正切函数图像性质教案

正切函数图像性质教案（精选5篇）

正切函数图像性质教案 篇1

一、教学目标

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

二、课时 1课时

三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具

多媒体、实物投影仪

六、教学过程 导入新课

思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课 新知探究 提出问题

①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？

你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？

活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z

2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z 2

可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z.2(3)单调性

通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(22,)内是增函数,2+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域

根据正切函数的定义tanα=

y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+

,k∈Z,所以正切函2,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(2且无限接近2时,正

且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方2222,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1

问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22,)的图象为好.22+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2

图3

问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4,-1),(0,0),（,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(x=4,-1),(0,0),（,1),再画两条平行线42,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=

+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性

+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称

22k的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例 略

课堂小结

正切函数图像性质教案 篇2

1案例背景

2012年12月, 笔者参加了校内举行的“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动, 开设了一节公开课——“正切函数的性质与图象”。课后通过专家点评、与同行交流, 对学生的主体性地位有了更为深入的认识, 对新课程理念有了更为具体的理解, 对以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点开展的有效教学活动很受启发。下面是笔者对这次活动的心得体会, 希望引起同行的关注。

2教学过程

在研究正弦函数的图像与性质时, 我们借助于单位圆中的正弦线, 通过平移、描点作出了正弦函数的图像, 再结合图像研究性质并解决相关问题。因此在教学中, 很多同行都会采用类比思想, 先大致作出正切函数图像, 再通过图像研究其性质并解决相关问题。本着新课改理念, 新课程不仅仅利用类比思想来研究正切函数, 而且在此基础上做了更大的突破。它换了一个新视角来研究正切函数:先根据已有的知识研究正切函数的相关性质, 结合性质作出图像, 再由图像去验证已有的性质并挖掘其它性质, 最后利用图像和性质解决相关问题。这样既为合理作出正切函数的图像奠定了理论基础, 同时也传递给学生一个讯息, 研究函数的相关问题时, 数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以从数到形来进行研究。这样既拓宽了学生的思维, 又使学生研究问题的方法更上了一个台阶。在此思想的指导下, 笔者在教学中收到了很好的效果。现将本次活动的课堂教学案例梳理如下, 如有不足, 恳请斧正。

教学过程如下:

2.1复习并引入新课

练习:画出下列各角的正切线

设计意图:借助于单位圆让学生作出正切线, 既是复习也为后面用类比的思想作出正切曲线埋下了伏笔。教师就是引导学生联系原有的知识, 为学习新知做好铺垫。这时教师可选择一些有代表性的作图结果, 然后用实物投影展示, 这样哪怕教师不点拨, 学生就清楚了自己的问题所在, 充分体现了以学生为主体的思想。

2.2主动探究, 解决问题

2.2.1研究正切函数的性质

设计意图:教师先设计好学案, 让学生利用在单位圆中作出的正切线, 自己去研究正切函数的相关性质。教师利用几何画板做出角的终边在各个象限时正切线的动画演示。让学生通过几何的画板演示直观感知正切函数的“两域三性”。 (这里也可利用其它知识研究正切函数的性质, 如用三角函数的定义去研究定义域和值域, 结合诱导公式研究周期性、奇偶性…) 这样不仅发挥了学生的能动性, 而且发散了学生的思维。因为学生在收集、整理性质过程中又是一次思维的整合, 对如何研究函数性质又更进了一步。教师在巡视过程中及时汇总学生意见, 引导学生形成正确的知识和方法。同时教师事先要估计学生学习中会遇到的困难, 想方设法帮助学生突破难点。避免教师对学生喋喋不休的低效灌输, 这既是对学生主体性地位的尊重, 也是践行新课程“以学生的发展为本”理念的需要。)

2.2.2结合性质, 小组合作探究, 作出函数的图像

类比y=sinx图象的由来, 你能通过单位圆的正切线作$y=\tan x,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$的图象吗?

1.先画出y=tanx在一个周期内的简图。

2.教师用投影仪展示作图结果, 并作出在定义域上的图象。

3.投影仪展示完整图像。目的是规范作图, 理顺思路的作用。

教师小结:

第一步:画出正切函数的在一个周期内的图象;

第二步:将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去;

第三步:根据图象总结性质。

设计意图:从教学实践看, 教师尽可大胆放手把活动、思考的时间还给学生, 把观察、归纳、概括、探究的机会让给学生, 这样有助于学生思维的发展。教学中先让学生自主绘图, 再投影学生的图像, 通过投影仪纠正图像。最后再结合前面研究出的性质让学生进一步观察图像。这样学生结合定义域会明白为什么正切函数会有两条渐近线, 结合值域明白为什么函数图像可以向上向下无限延伸, 结合奇函数和单调性明白了如何正确连线成图才能得到较精确的正切函数图像。这样通过学生自己动手得到图像, 使学生学会了一类周期性函数的研究方式。学生亲身经历数学研究的过程, 体验探索的乐趣, 增强了学习数学的兴趣, 从而提升学生分析问题的能力及严密认真的态度。课程标准指出, 教师需要合理利用信息技术辅助教学, 揭示数学本质, 让学生的理解更透彻。

2.2.3观察图像, 小组合作讨论进一步研究性质

(1) 正切函数的图像是被相互平行的直线x=$k\pi +\frac{\pi }{2}$, k∈Z所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。

(2) 对每一个k∈Z, 在开区间内, 函数单调递增.

(3) 正切函数的图像关于原点对称; (问:还有其他的对称中心吗?) 总结出对称中心为$(\frac{k\pi }{2},0)$, k∈Z, 无对称轴

设计意图:除了前面所研究的正切函数性质外, 让学生进一步观察函数图象。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质, 并挖掘出其它的性质。教师提出问题后, 先让学生自主探究, 尝试解决。教学中经常会遇到这样的情况, 教师刚把问题提出来, 就开始头头是道的分析起来, 或者没等学生充分思考就开始提问, 剥夺了学生思维活动的时间和空间。学生的思维丰富多彩, 有奇思妙想, 教师可能始料未及。笔者在教学中通过四人小组合作、交流, 留足够的时间让学生去发现正切函数的其它性质。根据学生学习知识的发生发展成熟过程, 充分体现了学生的主体性, 让学生活起来。小组讨论过后, 先让其中一个小组成员总结、发言, 其它各小组补充或更正, 这样可以培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

2.2.4类比正弦函数“五点法”作图, 如何快速作出正切函数的简图?

正切函数图象的简单作法:三点两线法

(0, 0) 、$(\frac{\pi }{4},1)$、$\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$

“三点”:

$x=\frac{\pi }{2}$和$x=-\frac{\pi }{2}$

“两线”:

设计意图:在学生自主探究、合作交流的基础上, 借助于单位圆作出了较为精确的正切函数图像, 但在利用函数图像解决问题时, 这样作图既费神又费力。所以教学中类比正余弦函数图像简图的作法, 教师引导学生利用三点两线法快速作出正切函数的简图, 从而解决相关问题。

2.3通过练习, 巩固基础

若$-\frac{\pi }{6}<x\le \frac{\pi }{4}$, 求y=tanx的取值范围?例1.已知函数y=tanx

例2.求出满足条件$\tan x\ge \sqrt{3}$的x的取值范围?

思考题:画出函数$y=\left|\text{t}\text{a}\text{n}x\right|$的图象, 探究该函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性、单调区间和对称性。

设计意图:在课堂教学中, 数学教学不是“结果”的教学, 而是“思维活动过程”的教学, 通过前面问题的提出过程, 知识的获取过程, 结论的探究过程, 认识的升华过程以及分析、解决问题的艰难曲折思维过程后, 接下来让学生借助于研究好的图像和性质利用数形结合思想解决相关问题, 及时了解学生课堂中知识掌握的情况。正是有了前面的一系列的教学过程, 学生自己思考得多, 通过自己探究获取的知识掌握得很好, 所以学生就能利用所学的知识, 快速地解决相关的问题。

2.4总结思考, 提高能力

学生交流在本节课学习中的体会、收获, 交流学习过程中的体验和感受, 师生合作共同完成小结。

(1) 学习了正切函数图像的作法;理解了正切函数的图像特征;掌握正切函数的基本性质。

(2) 学会用类比方法研究问题, 渗透数形结合的思想。

(3) 体验了成功的快乐。

设计意图:整堂课已经接近尾声, 笔者也想了解一下学生在这堂课中收获和体会。笔者随机叫了两名同学进行了课堂小结。其中一名男生回答说:“在接触一个新函数时, 可以尝试回忆学过的已有函数, 看看能不能利用类比的思想解决一类问题, 然后大胆去猜想、论证。”另外一名女生说:“通过这节课的学习, 使她明白了合作、交流, 自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函数问题:数形结合不仅仅是从形到数的研究, 也可以换个角度从数到形来研究, 为我们研究数学问题提供了新视角。”教室里顿时响起了雷鸣般的掌声, 这是我事先没预料到的, 也充分说明笔者这节课上得非常成功。学生通过自主思考、合作探究的成效是显著的!

2.5分层作业, 巩固拓展

(1) 全体同学完成作业本;

(2) 每位同学结合今天研究的内容, 设计一道回家作业题, 并完成。

3案例反思

对相同的教学内容不同的教师处理教材的方法可能也不一样。这些不同, 缘于教师对教材的理解与处理、对学生原有认知结构的认识以及对教学实际的把握;也缘于教师教学风格的不同。这节课表面看看很简单, 内容也不多, 前面又有了正余弦函数研究的铺垫, 上起来应该不难。但专家点评说这节课要把它上好是非常难的, 很容易上成一节流水课, 没有什么新意。而且这堂课实际上是高中教材中很难啃的一块骨头。不过专家对笔者的这堂课给予了高度的肯定和赞赏, 认为笔者很好的实施了新课程理念, 课堂中让学生共同探讨, 让学生自己去发现问题、解决问题。对学生核心数学思想的提升有很大的帮助。同时处处保持互动, 以学生为本, 充分发挥和挖掘学生的潜能。同时肯定笔者具有很好的数学素养!通过课后与同行交流、聆听专家点评后, 笔者更深刻地认识到数学教育要彰显出学生的主体性地位。如果教师提出问题后就讲个不停, 这样只能用教师的思维, 或少数几个被提问学生的思维填补其它大多数学生的思维, 这样的结果是强迫学生接受, 破坏了思维活动的自主性、独立性, 有碍于学生思维的发展。课堂教学中要充分尊重学生的思维活动过程, 让其暴露出来, 即使思维过程是错误的甚至是可笑的, 但这实际是存在的, 不可以视而不见。教师需要根据不同的教学内容, 指导学生灵活采用接受、记忆、模仿、练习、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方式;在教学中, 可以借助信息技术, 提高课堂容量, 把难以呈现的数学本质揭示出来, 也可以用数学实验让学生体验知识形成的过程。要以“教给学生什么、怎样教给学生”为立足点, 践行新课程的教育理念, 开展有效的教学活动。

感谢“聚焦课堂 高效教学研究月”的活动, 使笔者从理论到实践对数学教学都有了更新的认识。在今后的教学中, 笔者将切实地尊重学生的主体地位, 践行新课程理念, 扮演好引导者、组织者、合作者的角色。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.

正切函数的性质与图象 教学设计 篇3

一、教材内容分析

本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.4《三角函数的图象与性质》中的第1.4.3节《正切函数的性质与图象》，属于本小节第四课时.第一课时我们学习了“正弦函数、余弦函数的图象”，第二课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的周期性”，第三课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的奇偶性、单调性”，学生通过前面几节内容的学习，对研究函数的方法有了一个更加清晰的认识，即先给出函数的定义，然后研究函数的图象，最后得到函数的性质，事实上这种研究方法是我们在一直采用的方法.有了前面的研究经验，加之有些函数的图象并不好画，因此本节我们从一个新的角度研究正切函数,先研究它的性质，在对性质有了一个初步了解后，再来研究函数的图象，最后利用图象验证我们之前所得到的性质，本节给出了研究函数的另一种方法.例题的编写意图：这是一个与复合函数有关的问题，是对正切函数性质的深入应用.学生在求定义域时容易想到换元法，让“新元”落在正切函数的定义域内解出自变量x的取值范围；关于该函数的周期学生有了前面求正弦型函数周期的经验，利用类比的方法猜想T，接下来需要利用周期函数的定义验证这一猜想；本例题比较难处理的地方是单调1x)，x[2,2]的增区间的求法，这使得学生对方法的接受变得自23性，教材为了化解难点，在必修一研究了复合函数单调性的判断方法，在上一节的例5给出了函数ysin(然.课后习题正切函数的性质及其图象的应用，针对性强.二、学情分析

学生在初中学习了简单的一次函数、二次函数、反比例函数，进入高中以后又学习了指数函数、对数函数、幂函数，还有前两节学习的正弦函数、余弦函数，我们在学习这些函数的时候都是先研究函数的图象，在由图象得到函数的性质.但是在学习过程中，他们会遇到某些函数的图象并不容易直接作出的情况，此时就需要有一种新的研究方法出现，即本节的研究方法，先研究函数的性质再研究函数图象.有了前面三节课的研究经验，学生容易想到从两域三性的角度研究.首先通过探究（几何画板演示）获得正切函数的性质，接下来采用类比的方法利用正切线作正切函数在(,)上的图象，结合正切函数的周期性得到正切22函数在整个定义域上的图象，最后利用图象讨论函数的性质.学生在例题的接受上可能会存在较大的困难，结合之前学习的正弦型函数的周期及单调区间的求法再来理解本例题会变得更加容易.三、教学目标分析

知识与技能：

1.理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和值域等基本性质及正切函数的图象；

ππ 2.了解用正切线作正切函数在(-,)内的图象.22过程与方法：

1.通过探究（观察-猜想-验证）获得正切函数的性质,体会数形结合的数学思想； 2.利用类比的方法获得正切函数的图象； 3.讲解例题，总结方法，巩固练习.情感态度与价值观：

1.通过几何画板演示，引发学生的学习兴趣；

2.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，增强学生的探究意识；

四、教学重点、难点分析

教学重点：

1.正切函数的性质的探究；

2.利用正切线作正切函数的图象.教学难点：

正切函数性质的应用（例题）.五、教学支持条件分析

为了更加直观地突出重点、突破难点，激发学生的学习兴趣，本节课以几何画板为依托，对正切函数的性质逐一探究，并利用正切线作出正切函数的图象，让学生体会“类比”的方法及“数形结合”的数学思想.六、教学方法分析

本节采用引导探究、讲练结合的教学方法，通过几何画板演示让学生发现规律、提出猜想、验证猜想，经历问题解决的过程，体会研究问题的方法.通过老师分析例题，加强学生分析问题的能力.七、教学过程

（一）复习引入

1、研究正弦函数、余弦函数的方法是什么？ 师生活动：共同回忆之前研究函数的方法.设计意图：之前研究函数的方法是先给出定义然后研究图象，再由图象得函数的性质.本节采用的研究方法是先研究性质再研究图象，提供了研究函数的另一种方法.2、正切函数是如何定义的？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生回忆正切函数的定义.设计意图：为接下来性质的探究做好准备.（二）新课讲解

探究

（一）正切函数的性质

知识探究1 正切函数的定义域

问题1 研究一个函数，我们需要先考虑它的什么性质？

师生活动：教师利用几何画板演示角x终边的情况，学生思考x的取值范围并得出结论，教师在几何画板上展示定义域在x轴上的分布情况.设计意图：研究函数需优先考虑定义域，学生观察图象不难得出定义域关于原点对称，为后面研究函数的奇偶性作准备.知识探究2 正切函数的周期性 问题2 正切函数是周期函数吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.通过学生自主观察、发现，激发学生的研究兴趣.2.为探究

（二）作正切函数的图象作铺垫.知识探究3 正切函数的奇偶性 问题3 正切函数具有奇偶性吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.复习判断函数奇偶性的方法.2为探究

（二）作准备.知识探究4 正切函数的单调性 问题4 正切函数的单调性如何？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：1.通过层层设问，获得正切函数单调区间的表示形式，明确函数图象的特征，为画函数图象作准备.2.复习正切线的定义，为接下来的研究作铺垫.知识探究5 正切函数的值域 问题5 正切函数的值域是什么？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：通过几何画板演示明确函数的值域，并强调正切函数没有最值.探究

（二）利用正切线作正切函数的图象

问题6 通过对性质的研究，你认为我们应该如何作出正切函数的图象？ 师生活动：教师展示研究成果（五条性质），学生思考.设计意图：让学生明确：欲研究正切函数在定义域内的图象，只需研究它在一个周期内的图象，结合奇偶性只需研究(,)上的图象.22问题7 如何作出正切函数在(,)上的图象？ 22师生活动：教师利用几何画板演示“利用正切线作正切函数图象”的过程，学生观察、回忆、对比，获得图象的直观认识.设计意图：1.让学生类比正弦线作正弦函数图象的方法，作出正切函数在(,)上的图.2.22体会数形结合的数学思想.问题8 如何得到正切函数的图象？

师生活动：教师演示平移后的图象，学生观察获得对图象的整体认识.设计意图：1.再一次体会图象的特征，从图象的角度验证函数的性质；2.给出正切曲线的定义.问题9 正切函数的对称中心是什么？

师生活动：教师演示正切曲线绕(k,0),kZ和(现与原图象重合.设计意图：给出正切函数对称中心的表达形式.2k,0),kZ旋转180，学生观察发

（三）例题讲解

例1 已知函数ytan(2x3)

（1）求出函数的定义域、周期和单调区间；（2）试作出函数的简图.师生活动：教师分析题目特点，明确解题方法.设计意图：加强对正切函数性质的应用

练习：求函数ytan(1x)的定义域、周期和单调区间.24师生活动：学生练习，教师巡视，展示学生的学习成果.设计意图：加强对方法的使用，掌握这类题的解法,巩固正切函数的性质.（四）课堂总结

1.正切函数的性质： 2.正切函数的图象： 3.数学思想与方法：

（五）作业布置与思考

1.作业：教材46页A组：6,7,9 2.思考：（1）如何证明正切函数的最小周期为？

正切函数图像性质教案 篇4

4.10正切函数的图象和性质

第一课时

(一)教学具准备

直尺、投影仪.

(二)教学目标

1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图.

2.掌握正切函数的性质及其应用.

(三)教学过程

1.设置情境

正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图.

2.探索研究

师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的.

生：在单位圆上取终边为 (弧度)的.角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点.

师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像.

(1)用正切线作正切函数图像

师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数?

生：∵

∴ 是周期函数， 是它的一个周期.

师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像.

作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆.

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.

③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份).

④找纵坐标，正切线平移.

⑤连线.

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 ( )的图像，并把它叫做正切曲线(如图1).

图2

(2)正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.

①定义域：

②值域

由正切曲线可以看出，当 小于 ( )且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值.

因此，正切函数的值域是实数集 .

③周期性

正切函数是周期函数，周期是 .

④奇偶性

∵ ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称.

⑤单调性

由正切曲线图像可知：正切函数在开区间( ， )， 内都是增函数.

(3)例题分析

【例1】求函数 的定义域.

解：令 ，那么函数 的定义域是

由 ，可得

所以函数 的定义域是

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

(1) 与 ;

(2) 与 .

解：(1)∵

又 ∵ ，在 上是增函数

∴

(2)∵

又 ∵ ，函数 ， 是增函数，

∴ 即 .

说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决.

3.演练反馈(投影)

(1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是( )

A. B. C. D.与 值有关

(2) 是 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合

① ②

参考答案：

(1)C.注： 与 相邻两点之间距离即为周期长

(2)D.注：由 ，但 ，反之 ，但

(3)①

②

4.总结提炼

(1) 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

(2) 性质.

定义域

值域

周期

奇偶性

单调增区间

对称中心

渐近线方程

奇函数

，

(四)板书设计

课题……

1.用正切线作正切函数图像

2.正切函数的性质

例1

例2

演练反馈

正切函数图像性质教案 篇5

【学习目标】、学习利用正、余弦函数的图像和性质解决一些简单应用；

2、比较单位圆和图像法研究三角函数的性质时各自的特点；

3、进一步熟悉正、余弦函数的最值、单调性、奇偶性、图像的对称性的应用；

【学习重点】

正、余弦函数的图像和性质的简单应用

【学习难点】

运用函数观点和数形结合思想研究函数性质

【学习过程】

一、预习自学（把握基础）

（温习课本第18页、28页、31页、32页关于正、余弦函数的图像和性质的内容，解决下列内容）、角α终边和单位圆交于点P（u,v）时，sinα=

;cosα=

；

若P是角α终边上一点，则sinα=

;

cosα=

；

2、描点法画余弦曲线时的五个关键点是：

；

描点法画余弦曲线时的五个关键点是：

；

3、说说正、余弦函数的性质有哪些相同点和不同点？（画出表格比较）

二、合作探究（巩固深化，发展思维）

例1．书第24页A组第6题

例2.书第24页B组第4题

例

3、书第35页B组第1题

三、达标检测（相信自我，收获成功）、函数y=2cosx,412【导学案】正、余弦函数的图像和性质的应用的增区间为

；减区间为。

2、书第35页B组第2题（分cosx＜0和cosx≥0两种情况化简解析式后画出图像）

（1）该函数图像为：

（2）定义域为

；值域为

；x=

时，函数最大值为

；最小正周期为

；奇偶性为

；

该函数图像的对称性是；

增区间为

；

减区间为。

（4）函数在[-2π，2π]上的图像与直线y=-1的交点个数是。

四、学习体会