探索立体几何中的轨迹问题

《普通高中数学课程标准》提出, “在高中数学的教学中, 要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系”。高考大纲也提出了数学整体性和综合性的要求, 于是立体几何与解析几何作为几何的两个分支, 两者“联姻”而成的题型逐渐成为高考与各省市模拟中的“热点”。这类题型立意新, 知识交叉渗透, 纵观历年高考数学试题的命制, 特别重视知识交叉渗透, 在知识网格的交汇点设计试题。近几年来各省市高考试题以立体图形为载体的轨迹问题, 将立体几何和解析几何巧妙地整合在一起, 立意新颖, 综合性强。这是近年来高考试卷中出现的一种新的题型。我认为, 解决这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题。立体几何的轨迹问题往往让学生感到比较陌生, 感到无所适从, 无从下手。笔者结合一些相关的实例, 把解决立体几何中的轨迹问题通过知识点的迁移转化为同一平面内动点所满足的几何条件, 再把它转化为解析几何的问题来求解。

1利用解析几何中曲线的定义

把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解, 其实就是解析几何中曲线的定义的平面的立体化, 还得紧紧抓住解析几何中曲线的定义, 通过解析几何中曲线的定义达到解答立体几何中的轨迹问题。

例1 (2004年高考北京卷文) 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P是侧面BB1C1C内一动点, 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等, 则动点P的轨迹所在的曲线是 () 。

(A) 直线 (B) 圆

(C) 双曲线 (D) 抛物线

解析:点P到直线的距离即为点P到点的距离, 所以立体几何的轨迹问题就转化成平面解析几何中的抛物线的定义的问题, 即在平面中, 点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等, 则选D。

例2在正方体中, 侧面内的动点P到底面ABCD的距离等于到直线AB的距离的2倍, 则在侧面内动点P的轨迹是 () 。

A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分 D.线段

解析:点P到底面ABCD的距离即为点P到直线BC的距离, 点P到直线AB的距离即为点P到点B的距离, 所以立体几何的轨迹问题就转化成平面解析几何中的椭圆的第二定义的问题, 即在平面中, 点P到定点B的距离与到定直线BC的距离的比可算出, 则选A。

例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 定点M在棱AB上 (但不在端点A, B上) , 点P是平面ABCD内的动点, 且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为a2, 则点P的轨迹所在曲线为 (A) 。

A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.圆

解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 过P作PF⊥AD, 过F作FE⊥A1D1, 垂足分别为F、E, 连结PE。则PE2=a2+PF2, 又PE2-PM2=a2, 所以PM2=PF2, 从而PM=PF, 故点P到直线AD与到点M的距离相等, 故点P的轨迹是以M为焦点, AD为准线的抛物线。

点评:正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体, 具有丰富的内涵, 在正方体中设计的轨迹问题, 更是别具一格。

2结合解析几何中图形的特征

把立体几何中的轨迹问题的特征转化成解析几何中图形的基本特征, 利用解析几何中图形的特征和立体几何本身的性质把立体几何中的轨迹问题求解出来。

例4 (04天津) 如图, 定点A和B都在平面α内, 定点, PB⊥α, C是α内异于A和B的动点, 且PC⊥AC。那么, 动点C在平面α内的轨迹是 (B) 。

A.一条线段, 但要去掉两个点

B.一个圆, 但要去掉两个点

C.一个椭圆, 但要去掉两个点

D.半圆, 但要去掉两个点

解析:由PB⊥α, 可得PB⊥AC, 又PC⊥AC, 所以AC⊥平面PBC, 则可得AC⊥BC, 由于定点A和B都在平面α内, 动点C满足AC⊥BC的轨迹是在平面α内以AB为直径的圆, 而C是α内异于A和B的动点, 所以动点C在平面α内的轨迹是在平面α内以AB为直径的圆 (去掉两个点A、B) , 即选B。

例5 (08浙江) 如图, AB是平面α的斜线段, A为斜足, 若点P在平面α内运动, 使得△ABP的面积为定值, 则动点P的轨迹是 (B) 。

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

解析:由已知此题选 (B) 。

例6已知平面α//平面β, 直线1∩α, 点P∈1, 平面α、β间的距离为4, 则在β内到点P的距离为5且到直线l的距离为的点的轨迹是 ()

A.一个圆 B.两条平行直线

C.四个点 D.两个点

解析:如图, 设点P在平面β内的射影是O, 则OP是α、β的公垂线, OP=4。在β内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3, 可知所求点的轨迹是β内在以O为圆心, 3为半径的圆上。又在β内到直线l的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n, 它们到点O的距离都等于, 所以直线m、n与这个圆均相交, 共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点, 故选C。

点评:本题以空间直线与平面的位置关系为依据, 研究平面解析几何的点的轨迹问题, 立意新颖, 构思巧妙, 是深入考查学生思维能力的上乘之作。

3结合立体几何中图形本身的特征

结合立体几何中图形本身的点、线、面之间的位置关系特征, 也是解决立体几何中的轨迹问题一种重要方法。

例7已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ∠BAD=60°, 长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动, 另一个端点N在底面ABCD上运动, 则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为 ()

解析:根据题意, 连接N点与D点, 得到一个直角三角形△NMD, P为斜边MN的中点, 所以|PD|的长度不变, 进而得到点P的轨迹是球面的一部分, 即可求出结果。解:如图可得, 端点N在正方形ABCD内运动 (N与D不重合) , 连接N点与D点, 由ND, DM, MN构成一个直角三角形, 设P为MN的中点, 根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得不论△MDN如何变化, P点到D点的距离始终等于1。N与D重合也满足题意, ∠ADC=120°故P点的轨迹是一个以D中心, 半径为1的半球的

所以所求体积为:, 故选B。

例8已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动, 另一个端点N在底面ABCD上运动, 求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。

解析:由于M、N都是运动的, 所以求的轨迹必须化“动”为“静”, 结合动点P的几何性质, 连结DP, 因为MN=2, 所以PD=1, 因此点P的轨迹是一个以D为球心, 1为半径的球面在正方体内的部分, 所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的

总之, 空间的动点要用运动的观点观察, 要求熟悉一些常见的几何模型, 利用曲面与曲面的相交情况来得到动点的轨迹, 另一方面, 利用数与形相结合的方法, 用解析的方法来研究空间轨迹, 也是立体几何的主要思想, 把立体问题平面化来简化问题, 从而为我们用平面解析几何的方法来研究空间问题提供方便, 更为空间解析几何的思想在立体几何中的应用做好准备。

跟踪练习:

1.P为四棱锥S—ABCD的面SBC内一点, 若动点P到平面ABC的距离与到点S的距离相等, 则动点P的轨迹是面SBC内的 () 。

A.线段或圆的一部分

B.双曲线或椭圆的一部分

C.双曲线或抛物线的一部分

D.抛物线或椭圆的一部分

2.如图, P是三棱锥V-ABC的面VBC上一点, 点P到平面ABC距离与到点V的距离相等, 则动点P的轨迹是 () 。

A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线

3.若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列, 则点P的轨迹是 () 。

A.一条线段 B.一个点

C.一段圆弧 D.抛物线的一段

4. (08北京) 如图, 动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线上BD1过, 点P作垂直于平面BB1D1D的直线, 与正方体表面相交于M, N.设BP=x, MN=y, 则函数y=f (x) 的图象大致是 () 。

5.如图, 在四棱锥P—ABCD中, 侧面PAD为正三角形, 底面ABCD为正方形, 侧面PAD⊥底面ABCD, M为底面ABCD内的一个动点, 且满足MP=MC, 则点M在正方形ABCD内的轨迹为 () 。

6. (2010年重庆理科10) 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 () 。

A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

7. (2004年重庆市高考题) 若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等, 则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是 () 。

8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线, 那么这条曲线的形状是_________, 它的长度为__________。

9.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=6, BC=3, 在线段BD、A1C1上各有一点P、Q, PQ上有一点M, 且PM=2MQ, 则M点轨迹图形的面积是。