高中数学排列组合讲解（精选8篇）
计算公式：
此外规定0! = 1
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。
计算公式：;C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)
“数学广角”是义务教育课程标准实验教科书二年级上册的内容, 包含“排列”和“组合”两个既有联系又有不同的内容。教材通过一些生活中不同的简单实例呈现出来, 使学生在感悟排列与组合的不同中, 体会到有顺序、全面地思考是解决问题的好方法。此内容也是三年级继续学习更多事物的排列数和组合数的基础, 也是学习八年级概率的基础。
【我的思考】
通过对教学内容的分析及对学生的前测, 我想通过以下几点完成本次教学:
1.以生活场景为载体, 通过猜想、操作、验证, 引发矛盾冲突, 让学生在参与游戏中经历知识的形成过程, 感受有序思考的价值。
2.在活动中让学生体会有顺序、全面思考问题的好处, 并说一说有序排列、巧妙组合的理由。
3.通过一系列的生活场景游戏, 让学生经历描述与表达、交流与纠错、评价与感悟的完整过程, 使学生不仅获得正确的结果, 还能感悟和收获数学活动的体验与经验。
【教学目标】
1.通过观察、猜测、操作等活动, 找出最简单事物的排列数和组合数。
2.经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
3.在有序地、全面地思考问题的过程中, 感受到数学与生活的紧密联系。
【教学重难点】
1.教学重点:经历探索简单事物排列与组合规律的过程, 培养学生有序思考问题的能力。
2.教学难点:初步理解简单事物排列与组合的不同, 在合作、交流中突破难点。
【教具学具】写有1、2、3的3张卡片。每组学生准备3张不同的数字卡片。
【前测题目】
1.用1、2两张数字卡片能摆 () 个不同的两位数, 他们分别是_______________。
2.小朋友在操场上排队, 想一想, 做一做:
(1) 两个人排队, 有几种不同的排法?
(2) 有甲、乙、丙三个人, 如果每两个人排成一竖排, 最多能排成几种不同的情况? (此题是分别找了25名同学, 实际在操场上进行的操作访谈。)
3.甲、乙、丙、丁四人, 任意2人分为一组, 会有几种不同的分法? (此题是课间发现班上有4人在玩“跳皮筋”, 做的随即前侧。)
【教学过程】
课前谈话:
猜名字:渗透找排列数与组合数的两种基本的方法和思路。
1.猜学生名字, 渗透交换法。师:我猜咱班几个同学的名字, 你们只告诉我猜得对不对。记得她叫娜李? (生:不对!) 李娜? (生:对了!) 我把这两个字“交换”一下, 就对了。
2.猜学生名字, 渗透固定法。师:告诉我你姓什么? (生:张!) 张字肯定得“固定”了猜, 你叫张帅? (生:不对!) 张帅不对, 固定张、你叫张鹏。
3.相信通过这节课的学习, 我会记住很多孩子的名字。不过, 刚才猜名字时用到的方法——“交换”和“固定”, 说不定我们数学中也能用到呢。
(设计意图:课前, 从猜名字及出示老师给大家带来的礼物盒入手, 不仅渗透了方法还激发了学生的学习兴趣, 符合低年级儿童的年龄特点, 抓住了“童心”。)
一、破解密码, 感知排列
1. 出示礼物盒, 由信件引发矛盾
我们先把礼物盒打开看看! (做动作, 打不开。) 噢?是个密码锁, 密码放在了这个信封里了。 (老师读信。) “小朋友你们好, 这个礼物盒的密码是由信封里的两张数字卡片组成的一个两位数, 你们能破解吗?”
(设计意图:从孩子们感兴趣的礼物盒引入, 到必须破解密码打开, 再到读神秘的信件, 激发孩子想破解密码的学习内驱力。)
2. 两个数的排列
(1) 出示密码盒及两张数字卡片□1□2。“盒子的密码是由数字□1□2组成的一个两位数, 是几呢?”
(2) 根据学生的回答, 提问:23也是两位数干嘛不猜它?11呢, 也不符合要求?
(3) 试密码打开礼物盒。
(设计意图:学生在解决实际问题中产生兴趣, 为找到三个数的排列数做好铺垫。此情景作为学习新知的迁移, 学生既感兴趣又不会陌生。)
3. 三个数的排列
(1) 出示密码本。这个密码本的密码也是个两位数, 是由1、2、3这几张卡片组成的两位数, 要找到密码, 我们必须知道用他们能组成哪几个两位数?
(2) 学生4人小组用卡片□1、□2、□3想、试, 教师巡视, 参与学生活动。
(3) 汇报讨论, 探究规律。学生展示不同的摆法, 体会有序思考的优势与方法。怎么摆能保证不重不漏呢?根据学生的回答:
a.每次拿其中的两个数字, 先摆出一个数, 然后用调换的方法得出另一个数, 得到6个数。取名为交换法。
b.先固定一个数在十位, 把1放在前面, 后面摆2, 是12, 摆3, 是13;然后再把2放在十位, 个位摆1, 是21, 个位摆3, 是23;同理31、32。取名为固定法。
c.组织学生讨论:在摆的过程中, 随便写, 想起哪个写那个, 会有什么缺点?
(4) 小结。通过课件再次梳理与回顾交换、固定这两种有序思考的方法。
(5) 打开密码本。密码是这些数中最大的一个。
(6) 延伸巩固, 体会数在变、方法是不变的。用9、7、3可以摆出几个两位数?用5、6、7呢?从1~9这9个中任意取三个数呢?
(7) 用3个数可以写成6个不同的两位数, 4个数呢?5个数呢?有兴趣的同学, 回家试一试, 这在我们今后的学习中还会遇到。
(设计意图:这一部分内容是本节课的重点, 也是难点。通过找密码、开密码、拓展巩固到其他各数几个环节, 使孩子们在经历中发现找排列数的方法及有序思考的方法。但为了不让孩子形成思维定势, 适当地把知识从点延伸到面, 这样孩子学的知识才会更活, 并能激起学有余力的孩子的兴趣。)
二、活动体验, 感知组合
活动一:握一握
1. 创设三人握手的情境。
(1) 提出问题:如果3个人, 每两个人握一次手, 一共要握几次手?
(2) 组织学生在小组内通过演一演, 解决这个问题。
(3) 用教具示范, 渗透连线的方法。
2. 提出疑问, 引发思考。数字卡片用3个数可以摆出6个不同的两位数, 握手时3个同学却只能握3次。都是3, 为什么结果不一样呢?
3. 根据学生的讨论, 得出结论——摆数与顺序有关, 握手与顺序无关。
(设计意图:先让学生猜一猜握手的次数, 把问题抛给学生。再抓住错例进行分析, 在演示中认识到只要两人握了就行, 它与顺序无关。潜移默化地向学生渗透排数和握手一个是有序、一个是无序的思想。)
活动二:赛一赛 (球赛)
1.邀请打乒乓球, 提问:3个人, 每两个人比一场, 一共要比几场呢?
2.学生交流汇报。
3.如果老师也来参加比赛, 4个人每两个人比一场, 一共要比几场呢?怎样在本上记录下来?
(设计意图:这一环节的球赛活动分了两层, 在3人比赛的基础上增加一人, 从开始的动手连一连改为用数学符号来表示, 顺理成章地渗透“数学符号化思考问题”, 真正让学生从生活中走入浓浓的数学课堂, 掌握了解决此类问题的有效方法。)
三、联系生活, 应用拓展
搭配服装——故事呈现 (老师边讲故事边简笔画出场景图) :
在一片树林里, 住着小白兔、小松鼠两户人家。要过年了, 松鼠妈妈带着小松鼠买了这些新衣服。快看看, 都买了什么衣服? (贴出两件上衣、三件裤子的图片。) 妈妈想让孩子搭配着穿。回到家, 小松鼠就向小白兔炫耀自己的新衣服。小白兔问:你的新衣服有几种不同的穿法呢?是呀, 小松鼠的衣服, 有几种不同的穿法呢?同学们用连线的方法连一连这几种穿法。
四、全课总结, 巩固延伸
1. 在数学广角中还有许多知识等着大家去探索。只要你善于观察、善于动脑, 就会发现在我们的身边蕴含着很多丰富的数学知识。我们今天所学的有关数字的排列, 以及握手时用到的组合知识, 就是我们数学书99页第8单元数学广角上的内容, 有关这些知识我们以后还会进一步的学习。通过这节课的学习, 你有什么收获呢?
2. 看书99页, 之后把做一做的两道题直接填到书上。
教学点评
数学课程标准倡导自主探究、合作交流、实践创新的数学学习方式, 强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发, 为学生提供充分地从事数学活动和交流的机会。本节课为学生提供了现实而有趣的数学学习内容和学习形式, 通过一系列的游戏:“破解密码”“握手祝贺”“球技比赛”“衣服搭配”, 让学生经历描述与表达、交流与纠错、评价与感悟的完整过程, 从而使学生逐步形成对排列数与组合数的一个感性认识。具体体现在:
一、精心预设, 激发兴趣
本节课处处体现了胡老师精心的预设, 特别是她精心设计的课前准备环节, 通过猜老师、学生的名字渗透“交换法”及“固定法”, 为接下来学生能有序地找全排列数起到了抛砖引玉的作用, 不仅渗透了方法还激发起了学生的学习兴趣, 抓住了“童心”。
在探究新知的过程中, 胡老师设计了“破解密码”的活动, 不仅使得学生在解决实际问题中产生了兴趣, 在活动中得到启示, 同时为找到三个数的排列数做好铺垫, 给了不同程度的孩子一个思维的支撑。正是有了此环节的精心预设, 才有了学生能有序找全排列数的精彩生成。
二、调控生成, 因势利导
在第二环节“活动体验, 感知组合”的互动中, 从第一个活动“握手祝贺”, 学生自然地通过动手连一连寻找到答案。再到第二个活动“球技比赛”, 在3人比赛的基础上增加一人, 每两个人进行一场比赛, 一共要比几场?学生自然内需出要改为用数学符号来表示, 这样简单清晰好描述。至此, 老师又顺理成章地渗透了“数学符号化思想”的方法, 真正让学生从生活中走入浓浓的数学课堂, 并掌握了解决此类问题的有效方法, 是学生良好思维方式的一个提升。
三、提炼方法, 评价引领
【关键词】高中数学 排列组合 教学思考
排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。
一、排列组合学习中的基础知识
1.排列组合的基本定义
（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。
（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。
2.排列组合中的两个重要原理
（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。
二、排列组合中的一般方法策略
在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。
1.分部法
对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。
2.捆绑法
对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。
3.插空法
插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。
4.排除法
在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。
5.等价转化法
在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。
以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。
三、典型例题分析
排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。
（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。
说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。
四、结论
排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。
【参考文献】
[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.
[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.
[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.
（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）
【内容摘要】排列组合分为两部分，即排列和组合。排列指从已知的元素中取出部分元素进行排列，组合是指将取出的部分元素进行组合。排列组合与概率论关系密切，进行排列组合问题分析时，往往运用概率论的知识。排列组合是高中数学的一部分，对于学生们来说，也是学习比较难的一部分。为了帮助学生掌握好排列组合的学习，老师们要研究出适合学生学习的教学方案，让学生们少走弯路。
【关键词】高中数学 排列组合 教学思考
排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。
一、排列组合学习中的基础知识
1.排列组合的基本定义
（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。
（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。
2.排列组合中的两个重要原理
（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。
二、排列组合中的一般方法策略
在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。
1.分部法
对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。
2.捆绑法
对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。
3.插空法
插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。
4.排除法
在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。
5.等价转化法
在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。
以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。
三、典型例题分析
排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。
（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。
说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。
四、结论
排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。
【参考文献】
[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.
[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.
[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.
（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）
【内容摘要】排列组合分为两部分，即排列和组合。排列指从已知的元素中取出部分元素进行排列，组合是指将取出的部分元素进行组合。排列组合与概率论关系密切，进行排列组合问题分析时，往往运用概率论的知识。排列组合是高中数学的一部分，对于学生们来说，也是学习比较难的一部分。为了帮助学生掌握好排列组合的学习，老师们要研究出适合学生学习的教学方案，让学生们少走弯路。
【关键词】高中数学 排列组合 教学思考
排列组合在高中数学中占有重要位置，也是高考的考点之一，用以了解学生的分析能力，阅读能力以及数学建模能力。因此，学好排列组合对于学生们掌握好高中知识，顺利通过高考，进入梦想大学显得至关重要。排列组合思想灵活多变，新颖独特，要想准确掌握好这种思想，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力。学生们学习时往往会钻入死胡同，这个时候，老师的指点和帮助显得尤为重要。下面将对排列组合作简要介绍分析。
一、排列组合学习中的基础知识
1.排列组合的基本定义
（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，当m=n时，叫做n个不同元素的一个全排列。
（2）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（3）排列与组合的区别：排列问题与元素之间的顺序有紧密关系，然而组合问题与元素之间的顺序无任何关系。
2.排列组合中的两个重要原理
（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
（2）分步计数法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。
二、排列组合中的一般方法策略
在高考试卷中，考查排列组合问题的形式一般是选择和填空。此类问题题型多变，往往紧密联系实际。题目不多，但是也占有一定的比例。为了迅速解题，掌握一定的解题技巧是必需的。本文将简单介绍一下适合运用在排列组合求解时的一些常用方法策略。
1.分部法
对于一些比较复杂的以及比较抽象的排列组合问题，可以采用分部法进行求解。运用分部处理法就是将复杂问题进行简化，划分为简单的小问题分部进行求解。
2.捆绑法
对于排列组合问题中相邻问题的解决，最合适的方法就是捆绑法。此类问题要求某几个问题必须相邻，处理这种问题时，将需要相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素，然后再进行排列组合，此时需要注意的是，组成大元素的小元素之间也可以进行排序。
3.插空法
插空法处理的问题与捆绑法处理的问题情况正好相反，处理的是某几个元素必须不相邻的问题。插空法思想是先将除了那几个需要不相邻处理的其他元素排列好，然后再将那些需要不相邻的元素插入到其他元素之间或者两端。
4.排除法
在排列组合问题的解决过程中，常常会遇到一些这样的问题，从正面直接解决的话，会有很大的困难，但从它的反面解决往往简单得多，此时可以先求出此类问题的反面，然后从整体中排除，即得出需要解决问题的答案。
5.等价转化法
在排列组合问题的解决过程中，有时候会遇到一些非常规的问题，这个时候直接解决的话，难度很大，但是如果将其等价转化为常见排列组合问题时，解决会变得很容易。因此，等价转化法常常作为解决非常规问题的最佳途径。
以上简单介绍了几种排列组合中的一般方法，介绍时虽然是分开介绍，但是遇到实际问题时，往往需要几种方法共同使用，才能解决。因此，上面各个方法不是相互独立的，是相辅相成的。遇到问题时要综合各种方法，灵活运用。
三、典型例题分析
排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解析：（1）先排歌唱节目有5×4×3×2×1种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有6×5×4×3中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200种方法。
（2）先排舞蹈节目有4×3×2×1中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880种方法。
说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。
四、结论
排列组合作为高中数学的一部分，频繁出现在高考题目中，并且还作为高等数学有关分支的准备知识，因此学习好这部分内容显得十分重要。解决排列组合问题的解决方法灵活多变，新颖独特，常用方法有转化法、捆绑法、插空法、排除法等。要想准确掌握排列组合解决方法，需要学生们具有良好的抽象思维能力和一定的逻辑推理能力，同时也需要老师们的热心指导和无私帮助。
【参考文献】
[1] 北京师范学院数学系编写组. 中学数学辞典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.
[2] 弗赖臀塔尔. 数学教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.
[3] 数学课程标准研制组. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M]. 南京：江苏教育出版社，2004：20.
让学生成为“演员”——也谈排列组合的解题策略
排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”.针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。
笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。
下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：
1、占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？
① 仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。
② 转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？
③ 解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。这样原题也就得到了解决。
④ 学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）
⑤ 老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。
2、分组问题例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？
用心
爱心
专心 1
（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P）
① 仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。
② 转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？
③ 解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P ×P 种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P ×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P ×P）×（P ×P）（种）。（这时同学B表示反对）
同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P ×P.（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）
同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C ×C ×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）
这样原题的解答结果就“浮现”出来C ×C ×P（种）。
④ 老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。
以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。
用心
爱心
一、教学内容
简单的排列组合
二、教学目标
1．使学生通过观察、猜测、实验、验证等活动，找出简单事件的排列数或组合数。
2．培养学生有序地、全面地思考问题的意识和习惯。
三、编排特点
1．借助操作活动或学生易于理解的事例来帮助学生找出排列数或组合数。
2．利用学生已有的知识让学生逐步建构新的知识。
衣服搭配、摆几位数、求比赛场次等例子在二年级上册都出现过。
3．利用直观图示帮助学生有序地、不重不漏地找出排列数或组合数。
四、具体编排
1．例1（简单的组合）
（1）隐含了分步计数的原理，但这儿不要求用分步计数的方法（乘法）来求组合数。只要能用图示的方法来求出组合数就可以了。
（2）教材上提供了两种图示表示法，引导学生用画简图的方式来表示抽象的数学知识。实际上还有其他的方法，例如每条裙子或裤子分别可以搭配两件上衣（分步时，可以把确定上衣作为第一步，也可以把确定裙子和裤子作为第一步），教学时要充分发挥学生的创造性。至于学生用哪种方法求出来，都没关系。但要引导学生思考如何才能不重不漏，发展学生有序地思考问题的意识和能力。
（3）学生自己用图示表示时，可以很开放，比如，可以用正方形表示衣服，圆形表示裙子和裤子，并分别在正方形和圆形里标上序号。实际这是发展学生用数学化的符号表示具体事件的能力的一个体现。
（4）如果学生用简图的方式来表示有困难，也可以让学生回忆一下二年级上册的例子或借助学具卡片摆一摆。
2．“做一做”
通过活动的方式让学生不重不漏地把所有两位数写出来。
3．例2（简单的排列）
学生已经有了拿三张数字卡片摆两位数的经验，摆三位数可以用类推的方式让学生自己解决。在这儿的重点是引导学生有序地思考，怎样摆才能不重不漏。学生一开始可能是无规律地摆，但经过一定的观察后，会逐渐走向有序。要让学生经历一个从无序到有序、从实际摆卡片到脱离卡片直接写出这些三位数的过程。
4．“做一做”
借助学生喜爱的西游记的故事情境让学生直观地找出排列数。
5．例3（简单的组合，两两组合）
（1）利用2002年世界杯足球赛的题材，除了教学组合知识以外，还可以适当进行爱国主义教育。
（2）用两种图示法表示两两组合的方式（比较简单的两种方式）。在教学中也要允许有的学生把所有的情况逐一罗列出来，只要他通过自己的方法探索出所有的组合数，都是应该鼓励的。（原来教材上是有的，但由于版面的原因，送审后删去了。）
6．练习二十五
设计丰富的情境让学生练习，巩固排列和组合的知识。
五、教学要求
1．要借助于操作活动帮助学生求排列数或组合数。
排列、组合是很抽象的数学知识，要用操作活动把这些抽象的知识直观化、具体化。
2．注意把握教学要求。
在这儿还只是用图示的方式把所有的排列或组合情况罗列出来（即有哪些排列或组合），不是抽象地计算一共有多少种排列数或组合数。要允许学生用自己喜欢的方式去求排列数、组合数。至于排列、组合等名词，排列与组合的区别，分类计数原理、分步计数原理等，都不要求学生掌握。
实践活动掷一掷
一、利用的数学知识
1．组合（两个骰子上的数字之和）
2．事件的确定性和不确定性、列举所有可能出现的结果（每个骰子上可能的结果是1至6六个数，组成的和可能是2至12的所有数，不可能是1或13等数。）
3．可能性大小（组成的和是2至12中任一个数，但发生的可能性大小是不同的。）
二、活动步骤
（一）示范游戏
1．体验确定现象与不确定现象，列举所有可能的结果。（运用组合的知识，判断哪些和不可能出现，哪些和可能出现。）
2．教师提出游戏规则，学生猜想结果。11个可能结果中教师选5个，学生选6个，学生错误地认为赢的可能性比教师大。
3．开始游戏。学生总是输，产生认知冲突，从而引起进一步探索的欲望。
（二）小组内游戏，探索结论。
通过小组内游戏的方式，进行实验，利用统计的方式呈现实验的结果，初步探索教师总能赢的原因。要引导学生在实验的结果中寻找统计学上的规律。
（三）理论验证
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
4解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A424种，答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
52解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种52数是A5A63600种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的1560种，选B.一半，即A524.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三
211步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C72520种，选C.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）
44C12C84C4A、CCC种 B、3CCC种 C、CCA种 D、种 3A***4124833答案：A.6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
23解析：把四名学生分成3组有C4种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有23C4A336种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B.7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，6故共有不同的分配方案为C984种.8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，333然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8；③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A82种，4332共有7A82方法.所以共有不同的派遣方法总数为A83A83A87A84088种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，11311311313A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3„，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A7,14,21,98共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做A1,2,3,4,,100共有86个元素；由此可知，从A中任取2211个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C14，两种情形共符合要C86211求的取法有C14C14C861295种.（3）从1，2，3，„，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
解析：将I1,2,3,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A4,8,12,100；能被4除余1的数集B1,5,9,97，能被4除余2的数集C2,6,,98，能被4除余3的数集D3,7,11,99，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要
2112求；所以符合要求的取法共有C25种.C25C25C2510.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
4332n(I)n(A)n(B)n(AB)A6A5A5A4252种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
14解析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所14以共有A3A472种。.12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
6解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6720
种，选C.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
2解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后15半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有125A4A4A55760种排法.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（）
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，333故不同的取法共有C9C4C570种,选.C
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙
2112型1台；故不同的取法有C5C4C5C470台,选C.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
2解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在四个盒中每次233排3个有A4种，故共有C4A4144种.（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
22解析：先取男女运动员各2名，有C52C4种，这四名运动员混和双打练习有A2中排法，故共222有C5C4A2120种.15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种 解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C841258个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
4解析：10个点中任取4个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面
44上，每面内四点共面的情况为C6，四个面共有4C6个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44C104C636141种.16.圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：
a1,a2,a3,an;a2,a3,a4,,an,;an,a1,,an1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有
n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n1元素n全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
4解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式2425768种不同站法.1mAn种不同排法.m17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.18.复杂排列组合问题构造模型法: 例18.马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也
2只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C520种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？ 解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
012345C5C5C5C5C5C532个.（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C841258个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同44的四边形，显然有C10个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个.（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？
B
A
解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确
关键词：排列组合,分类计数原理,分步计数原理
一
著名的数学家波利亚认为:“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目, 还不如适当地选择某些有意义但又不太复杂的题目, 去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题过程中,提高他们的才智与推理能力.”基于这一想法,笔者通过对一道典型例题的变式研究,以培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
人教版《数学》选修2-3第18页有这样一道例题:有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各一本,共有多少种不同的送法?
解决这个问题是很容易的,答案是A35. 就这个问题可以引导学生变换问题条件尝试设计一系列新问题.
(一 )将 送的书变化
将5本不用的书改为相同的书, 从中选3本送给3名同学,每人各一本,共有多少种不同的送法?
答案:C35.
(二 )将送书的方法改变
1.有5本不同的书,全部送给3名同学,共有多少种不同的送法?
答案:每本书有3种不同的送法,由分步计数原理,共有3×3×3×3×3=35种不同的送法.
2.有5本 不同的书 ,全部送给3名 同学 ,每人至少1本 ,共 有多少种不同的送法?
答案:送书的方案有两种:1人得3本,2人各1本;1人得1本,2人各2本.
3.有5本 不同的书 ,全部送给3名 同学 ,其中至少有1人 得2本,共有多少种不同的送法?
答案:由分步计数原理可分3步:先选人,有C13种;再选书,有C52种;其余3本书全部给其他2人有23种送法,共有C31·C25·23种方法.
4.有5本 不同的书 ,全部送给3名 同学 ,知某个确定的人得2本 ,共有多少种不同的送法 ?
答案:这里的某个确定的人是指定某人,得2本什么书不确定,共有C25·23.
5,有5本 不同的书 ,全部送给3名 同学 ,其中要有1人 得2本指定的书,共有多少种不同的送法?
答案:共有C13·23种方法.
6.有 5本 不同的书 ,全部送给 3 名 同学 , 已知某人得 2 本 指定的书,共有多少种不同的送法?
答案:已经确定某人得2本指定的书,剩下的3本书分给剩余的2人,共有种方法.
(三 )将 送的书改变 ,送书的方法也改变
1.有5本 相同的书 ,全部送给3名 同学 ,共有多少种不同的送法?
答案:由分类计数原理分三类:
有1人得书:有C13种分法.
有2人得书:将5本书分2堆,有2种分法,即4,1和2,3,每种分法送其中2人均有A22种送法,故共有C23(A22+A22)种送法.
有3人得书:将5本书分3堆,有2种分法,即2,2,1和3,1,1,每种分法送给3人均有C13种送法,共有C13+C13种送法.
故共有C13+C23(A22+A22)+C13+C13种送法.
2.有5本 相同的书 ,全部送给3名 同学 ,每人至少1本 ,共 有多少种不同的送法?
答案: 相当于在5本书的4个间隔中插入2个隔板, 形成3堆,有C24种送法.
二
在排列组合的问题中,经常会碰到很多与体育比赛有关的问题,我们因为对体育赛事比较陌生,总是会犯一些错误.下面结合一些常见的体育赛制及其对应的排列组合问题加以分析.
(一 )单循环赛:就是任何两方之间都只比赛一次.
(二)双循环赛:就是任何两方之间都要分主、客场两次比赛.
如:学校举行篮球比赛先分甲乙两组进行单循环赛,甲组各8个队,乙组6个队,各组选出前4名后,8个队进行双循环赛,共有多少场比赛?
解析:对于甲组,比赛场数是从8个不同元素中取出2个元素的组合数即C28=28(场 ).
对于乙组, 比赛场数是从6个不同元素中取出2个元素的组合数即C26=15(场 ).
而对于第二阶段的比赛,比赛的场数是从8个不同元素中取出2个元素的排列数,即A28=56(场 )
故共有C28+C26+A28=99(场 )比赛.
(三)淘汰赛:就是每场比赛将直接淘汰一支队伍(或选手).
淘汰赛一般比较适合于参赛队伍 (或选手) 比较多的比赛,其比赛赛程可以缩短,但这种比赛带有比较大的偶然性,有时不能客观地反映出比赛各方的真实实力, 容易产生“黑马”.淘汰赛在一些大型国际比赛中经常被采用或部分采用.
如:8名世界网球顶级选手在广州参加比赛,分成两组,每组4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名和另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第三名和第四名,比赛共有多少场?
解析:每组单循环赛共有2C24场比赛,每组第一名和另一组的第二名进行淘汰赛,有2场比赛,最后角逐冠、亚军和角逐第三、四名,有2场比赛.
所以共有2C24+2+2=16场比赛.
(四 )擂台赛 :是一种有着悠久历史的比赛赛制 ,目前在围棋比赛和其他一些带有古老性质的比赛中时有出现, 其赛制比较特别,在其他场合出现的不太多,考试涉及较少.
(五 )对抗赛 :就是双方的队员一对一同时进行比赛 .是考察比赛双方整体实力的一种赛制, 同时是对比赛双方排兵布阵能力的总体考查.
如 : 甲队和乙队进行中国象棋对抗赛 ,双方各出5名队员进行比赛,问总共有多少种不同的对阵形势?
解析:把其中一队的5名队员排成一列,第一名队员可以从另一队的5名队员中任选一名对阵,第二名队员可以从另一队的剩下的4名队员中任选一名对阵,以此类推,可得总共有A55=120种不同的对阵形式.
排列组合问题联系实际,生动有趣,但有时不易掌握,归根究底,解决问题的关键是加法原理和乘法原理的灵活应用,通过多向思考能更好地熟悉和掌握知识的内在联系.
参考文献
(一)化归思想
化归思想指的是变更转化的解题思想,即将条件或结论经过适当的转化,整个命题就可以变更为我们熟知的一些常见问题。
例1:(1993年全国)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有[]
A.6种B.9种 C.11种 D.23种
思路分析:建立数学模型转化为数学问题。用1,2,3,4这四个数字组成无重复的四位数,其中1不在个位,2不在十位,3不在百位,4不在千位的四位数共有几个?
解法1(枚举法):列出所有可能情况。
214323412413
314234213412
412343124321
∴一共9种
解法2:个位数只能2,3,4三個数中任选一个,有三种选法,当个位数选定2后,十位数只能从1,3,4中任选1个,有3种选法;此时百位数,千位数已确定。类似地,当个位数选定3后,情况仍一样。共有3×3=9种。
(二)分类思想
把一个复杂思想通过正确划分,进行合理分类转化为若干小问题予以各个击破,这是高考中考查的最重要的数学思想方法之一。
例2:(2007年全国)从班委会5名成员中,选出3名分别担任班级学习委员,文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有()个。
思路分析:可考虑甲乙二人是否被选入手,分成三类。
解:第一类:甲乙二人都被选上有A22 ·A13=6种选法;
第二类:甲乙二人中恰有1人被选上有A12·A12·A23=24种选法;
第三类:甲乙二人都未被选上有A33 =6 种选法;
∴共有 6+24+6=36种
说明:分类要做到不重不漏,每一类办法都能独立完成任务,类类之间是并列关系。
(三)对称思想
对称思想在思想数学中广泛应用,挖掘数学问题中隐含的对称性,运用对称思想,往往得到意想不到的简捷解法。
例3: (1990年全国)A,B,C,D,E五人并排站成一排,若B必须站在A的右边(A,B可以相邻),那么不同的排法共有〔〕
A.24种B.60种C.90种D.120种
思路分析:该题若用通法,需按A站的位置分成4类,较繁;若用对称性,则出人意料的简单。
通法(分类法):第1类:A站左边第1位,有A44=24种排法;
第2类:A站左边第2位,有A31.·A33=18种排法;
第3类:A站左边第3位,有A21·A33=12种排法;
第4类:A站左边第4位,有A33=6种排法;
所以,共有24+18+12+6=60种,故选B。
对称法:不考虑限制A,B,C,D,E五人并排站成一排共有A55种方法,由对称性可知,B在A右边与B在A左边的机会相等,应得排法为1/2,A55=60种。
(四)逆向思想
很多问题正面求解困难重重,但若从反面考虑,就会“柳暗花明”。
例4: (2008年四川)从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙至少有1人参加,则不同的先法共有〔〕
A.70种 B.112种C.140种D.168种
思路分析:若从正面考虑,需分成两类:一类甲、乙二人都参加;另一类甲、乙二人中只有1人参加。若从反面考虑,则简单的多。只需用10名同学中选4名参加活动的不同选法数减去所挑选的4人中没有甲、乙二人的先法数即可。
解:C104-C84=140种。故选C
(五)整体思想
遇到了相邻问题,常用“捆绑法”即将相邻元素看成1个整体。
例5:4名男同学,3名女同学站成一排照相,3名女同学必须相邻,有多少种不同排法?
思路分析:先3名女同学任意排列,再将3名女同学捆绑看成1个整体与4名男同学任意排列。
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