在一元函数微积分教学中融入经济专业知识的探索

以往的教学实践中, 经济类高等数学的教学比较注重数学思想、理论的系统性和严密性, 注重定理的证明和公式的推导。使用的教材虽然在经济类高等数学的应用上做了很多尝试和努力, 但是这些应用要么是直接的数学上的应用, 如微分、函数的幂级数展开式在近似计算中的应用, 要么只是在经济专业内一些零散知识点上的应用, 如边际分析、弹性分析等。学生在学了大量高等数学的概念、定理和公式等内容之后, 只见“树木”不见“森林”, 并不能看到高等数学与经济专业知识之间的紧密联系。

下面就从一元函数微积分的几个方面探索在高等数学教学中融入经济专业知识。

1 函数与市场均衡

在高等数学的第一章往往要讲授经济学中的常用函数, 比如需求函数、供给函数、成本函数、收益函数、利润函数、库存函数等。但是以往的授课只是就函数讲函数, 并没有引入相关的经济背景, 这使得学生并不能完全理解个中含义。事实上, 我们可以引入局部市场均衡的概念及其相关内容, 从经济模型的角度切入讲解这部分内容。

所谓均衡, 可以定义为:“选定的一组具有内在联系的变量经过彼此调整, 从而使这些变量所构成的模型不存在内在变化倾向”, 即均衡是一种状态, 其一旦达到且外力不发生变化时, 就有维持不变的倾向。我们下面要描述的是局部均衡市场线性模型[1]。

模型假设:

(1) 只考察一种商品;

(2) 模型包含三个变量, 即商品的需求量Qd (需求函数) , 商品的供给量Qs (供给函数) 以及商品价格P;

(3) 当且仅当超额需求为零 (Qd-Qs=0) , 即市场出清时, 市场实现均衡;

(4) 需求量Qd是价格P的递减线性函数;供给量Qs是价格P的递增线性函数;

(5) 除非价格超过某一特定的正价格水平, 否则不会有商品供给。

模型建立:

模型求解:

联立上述三个方程可解得均衡价格与均衡需求量 (供给量) 为:

注:

①如果需求函数为二次函数 (非线性函数) , 供给函数仍为线性函数, 模型如下:

则可解得均衡价格与均衡需求量 (供给量) 为:P*=1, Q*=3。

②我们也可以把商品种类扩展为多个, 但假设每个商品的市场行为不会相互影响或者影响极小可以忽略不计。

③我们对上述市场模型的讨论主要是建立在局部均衡分析之上的。也就是说, 在决定一个市场的均衡价格和均衡需求量 (供给量) 时, 一种商品的市场行为对其他商品没有影响。然而, 现实世界中每一种商品都有许多替代品和互补品, 此时我们再谈均衡分析就是所谓的一般均衡分析, 一般均衡分析就是同时决定市场上所有厂商的商品的价格和数量。 (此时的模型中会包含厂商的成本函数、收益函数、利润函数等)

2第二个重要极限 的结果e在经济学中的若干解释

在期权以及其他复杂衍生证券定价时, 连续复利得到广泛的应用, 第二个重要极限 的结果e可以解释成连续复利的一种具体计算过程的结果。

假设数额A以年利率R投资了n年, 每年记m次利息, 则终值为:

当m趋于无穷大时, 就称为连续复利[1]。在连续复利的情况下, 数额A以年利率R投资了n年后, 将达到AeRn。设A=100, n=1, R=0.1, 则A以连续复利计息将最终达到0.1100e=110.52 (精确到小数点后第二位) 。

若假设m=365, A=100, n=1, R=0.1, 则由公式 得A在一年末的数额为:110.52。实际上, 在大部分工作实践中, 通常认为连续复利与每天记复利等价。

假设Rc是连续复利的年利率, Rm是与之等价的每年记m次复利的年利率, 于是有: 即:

例子:

假设债权人给出贷款利息为年息8%, 连续复利计息。而实际上利息是一个季度支付一次, 从而根据上述公式得每季度计息一次的等价年利率为0.0808, 即年利率为8.08%。

在连续复利问题中, 我们要通过给定的现值A (本金) 计算未来值V (本金加利息) 。而贴现问题正好与上述相反:由一个已知的t年后可利用的总额V, 求现值A。

在连续复利情况下, 若年利率为R, 则本金在t年后增至AeRt, 即:V=AeRt。于是, 我们可得连续贴现公式:A=Ve-Rt, e-Rt常被称为贴现因子。

连续复利计算是自然指数AeRt性质的一种解释, 但不是唯一的解释。连续复利计算仅仅是指数增长一般过程的一个例子 (货币资本总额随时间的增长) , 我们还可以将AeRt应用于人口、财富、有形资本等的增长。

R可以重新解释为函数AeRt的瞬时增长率。事实上, 由 知V的变化率为 而对于任意时刻处, 我们可求得V的瞬时增长率为:

3 导数与消费者偏好理论

在讲授一元函数的导数时, 我们往往要提导数的几何意义、物理意义, 实际上导数在经济上也有很多应用, 比如在消费者偏好理论中的应用。

假定现在可以提供大量的商品和服务给人们购买, 但是每个人的喜好千差万别, 那么我们怎么描述消费者的偏好呢?

根据人们近乎直觉的想法, 我们可以把所有可能的商品组合分成三类:偏好的、不偏好的和无差异的。我们可以用无差异曲线来图解消费者偏好。一条无差异曲线代表了所有能给消费者相同效用 (消费者满足程度的数值表示) 的商品组合。所以, 该曲线上的点对应的商品组合, 消费者偏好程度都是无差异的。显然, 存在一族无差异曲线, 且她们都是互相不相交的。

而边际替代率是指在偏好不变的情况下 (即保持在同一条无差异曲线上) , 一个人为获得额外一单位商品x (以x轴衡量的商品) 而愿意放弃的商品y (以y轴衡量的商品) 的数量[2]。任意点处的边际替代率是用过该点的无差异曲线的斜率的绝对值来表示的。在无差异曲线可导的前提下, 任意点边际替代率是相应函数在该点处导数的绝对值。

例如, 小王每月可消费的金额为150元, 他购买两种商品:电影和苏打水。一场电影为30元, 一箱 (6罐装) 苏打水为15元。则无差异曲线如图1。

假设该无差异曲线可导, 在无差异曲线上某点的导数的绝对值为2, 即边际替代率为2, 则表示小王此时愿意为多看一场电影而放弃2箱苏打水。

一般的, 在保持无差异的情况下, 随着商品x数量的增加, 一个人为多获一单位x而愿意放弃的y的数量越来越少, 即边际替代率递减。

上述讨论的是普通商品的情况, 当然, 也存在着两种极端情况:完全替代品的边际替代率是一个常数, 例如两种不同牌子的品牌个人电脑就是完全替代品, 他们的无差异曲线是一条向下倾斜的直线, 其边际替代率是固定不变的。而完全互补品的无差异曲线是直角形状的, 比如左脚跑鞋与右脚跑鞋就是完全互补品。

总之, 把高等数学与经济专业知识相融合是一个长期复杂的工程。我们只有不断探索, 帮助经济专业的学生在高等数学与本专业之间架起一座相容相通的桥梁, 才能真正做到让学生不仅看见“一棵树木”, 更看见“一片森林”。

摘要：本文以一元函数微积分的几个方面为例, 探索在高等数学教学中融入经济专业知识;在函数教学中融入市场均衡模型;在第二个重要极限的教学中融入连续复利、贴现和瞬时增长率的内容;在导数教学中融入消费者偏好理论。通过这些探索, 帮助经济专业的学生在一元函数微积分与本专业之间架起一座相容相通的桥梁, 提高经济专业的学生对高等数学的学习兴趣, 加深他们对一元函数微积分的理解与应用, 同时也为他们的专业学习打下坚实的数学基础。

关键词：微积分,经济,探索

参考文献

[1] 蒋中一.数理经济学的基本方法 (第4版) [M].北京大学出版社, 2008:38.

[2] 迈克尔·帕金.微观经济学 (第8版) [M].人民邮电出版社, 2010:165.