1x求证：limf(x)存在。(吉林大学)xx0分析

要证limf(x)存在，则f的表达式在题设中没有给出，但题设x中给出了f表达式。

由此表达式，立知f(x)0，则f为递增的，因而联想到单调有界定理去试之，这样只要探究出f的上有界性即可。为此，必须将f与已知的f联系上，由于已知f连续，则由牛顿——莱布尼兹公式知xxf(x)f(t)dtf(1)，于是只要证出f(t)dt有上界即可，这就需要对11f(t)加强不等式。

11x11ln1，1xx1x1x证明

因x1，则 21

111于是f(x)2ln10，f(x)1xx则f在[1,)上单调增加，又因

f(x)111111ln1xxx1xx1xx1x11xx1xx1xx11113x2x2x2f连续，由牛顿——莱布尼兹公式知

f(x)f(1)f(t)dt1112t32dt111 x则f(x)1f(1),x[1,)。

因而f在[1,)上单调且有上界，由单调有界定理知limf(x)存在。

x例9 证明limsin不存在。

x01x解法一 点到xn12n2,xn1,n1,2,3,，且xn0，n)，由归结原是知limsin0(n)，但limf(xn)10limf(xnxnnnx01不存x在。

——用归结原则的否命题证明函数极限不存在。

解法二

分析用柯西准则的否命题试解之。此时，要证存在某一00，对任何0,x,x,0x,0x，但f(x)f(x“)0。需要找0,x,x由于f(x)sin为三角函数，不妨取特殊的函数值，例如，1xf(x)1,f(x)0则f(x)f(x)111，取0。由于f(x)1,f(x)0，22解得x12n2,x11，则,n1,2,3，为简便起见，取x2nn10xx，令x”，解得n11，则x,x均以找到。，取n0 2211，因而解法二 0，对任何0，取n0220x12n0211，，及0x2n02n0但f(x)f(x)sin1limsin不存在。x0x111sin10，由柯西准则的否命题知xx2证明函数极限存在或不存在的方法总结：

何种情况下选用何种方法？一般规1证明函数极限存在的方法很多，律是：当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则，有时也用归结原则推论。当函数以具体形式给出时，多用单调有界定理或两边夹定理，有时也用柯西准则及其它方法，特别当函数为具体的分段函数时，用左、右有极限解之。当题设中函数关系是以不等式给出时，则用极限不等式性、两边夹定理、上极限与下极限相等诸法中之一试解之。

2证明函数极限不存在的方法也很多，当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则的否命题；当函数以具体形式给出时，多用归结原则的否命题，上极限与下极限不等或者运算法则，固然也用柯西准则；特别当函数为具体的分段函数时，宜用左、右极限试解之。参考文献：

［1］黄玉民，李成章，数学分析。北京：科学出版社，1999。

54—76 ［2］数学分析，华东师范大学。北京：高等教育出版社，1987。

53—88 ［3］高等数学附册学习辅导与习题选解。同济大学应用数学系编，北京：高等教育出版社，2003.1。

10—23 ［4］数学分析习题集题解，吉米多维奇、费定晖编，济南：山东科学技术出版社，1999.9。

27—50 ［5］刘广云，数学分析选讲，哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000。

函数奇偶性教学反思篇5

本节课讲授的内容是函数的奇偶性。函数的奇偶性是函数的一个很重要的性质，尤其是对其定义的把握是非常重要的。本节授课主要以学案与幻灯片相结合的形式，从不同的角度，逐步引导学生得出奇偶函数的定义及其图像特征。

学案方面：学案的设计好坏是能否有效引导学生对一节的知识达到从初步了解到很好理解的关键。由于学生的基础比较差，因此，本节学案的编写主要以由简到难，由具体到抽象，由个别到一般的形式呈现，一边回顾一边总结，层层递进，通过自己绘制图像，观察图像，完成学案，逐步引导学生得出奇偶函数的定义。

幻灯片方面：首先列举了一些生活中随处可见的对称图形的例子，让学生体会对称美，同时复习了初中关于对称图形的内容。然后具体以两个函数为例，分析其图像特征，观察体会其中的对称，最后总结得出奇偶函数的定义及图形特征。

学生活动方面：1.课前以小组为单位讨论完成学案；2.课堂展示完成情况；3.积极参与问题的回答。

通过本节课的讲授也呈现出了一些之前考虑欠缺的问题：1.留给学生自主学习学案的时间不足，致使有部分同学的学案完成情况不是很好；2.课堂上学生的活动较少，学生的参与度不是很高，形式比较单一，主要以回答问题，讲述完成学案成果为主，像通过具体分析函数的图像得出奇偶函数的定义这一过程，实际可大胆放给学生来完成等，这样更容易激发学生的学习热情，更容易调动学生。

《函数的奇偶性》说课稿篇6

《函数的奇偶性》说课稿1

一、教材分析

函数是中学数学的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。

二。教学目标

1.知识目标：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性。

2.能力目标：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。

3.情感目标：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。

三。教学重点和难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。

四、教学方法

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取：

1、通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与

已知的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

五、学习方法

1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。

2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。

六。教学程序

（一）创设情景，揭示课题

“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？

观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。

f（x）= x2 f（x）=x

通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数f（x）=x是定义域为全体实数的直线；各函数之间的共性为图象关于轴对称。观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？

归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。

（二）互动交流研讨新知

函数的奇偶性定义：

1.偶函数

一般地，对于函数的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么就叫做偶函数。（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义。

2.奇函数

一般地，对于函数的定义域的任意一个 ,都有 ,那么就叫做奇函数。

注意：

1.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。

2.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 ,则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

3.具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。

例1.判断下列函数是否是偶函数。

（1）

（2）

解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称。

函数也不是偶函数，因为它的定义域为 ,并不关于原点对称。

例2.判断下列函数的奇偶性

（1）（2）（3）（4）

解：（略）

小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定 ;

③作出相应结论：

若 ;

若 .

例3.判断下列函数的奇偶性：

①

②

分析：先验证函数定义域的对称性，再考察 .

解：（1） >0且 >= < < ,它具有对称性。因为 ,所以是偶函数，不是奇函数。

（2）当 >0时，-<0,于是

当<0时，->0,于是

综上可知，在r-∪r+上，是奇函数。

例4.利用函数的奇偶性补全函数的图象。

教材p41思考题：

规律：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据。

例5.已知是奇函数，在（0,+∞）上是增函数。

证明：在（-∞，0）上也是增函数。

证明：（略）

小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。

（四）巩固深化，反馈矫正

（1）课本p42 练习1.2 p46 b组题的1.2.3

（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由。

①

②

③

④

（五）归纳小结，整体认识

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。

（六）设置问题，留下悬念

1.书面作业：课本p46习题a组1.3.9.10题

2.设 >0时，

试问：当<0时，的表达式是什么？

《函数的奇偶性》说课稿2

各位老师，大家好！

今天我说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节“函数的基本性质”中的“函数的奇偶性”,下面我将从教材分析，教法、学法分析，教学过程，教辅手段，板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。

一、教材分析

（一）教材特点、教材的地位与作用

本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。

函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。

（二）重点、难点

1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。

2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。

（三）教学目标

1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法；

2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中，使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教法、学法分析

1.教学方法：启发引导式

结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用“引导发现法”进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性。

2.学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习。

三、教辅手段

以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学

四、教学过程

为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。指导观察，形成概念。学生探索、发展思维。知识应用，巩固提高。归纳小结，布置作业。

（一）设疑导入，观图激趣

让学生感受生活中的美：展示图片蝴蝶，雪花

学生举例生活中的对称现象

折纸：取一张纸，在其上画出直角坐标系，并在第一象限任画一函数的图象，以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形。

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点

以y轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第二象限内图象的痕迹，然后将纸展开。观察坐标喜之中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点

（二）指导观察，形成概念

这节课我们首先从两类对称：轴对称和中心对称展开研究。

思考：请同学们作出函数y=x2的图象，并观察这两个函数图象的对称性如何

给出图象，然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢此时提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律

借助课件演示，学生会回答自变量互为相反数，函数值相等。接着再让学生分别计算f（1），f（-1），f（2），f（-2），学生很快会得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况借助课件演示，学生会得出结论，f（-x）=f（x），从而引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示。

思考：由于对任一x,必须有一-x与之对应，因此函数的定义域有什么特征

引导学生发现函数的定义域一定关于原点对称。根据以上特点，请学生用完整的语言叙述定义，同时给出板书：

（1）函数f（x）的定义域为A,且关于原点对称，如果有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数

提出新问题：函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢（同时打出 y=1/x的图象让学生观察研究）

学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义：

（2）函数f（x）的定义域为A,且关于原点对称，如果有f（-x）=f（x），则称f（x）为奇函数

强调注意点：“定义域关于原点对称”的条件必不可少。

接着再探究函数奇偶性的判断方法，根据前面所授知识，归纳步骤：

（1）求出函数的定义域，并判断是否关于原点对称

（2）验证f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x） 3）得出结论

给出例题，加深理解：

例1,利用定义，判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）= x2+1

（2）f（x）=x3-x

（3）f（x）=x4-3x2-1

（4）f（x）=1/x3+1

提出新问题：在例1中的函数中有奇函数，也有偶函数，但象（4）这样的是什么函数呢？

得到注意点：既不是奇函数也不是偶函数的称为非奇非偶函数

接着进行课堂巩固，强调非奇非偶函数的原因有两种，一是定义域不关于原点对称，二是定义域虽关于原点对称，但不满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）

然后根据前面引入知识中，继续探究函数奇偶性的第二种判断方法：图象法：

函数f（x）是奇函数=图象关于原点对称

函数f（x）是偶函数=图象关于y轴对称

给出例2:书P63例3,再进行当堂巩固，

1,书P65ex2

2,说出下列函数的奇偶性：

Y=x4 ; Y=x-1 ;Y=x ;Y=x-2 ;Y=x5 ;Y=x-3

归纳：对形如：y=xn的函数，若n为偶数则它为偶函数，若n为奇数，则它为奇函数

（三）学生探索，发展思维。

思考：1,函数y=2是什么函数

2,函数y=0有是什么函数

（四）布置作业：课本P39习题1.3（A组）第6题， B组第3

五、板书设计

《函数的奇偶性》说课稿3

一、说教材

《数的奇偶性》是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）五年级上册第一单元的内容，教材在学习了数的特征的基础上，安排了多个数学活动，让学生探索和理解数的.奇偶性，尝试运用“列表”和“画示意图”等解决问题的策略，发现规律，解决生活中的一些问题。让学生经历探索加法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现数的奇偶性的变化规律，体验研究方法，提高推理能力。

二、说学情：

五年级学生在学习过程中已经具备一定的观察能力，分析交流等能力。进行小组合作和交流时，大多数学生能较清晰地表达出自己的主张和见解。绝大部分学生愿意通过自主思考，小组内和全班范围内交流的学习方式来提升自己对问题的认识。

三、说教法：

为适应数学学科“实践与应用”的需求，根据培养学生的求知欲和自我实现的需要，这节课我以学生自主合作探究为主要教学策略，扶放结合，把课堂中更多的时间留给学生去探究和发现，使他们能自主的总结规律、解决问题。

四、说学法：

1、通过动手操作，运用列表法和画图法发现数的奇偶性变化规律。

2、运用观察、猜测、验证方法得出结论，探索加法中奇偶的变化的过程，在过程中发现规律。

五、说目标：

1、在具体情境中，通过实际操作，尝试运用“列表”“画示意图”等方法发现数的奇偶性规律，并运用其解决生活中的一些简单问题。

2、经历探索加减法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现数的奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。

3、使学生体会到生活中处处有数学，增强学好数学的信心和应用数学的意识。

六、说重、难点：

1、掌握加法中数的奇偶性的变化规律。

2、能应用数的奇偶性分析和解释生活中一些简单问题。

七、说流程：

（一）、旧知回顾：

1、什么是奇数？什么是偶数？

2、下面的数哪些是奇数？哪些是偶数？（课件出示）

3、判断：自然数不是奇数就是偶数。

在此处设计导语：在我们研究的自然数中，可以把它们按奇偶性分为奇数和偶数两类，我们还可以用这些数的奇偶性来解决生活中的简单问题呢。这节课我们就来上一节数学活动课，继续探究一下有关“数的奇偶性”的问题（板书课题）

（二）、创设情景，引出问题。

师：同学们，在南方的水乡，有很多地方的交通工具是船，有很多人以摆渡为生，请看王伯伯的船，最初小船在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返。船摆渡11次后，船停在南岸还是北岸？

探究小船所在的位置：

师：你准备用什么方法来分析。（生口答）

师：请同学们选出其中一种分析方法，把分析过程写在草稿纸上。

小组交流，汇报。

《函数的奇偶性》说课稿4

一、教材与学生

1、教材

《数的奇偶性》是在学生已经学习数的奇数和偶数的基础上进行的。因为这个知识才刚刚从中学数学，或小学奥数系列进入教材学生不熟悉，，教师也陌生，我就想，能否让学生亲身体会一下奥数并不神秘，同时能在快乐中去学有价值、有难度的数学。

2、学生

五年级学生在不断的学习过程中已经具备一定的观察、思考、分析、交流以及动手操作的能力。但基础的差异，环境的不同，后天开发的不等，故我在循序渐进，步步为营的同时，准备放开手脚，让学生去动手探索。

二、教学目标

1．让学生在观察中自然认识奇数和偶数；掌握数加减的奇偶性；

2．运用设疑——猜想——验证—运用的教学模式，培养的自主探究的能力；

3．让学生在一系列的活动中思考、学习，增长数学兴趣和增强学习的内驱力。

三、教法和学法

主要是自主探究与开放式教学相结合。

1、让学生自主探索规律，并全程参与。

我想，什么也不能代替学生的亲身体验。这里我讲一个小故事——有一天，我感冒了。不想说，也不想动，就说：孩子们，今天讲台就交给你们了，我就是一个擦黑板工。同学们笑了，尽管我讲的是租船和租车的复杂问题，但孩子们讲的头头是道，写的一丝不苟。为什么不在适当的时候把课堂还给学生呢？！

2、大胆开放，抛弃束缚。

我的教学不想拘泥于一点，不想修建一个房屋让孩子们在里面玩，在思维的国度，应该是平等的，自由的。这难道不是北大的思想吗？开放式教学不是我们北大附中的精髓吗？

因此我打破了教材的局限，设计了一个崭新的思路——

四、教学设计和思路

（一）游戏导入，感受奇偶性

1、游戏一：6只小鸭子、5只蝴蝶找伴

2、游戏二：转轮盘

（1）讲要求：指针停在几上就再走几步；

（2）独白：

A请他们全班去吃饭，地方吗

B学生开心极了，当听到是东方饺子王………一片赞叹。

C结果：乘兴而来，败兴而归，有的指责我—骗人

（我—我怎么骗人了？）

讨论：为什么会出现这种情况呢？

如果游戏一是感知数的奇偶，开始了微笑，那么游戏二就彻底激发了学生的学习的积极性和主动性，在笑声中，叹息声中，在失败中开始了思索，在思索中寻找答案。

（此时学生议论纷纷，正是引出偶数、奇数的最佳时机）

3、板书课题，加以破题，加以过渡。

（二）猜想验证，认识奇偶性

1、为什么没有人中奖呢？（学生猜想，教师板书）

2、真的是这样吗？（教师加以验证）

（我在验证的同时，表扬学生达到了一年级水平，二年级的高度，三年级的容量，学生在笑声中体验了愉悦，在开心中学到了知识，增长了能力）

（而在我展现了验证的过程后，开始表扬自己，这个人多帅，多聪明，像不像我——————，哈哈不服气，你来呀！）

（三）大胆猜想，细心求证

1、独立来写（写出了加法，又写出了减法，我提示—有没有乘除呢？）

2、小组合作验证纠偏

3、小组展示（满满的一黑板，加减乘除都有。而且欲罢不能，我就在表扬学生的基础上，圈出我们今天应该掌握的加法的奇偶性。）

（四）坡度练习，层层加深

1、填空

2、判断（这些内容，由浅入深，由难及易，层层推进）

3、填表（着重讲解了这一道题—因为它是例题，我把填表作为要点，学会观察与思考，从而得到规律。）

4、动手（有动脑的，动口的，这里的翻杯子就是动手了。）

五、课堂小结，课后延伸

1、说说我们这节课探索了什么？你发现了什么？或者有什么想说的？

2、思考题

那如果是4个杯子全部杯口朝上放在桌上，每次翻动其中的3只杯子，能否经过若干次翻转，使得4个杯子全部杯口朝下？最少几次？

《函数的奇偶性》说课稿5

一、说教学内容及农远资源说明。

《数的奇偶性》是北师大版教材五年级上册第一单元《倍数与因数》最后一课时；是在学生掌握奇数、偶数特点等知识基础之上的一次延伸；是让学生学会用数学策略解决生活问题的一次尝试。因此，本课时教学资源的使用目的主要是帮助学会解决问题的策略，体验猜想结果—举例验证—得出结论这种数学研究方式。农远资源我主要应用于课前的情境创设；教学中对学生体验猜想结果—举例验证—得出结论数学研究方式的辅助；以及学生应用数学模型解决问题中的游戏等环节。

二、说教学目标。

我从知识与技能角度确立目标一：尝试运用“列表”、“画示意图”等方法发现规律，运用数的奇偶性分析和解释生活中的一些简单问题。从过程与方法角度确立目标二：通过活动让学生经历猜想结果—举例验证—得出结论的探究过程，并在活动中发现加法中数的奇偶性的变化规律，掌握数的奇偶性特征。从情感、态度和价值观角度确立目标三：让学生在活动中体验研究方法，感悟解决问题的不同策略，提高推理能力。

三、说设计理念及农远资源的辅助使用。

本课我是四个方面进行设计的。

第一，我从故事引入，创设一个以摆渡为生的船夫想请学生们帮他解决一个问题这一情境。学生遇到这样一个以前从未见过的问题，便产生认知上的冲突，激发了学生的学习兴趣，也调动了学生学习的积极性，在情境创设中，多媒体资源的辅助使用，有效的调动了学生的求知欲，牢牢地把学生吸引在对未知内容的探究之上了。

第二，我组织学生分小组合作，动手操作，感受数的奇偶性，理解解决问题的不同策略，经历猜想结果—举例验证—得出结论这一数学研究方式。

这部分内容是本课教学的重点也是难点，我安排三个活动，层层推进，帮助学生学习。

活动一：对于船夫提出的划11次船在南岸还是北岸这一问题，我组织学生讨论，寻找解决问题的办法。引导学生尝试用不同的方法来解决，全班汇报交流时，利用媒体展示“列表”、“画示意图”等方式让学生理解解决问题的不同策略。

活动二：让学生翻动自己准备的纸杯子，通过动手操作进一步发现数的奇偶性规律，同时让学生想若把“杯子”换成“硬币”你能提出怎样的问题，并试着回答这些问题，再用硬币操作验证。安排这一活动目的是培养学生提出假设问题—猜想结果—再实践验证的数学研究习惯，发展学生主动探究能力。

活动三：是让学生合作探究加法中数的奇偶性，让学生体验猜想结果—举例验证—得出结论的`数学研究方式。本活动主要是让学生相互之间加强交流，形成自主、合作、探究的数学学习课堂。的使用有效的帮助学生建构出数学模型。

第三，运用数学模型，解决实际问题。

这一部分我安排三个内容。第一个内容是出示几个算式，让学生判断结果是奇数还是偶数。这一内容在学生已有数的奇偶性特征这一数学模型经验之后，独立完成已经没有障碍。第二个内容是有3个杯子全部杯口朝上放在桌上，每次翻动其中的两只杯子，能否经过若干次翻转使得3个杯子全部杯口朝下。这一内容是对前面同一问题的拓展，目的是让学生进一步理解奇偶性，同时培养学生动手实践能力。第三个内容，我安排的是一个游戏，也是一个实际问题，游戏是用骰子掷一次得到一个点数，从A点开始，连续走两次，走到哪一格，那一格的奖品归你。通过这个游戏让学生明白无论掷几，走两次都是偶数，而奖品都在奇数区域里，所以不论怎样都不能获得奖品。让学生运用学过的数学知识解开其中的奥秘，获得情感体验。

第四，总结反思，交流收获，同时进一步拓展知识视野，让学生将学习的知识与生活实际联系起来，培养学生初步的数学应用能力。

以上四步骤，让学生经历从情境创设到建构数学模型，再到运用模型解决解决问题三个阶段，三种层次。学生学会用自己的策略解决问题。媒体资源的辅助使用，让学生的体验更深刻，教学效果更显著，完全实现了课前确立的教学目标

《函数的奇偶性》说课稿6

教学目标

1.使学生理解奇函数、偶函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法；

3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练；

教学重点

函数奇偶性的概念

教学难点

函数奇偶性的判断

教学方法

讲授法

教具装备

幻灯片3张

第一张：上节课幻灯片A。

第二张：课本P58图2—8（记作B）。

第三张：本课时作业中的预习内容及提纲。

教学过程

（I）复习回顾

师：上节课我们学习了函数单调性的概念，请同学们回忆一下：增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。

生：（略）

师：这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课

（打出幻灯片A）

师：请同学们观察图形，说出函数y=x2的图象有怎样的对称性？

生：（关于y轴对称）。

师：从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？

生：（当自变量取一对相反数时，函数y取同一值）。

师：（举例），例如：

f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)= f(-2)；

f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)= f(1)；

……

由于（-x）2=x2 ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。

一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。

（打出幻灯片B）

师：观察函数y=x3的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

生：（也是一对相反数）

师：这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？

生：（函数的图象关于原点对称）。

师：也就是说，如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数。

一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

例如：函数f(x)=x，f(x) =都是奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。

首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

（III）例题分析

课本P61例4，让学生自看去领悟注意的问题并判断的方法。

注意：函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。

（IV）课堂练习：课本P63练习1。

（V）课时小结

本节课我们学习了函数奇偶性的定义及判断函数奇偶性的方法。特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

（VI）课后作业

一、课本p65习题2.3 7。

二、预习：课本P62例5、例6。预习提纲：

1.请自己理一下例5的证题思路。

2.奇偶函数的图角各有什么特征？

板书设计

课题

奇偶函数的定义

注意：

判断函数奇偶性的方法步骤。

小结：

导函数奇偶性的充要条件及推论篇7

导数作为解决数学问题的有力工具,在求解函数的单调性、极(最)值、切线等问题中有着广泛的应用。近几年的高考中,导数已成为必考内容,而且比重逐年增大.但由于高中阶段对导数的研究不是很深入,理解不是很透彻,因此,运用导数解决上述问题时,学生难以理清内在的逻辑关系,造成一些误解与困惑.下面,本人结合自己的教学经验,对导函数奇偶性的充要条件及推论进行剖析.

可导函数f(x)与其导函数f′(x)有如下的结论:

定理1f′(x)为奇函数的充要条件是f(x)为偶函数.

定理2f′(x)为偶函数的充要条件是存在常数c,使dx)的图象关于点(0,c)成中心对称.

证明:(1)充分性:

若f(x)为偶函数,则f(x)=j(x),两边求导,由复合函数的求导法则,得

f′(-x)(-x)′f′(x),即-f′(-x)=f′(x),

所以f′(-x)=-/(x),

故f′(x)为奇函数.

必要性:

若f′(x)为奇函数,则f′(-x)+f′(x)=0.

设F(x)=f(x)-f(-x),则

F (x)=f (x)-[f(-x)]′=f′(x)+f′(-x)=0,