数列的极限函数的极限

数列的极限函数的极限

数列的极限函数的极限 篇1

第二节数列的极限

一、单项选择题

1.数列极限limynA的几何意义是n

A．在点A的某一邻域内部含有{yn}中的无穷多个点

B.在点A的某一邻域外部含有{yn}中的无穷多个点

C.在点A的任何一个邻域外部含有{yn}中的无穷多个点

D.在点A的任何一个邻域外部至多含有{yn}中的有限多个点

2.limynA的等价定义是n

A.对于任意0及K0，总存在正整数N，使得当nN时，ynAK

B.对于某个充分小的0，总存在正整数N，使得当nN时，ynA

C.对于任意正整数N，总存在0，使得当nN时，ynA

D.对于某个正整数N，总存在0，使得当nN时，ynA

3.“对任意给定的(0,1)，总存在正整数N，当nN时，恒有xna”是数列xn收敛于a的C条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 ﹡

二、利用数列极限的定义证明:lim

证明： 对0，要使1cosn0.nn21cosn1cosn20，只需n.nnn

1cosn1cosn20,取N，0.则当nN时，就有所以lim0成立，nnn

3高等数学(1)标准化作业题参考答案—2班级姓名学号

第三节函数的极限

一、单项选择题

1.极限limf(x)A定义中与的关系为xx0

A.先给定，后唯一确定B.先给定后确定,但的值不唯一

C.先确定，后确定D.与无关

2.若函数f(x)在某点x0极限存在，则A.f(x)在点x0的函数值必存在且等于该点极限值

B.f(x)在点x0的函数值必存在,但不一定等于该点极限值

C.f(x)在点x0的函数值可以不存在D.若f(x)在点x0的函数值存在，必等于该点极限值

3.以下结论正确的是C.A.若limf(x)A0，则f(x)0 xx0

B.若limf(x)A0，则必存在0，使当xx0时，有f(x)0 xx0

C.若limf(x)A0，则必存在0，使当0xx0时，有f(x)xx0A

2D.若在x0的某邻域内f(x)g(x)，则limf(x)limg(x)xx0xx0

4.极限limx0xx

A.1B.1C.0D.不存在x2x65.﹡

二、利用函数极限的定义证明:limx3x3

x2x6证明： 0，要使5x3，只需取，则当0x3时，x3

数列的极限函数的极限 篇2

一、问题的提出

本例中数列极限许多学生认为是由于但这种想法似是而非, 严格地讲这是由得出来的, 同一个类型的例子基本上都是这样, 由此可见这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

其中[x]表示x的整数部分, 令x->+∞时, 不等式左右两侧表现两个数列的极限再利用函数极限的夹逼定理得到

接下来我们重点了解一下能不能从数列极限求函数极限研究数列极限和函数极限时, 许多学生会想到海涅定理, 根据海涅定理, 的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n}都有。

二、得到的重要结果

通过上面的分析, 我们就可以提出下面的定理。

定理1设f (x) 在[a, +∞]上有定义, (a>0) , 如果存在数列{xn}, {yn}满足对于任意x>=a, 当n<=x

证明:对于任意A>0, 由于所以存在N∈N+ (假设N≥a) , 当n>N时, 就会有|xn-A|<ε且|yn-A|<ε取X=N+1, 当x>X时, 总可以找到满足n0>N且n0≤x≤n0+1, 由条件可得xn0≤f (x) ≤yn0, 所以xn0-A≤f (x) -A≤yn0-A, 于是|f (x) -A|≤max{|xn0-A|, |yn0-A|}<ε。

在学习定积分时且遇到下面的问题:

复变函数求极限的方法 篇3

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

§2函数极限的性质 篇4

§2 函数极限的性质

教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.教学过程：

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：

1、limf(x)；

2、limf(x)；

3、limf(x)；

4、limf(x);

5、limf(x)；

6、limf(x).xxxxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

xx0

于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质

性质1（唯一性）如果xa

limf(x)xalimf(x)存在，则必定唯一.证法一设A，xalimf(x)B,则

0,10,当0|xa|1时，|f(x)A|,(1)

20,当0|xa|2时，|f(x)B|.(2)

min1,2取

因而有，则当0xa时（1）和（2）同时成立.AB(f(x)A)(f(x)B)f(x)Af(x)B2,(3)

由的任意性，（3）式只有当

AB0

时，即AB时才成立.AB

2证法二反证,如xa

0xa

limf(x)

A，xa

limf(x)B

且AB，取

0，则0，使当

时，f(x)A0,f(x)B0,即

AB2

A0f(x)B0

AB2

矛盾.性质2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.xx0

limf(x)A

1xx0证明取, 由 , 0, 当0xx0时, 有f(x)A1,即

f(x)Af(x)AA

1，A1

说明f(x)在U0(x0;)上有界，就是一个界.limf(x)b

xa

性质3（保序性）设，xa

limg(x)c

.0xa00

1）若bc，则0，当时有f(x)g(x)；

0xa0

2）若

00，当

时有f(x)g(x)，则bc.（保不等式性）

证明1）取

0

bc2

即得.2）反证，由1）即得.注若在2）的条件中, 改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有

AB.以 f(x)1x,g(x)1,x00

举例说明.推论（局部保号性）如果xa

号.limf(x)b

0xa00

且b0，则0使当时f(x)与b同

性质4（迫敛性）设limf(x)limh(x)A，且在某U0(x0;)内有f(x)g(x)h(x)，xx0

xx0

则limh(x)A.xx0

证明0, 由xx

limh(x)A

limf(x)A，10，使得当0xx01时，有f(x)A，即 Af(x)A.又由

xx0，20，使得当0xx02时，有h(x)A，即Ah(x)A.令min(1,2)，则当0xx0时，有Af(x)g(x)h(x)A

limg(x)A

即g(x)A，故 xx.性质6（四则运算法则）若limf(x)和limg(x)都存在，则函数fg,fg当xx0时极限

xx0

xx0

也存在，且 1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)；2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x).xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

又若limg(x)0，则

xx0

fg

当xx0时极限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

xx0



xx0

limf(x)

xx0

limg(x)

.3）的证明 只要证有

xx0

lim

1g(x)

B2



1B，令

0

B2

0，由

xx0

limg(x)B

B2

0xx01，10使得当时，B2

g(x)B，即

g(x)Bg(x)BB

.g(x)B

B2

0,仍然由

xx0

limg(x)B

20, 使得当0xx02时，有



.0xx0

取min(1,2)，则当时，有

1g(x)

1B

g(x)Bg(x)B



2B

g(x)B

2B



B2



即

xx0

lim

1g(x)



1B.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：

limCC,limxx0,limsinxsinx0,limcosxcosx0;

xx0

xx0

xx0

xx0

lim

1x

x

0,limarctgx

x



.（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求limx.x0

x

1

例2 求lim

(xtgx1).x

例3 求lim（1x1

x1



3x3

1).例4lim

5x3x73x3

2x2

5

.x

注关于x的有理分式当x时的极限.参阅[4]P37.7

例5lim

x1n

x

10利用公式x1

1

.[a1(a1)(a

n1

a

n2

a1)

].例6lim

x2x21x1

x2

x2

.例7lim

2x

3x1

x

3x5

.例8lim

xsin(2xx10)

32x

.x

例9lim

x1.x0

x1

例10已知 lim

x16A参阅[4]P69.x3

x3

B.求 A和B.作业教材P51—521-7，8(1)(2)(4)(5)； 2

补充题已知lim

xAxB7.求A和B.(A

16x2

x24

B3,B

203

.)

例11lim2x2axb

0.x1x

求a和b.

2解法一

2x

axax

1x

ax

2x1x



(a1)x2

ax2

1x

b,(x).a10,a1;又 ab,b1.解法二2x2

1xaxbx  2x2ab

，xx

2x 由x且原式极限存在，

2x2xx

ab

x0，即 alim2x2b

第二讲 函数的极限典型例题 篇5

函数的极限

一

内容提要

1.函数在一点处的定义

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.右极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.左极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0x0x，有f(x)A.注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．

注2 的存在性（以xx0为例）：在数列的“N”定义中，我们曾经提到过，N的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N无关紧要；对也是如此，只要对给定的0，能找到某一个，能使0xx0时，有f(x)A即可．

注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究f(x)是否无限趋近于A．

注4 limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xx0xx0xx0n注５ limf(x)A{xn}{xn}|xnx0,且xnx0，有limf(xn)A，称为

nxx0归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．）注6 limf(x)A00,xx00，x:0xx0，有f(x)A0． 函数在无穷处的极限 设f(x)在[a,)上有定义，则

limf(x)A0,xXa,Xa,Xa,使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． xlimf(x)A0,limf(x)A0,x注１ limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xxx 1

n注２ limf(x)A{xn}{xn}|xn，有limf(xn)A．

nx３ 函数的有界

设f(x)在[a,)上有定义，若存在一常数M0，使得x[a,)，有f(x)M，则称f(x)在[a,)上有界． ４ 无穷大量

xx0limf(x)G0,0,X0,使得x:0xx0，有f(x)G． 使得x:xX，有f(x)G． limf(x)G0,x类似地，可定义limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)等．

xx0xx0xx0xx0注 若limf(x)，且0和C0，使得x:0xx0，有f(x)C0，xx0则limf(x)g(x)．

xx0

特别的，若limf(x)，limg(x)A0，则limf(x)g(x)．

xx0xx0xx0５ 无穷小量

若limf(x)0，则称f(x)当xx0时为无穷量．

xx0注1 可将xx0改为其它逼近过程．

注2 limf(x)Af(x)A(x)，其中lim(x)0．由于有这种可以互逆的表xx0xx0达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 limf(x)0，g(x)在x0的某空心邻域内有界，则limf(x)g(x)0．

xx0xx0注4 limf(x)0，且当x足够大时，g(x)有界，则limf(x)g(x)0．

xxx0注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量． 6 函数极限的性质

以下以xx0为例，其他极限过程类似．（1）limf(x)A，则极限A唯一．

xx0（2）limf(x)A，则,M0，使得x:0xx0，有f(x)M．

xx0（3）limf(x)A，limg(x)B，且AB，则0，使得x:0xx0，xx0xx0有

f(x)g(x)注

这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍．（4）limf(x)A，limg(x)B，且0当0xx0时，f(x)g(x)则xx0xx0AB．

（5）limf(x)A，limg(x)B，则

xx0xx0xx0limf(x)g(x)AB

limf(x)g(x)AB

limxx0f(x)g(x)xx0AB（B0）

要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若0,使得x:0xx0，有f(x)g(x)h(x)，且

xx0xx0xx0limf(x)limh(x)A，则limg(x)A． Cauchy收敛准则

函数f(x)在x0的空心邻域内极限存在0,0,使得x,x，当0xx0，0xx0时，有f(x)f(x)． 无穷小量的比较

设lim(x)0，lim(x)0，且limxx0xx0(x)(x)xx0k，则

（1）当k0时，称(x)为(x)的高阶无穷小量，记作(x)o(x)；（2）当k时，称(x)为(x)的低阶无穷小量；（3）当k0且k时，称(x)为(x)的同阶无穷小量．

特别的，当k1时，称(x)和(x)为等价的无穷小量，记作(x)～(x)．

注1 上述定义中，自变量的变化过程xx0也可用x，x，x，xx0，xx0之一代替． 注2 当x0时，常见的等价无穷小有：

sinx～x，tanx～x，1cosx～

x22，e1～x，ln(1x)～x，(1x)xm1～mx

注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：

若(x)～(x)（P），则

limPf(x)(x)limPf(x)(x)f(x)limP(x)(x)(x)或

limg(x)(x)limg(x)(x)PP(x)(x)． limg(x)(x)

（P为某逼近过程）

P而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．

注4 在某一极限过程中，若(x)为无穷小量，则在此极限过程，有

(x)o(x)～(x)． 10 两个重要极限（1）limsinxx1x01；

（2）lim(1x)xe．

x0

二、典型例题

例 用定义证明下列极限：（1）limx(x1)x12x112；

12（2）limxx1x2x．

例 limf(x)A，证明：

xx0（1）若A0，则有lim31f(x)2xx01A2；

（2）lim3xx0f(x)A．

例 设f(x)是[a,b]上的严格严格单调函数，又若对xn(a,b]（n1,2,），有limf(xn)f(a)，试证明：limxna．

nn

例 函数f(x)在点x0的某邻域I内有定义，且对xnI（xnx0,xnx0），且 0xn1x0xnx0（nN），有limf(xn)A，证明：limf(x)A．

nxx0

例

设函数f(x)，x(0,1)，满足f(x)0（x0），且

f(x)f()o(x)（x0）

2x则

f(x)o(x)（x0）

问：在题设条件下，是否有f(0)0？答：否．如f(x)01x0x0．

例

设函数f(x)在(0,)上满足议程f(2x)f(x)，且limf(x)A，则

n

f(x)A（x(0,)）．

例

求下列函数极限（1）limn0xb（a0,b0）；

axxb（2）lim（a0,b0）；

n0ax12exsinx（3）lim． 4n0x1ex 8

例

求下列极限（1）lim1tanxx1tanxn0e1；

（2）lim1cosxx)x；

n0x(1cosln(sin22（3）limxe)x2xn0ln(xe)2x．

例

求下列极限：（1）limn0etanxexsinxxcosx；

（2）lim1cosxcos2x3cos3xx2．

n0 10

例

求下列极限：（1）limx1xlnxx；

n1（2）lim(ax)ax2xx．

n0

例

求下列极限：

1（1）lim(cosx)n0ln(1x)2；

11（2）lim(sinn1xcos1x)；

nx1xa（3）设ai0（i1,2,,n），求limn0ax2ax． nxn

例

（1）已知lim(1xaxb)0，求常数a,b；

二元函数极限证明 篇6

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’

(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等

(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→X0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→X0)

根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε

而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ)

又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-

1再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|

证毕

3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0Limitedsin(x+y)/x^2=Limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^

2所以|f|<=|x|+|y|

所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0

这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了

就我这个我就线了好久了

5(一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

函数极限问题的解法探讨 篇7

第一, 极限思想。三国时期的数学家刘徽, 为了求圆周率π, 他研究了正n边形和圆的关系, 对直径为1的圆作分割, 先在圆上作内接正三角形。然后取各段弧的中点, 作第二次分割, 得正六边形, 依此类推, 得正十二边形……随着分割次数的增加, 正n边形和圆就越来越接近, 当分割次数无限增大时, 正n边形就变成圆了。即当圆的内接正多边形的边数n无限增加时, Cn才无限地趋于一个确定的值, 这个确定的值就是π。

上面通过对圆的周长的近似值Cn的变化趋势分析, 确定出圆的周长的精确值, 其实这就是极限的思想。它描述的是变量的一种变化状态, 或者一种变化趋势。它反映的是从无限到有限, 从量变到质变的辩证关系。

第二, 极限的定义。

1.一元函数的极限

(1) 如果则A为函数f (x) 的极限, 并有

(2) 设f (x) 在xo的Uo (xo, δ) 内有定义, 如果则A为函数f (x) 的极限, 并有

2.二元函数的极限

设Z=f (x, y) 在Uo (po, δ) 内有定义, 当时, 相应有Z→A, 则称A为Z在po处的极限, 记为

值得注意的是定义中的A是唯一确定的常数。

第三, 求解方法。求极限常见的方法有:函数的连续性、两个重

要极限、无穷小的性质、等价无穷小和罗必达法则等。

第四, 应用举例。

分析 (1) 只需考虑分子和分母的首项, 也可考虑用罗必达法则;

(2) 需要考虑正负无穷

方法二:反复使用罗必达法则即可

分析:去零因子后用函数的连续性, 也可用罗必达法则

分析:分段函数在分段点的极限需要考虑左右极限

解:因为f (0-0) =-1≠f (0+0) =1

分析:用第一个重要极限, 也可用罗必达法则, 而 (1) 还可用等价关系。

分析:先用对数恒等式变形后, 再用罗必达法则

解:

注:00, ∞0, 1∞等指数形式的极限, 求法类似

分析:用第二个重要极限, 也可先用对数恒等式变形后, 再用罗必达法则

例7已知当 (x, y) → (0, 0) 时, 极限是否存在?

分析:用定义, 任意方式为:直线y=x, 曲线y=x2

分析:用第一个重要极限

总之, 高等数学中极限问题很复杂, 需要我们掌握多种求极限的方法和技巧, 值得注意的是在求极限的时候, 应先考虑用函数的连续性、无穷小的性质、两个重要极限, 然后考虑用罗必达法则;遇到求二元函数极限时就用一元函数求极限的方法去解决。这样高等数学中函数极限问题就迎刃而解了。

摘要：在高等数学中求函数极限是比较困难的, 因此, 本文在准确把握极限定义的基础上, 对诸多复杂的函数极限问题进行一题多解, 从而得到解题的规律。

关键词：极限定义,重要极限,解题方法

参考文献

【1】黄江, 等.高等数学.重庆大学出版社, 2009年8月.

巧用极限思想探究函数图象的走向 篇8

例1（2013年高考山东卷·文9理8）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析因为函数y=xcosx+sinx是奇函数，所以其图象关于原点对称，这样可排除B.又当x=π时，y=-π<0，这时可排除A.当x是一个无限接近于0的正数时，y>0，故可排除C.因此选D.

评注（1）此题用极限思想来解答的亮点是，当x是一个无限接近于0的正数时，y>0.（2）判断函数的图象问题，往往要把函数的性质（单调性、奇偶性）、最值、在某区间上的函数值的正负、特殊点和极限思想综合起来考虑.（3）此题不用极限思想也易解答，y=xcosx+sinx是奇函数，否定B.当00，否定C.当π

例2（2012年高考山东卷·文10理9）函数y=cos6x2x-2-x的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析因为函数f（x）是奇函数，所以排除A.当x→0+（x从y轴的右边无限趋近于0）时，4x-1无限趋近于一个

很小的正数，如图1，且（12）x无限趋近于1

（4x-1）·（12）x无限趋近于一个很小的正数图1

1（4x-1）·（12）x无限趋近于一个很大的正数，即

1（4x-1）·（12）x→+∞.又12x-2-x=1（4x-1）（12）x，所以

12x-2-x无限趋近于一个很大的正数，即12x-2-x→+∞，又当x→0+（x从y轴的右边无限趋近于0）时，cos6x→+1（cos6x从y轴的右边无限趋近于1）.综上，12x-2-x·cos6x→+∞（12x-2-x·cos6x无限趋近于一个很大的数）.

当x→+∞时，12x-2-x→0，而|cos6x|≤1，所以当x→+∞时，12x-2-x·cos6x→0，即f（x）→0.故选D.

评注（1）此题虽然可用函数的性质（奇偶性、单调性）、零点及函数值的正负来解答，但是由此不容易看出函数图象的走向.（2）用函数的性质、零点及函数值的正负可有如下解答：因为函数是奇函数，所以其图象关于原点对称，由此排除A.令y=0得cos6x=06x=π2+kπ（k∈Z）x=π12+kπ6（k∈Z）函数有无穷多个零点，所以可排除C.因为函数y轴右侧的第一个零点为π12，又函数y=2x-2-x为增函数，所以当00，cos6x>0，所以y=cos6x2x-2-x>0，由此排除B.故选D.

例3（2010年高考山东卷·文11理11）函数y=2x-x2的大致图象是（）.

A.B.C.D.

分析由函数y=2x-x2可知2与4是其函数的两个零点，由此可排除B和C.又当x→-∞（x从一个很大的负数向很小的负数无限趋近）时，2x→0，-x2→-∞2x+（-x2）→-∞，即2x-x2→-∞，即y→-∞，从而选A.

评注由函数y=2x-x2可知2与4是其函数的两个零点，由此可排除B和C.又f（-1）=2-1-（-1）2=-12<0，由此可排除D.故选A.这种解答思路看不出函数y=2x-x2的图象的走向.

例4（2009年高考山东卷·文6理6）函数y=ex+e-xex-e-x的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析若使函数有意义，必须使ex-e-x≠0x≠0，所以函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，由此可排除C和D.又因为y=ex+e-xex-e-x=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1，所以当x→0+（x从y轴的

右边无限趋近于一个很小的正数）时，e2x-1

趋近于一个很小的正数，如图2图2

2e2x-1→+∞1+2e2x-1→+∞，即y→+∞，

故选A.

评注（1）由函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}可排除C和D.当x=12时，y=1+2e-1>2，由此可排除B.故选A.这种解法看不出函数图象的走向.（2）也可从x→0-入手.

有些题目表面上看虽然与极限无关，但是若用运动变化的观点，灵活地运用极限思想来思考，往往可避免复杂的运算，优化解题过程和解题方法，降低解题难度.极限思想也是一种探索解题思路或切入点的有效武器，在解题过程中有良好的导向作用.

极限思想的精髓是逼近、趋近、无限接近.利用这种变化趋势，我们可以更形象、更直观、更细致地认识函数的图象，由此也就更深刻地认识了函数的性质.在高中数学教学中，特别是在高三数学复习教学中，教师应该予以足够重视.作者简介武增明，男，1965年5月生，云南易门人，中学高级教师，玉溪市数学学科带头人，玉溪市劳模.在省级及其以上数学专业刊物上发表教育教学论文140余篇.主要从事高中数学教学及其研究.

函数极限与连续教案 篇9

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题课2—函数极限2009 篇10

第二次习题课（函数极限、无穷小比较）

一、内容提要

1.函数极限定义，验证limx12.x

32.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.e3xe2x

3.极限四则运算.求lim.x0x

4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.6.重要极限与常用等价无穷小.二、客观题

1.当x0时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？

2（A）x2；(B)1cosx；(C)x1；(D)tanxsinx

2.已知limsinx(cosxb)5，则a(),b().x0exa

23.当x0 时，xsinx 是 x 的（）.(A)低阶无穷小；(B)高阶无穷小；(C)等价无穷小；(D)同阶无穷小但非等价无穷小.4.设f(x)lim3nx,则它的连续区间是（）.n1nx

25.当x→0时下列变量中与x是等价无穷小量的有[].(A)sinx；(B)ln(1x)；(C)x2 ；(D)2x2x.x217.设f(x)，则x0是f(x)的间断点，其类型是__________ __．x

三、解答题

1利用重要极限求下列函数极限

1xn1ann!x7（1）lim（二重），（2）设xn，求极限lim，（3）求极限limcosxx2，nnxx1x0nxn

cosx

1xx1解：limcosxxlim1(cosx1)x0x011cosx1cosx1xex0lime 1

22.利用等价无穷小的性质求下列极限：

《数学分析I》第2次习题课教案

sinaxx2ln13xxsinx1（1）lim；（2）lim，b0；（3）lim.x2x0x0x0sinxtanbxe1

3.利用连续函数求下列极限：

ex1ln1ax2(1)lim；(2)lim(提示：令tex1)；（3）lim13tanxx0x0x0xxcot2x.4.利用函数极限的归结原则求数列极限

212（1）limnsin，（2）lim12.xnnnnn

sinax5.设fxxx[x]x0x0，应怎样选取数a，才能fx使处处连续？

x31(axb)1，求常数a,和b。6.已知lim（极限分析）xx21

四、证明题

1.若f(x)为周期函数，且limf(x)0，试证明f(x)0,x(,).x

2.利用函数极限的归结原则证明limcosx不存在.x

3.设f(x)~g(x)(xx0),证明：f(x)g(x)o(f(x)).4.设函数f在(0,)上满足方程f(2x)f(x)，且limf(x)A，证明：f(x)A，x

x(0,).f(x)limf(x)f(1)，证明：5．设函数f在(0,)上满足方程f(x2)f(x)，且limx0x

数列的极限函数的极限 篇11

关键词： 函数    极限    连续    可导

一、学生在学习高等数学的相关内容中遇到的问题

在判断一函数在某点处的极限是否存在及在该点处是否连续或可导的问题时，学生往往很纠结，经常混为一谈，甚至会出现指鹿为马的现象.

二、如何处理好学生所遇到的相关问题

要想避免把三个不同的问题混为一谈，就必须弄清以下两个充要条件和一个必要条件及导数的定义.

1.函数f（x）当x→x 时极限存在的充要条件是左极限、右极限存在且相等，即

f（x）=A？圳 f（x）= f（x）=A

注：当左、右极限都存在，但不相等，或者二者至少有一个条件不存在时，就可以断言函数f（x）在x 处的极限不存在.

2.函数f（x）在点x 处连续的充要条件是函数在该点处的左、右极限存在、相等且等于该点处的函数值，即函数f（x）在点x 处连续？圳 f（x）= f（x）=f（x ）.

注：当函数在点x 存在下列三种情形之一：

（1）在x=x 处无定义;

（2）在x=x 处有定义，但 f（x）不存在;

（3）在x=x 处有定义，且 存在，但 f（x）≠f（x ），则函数f（x）在点x 处不连续.

3.函数y=f（x）在点x 处可导的必要条件是：f（x）在点x 处的左、右导数存在且相等，即f′ （x ）=f′ （x ）.

4.导数的定义

设函数y=f（x）在点x 的某一领域内有定义，如果极限

=  存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x 处的导数，记作

f′（x ）或y′| ，即：

f′（x ）=  =

此时也称函数f（x）在点x 处可导;若极限不存在，则称函数f（x）在点x 处不可导或导数不存在.

例1：设函数

f（x）=x·sin     x>01    x=0x     x<0

判断函数f（x）在x=0处的极限是否存在及函数在x=0处是否连续？

解：因为 f（x）= x =0， f（x）= x·sin =0

即 f（x）= f（x）=0，故函数f（x）在x=0处的极限存在.

又因为f（0）=1，即： f（x）= f（x）≠f（0），故函数f（x）在x=0处不连续.

例2：选择适当的a、b值，使函数

f（x）=2x        x≤1ax+b    x>1在点x=1处既连续又可导.

解： f（x）= 2x =2， f（x）= （ax+b）=a+b

因f（x）在点x=1处连续，即： f（x）= f（x）=f（1）

故a+b=2

f′ （1）=  =  = 2（x+1）=4

f′ （1）=  =  = a=a

因f（x）在x=1处可导，即f′ （1）=f′ （1）

故a=4，于是b=-2.

所以，当a=4，b=-2时，函数f（x）在x=1处既连续又可导.

例3：判断函数

f（x）=x +1    x≤22x+3    x>2在x=2处的极限是否存在，且在x=2处是否连续、可导？

解：因 f（x）= （x +1）=5， f（x）= （2x+3）=7

即 f（x）≠ f（x）

故函数在x=2处的极限不存在，从而函数在x=2处也不连续.

因f′ （2）=  =  =  =4

f′ （2）=  =  =2

即f′ （2）≠f′ （2）

故函数f（x）在x=2处不可导.

三、结论

一般地，判断函数在某点处的极限是否存在或在该点处是否连续，所讨论的函数都是分段函数，因为一切基本初等函数、初等函数在其定义域内都是连续的，而分段函数一般不是初等函数.

综上所述，要做到能熟练解决以上所提到的问题，不至于将三者混淆起来，只需明确三者之间的共同点都是求极限的问题，而连续的条件比极限存在的条件要多加强一个，不能把只要满足了左、右极限存在且相等就看成是函数在该点处连续.判断函数在某点处是否可导，只需看是否满足左、右导数是否存在且相等即可.

参考文献：

[1]姚孟臣.大学文科高等数学.高教出版社，2010.5.

[2]薛桂兰.高等数学学习指导.高教出版社，2005.6.

[3]沈聪.高等数学.首都经济贸易大学出版社，2010.5.

二元函数极限计算方法探究 篇12

关键词：二元函数,极限,泰勒公式

极限是微积分学的基础，导数、积分等概念都是在极限的基础上建立起来的.从极限理论出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好地理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是学习微积分的关键.一元函数的极限及求法，在各种高等数学教材中都有详细的讨论.除了常用的定义、运算法则、连续性方法，本文给出了六种适用性较强的二元函数极限计算方法，希望对初学者有一定帮助.

一、变量替换 (转化为一元函数计算)

例1 .

解 令t=x2+y2, 则当 (x, y) → (0, 0) 时, t→0, 所以.

二、利用无穷小替换

例2 .

解 因为当 (x, y) → (0, 0) 时, x3+y3→0, 所以sin (x3+y3) ～x3+y3, 于是.

三、利用夹逼法则

例3 .

解 , 而,

所以, .

四、利用极坐标 (一般用于解决表达式中含有x2+y2的项)

例4 .

解 设x=rcosθ, y=rsinθ, 有

∀θ:0≤θ≤2π, 有|r (sinθ+cosθ) lnr2|≤|4rlnr|,

易知.

所以.

五、利用二重积分

例5 .

解 原式=, 其中D为0≤x≤1, 0≤y≤1.

六、利用泰勒公式

例6 求.

解 把cos (x+y) -cosxcosy在原点展开, 得cos (x+y) -cosxcosy=-xy+o (ρ) , 其中.

故.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:下册[M].3版.北京:高等教育出版社, 2001.

[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002.

一、多元函数、极限与连续解读 篇13

一定法则总有确定的值与它对应，则称 是变量 x、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为

（或），点集 D 为该函数的定义域，x、y 为自

为该函数值域。由此变量，为因变量，数集也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是一张曲面。例如 面。

㈡二元函数的极限

⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域）D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式，都有 的一切点

是球心在原点，半径为 1 的上半球

成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当

或 , 这里 时的极限，记作

。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。⒉注意：二重极限存在是指 都无限接近A。因此，如果条定直线或定曲线趋于

沿任意路径趋于，函数

沿某一特殊路径，例如沿着一时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内有定义，是 D 的内点或边界点且

。如果

连续。如果函，则称函数 f（x，y）在点

数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。2 ．性质

⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；

⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次；

⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分 ㈠偏导数

⒈偏导数定义：设函数

在点 的某一邻域内有定义，时，相应地函数有增量

存在，则称此极限为

处对 的偏导数，记作，当 固定 在而 在处有增量，如果函数

或 类似，函数 在点

在点

处对 的偏导数定义为，记作

际中求，或。在实的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求 时只要将暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要将 暂时看作常量而对 求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数 注意：对于一元函数来说 可以看作函数的微分 分 之商，而偏导数的记

与自变量微号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。⒉偏导数的几何意义：设 过 做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面，则导数

上的方程为

为曲面

上的一点，即偏导数

对 轴的 斜率。同样，偏导数 截得的曲线在点 的切线

处，就是这曲线在点 处的切线 的几何意义是曲面被平面 所对 轴的斜率。

在区域 D 内具有偏导数，都是，⒊高阶偏导数：设函数，那么在 D 内 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数： ,。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）㈡全微分

⒈全微分定义：如果函数

可表示为

赖于、而仅与、有关，在点

可微分，而

称

在点 的全增量，其中 A、B 不依，则称函数

为函数

在点 的全微分，记作，即。如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。定理 1（必要条件）：如果函数 函数在点 的偏导数

在点 的全微分为 在点

可微分，则该必定存在，且函数

。定理2（充分条件）：如果函数续，则函数在该点可微分。的偏导数 在点 连以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数 的全微分可表示为 分等于它的两个偏微分之和

这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则 ㈠复合函数的全导数：如果函数 函数 在对应点

在点 可导，且

及

都在点 可导。通常将二元函数的全微具有连续偏导数，则复合函数 其导数可用下列公式计算：。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，则，其中 称为全导数。上述定理还可推广

到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。㈡复合函数的偏导数 : 设 则

是

可微，函数，对，并且，的复合函数。如果 的偏导数存在，则 复合函数

对 的偏导数存在，且

㈢全微分形式的不变性 : 设函数 则有全微分 果、又是，如 的函数、具有连续偏导数，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合 函数 的全微分为

由此可见，无论 是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式 ㈠、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 ：设函数 有连续的偏导数，且，内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满，则方程

在点 的某一邻域

在点 的某一邻域内具 足条件，并有

隐函数存在定理 2 ：设函数 具有连续的偏导数，且，一邻域

内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，则方程

在点 的某

在点 的某一邻域内，并有

㈡、方程组的情况 隐函数存在定理 3 ：设 某一邻域内、在点 的具有对各个变量的连续偏导数，又，且，偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）：

在点 点 不等于零，则方程组，在的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，五、方向导数、梯度 ㈠、方向导数 1、定义：设函数

在点 的某一邻域 内有定义，自点 P 引射线。设轴正向到射线 的转角为 , 并设

为 上的另一点，且

。我们考虑函数的增量 的比

与 和 两点间的距离

值。当 沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数 在点沿着方向的方向导数，记作，即。、定理：如果函数 在点 是可微分的，那么函数，在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且有 其中 为 x 轴到方向 的转角。上述定义也可推广到三元函数 着方向（设方向 的方向角为，其中，它在空间一点

沿）的方向导数可以定义为，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向 的方向导数为

㈡、梯度、定义(二元函数的情形)：设函数 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点量，这个向量称为函数，即，在点

在平面区域 D，都可定出一个向的梯度，记作，由梯度的定义可知，梯度的模为： 当 不为零时，x 轴到梯度的转角的正切为 2、与方向导数的关系：如果设

是与方向 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：

由此可知，就是梯度在 上的投影，当方向 与梯度的方向一致时，有，从而 有最大值。所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数

在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。设函数 续偏导数，则对于每一点，这个向量称为函数

六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用 ㈠、二元函数的泰勒公式 定理：设 的连续偏导数，在点 的某一邻域内连续且有直到

阶

在空间区域 G 内具有一阶连，都可定出一个向量

在点 的梯度，即 为此邻域内任一点，则有

一般地，记号 表示

设，则上式可表示为

⑴，公式⑴称为二元函数

在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，则⑴式成为 n 阶麦克劳林

㈡、多元函数的极值 定理 1（必要条件）：设函数 数，且在点

在点（,）具有偏导(,)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

定理 2（充分条件）: 设函数 内连续且

有一阶及二阶连续偏导数，又)=A,(,)=B,(,)=C, 则 f(x,y)在（,）处是否取得极值的条件如下：，令

(,，在点（,）的某邻域⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；

⑵ AC-<0 时没有极值；

⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。㈢、几何应用、空间曲线的切线和法平面： ⑴设空间曲线 的参数方程为 在曲线上取相应于 的一点，这里假设 解析几何中有，假设三个函数都可导，则曲线在点 M 处的切线方程为

均不为零。如果有个别为零，则应按空间关直线的对称式方程来理解。切线的方向向量成为曲线的切向量。向量

就是曲线 在点 M 处的一个切向量。

⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线 在点 M 处的法平面，它是通过点

而与 T 为法向量的平面，因此方程为。

⑶若空间曲线 的方程以 为： 的形式给出 , 则切线方程，其中分母中带下标 0 的行列式表示

行列式在点 的值；曲线在点

处的法平面方程为 的值；曲线在点 处的法平面方程为、曲面的切平面和法线 ⑴若曲面方程为 M 处的

切平面的方程为：

；，是曲面上一点，则曲面在点

法线方程为： ⑵若曲面方程为，则切平面方程为