一元二次方程教学设计

一元二次方程教学设计（精选8篇）

一元二次方程教学设计 篇1

一、内容和内容解析

（一）内容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式．

（二）内容解析

一元二次方程是解决诸多实际问题的需要，是二次函数的基础．

针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念.一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求．

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1．体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念；

2．了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式．

（二）目标解析

1．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性；

2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．

三、教学问题诊断分析

一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现 “次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念．

培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的．

本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是一元二次方程的概念．

四、教学过程设计

（一）创设情境，引入新知

教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答： 问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？

师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．

【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．

问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境．

【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解．部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题．

（二）拓宽情境，概括概念 给出课本问题

1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程．

问题1 如图21．1-1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？

教师引导学生思考并回答以下几个问题： 全部比赛共有______场

若设应邀请个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___ 场． 由此，我们可以列出方程______________，化简得________________． 问题3． 这些方程是几元几次方程？

师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模．将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．

【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解．让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习．

问题4． 这些方程是什么方程？

师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式．

1．一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．

（三）辨析应用，加深理解

问题5． 请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．

师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛的参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？

【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果．

问题6． 下列方程哪些是一元二次方程? 例1．下列方程哪些是一元二次方程?（1）（2）； ；（3）（4）（5）（6）；

； ； ．

答案（2）（5）（6）．

师生活动:用概念指导辨析，方程（3）与（4）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确一元二次方程是整式方程，（4）体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识．

【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识．

问题7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数．

例2． 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

（1）师生活动:（1）将方程，其中二次项是；（2）

去括号得：，二次项系数是3；一次项是，过程略．，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件，时此方程为一元一次方程．，移项，合并同类项得：，一次项系数是，常数项是．教师应及时分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．（2）一元二次方程的一般形式是例3．关于x的方程下此方程为一元一次方程？

答案：时此方程为一元二次方程；【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．

（四）巩固概念，学以致用 教科书第4页： 练习【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况．

（五）归纳小结，反思提高

请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其它方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误．

（六）布置作业：教科书习题21．1 复习巩固：第1，2，3题．

五、目标检测设计

1．下列方程哪些是关于x的一元二次方程（1）；（2）

；（3）

；（4）

．

【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解． 2．关于的方程A． B．

C．的条件． 【设计意图】考查

是一元二次方程，则（）．

D．

一元二次方程教学设计 篇2

《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) 》在基本理念中充分肯定了数学的社会文化价值, 特别是在课程实施建议的教材编写建议中强调了各学段都要注重数学的文化价值, 介绍有关的数学背景知识 (数学家的故事、数学趣闻与数学史料) .在数学新课程这一理念指导下, 结合我们承担的浙江省教育科学规划2008年度研究课题“基于数学文化的教学模式研究”, 笔者以“一元二次方程组”这一重要内容为载体, 进行了基于“数学文化”的教学设计探索, 以下是数学课堂教学实录与我们的思考.

1 教学实录

1.1 古题多解, 引入新知

师:我国古代的代数研究在世界上处于领先水平, 出现了10部算经, 如我们较为熟悉的《周髀算经》、《九章算术》, 今天我们来认识另一部算经《孙子算经》, 书上有今天仅存的中国算筹法则记载, 现在我们来解决书上给出的“鸡兔同笼”的问题:

今有鸡兔同笼, 上有35头, 下有94足, 问鸡兔各几何?

生1:把兔子都看成鸡, 则多出94-35×2=24只脚, 每只兔子比鸡多出两只脚, 所以兔子有24÷2=12只, 鸡有35-12=23只.

生2:设有x只鸡, 则有35-x只兔.每只鸡有2条腿, 每只兔子有4条腿, 根据题意, 得2x+4 (35-x) =94.得x=23, 鸡有23只, 兔子有12只.

师:两位同学的解法都很好, 回顾题目, 这里出现了两个未知数, 对照二元一次方程的特征, 大家能发现什么?根据题意得到:鸡头数+兔头数=35, 鸡脚数+兔脚数=94.

生3:设鸡有x只, 兔有y只, 则有x+y=35, 2x+4y=94, 我解不来了.

师:我们先不求解, 生3请你说说你的思考过程.

生3:因为有两个未知数, 而且要满足鸡“头数+兔头数=35”, 就有了前面一个方程, 又要满足“鸡脚数+兔脚数=94”, 所以还要加一个方程.

师:很好, 也就是说x, y要同时满足这两个方程, 那么我们可以把它们用大括号连接, 写成我们称这种形式的方程组叫做二元一次方程组, 同学们, 请仔细观察这个方程组后, 给二元一次方程组下一个定义?

生: (齐答) 像这样由两个一次方程组成, 并且含有两个未知数的方程组, 叫做二元一次方程组.

(通过“鸡兔同笼”问题, 自然引入数学的历史与文化, 让学生经历发现、创新的过程, 在体验过程中发现方程组的优越性, 提高概括能力, 增加学习兴趣)

1.2 勤于动手, 尝试求解

师:那上面得到的二元一次方程组有没有解呢?我们来动手做一做.

已知方程x+y=35, 填写表1 (下画线的数字是学生填上去的) .

已知方程2x+4y=94, 填写表2.

观察表1, 2, 找一找有没有这样的解, 它既是方程x+y=35的一个解, 又是方程2x+4y=94的一个解?

生5:有!x=23, y=12既是x+y=35的解, 又是2x+4y=94的解.

师:对, 那么我们写成

$\{\begin{array}{l}x=23‚\\ y=12\end{array}$

这个形式, 这就是上面方程组

$\{\begin{array}{l}x+y=35‚\\ 2x+4y=94\end{array}$

的解, 同学们能不能试着给二元一次方程组的解下个定义呢?

生: (齐答) 同时满足二元一次方程组中各个方程的解, 叫做这个二元一次方程组的解.

师:这样我们求得方程组的解, 我们对比一下3种解法, 同学们是不是觉得第3种解法最直观, 最容易列出呢?

生: (齐答) 是的.

(现在的学生缺少耐心, 于是增加这一探索过程, 让学生体验“尝试”的痛苦, 得出结果的喜悦, 同时也为后面代入消元法和加减消元法求解的优越性作铺垫)

1.3 自主学习, 趣题得解

师:下面听一段老牛和小马的对话:老牛遇见小马说:“真累啊!”小马说:“你还累?这么大的个, 才比我多驮了2个.”老牛说:“哼!我从你背上拿来1个, 我的包裹数就是你的2倍!”听完这段对话, 请同学们思考一个问题:它们各驮了多少个包裹呢?

生6:设老牛驮x个, 小马驮y个, 则有

$\{\begin{array}{l}x-y=2‚\\ x+1=2(y-1).\end{array}$

用上面填表格的方法可以求出.

师:好, 同学们能不能发现这里的x, y有特殊的取值范围吗?

生7:x, y都是正整数, 并且x比y大2.

生8:x比y的两倍小1.

生9:由第2个方程得x是奇数.

师:这样确定了x, y的取值范围, 同学们可以用什么方法来解呢?我们在学解一元一次方程时碰到过类似的问题吗?

生10:可以用尝试检验法来解.

(师生共同完成表3)

所以方程组的解是

1.4 合作学习, 发现奥妙

师:刚才这位同学用一元一次方程解法中的尝试法得到了小马和老牛驮的数量, 接下来请同学们合作完成下题:

古有一捕快, 一天晚上他在野外的一个茅屋里, 听到外边来了一群人, 他隐隐约约地听到几个声音, 在吵闹分赃, 有古诗为证:隔壁听到人分银, 不知人数不知银.只知每人五两多一两, 每人六两少二两.问多少人数多少银?

请同学们用今天学的知识求解.

生11:设有x个人, y两银子, 则

$\{\begin{array}{l}5x+1=y‚\\ 6x-2=y.\end{array}$

师:那x, y分别是多少呢, 同学们可以分组讨论, 等会告诉老师你们的解题过程可以吗?

小组1:我们通过画表格尝试检验求解的方法, 每个人都代入一组不同的数, 最后得到x=3, y=16同时满足上面两个方程, 所以方程组的解是

$\{\begin{array}{l}x=3‚\\ y=16.\end{array}$

师:这个小组配合的非常好, 求出了正确的解, 那么还有没其他求法呢?观察方程组有什么特征.

小组2:因为两个方程的右边都是y, 所以5x+1=6x-2, 这样就转化为一元一次方程, 就可以得到

$\{\begin{array}{l}x=3‚\\ y=16.\end{array}$

师:小组2非常善于观察, 根据方程组的特点求得解.

(培养学生合作学习能力和探究能力, 同时现场巩固方程组概念, 让学生初步体会用数学模型解决实际问题的思想方法)

1.5 更上一层楼

师:中国古代的方程问题是丰富多彩的, 第1个题目我们解决了《孙子算经》中的问题, 现在请同学们分小组解决《九章算术》中的一道题目:

有上等稻3捆、中等稻2捆、下等稻1捆, 打出的谷共有39斗;上等稻2捆、中等稻3捆、下等稻1捆, 打出的谷共有34斗;上等稻1捆、中等稻2捆、下等稻3捆, 打出的谷共26斗.问上、中、下3种稻每捆的出谷量各是多少斗?

小组4:这里有3个未知数, 应该设3个未知数.

师:对, 设3个未知数, 然后根据题目要求, 应该怎么列出方程组呢?又该列出几个方程呢?

小组5:根据题意, 设每捆上等稻出谷量是x, 每捆中等稻的出谷量是y, 每捆下等稻的出谷量是z, 这样根据给出的3个条件我们列出3个方程, 写成组合的形式

$\{\begin{array}{l}3x+2y+z=39‚\\ 2x+3y+z=34‚\\ x+2y+3z=26‚\end{array}$

我们能不能还是用尝试检验法求解呢?

师:这个小组的想法很好, 有3个未知量, 先设好未知数, 然后根据题目要求, 列出3个方程, 当然也可以用尝试检验的方法求解, 解答希望同学们在课后完成.这样《九章算术》中的名题也被我们解决了.《九章算术》是中国古代数学专著, 承先秦数学发展的源流, 进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书, 这大约是公元一世纪的下半叶.它的出现, 标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家, 大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的.《九章算术》共收有246个数学问题, 分为九章, 分别是:方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股.它是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.

(经过前面的讲解练习, 经过引导, 此问题在学生的最近发展区, 这样学生的思维被激活, 解决问题后有一定的成就感, 消减学生对数学的偏见)

1.6 学生总结, 强化新知

(略)

1.7 趣题作业, 强化方程模型

我国古代的诗歌非常绝妙, 其中有的也蕴含着许多数学计算, 下面我们来计算一下东吴都督周瑜的年龄:

大江东去浪淘尽, 千古风流数人物.

而立之年督东吴, 早逝英年两位数.

十比个位正小三, 个是十位正两倍.

哪位同学算得快, 多少年寿属周瑜.

师:上面的题目可以独立思考, 也可以小组合作的方式完成, 课后大家去查阅有关文献.

(采用历史名题作课后作业, 一方面增加数学趣味性, 另一方面自然融入数学历史与文化, 拓宽学生数学视野)

2 课后反思

本教学设计尝试将“数学文化”引入课堂, 走入学生心中.考虑到初一学生的认知特点, 选取历史名题、数学趣题和诗歌中的数学问题等贯穿全教学设计.鼓励学生不断探索, 在探索中收获知识.以“鸡兔同笼”的多种解法为引导, 突出方程解法的优越性, 得出二元一次方程组的概念;用“老牛与小马的对话”以及诗歌中的“分赃问题”作为问题情境, 引导学生形成解决一般实际问题的策略, 让学生体会用二元一次方程组建构数学模型解决实际问题的思想方法;最后以《九章算术》中的问题激发学生思维, 引导学生面对新问题, 联想旧知识, 寻找新旧知识的联系, 获取新知, 从而让学生对方程组概念、方程组的应用进一步强化和加深.课后作业也紧紧围绕数学文化, 选取诗歌中的数学问题, 既延续本教学设计的风格, 又增加学生课后学习的兴趣, 拓宽了学生的数学视野.

这节课安排的内容比较多, 但考虑到本班学生的探究兴趣较高、思维较活跃, 实践证明这个教学设计是可行的, 并取得了不错的效果, 时间容量适合.但是, 这里也提出了一个新的问题, 过多数学历史与文化元素的加入可能会对学生的数学学习造成负担, 也可能使教与学双方忽视数学的核心概念、思想方法等数学的本质.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育《数学课程标准》 (实验) [S].北京:北京师范大学出版社, 2001.

[2]张维忠, 汪晓勤, 等.文化传统与数学教育现代化[M].北京:北京大学出版社, 2006.

[3]吴伟英, 周均华.课例“轴对称图形”及其点评[J].中学数学教学参考 (初中) , 2007, (10) .

一元二次方程教学设计 篇3

关键词：一元二次方程；初中；教学探究

其实很多学生对九年级课本中的二次函数并不陌生，因为之前的课本中大家已经学过方程，但一元二次方程又跟之前所学过的方程不一样，因为之前一直学的是一元一次方程，在九年级的课本中方程的未知数的次数由1次变为了2次，且方程的解不唯一。这种方程的变化形式也让一部分学生对一元二次方程的学习有了恐惧心理，那么如何改变初中学生对一元二次方程的学习态度，有效提升数学教学效率呢？可以从以下几个途径入手。

一、领会概念内涵，抓住问题实质

一元二次方程一直是九年级课本中的一个重难点，要让学生学好一元二次方程，首先就要先让学生理解一元二次方程的概念。例如，教师可以先给学生举一个简单的例子，通过例子将学生带入一元二次方程的学习中。比如，要在一块长为32米，宽为20米的矩形耕地上修建三条互相垂直的道路，把这块耕地分为六块大小不等的试验田，而试验田的总面积要为570平方米，求道路修多宽才合适。在这道题中，教师首先要教学生将这个要求的宽设为x，那么算法就是（32-2x）（20-x）=570，经过简化的x2-36x+35=0。通过不断解析得出的x2-36x+35=0就是一个完整的一元二次方程，教师就可以通过这个过程告诉学生像这样等号两边都是整式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。通过解析会得出这道题的宽是1米，那么得出的这个1就是一元二次方程的解，也称作为一元二次方程的根。通过这道题的举例，可以让学生详细地了解一元二次方程的含义概念，对一元二次方程有个初步的了解，使接下来一元二次方程解法的学习更方便。只有将最基础的理解透了，才能让后面数学的学习更有效率。

二、抓住一元二次方程的要点，突破难点

在一元二次方程中最主要的就是它的解法了，理解、学好了一元二次方程的解法，也就意味着学生掌握了这一章的内容，因此在一元二次方程的学习中，抓住要点学习很重要。例如，在一元二次方程解法中有配方法、公式法和因式分解三种方法，在公式法中我们经常会用根的判别式？驻=b2-4ac，在一元二次方程的解法中，学生经常要使用判别式进行分析，当“？驻”大于0的时候就意味着一元二次方程有两个不等的实数根，当“？驻”等于0的时候，那么一元二次方程就有两个相等的实数根，当“？驻”小于0的时候，方程就没有实数根了。对判别式？驻=b2-4ac的判断也是九年级一元二次方程学习中的一个难点，因此，在教授一元二次方程的数学课时，让学生抓住要点，充分发挥学生的自主思考能力，让学生学会化难为易，轻松投入到数学教学课堂中，对于有效学习一元二次方程很有帮助。

三、拓展思维，提升学生的数学学习能力

在初中一元二次方程的教学中，教师要多将课堂交给学生，充分发挥他们的主观能动性，让学生学会自主探究思考，做学习的主人，这样才能有效提升课堂效率。例如，在解3x2+4=7x这个一元二次方程的时候，教师可以先教学生用公式法解出这个方

程，先化简得，3x2-7x+4=0，然后代入公式？驻=b2-4ac，得出？驻大于1，带入求根公式得出一个根是4，另一个根是1。接下来让学生自己用配方法和因式分解去解这个题，激发学生自主探究的能力，不能一下子将全部的算法给学生都演示一遍，这样会让学生产生依赖思维。在教学过程中，教师要不断地启发学生的思维和创造力，充分发挥他们的主观能动性，使学生深入到数学探究中，这样才能在一元二次方程的学习方面有效提升学生能力。

四、开展情景教学，解决实际问题

在使学生对一元二次方程有了一定了解后，就要学会将实际问题与一元二次方程结合起来，用一元二次方程去解决实例问题。例如，某商场卖卫衣，平均每天卖出20件，每件盈利48元，为了扩大销售商场决定降价售卖，每件卫衣降价一元，商场平均每天可以多卖出2件，该商场想平均每天盈利1200元，求卫衣该降价多少。这样根据所得的条件，首先可以列出方程（40-x）（20+2x）=1200，然后解出x的值就可以解决这个问题了。将一元二次方程和实际生活相结合，创设有趣味性的情景开展数学教学活动，不仅能激发学生对数学学习的兴趣，还能有效帮助解决实际生活的问题，充分发挥数学在生活中的应用，激发学生学习的积极性，提高课堂的教学成果。

一元二次方程在九年级数学教学中占有重要地位，只有掌握有效的教学方法，充分发揮学生对一元二次方程学习的积极性，才能让课堂教学效果更显著。

参考文献：

[1]费爱国.从“一元二次方程”到“用数学”[J].学生之友（初中版），2011（11）.

[2]赖宁.关于《数学课程标准》中一元二次方程的内容研究[D].西南大学，2008.

一元二次方程根教学设计 篇4

1、已知方程 x2—ax—3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值。

2、有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系?

3、有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1= ，x2= 、观察两式左边，分母相同，分子是—b+√b 2—4ac与—b—√b 2—4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?

二、探索新知

解下列方程，并填写表格：

方 程x1x2x1+x2x1、 x2

x2—2x=0

x2+3x—4=0

x2—5x+6=0

观察上面的表格，你能得到什么结论?

(1)关于x的方程 x2+px+q=0(p，q为常数，p2—4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系?

(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?

解下列方程，并填写表格：

方 程x1x2x1+x2x1、 x2

2x2—7x—4=0

3x2+2x—5=0

5x2—17x+6=0

小结：1、根与系数关系：

(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2—4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=—p， x1、 x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)

(2)形如的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。

即： 对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0)

(可以利用求根公式给出证明)

例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确?

例3：已知一元二次方程的两个根是—1和2，请你写出一个符合条件的方程、(你有几种方法?)

例4：已知方程 的一个根是 ，求另一根及k的值、

变式一：已知方程 的两根互为相反数，求k;

变式二：已知方程 的两根互为倒数，求k;

三、巩固练习

1、已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值、

2、已知方程 的一个根为 ，求另一根及c的值、

四、应用拓展

1、已知关于x的方程 的一个根是另一个根的2倍，求m的值、

2、已知两数和为8，积为9，求这两个数、

3、 x2—2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6、是否正确?

五、归纳小结

1、根与系数的关系：

2、根与系数关系使用的前提是：

(1)是一元二次方程;

(2)判别式大于等于零、

六、布置作业

1、不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。

(1)x2—5x—3=0

(2)9x+2= x2

(3) 6 x2—3x+2=0 (4)3x2+x+1=0

2、 已知方程x2—3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值、

一元二次方程教学设计 篇5

一、素质教育目标

（一）知识教学点：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．

（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．

（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．

二、教学重点、难点和疑点

1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．

2．教学难点：认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．

3．教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

三、教学步骤

（一）明确目标 在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．

（二）整体感知 通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问

（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？（2）平方根的概念及开平方运算？ 2．引例：解方程x2-4=0． 解：移项，得x2＝4． 两边开平方，得x＝±2． ∴x1＝2，x2＝-2．

分析x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．

练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．

3．例1解方程9x2-16＝0． 解：移项，得：9x2=16，此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题

负根．

练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）． 例2解方程（x＋3）2＝2．

分析：把x＋3看成一个整体y．

例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．

练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．

例3解方程（2-x）2-81＝0． 解法

（一）移项，得：（2-x）2＝81． 两边开平方，得：2-x=±9 ∴2-x＝9或2-x＝-9． ∴x1=-7，x2＝11． 解法

（二）∴（2-x）2＝（x-2）2，∴原方程可变形，得（x-2）2=81． 两边开平方，得x-2＝±9． ∴x-2＝9或x-2＝-9． ∴x1＝11，x2＝-7．

比较两种方法，方法

（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．

练习：解下列方程：（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．

那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？

2启发引导学生，抽象概括出方程的结构：（ax＋b）＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．

（四）总结、扩展

引导学生进行本节课的小节．

1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．

2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．

3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．

四、布置作业

1．教材P．17中A组1（5）（6）（7）（8）；2．（1）（2）（3）（4）． P．18中B组1、2（学有余力的学生做）．

五、板书设计

12．2一元二次方程的解法

（一）引例：解方程x2-4＝0 例1解方程9x2-16=0 解：„„ „„ „„ 例2解方程（x＋3）2＝2 此种解一元二次方程的方法称为 直接开平方法

形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）可用直接 开平方法

练习：略

六、作业参考答案 教材P．17A1

一元二次方程教学设计 篇6

一元二次方程

用配方法求解一元二次方程

（一）一、教学目标

知识技能:学生已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根, 会用开方法解形如(xm)2n(n0)的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；

过程与方法:经历用配方法求解一元二次方程的过程, 体会转化的数学思想方法

情感态度价值观:提升学生的合作与交流的能力。

二、教学过程

复习回顾

用字母表示因式分解的完全平方公式。

自主探究

你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？

x25； 2x235； x22x15；(x6)272102。

做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）

填上适当的数，使下列等式成立。（选4个学生口答）

x212x_____(x6)2 x26x____(x3)2 x28x____(x___)2 x24x____(x___)2

问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2ax的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流）例题讲解

（1）解方程：x2+8x-9=0.（师生共同解决）

解:可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x＝9 两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x＋42=9＋42.（x+4）2=25 开平方，得 x+4=±5, 即 x+4=5,或x+4=-5.所以 x1=1, x2=-9.小结及布置作业

总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用配方法时应注意的问题。

课本39页习题2.3 1题、2题

三、教学反思

一元二次方程教学设计 篇7

教学目标

1.使学生在解决实际问题的过程中, 理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列上述方程解决两步计算的实际问题。

2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 经历将现实问题抽象为方程的过程, 进一步体会方程的思想方法及价值。

3.使学生在积极参与数学活动的过程中, 养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。

教学重点:理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列方程解决两步计算的实际问题。

教学难点:如何指导学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 将现实问题抽象为方程。

教学过程

课前谈话导入:同学们, 经调查, 我们班大部分同学的年龄是12岁 (虚岁) , 也可以通过推理推算出来, 7岁入学, 在学校学了五年, 正好是12岁。老师今年是39岁, 师在黑板上板书39和12。下面请同学比较一下老师和你的年龄, 并用一句话把比较的结果说出来, 注意启发引导学生说出:“老师的年龄比我年龄的3倍还多3岁”, “老师的年龄比我年龄的4倍少9岁”。两种说法都可以。接着问, 明年呢?“老师的年龄比我年龄的3倍还多1岁”。

【设计意图】通过学生熟悉的年龄话题引入, 并训练学生对两数大小比较, 为新课分析数量关系作理解铺垫。把抽象的数量关系分析生活化, 利于学生进入学习情境。

一、在现实问题情境中分析数量关系, 列出方程, 探索解方程的方法——教学例1

(一) 在情境中分析数量关系, 提出问题

1.师谈话进入情境:孙悟空跟随师父历尽千辛万苦从西天取来大量经书, 藏在古城西安的大雁塔中。大雁塔和小雁塔是著名的古代建筑。 (出示大雁塔和小雁塔的图片) 这节课, 我们先来研究一个与这两处建筑高度有关的数学问题。 (出示例1的一部分“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”, 暂不出示所求的问题)

2.师让生读出这段文字并提问:谁比谁少22米?让学生明白“大雁塔高度和小雁塔高度的2倍比, 少22米, 可以把小雁塔高度的2倍看做一个整体。”

师进一步启发:这句话清楚地说明了大雁塔和小雁塔高度之间的关系, 请同学们用数量关系式表示出大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系。

出示学生可能想到的等量关系式: (1) 小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度; (2) 小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22; (3) 小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

3.引导学生观察第一个等量关系式。师:经测量小雁塔高度是43米, 你能利用这个关系式口答出大雁塔的高度吗?学生口答, 师板书:2×43-22=64 (米) 。

【设计意图】运用数量关系直接求出高度, 体会顺向思维。既感受数量关系的价值, 又为下面的逆向思维作出对比准备, 更重要的是让学生在下面列方程时也要像这样顺向思维进行思考。

4.师:如果知道大雁塔的高度是64米, 你能提出什么问题?

生:小雁塔的高度是多少米? (出示“大雁塔高度是64米”和“小雁塔高度是多少米?”把例1补充完整。)

【设计意图】在清楚数量关系的基础上, 学生已经把问题迁移到需要用逆向思维考虑解决的问题上。让学生自己提出问题, 突出解决问题是学生自己的学习需求, 也为他们探索解答作出心理准备。

(二) 根据等量关系布列方程, 同时唤起有关方程的旧知

1.生观察第一个等量关系式, 师提问:在这个等量关系式中, 这时哪个数量是已知的?哪个数量是我们去求的?

追问:让你求小雁塔的高度怎么办呢?我们可以用什么方法来解决这个问题?

生:可以列方程解答。如果学生列出正确的算式进行解答, 师给予肯定, 再引导学生用方程的方法解决问题。

师明确方法, 并提示课题:这样的问题可以列方程来解答。今天我们继续学习列方程解决实际问题。 (板书课题:列方程解决实际问题)

2.师谈话:我们在五年级已经学过列方程解决简单的实际问题, 结合今天我们学习的内容, 谁来说一说列方程解决实际问题一般要经过哪几个步骤?

生能大概说出“写设句、列方程、解方程和检验等即可。

3.让学生先自主尝试设未知数, 并根据第一个等量关系式列出方程。

解:设小雁塔高x米。

2x-22=64

【设计意图】经历由现实问题抽象为方程的过程。在建构数学模型的过程中, 先由情境抽象成数量关系式, 再根据数量关系式列出方程, 实现了学生在逐步抽象的过程中学习数学的方法, 体现了数学的简洁性和学习数学的必要性。

(三) 自主探索解方程的方法, 体会转化的思想

提问:这样的方程, 你以前解过没有?运用以前学过的知识, 你能解出这个方程吗?

交流中明确:首先要应用等式的性质将方程两边同时加上22, 使方程变形为2x=?, 即把用两步计算的方程转化为一步计算, 变新知为旧知, 再用以前学过的方法继续求解。

要求学生接着例题呈现的第一步继续解出这个方程。学生完成后, 组织交流解方程的完整过程, 核对求出的解, 并提示学生进行检验, 最后让学生写出答句。

【设计意图】让学生在自主探索方程解法的过程中, 体会运用转化策略, 把两步转化成一步、复杂转化成简单、新知转化成旧知。

(四) 思考其他方法, 感受解法的多样化

1.提问:还可以怎样列方程?

学生列出方程后, 要求他们在小组内交流各自列出的方程, 并说说列方程的根据, 以及可以怎样解列出的方程。如果学生不能列出其他方程, 师不能作硬性要求。

2.引导小结:刚才我们通过列方程解决了一个实际问题。你能说说列方程解决问题的大致步骤吗?其中哪些环节很重要?

引导学生关注:⑴要根据题目中的信息寻找等量关系, 而且一般要找出最容易发现的等量关系;⑵分清等量关系中的已知量和未知量, 用字母表示未知量并列方程;⑶解出方程后要及时进行检验。 (师板书:找等量关系;用字母表示未知数并列方程;解方程, 检验。)

【设计意图】通过解法的多样化, 使学生明白可以根据自己学习实际和思维习惯分析数量关系, 列方程解决问题, 同时训练学生思维, 拓展学生解决问题的思路。

二、自主尝试列方程解决实际问题, 注意比较例题, 进一步形成解决问题模式——自主合作学习“练一练”

“杭州湾大桥是目前世界上最长的跨海大桥, 全长大约36千米, 比香港青马大桥的16倍还长0.8千米。香港青马大桥全长大约多少千米?”

谈话:我们已经初步掌握列方程解决稍复杂的实际问题的方法和步骤, 下面就请同学们试着解决一个实际问题。做“练一练”。

1.先让学生读题, 并设想解决这一问题的方法和步骤, 然后让学生独立完成。

2.小组合作交流。交流前要出示交流顺序提示:⑴说说找出了怎样的等量关系;⑵根据等量关系列出了怎样的方程;⑶是怎样解列出的方程的;⑷对求出的解有没有检验。

3.最后让学生核对自己的答案, 检查自己的解题过程。

针对学生不同的思路和方法 (包括用算术方法) , 教师在提出主导意见的基础上要予以肯定。

4.启发思考:这个问题与例1有什么相同的地方?有什么不同的地方?提炼出列方程解决稍复杂的实际问题的基本思路和解形如ax±b=c方程的一般方法。

【设计意图】让学生在独自解决问题的过程中学会解决问题, 在探究中学会合作。

三、运用方程策略独立解决实际问题, 牢固形成解决问题模式 (建构牢固的数学模型) ——做“练习一”的第1～5题

谈话:在列方程解决问题的过程中, 有两个方面要引起我们重视, 一个是寻找等量关系, 能用含有字母的式子表示具体数量;另一个就是解方程。下面我们就对这两个方面进行进一步的学习和训练。

1.做“练习一”第1题

“解方程。4x+20=56 1.8+7x=3.9 5x-8.3=10.7”

先让学生说说解这些方程时, 第一步要怎样做, 依据是什么, 然后让学生独立完成。交流反馈时, 要在关注结果是否正确的同时, 了解学生是否进行了检验。 (三个同学到黑板上板演, 其他同学选做一题。)

2.做“练习一”第2题

“在括号里填上含有字母的式子。

(1) 张村果园有桃树x棵, 梨树比桃树的3倍多15棵。梨树有 () 棵。

(2) 王叔叔在鱼池里放养鲫鱼x尾, 放养的鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾。放养鳊鱼 () 尾。

学生独立完成后, 再要求学生说说写出的每个含有字母的式子分别表示哪个数量, 是怎样想到写这样的式子的? (把题目中的多、少改成少、多让学生再表示)

3.做“练习一”第3题

“猎豹是世界上跑得最快的动物, 时速能达到110千米, 比猫最快时速的2倍还多20千米。猫的最快时速是多少千米?”

谈话:同学们, 我们既能准确地找到等量关系, 又能正确解方程, 那么我们就具备了解决实际问题的能力了。就请同学们独立解决一个问题。

学生独立完成后, 指名说说自己的思考过程, 进一步突出要根据题中数量之间的相等关系列方程。

4.课堂作业:做“练习一”的第4题和第5题。

“北京故宫占地大约72公顷, 比天安门广场的2倍少8公顷。天安门广场大约占地多少公顷?”

“世界上最小的鸟是蜂鸟, 最大的鸟是鸵鸟。一个鸵鸟蛋长17.8厘米, 比一只蜂鸟体长的3倍还多1厘米。这只蜂鸟体长多少厘米?”

【设计意图】在巩固训练和应用策略阶段采用先部分后整体的练习步骤, 进一步深化认识, 并在体验中达到知识和技能的内化。

四、总结列方程解决问题的思路、方法, 体会方程的思想和价值——学生拓展设计

1.学生拓展设计

师:请同学们回到课前, 我们师生关于年龄的对话中, 看39岁和12岁, 你能设计一个用今天所学的策略和方法解答的实际问题吗?

师要多听学生的发言, 考虑学生所说数量之间的关系以及提出问题的贴切性并作出评价和概括。

2.今天这节课我们学习了什么内容?你有哪些收获?还有没有疑惑的地方?教师同时总结, 方程是我们解决问题很重要的一个策略, 正确地运用方程, 能帮助我们解决很多实际问题, 尤其是用算术方法不容易解决的一些问题。我相信同学们经过今天的学习, 对方程会有更深的认识, 并在以后的学习和运用中进一步学好和用好方程。

一元二次方程教学设计 篇8

关键词：初中数学；一元二次方程；教学策略

一元二次方程是初中九年级的内容，初中生在刚刚进入初一的时候就学习了一元一次方程和二元一次方程，因此，方程的学习对于初中生而言并不十分陌生，但是与过去学习的方程相比一元二次方程的未知数求解次数是两次，与过去只需要求解一次未知数比，学生学习的难度在无形中加大了，而且方程的解也不唯一。一元二次方程的这些特点，加大了教师的教学难度，也使得学生在学习的时候对其产生了畏惧心理。因此，针对一元二次方程，采取有效的措施教学，是当前初中数学教学的一个重点。

一、一元二次方程教学存在的问题

1.学生容易混淆一些公式定理，不能活学活用

一元二次的解法有“直接开平方法”“配方法”“公式法”等，初中生在学习这些知识的时候，面对不同的题型，如果在读题的时候不够仔细，十分容易将题型弄混，最后在解题时得出错误的结论。而且不同于一元一次方程和二元一次方程只有一个解，一元二次方程往往是有两个解的，有些学生在做题的时候，可能已经将教师讲解的知识都理解了，但是到了实际做题的时候，因为粗心大意，学生可能会只写一个解，将另一个解漏写，在解题的时候，不能将自己学习的知识灵活地运用。

2.教师的教学方法死板僵硬

进入初三以后，教师的教学任务较重，学生的学习负担也增多了。教师在教学时需要以较快的速度完成教学。因此在教学时，教师不可能深入实际去关心班上学生是不是都掌握了教师讲解的知识。一元二次方程有较多的公式和定理，所以教师在教学时往往会更加注重学生是否将公式定理记熟，在检验学生的学习效果时也较多地采用题海战术，教学方法死板僵硬，使得学生对一元二次方程的学习兴趣低下。

二、一元二次方程的教学策略

1.打好基础

空中不可能有楼阁产生，楼阁的建立必须要有地基做基础，同样学生在学习的时候如果没有一定的学习基础，不能理解教师讲解的知识，那么即使教师在教学时采用再好的教学方法也毫无意义，因此，在教学时，教师必须要帮助学生打好基础，只有学生的基础打好了，才能为后面的学习做准备。

一元二次方程的教学虽然有一定的难度，但它也并不是天书，教师在教学时要学会运用方法，帮助学生打基础。比如说在教学之前，将学生之前学习过的一元一次和二元一次方程组找出来，将几种不同的方程进行对比，让学生掌握一元二次方程的特点，在学习的时候，有针对性地学习。同时，教师还应当让学生充分地理解几种解法的特点，找到解题的突破口，比如说在学习公式法解题时，让他们掌握ax2+bx+c=0（a≠0）的根，最后会出现三种不同的情况，为他们的学习打好基础。

2.讲清问题

学生学习一元二次方程，为的就是解决他们在生活中遇到的数学问题，提升自己解决问题的能力，所以教师在教学时必须要讲清问题，让学生对于各种解题的方法明白透彻。但是，在实际教学中，教师却经常将问题讲得含糊不清，有时候教师觉得一些问题太过简单，在教学时，只进行大致的讲解，然而一些在教师看来十分简单的问题，也许对于学生来说，就不简单了。

因此，在教学时，教师必须要多与学生沟通，了解他们在学习的时候有哪些不懂的问题，在讲解的时候将学生不懂的问题讲清楚。还是ax2+bx+c=0（a≠0）为例，教师必须要让学生明白在三种不同的情况下即b2-4ac>0时，有几个根；当b2-4ac<0时，有几个根；当b2-4ac=0时，有几个根，教师在讲解时，将问题讲清楚了，解决了学生的疑惑，就是最好的教学策略。

3.立足实际

数学的学习就是为了解决实际问题，为实际问题服务的。一元二次方程可以帮助人们讲解较大的生活应用问题，教师在学生掌握了一元二次方程的基本技法之后，可以设置一些生活中的实际问题来让班上的学生求解，提升他们用数学思维解决生活问题的能力。例如，这样的一个问题，一块长方形菜地的面积是150平方米，如果它的长减少5米，那么它就成为正方形菜地，求这个长方形菜地的长和宽。学生在解决这个问题的时候，肯定不可能去实际的测量，但是利用学生学习的知识就可以顺利地求解。因此在教学中，教师也要学会立足实际，讲解一元二次方程。