高中数学放缩法公式

高中数学放缩法公式（推荐5篇）

高中数学放缩法公式 篇1

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an2n1(nN*).求证：

k

n

2

3

a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).*

证明： 

akak

1

212

k1

1





12(2

k1

1)





13.222

k

k



1211

.k,k1,2,...,n, 32



a1a2n2



a2a3

...

anan1



n2



1111n11n1(2...n)(1n), 322223223

n2

*



a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=

4xx，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

2n

11

4nn



2(nN)

*

.证明：由f(n)=

14

=1-

114

n

1

122

122

112

n

122

n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1

n

14(1

1214

n1

22

1)n

n1

(nN)

*

.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

例

3、设an证明：∵∴ n

223

n

34

n

n(n1)(n1)

ann(n1)求证2

2(n

12)

n(n1)n(n1)

n(n1)

2n12

2n12，∴

n(n1)2

an

(n1)

∴ 123nan

本题利用n



13(2n1)

2n

1，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

4、固定一部分项，放缩另外的项；

例

4、求证：

1n

1

2

3

1n



4证明：



1n(n1)





1n1

1



1n

1n1

1n

1n





n

()().此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根

据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩

ln

2例5.求证：



ln3

3

ln4

4

ln33

n

n

3

1x

n

5n66

ln2

(nN)

ln33

*

.

ln33

nn

解析:先构造函数有

lnxx1

lnxx

1,从而



ln44

31（n





n)

因为2





n

1111111111

1nnn

213 234567892

n1

3n193339

23n13n

66918275n

6

n

5n66

ln2

所以



ln33



ln44



ln33

n

n

31

n

5n6

3

6、裂项放缩

n

例6求证:k1k





53.1n



1n

4

1

12

4n12n12n1

n

解析:因为,所以

k

k1

112511

121

2n12n133357、均值不等式放缩

例7.设

Sn

2

23

k

n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.解析: 此数列的通项为a

k

k(k1)

kk

1n(n1)2

k(k1),k1,2,,n.n

n

k

12，kSn

k1

(k

k1

12)，n(n1)

即

Sn



n2



(n1)2

.ab

ab2

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

n，若放成k(k1)k1

则得

Sn



k1

(k1)

(n1)(n3)



(n1)2，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n1

1an



n

1an

a1an

n



a1an

n

a1



其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩

n

(11)

n

CnCnCn2nCn0Cnn1

01n，2C

n

n

C

1n

C

2n



n

n22

n

高中数学放缩法公式 篇2

一、放缩法在最值问题中的应用

例1若实数x, y满足|x|+|y|≤1, 求x2-xy+y2的最大值.

又∵|x±y|≤|x|+|y|≤1,

当x, y中一个为0, 另一个为1时, 上式等号成立.故x2-xy+y2的最大值为1.

通过以上问题的解决, 可以培养学生根据不等式的基本性质应用放缩法来解决最值问题的能力, 上面的问题还可以做如下的变式训练:

变式训练已知二次函数y=x2+ax+b的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为m, n且|m|+|m|≤1, 设满足上述条件的b的最大值和最小值分别为P和Q, 求|P|+|Q|的值 (全国初中数学联赛) .

二、放缩法在不等式问题中的应用

例2设a1, a2, …, an是n (n>1) 个互不相同的正整数, 求证:

证明∵a1, a2, …, an是n个互不相同的正整数,

∴不妨设1≤a1

从而有a1≥1, a2≥2, …, an≥n.

通过以上的问题的解决, 可以培养学生根据问题的目标, 进行合情合理的放大和缩小的方法来解决不等式问题的能力, 进一步增强学生学习数学的兴趣.上面的问题还可以做如下的变式训练.

变式训练求证:n

三、放缩法在不定方程问题中的应用

解∵x+1

∵x为正整数, ∴x=1.

经检验:x=1满足题意, 即方程的正整数解为x=1.

以上的不定方程问题还可推广为如下问题:

例4已知x, y, z都是正整数, 且28x+30y+31z=364, 求x+y+z的值.

解∵28 (x+y+z) <28x+30y+31z<31 (x+y+z) ,

∴28 (x+y+z) <364<31 (x+y+z) .

解得:

∵x, y, z都是正整数, ∴x+y+z=12.

通过以上的问题的解决, 不但拓宽了学生的解题思路, 而且培养了学生的整体思想意识.以上问题还可以做如下的变式训练:

变式训练1若自然数x

变式训练2从1开始, 写出一组连续的正整数, 然后擦去一个数, 其余的平均数为求擦去的数是多少.

四、放缩法在完全平方数问题中的应用

例5求使得m2+m+7是完全平方数的所有正整数m的值.

解 (1) 当m≥7时, m+7≤2m,

于是m2

此时, m2+m+7介于两个连续整数的平方之间, 不是完全平方数.

(2) 当1≤m<7时, m=1, 2, 3, 4, 5, 6, 经检验, 只有当m=1和6时, m2+m+7才是完全平方数, 故m=1或6.

通过以上问题的解决, 不但学生掌握了判断一个正整数是否为完全平方数的方法, 而且培养了学生的分类讨论的数学思想.上面的问题还可以做这样的变式训练:

变式训练求使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积.

通过以上四个方面问题的探讨, 并根据中学数学课标中指出“要培养学生分析问题和解决问题的能力”, 同时要注意数学思想方法的运用和创新意识的培养, 因此, 要把培养学生的“应用数学意识”落实到初中数学竞赛的教学中去, 使学生了解数学在各方面的广泛应用, 从而提高学生对数学竞赛学习的兴趣, 并逐步形成应用数学的良好习惯.

摘要：在初中数学竞赛中, 经常应用放缩法解决最值问题、不定方程问题以及不等式问题与完全平方数问题等.放缩法的灵活运用能激发学生学习数学的兴趣, 进一步提高学生应用数学方法分析问题和解决问题的能力.

关键词：放缩法,数学竞赛,应用

参考文献

[1]岑申, 玉而冶.数学竞赛阶梯训练[M].杭州:浙江教育出版社, 2002.

[2]王延文.2010我参加了初中生夏令营数学竞赛[J].中等数学, 2010 (11) .

[3]王延文.2008年全国初中数学联赛[J].中等数学, 2008 (9) .

放缩法证明不等式例证 篇3

江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军 21510

1近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an21(nN).求证：n*an1a1a2...n(nN*).23a2a3an

1ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, 证明： ak12122(2k11)23.2k2k2232k

aa1a2n1111n11n1...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan12...n(nN*).23a2a3an1

2若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=4x

14x，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+12n11(nN*).2证明：由f(n)= 4n

14n=1-111 nn1422

221得f（1）+f（2）+…+f（n）>11

122211

22n

111111n(1n1)nn1(nN*).424222

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进

行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例

3、已知an=n，求证：∑ 证明：∑

k=

1nn

nk=1ak

k

n

＜3．

(k－1)k(k＋1)

=1k2n

ak

2=∑

k=

1n

＜1＋∑

k=2

＜１＋∑

k=2

(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k

－1)

=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

1=1＋1＋－ ＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；

n

1.例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2322k

1n

证明 0a1

n

11112,an1an,a2a12,a3.当k1时,0ak2a3, 2416161n11(akak1)(a1an1).16k116

32(akak1)ak2

k1

本题通过对因式ak2放大，而得到一个容易求和的式子

5、逐项放大或缩小

(a

k

1n

k

ak1)，最终得出证明.n(n1)(n1)

2an例

5、设an2234n(n1)求证 22122n1

2证明：∵ n(n1)nnn(n1)(n)

2n

1n(n1)(n1)213(2n1)

∴ 123nan，∴

an

222

2n1

本题利用n，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的∴ n

n(n1)

数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项； 例

6、求证：

11117 2222123n

4证明：

1

2nn(n1)n1n



11111111151171()().22222123n223n1n42n4

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.1，只要证

5amn1aman因为 amn5mn4，aman(5m4)(5n4)25mn20(mn)16，故只要证

5(5mn4)125mn20(mn)16 即只要证

20m20n37

因为aman5m5n85m5n8(15m15n29)20m20n37，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由aman放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例

8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)＞(1+n)

i

i

n

m

证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi1ni

1，,同理ii

mmmnnnmn

由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有

nkmk，

nm

AinAim

所以ii,即miAinniAim

nm

(2)由二项式定理有：

2n2n

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知

mAin

i

＞nAim

i

(1＜i≤m＜n)，而

Cim

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

AimiAin

= ,Cni!i!

00222211

浅谈用放缩法证明不等式 篇4

山东省 许 晔

不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法很多。如：比较法（比差商法）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅，下面仅就用放缩法证明不等式的问题加以证明。

所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，故命题得证。

利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。

一、运用基本不等式来证明

①求证：lg8·lg12＜

1证明：∵lg8＞0，lg12＞0，而 lg96＜lg100=2 ∴lg8·lg12＜1.说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。

说明：本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。

解：

∵a2b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）同理a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时，等号成立）b2＋c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立）

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（当且仅当a=b=c时，等号成立）∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，说明：此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。

二、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的证明：

说明：本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

证明：

本题说明采用了分别把各项的分母换成最大的2m或最小的m＋1的技巧。③求证：

证明：

本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。

④求证：

证明：

本题说明，此题采用了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。⑤若a、b、c为不全相等的非实数 求证：

证明：

∵a、c、b不全为零，上述三式不能全取等号，相加得

说明：本题考虑到是齐次对称式，应用不舍弃非负项缩小的技巧。⑥求证：

证明：

当a＋b=0时，不等式显然成立。

当a＋b≠0时，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，即：左边≤右边.说明：本题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。

三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用

证明：当n=k+1时，则得

本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。

证明：由递推公式有：

∴x100＞45.本题采用了数列的递增和放缩法相结合的解题技巧。

高中数学放缩法公式 篇5

例 1已知,求证：

分析 由把可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法构造出二项式定理公式，从而得出结论。转化成证明设且。

对任意，有

将上述各式叠加：

例 2 求证：

分析左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。证明

例

分析左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。

证明