浅谈高中数学思想的培养

在《高中数学考试大纲》中就提出数学是一门思维的科学, 是培养理性思维的重要载体, 通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面, 对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断, 形成和发展理性思维, 构成数学能力的主题.对能力的考查, 强调“以能力立意", 就是以数学知识为载体, 从问题入手, 把握学科的整体意义, 用统一的数学观点组织材料.对知识的考查侧重于理解和应用, 尤其是综合和灵活的应用, 以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力, 从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.

对于学生在学习高中数学的过程中经常遇到的就是不能进行知识的迁移, 不能融会贯通, 只能解答只有一个考点的问题, 而不能很好的解答多个考点溶于一题。从而丢分, 从而产生对数学的畏难情绪, 从而将数学列为自己学不懂的学科。

当我们解题时遇到一个新问题, 总想用熟悉的题型去“套”, 这只是满足于解出来, 只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时, 才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查, 特别是突出考查能力的试题, 其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题, 形成能力, 提高数学素质, 使自己具有数学头脑和眼光。对如何培养学生的数学思想方法, 笔者有如下的思考:

1 平时的教学中就要刻意地渗透数学思想方法

在平时的教学中要刻意的去渗透数学思想方法, 就好像先告诉学生, 在我们的手上常用的工具有哪些, 它们有哪些用途, 这样学生才会试着在遇到新问题, 新题型的时候, 尝试用这些工具解题, 如果他连自己拥有什么样的工具都不知道, 一团乱麻, 如何下笔解题呢?那只有懒得思考, 等着老师给出解答过程了。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查:

(1) 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; (2) 数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; (3) 数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等; (4) 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化 (化归) 思想等。

比如学生在初中就学习过了完全平方公式 (a+b) 2=a2+2ab+b2, 但是很多学生只是当做一个公式来记忆, 从左到右是如何展开的, 当遇到从右到左是如何配凑的很多学困生, 就是想不到, 老师一讲解就恍然大语, 所以在高中阶段的教学中, 一定要让学生明白公式从左到右, 和从右到左都应该是你要掌握的技巧, 进一步遇到 ;这样的问题, 才能解决, 还不是简单的一句套公式解答问题。

在高中数学教学中与其他知识点相结合, 我们就会举一反三得到类似的解题思路

题例:

2在在基础知识的复习过程中, 渗透数学思想方法, 丰富知识内涵

用数学思想方法推导定理、公式的形成, 培养学生的思维能力。在定理、公式的教学中不要过早的给出结论, 引导学生参与结论的探索、发现, 研究结论的形成过程及应用的条件, 领悟它的知识关系, 培养学生从特殊到一般, 类比、化归的数学思想。在进行三角函数和差角, 二倍角公式的复习中, 很多教师是直接公式一呈现, 就告诉学生们, 把公式记住, 然后应用就行了, 但是学生往往连记住公式都困难, 更别说应用了。

三角函数的和差角, 二倍角公式, 包括推广出来的降幂, 升幂, 半角公式, 其实都是一个整体思想和化归思想的体现, 在对公式讲解的时候就应该提出这些, 由cos (α+β) →cos (α-β) →sin (α±β) →cos2α→sin2α而tan (α±β) , tan2α都是用弦化切的思想化简整理得到的。

3 在解题教学中渗透数学思想方法, 提高学生的数学素养和能力

解题的过程实质上是在化归思想的指导下, 合理联想, 调用一定数学思想方法加工、处理题设条件和知识, 逐步缩小题设和结论间的差异。运用数学思想方法分析、解决问题, 开拓学生的思维空间、优化解题策略。

最好是采取变式的形式, 一点点的引导学生提升, 比如求圆的切线方程:

例1, 已知圆x2+y2=4, 过点 作圆的切线, 求圆的切线方程。

变式1:已知圆x2+y2=4, 过点P (1, 3) 作圆的切线, 求圆的切线方程。

变式2:已知圆x2+y2=4, 过点P (2, 3) 作圆的切线, 求圆的切线方程。

变式3:已知圆x2+y2=4, 过点P (4, 0) 作圆的切线, 求圆的切线方程。

变式4:求函数 的取值范围

例1中, 点P在圆上, 变式1中点P在圆外, 体现了点和圆的位置关系, 对切线条数的影响, 体现了数形结合的思想, 变式2比较变式1, 题型一样, 都是点在圆外, 有两条切线方程, 但是学生用原来的方法只能解出一条切线的斜率, 因为另一条切线方程为x=2, 斜率不存在, 除了强调了直线方程的点斜式中对斜率存在的重要性, 也再次体现了数形结合的重要性, 变式3和变式1可以用同样的解法来解决, 但是变式用数形结合的方法来解决的话, 学生做出图来, 就已经发现了, 切线的倾斜角是可以从图中看出来的, 加快了解题速度。而变式4, 看起来是个函数题目, 其实是可以用数形结合的方法看做圆x2+y2=1上的动点与定点 (2, 3) 之间的斜率变化范围, 与变式1, 2, 3是一类题型。

总之, 在解题教学中恰当渗透数学思想方法, 开拓了学生的思维空间, 优化了学生的思维品质, 提高了学生的解题能力。

4 开设专题讲座, 激发提升对数学思想方法的认识, 提高对数学思想方法的驾驭能力

数学知识本身具有系统性, 数学思想方法也具有系统性, 对它的学习和渗透是一个循序暂进的过程。在高考复习时, 可以有目的地开设数学思想方法的专题讲座, 以高中数学中常用的数学思想方法 (如:数形结合、分类讨论、函数与方程、转化和化归等) 为主线, 把中学数学中的基础知识有机的结合起来, 让学生深刻领悟数学思想方法在数学学科中的支撑和统帅作用, 进一步完善学生的认知结构, 提高学生的数学能力。

比如以函数思想为主线, 可以串连代数、三角、解析几何的大部分知识, 方程可以看成函数值为零的特例;不等式可以看成两个函数值的比较大小;三角可以看成一类特殊的函数 (三角函数) ;解析几何可以看成隐函数, 曲线可视为函数的图形;导数可作为研究函数性质的主要工具。在化归思想的指导下, 使学生更深刻地理解化归变换的策略:比如指数、对数的高级运算化为代数的低级运算;在方程中, 三元、二元化为一元, 分式方程化为整式方程;在立体几何中将空间图形化为平面图形, 复杂图形化为简单图形;几何问题化为代数问题。通过思想方法的专题复习, 实现了知识、方法和数学思想的整合, 提高学生分析问题、解决问题的综合能力。

综上所述, 在教学过程中重视数学思想方法的渗透和灌输, 可以深化学生对基础知识的理解, 进一步完善学生的认知结构, 优化学生思维品质, 提高学生复习问题, 解决问题的能力, 提高学生的数学数养。

摘要：高考试题十分重视对于数学思想方法的考查, 特别是突出考查能力的试题, 其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题, 形成能力, 提高数学素质, 使学生具有数学头脑和眼光。

关键词：高中数学考试大纲,数学思想,渗透