数学概念课的主要任务在于教师采用恰当的教学方式, 抽象出数学概念的本质属性, 在应用中加深学生对概念的理解, 使学生在解决问题时有所依据、有所创新。在培养学生数学核心素养的课标理念下, 数学概念课除了要注重概念本质的过程探究, 也要体现数学文化的教育价值。因此, 如果将数学史融入概念课堂, 不仅能够激发学生的学习兴趣, 丰富概念的建构方式, 完善课堂的教学目标, 而且能够增强学生的文化体验, 提高个人的美学修养, 彰显数学的育人价值。本文以人教版九年级下册的《锐角三角函数》的教学设计为例进行分析。
《锐角三角函数》起始课的教学目标是:学生能够理解正弦、余弦和正切的概念, 掌握锐角三角函数的符号, 会进行基本的运算。二是学生经历观察归纳、推理验证和类比分析等探究过程, 体验到正弦、余弦和正切概念探究的必要性。三是学生领悟到数学思想的应用价值, 感受到数学文化的魅力。
本节课采用探究式教学法, 通过实际问题的探究, 突显正弦概念的本质, 帮助学生自主建构正弦概念的认知;正弦概念形成时, 向学生揭示正弦符号的历史起源, 介绍锐角三角函数的文化背景。这样不仅能够促进学生对正弦本质的理解, 增进学生对sinA、cosA和tanA这些陌生符号的认识, 也体现出教学效果的“知识之谐”和“探究之乐”。将古希腊天文学家阿里斯塔克斯的测量问题作为情境引入以及课堂讨论, 有利于激发学生的探知欲望, 陶冶学生的数学情操, 建立学生的学习自信, 体现了“文化之魅”和“德育之效”。
问题1:公元前3世纪, 古希腊天文学家阿里斯塔克斯观测天文时发现, 月亮半圆时, 月、地、日三者的中心刚好是一个直角三角形的三个顶点 (M、E、S) , 且∠MES=87°。他想研究地日距离是地月距离的多少倍?后来他通过冗长的几何推理, 得到地日距离是地月距离的19倍。这个结论对不对呢?通过这节课的学习, 相信你一定能够自主判断!
师生活动:教师展示阿里斯塔克斯的图片及其天文问题 (图略) , 学生尝试对阿里斯塔克斯的结论作出初步的判断。教师让学生把天文问题归结为数学问题, 引导学生分别从边和角两个方面复习直角三角形的有关知识。学生回顾旧知。教师板书:锐角三角函数。
设计意图:以古希腊天文学家阿里斯塔克斯的天文测量问题作为情境导入, 数学家的图片以及将天体问题抽象成的数学图形给予学生一定的视觉冲击, 加强了学科之间的联系, 也激发了学生探究课题的兴趣。在探究课题前, 引导学生回顾直角三角形的有关知识, 帮助学生建立新旧知识的联系, 为后续利用已知证明未知的探究活动作铺垫。
问题2:天文问题似乎离我们有点遥远, 那生活中有没有类似问题呢?例如:某地沿着一个山坡面铺设水管, 利用扬水站对坡面的绿地进行喷灌。已知斜坡与水平地面成30°的夹角。为使扬水站的出水口高35米, 需要铺设多长的水管?
师生活动:学生联系旧知, 解出AB=70。教师改变问题, 把出水口的高度改为50m, 学生思考问题并解答。
问题3:在以上求解中, 我们用到了什么结论?
师生活动:学生自主思考, 师生请个别学生回答。师生共同归纳结论1:在直角三角形中, 如果一个角等于30°, 则30°角的对边与斜边之比对应着一个固定值, 为。
设计意图:引导学生利用旧知来解决实际问题。对原问题进行变式, 初步让学生从变化的问题形式中挖掘出不变的数学本质, 学会运用数学语言表述问题、归纳结论。启发学生善于在已知结论中发现有价值的问题, 进一步开展探究。
问题4:从结论1出发, 你想探究什么问题?
师生活动:教师引导学生以45°为特例, 仿照∠A=30°的结论1, 探究并概括∠A=45°的结论2。学生通过代入数值或者利用勾股定理证明得出结论2。
问题5:在这两个特殊的结论1和结论2基础上, 你还能提出什么问题?
师生活动:学生自然想到要验证结论的一般性。教师引导学生用数学语言来表述这个问题。学生利用相似三角形“对应边成比例”的性质来推导证明, 个别学生上台板演证明过程, 教师用几何画板验证结论。学生交流讨论, 师生共同概括∠A为任意锐角的结论3。
设计意图:在结论的对比中渗透由特殊到一般的数学思想, 启发学生通过严格的推理验证, 将特殊结论一般化, 注意养成严谨的学习习惯。下定结论时, 引导学生把正弦概念的本质 (函数) 表述出来, 让学生初步感知概念的本质。
问题6:Rt△ABC中, 锐角A的对边与斜边的比值与什么因素有关呢?
师生活动:教师出示30°、45°和任意锐角对边与斜边的比值, 学生观察这些式子, 得出:锐角A对边与斜边的比值与锐角A的度数大小有关。教师再用几何画板来验证结论的一般性, 师生共同完善结论3。
问题7:试着创造一种数学符号来刻画这样一个固定的比值?
师生活动:小组讨论交流, 学生用常数k、字母a和c以及斜率来刻画比值。教师请小组分享他们的创造成果。
问题8:要创造这样一种数学符号不简单, 让我们来看看历史上的数学家是怎么解决这个问题的?
师生活动:教师出示课件 (图略) :印度人把圆弧PAP’叫弓, 弦PMP’叫弓弦。但他们还不是在研究直角三角形中的边角关系。到了1150年左右, 意大利翻译家杰拉德将原意为弦长之半的阿拉伯文jaib译为拉丁文sine (弯曲、穴、窦的意思) 。这就是现在sinus (正弦) 的来源。而哥白尼学生的雷蒂库斯则给出了角的正弦概念, 如图:锐角A的正弦是线段AB, 但也不是我们今天研究的比值问题。大约过了500年, 我国数学家邓玉函和徐光启把jaib翻译为“正弦”。直到近代, 数学家欧拉给出了沿用至今的锐角三角函数定义……
问题9:因此, 我们今天研究的这个固定比值就是?
师生活动:学生从正弦概念的历史起源得出:sine就是正弦。随后, 教师出示正弦随着锐角度数大小变化而变化的例子, 引导学生联想函数的概念, 进而概括出正弦概念的本质:当任意一个锐角确定时, 都有唯一确定的值与它对应。因此, sin A是∠A的函数。
设计意图:在一般性结论的探究中, 借助几何画板来动态地展示正弦函数随着锐角的变化而变化的规律, 让学生深刻地理解正弦概念的函数本质。附加式运用数学史中, 以小组合作的学习方式, 让学生尝试创造一种新的数学符号来刻画正弦函数, 有助于树立学生的符号意识, 激发学生的创造活力, 发展学生的数学思维。当师生在创造正弦符号中遇到困难时, 用数学史来化解难题, 让正弦符号史来揭示正弦概念产生的思想起源与发展的完善过程。从而帮助学生厘清正弦概念的来龙去脉, 加强学生对正弦概念的整体认知。
问题10:现在你能帮助阿里斯塔克斯解决他的天文问题了吗?
师生活动:学生根据余弦的定义, 猜想只要求出cos87°即可。教师提示学生利用计算器算出cos87°值。最后, 师生进行课堂小结。
设计意图:学习锐角三角函数的概念之后, 让学生回归问题情境去解决数学家的天文测量题, 不仅能够提高学生学以致用的能力, 还有助于增强学生解决历史名题的信心。
在探究式教学法下, 将锐角三角函数的数学史融入教学中, 围绕概念的本质属性, 抓住学生的疑难困惑, 把握课堂的动态生成, 用数学史来解决学生探究中遇到的问题, 促进学生对概念的有效形成;让数学史来揭示概念产生的思想起源与发展的完善过程, 加强学生对概念的整体认知。从而, 让学生从源头上理解知识的本质, 在探究中体会数学的文化价值。
教师通过引入有意义的历史问题, 向学生介绍数学概念和数学符号的产生背景, 不仅为课堂增趣添彩, 还有利于揭示数学概念的文化内涵, 促进学生对概念本质的理解, 让学生了解数学知识、数学思想和方法的自然发生过程, 体验到探究学习的真正乐趣。
摘要：每一个数学概念的产生与发展都有其独特的历史文化, 通过探究教学方法, 将数学史融入概念教学, 揭开概念的本来面貌, 让学生体验数学概念的产生背景与发展过程, 不仅能够促进学生对概念本质的深刻理解, 而且能够提升学生的数学文化素养。
关键词：数学史,锐角三角函数,概念课
[1] 朱宸材, 杨峰, 王宇峰.初中数学课堂教学实践与反思[M].长春:东北师范大学出版社, 2016.
[2] 张益明, 丁倩文.“两角和与差的余弦公式”:从历史中找价值、看证明[J].教育研究与评论 (中学教育教学) , 2018 (6) :33-38.
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