浅析数形结合思想在高中数学解题中的应用

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。

1 思想方法概述

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合。作为一种思想方法,数形结合的应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。

2 数形结合在教学中的应用

在课堂教学中,教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。数学教学中的实物、示意图、线段图、平面图、立体图等都是用形来表示数量关系。用形来表示数,它既能舍去应用题的具体情节,又能形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系,把数转化为形,明确显示出已知与未知的内在联系。

数形结合的结合思想主要体现在以下几种:

1)用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题;2)用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题;3)解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题;

3 数形结合在解题中的应用

数形结合思想解决的问题常有以下几种:

1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;3)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;4)构建立体几何模型研究代数问题;5)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;6)构建方程模型,求根的个数;

下面将从几个实例出发进一步体会数形结合思想在解题中的作用。

3.1 利用数形结合思想讨论方程的根

由图可知f(x)-a|x-1|=0有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x|与y2=a|x-1|的图象有4个不同的交点。当4个交点横坐标都小于1时,

消y得x2+(3-a)x+a=0,故Δ=a2-10a+9>0,

且x1+x2=a-3<2,x1x2=a<1,联立可得0

当4个交点横坐标有两个小于1,两个大于1时,

消去y得x2+(3-a)x+a=0,故Δ=a2-10a+9>0,

且x3+x4=a-3>2,x3x4=a>1,联立可得a>9,

综上知,09.

注3.1用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数。

3.2 利用数形结合思想解最值问题

例3.2(1)(2013·重庆)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()

答案(1)B(2)2

解析(1)由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长为2,|PQ|的最小值为圆心到直线x=-3的距离减去圆的半径长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选B.

(2)可行域如图所示.

由图知,过点A的直线OA的斜率最小.

注3.2(1)在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换,快速求得最值;

(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题。

4 小结

数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观,解题思路非常的清晰,步骤非常的明了。常见如下几种情况:

1)在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的;2)有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的;3)数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);点到直线的距离公式等。