核心素养视野下高中数学核心概念教学策略探究
[摘 要] 核心概念教学是培养学生核心素养的重要途径. 文章结合教学实践探讨了核心素养视野下高中数学核心概念教学策略，认为在高中数学核心概念教学中教师应以核心素养为基点，创新概念教学方式方法，促进学生对数学核心概念的深层次理解，使学生在数学核心概念的构建的过程中提升思维，形成更加完整的数学概念整体观，不断提升学生的数学核心素养，真正促进学生数学学习能力的发展.
[关键词] 核心素养;高中数学;核心概念
数学概念教学是数学思维培养、数学技能运用、价值观判断、数学知识理解等要素的教学目标实现的有效途径和基础. 目前高中数学核心概念教学受到数学教师的广泛关注与应用，但在实际教学中，很多教师对于数学概念的教学认识仍然不足，忽视了数学概念的“过程性”教学，学生对数学核心概念缺乏深刻的认识与理解，数学概念整体观也没有得以建立与形成. 因此，在高中数学核心概念教学中教师应以核心素养为基点，从学生的认知水平出发，精心设计教学，创新教学方式方法，促进学生对数学核心概念的深层次理解，使学生在数学核心概念的构建的过程中提升思维，形成更加完整的数学概念整体观，发展数学核心素养[1].
基于核心素养，制订教学目标
只有明确了具体的教学目标，高中数学核心概念教学才能高效进行，而数学核心概念中蕴含着丰富的数学思想，并且在体现及培养学生核心素养方面也各不相同，因此，在制订数学核心概念教学目标时，教师应综合考虑教材内容、课程标准、学生学情，结合数学核心概念的特点，充分突出数学学科的核心素养，在教学环节中体现数学核心素养的培养以及不同层次水平的达成，制订出包含数学思维培养、数学技能运用、价值观判断、数学知识理解等要素的教学目标.
例如，在组织学生学习“直线与平面平行的判定”知识时，该课程内容主要包括转换化归、空间问题平面化、降维思想等，根据新课标的要求，教师应把教学重点放置在对定理的直观感知与操作确认上. 同时，高中学生已经学习了空间结构体的几何特征，但空间想象能力较为欠缺，对概括问题本质的能力还比较欠缺. 因此，结合教材内容、课程标准、学生学情三大要素，笔者有效整合了“三维”教学目标，设计了如下突出数学核心素养的教学目標：
(1)通过观察、感知、操作等方式，理解并熟练应用线面平行的判定定理[2].
(2)提炼空间问题平面化等解决空间几何问题的一般方法，感受降维思想、转换化归等数学思想.
(3)培养学生的数学建模、数学抽象等素养，有效提升学生发现问题、解决问题的能力.
注重内在逻辑，设计教学活动
《普通高中数学课程标准》是我们进行数学教学的指导性纲领，为我们提出了明确的教学目标，其在每一个模块中应该培养学生哪一素养都有着明确的介绍. 因此，在高中数学核心概念教学中，教师应对标对表，认真钻研《普通高中数学课程标准》，并以数学知识为载体，在数学概念内、在逻辑的指导下设计教学活动.
例如，在组织学生学习“函数的概念”知识时，《普通高中数学课程标准》中明确指出：理解基于对应关系的函数概念，注重实数集合之间的对应关系. 因此，笔者抛弃众多教师常常采用的“关系说”，而是将函数模块的主题知识视为一个整体，按照由易到难的原则，以变量、集合对应、几何直观等方式引导学生理解函数概念，从而在分析、总结归纳中有效提升学生的逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养.
构建数学模型，渗透数学思想
许多概念与我们的生活密切相关，并且其概念本身是非常抽象的，而情境教学是培养和发展学生数学核心素养的重要方式. 因此，在数学核心概念教学中，教师应选择合适的教学情境，将原有的知识经验与所学的知识联系起来，将现实生活中的模型与核心概念联系起来，不断激发学生学习的兴趣与欲望，感悟核心概念教学中所蕴藏的数学思想.
例如，在组织学生学习“方程的根与函数的零点”知识时，相当数量的教师在具体教学中往往直接呈现出Δ>0，Δ=0，Δ<0的三个一元二次方程，要求学生从上述方程中直接发现并归纳总结出方程的根和函数图像与x轴交点数量的关系，进而通过由个别到一般的思想给出函数零点的定义. 显然，上述讲授方式能够帮助学生理解所学知识[3]，但对于为什么要学习函数的零点却不知所以然，在本质上对于知识发生、生成的过程、概念是如何形成的并不清楚.
因此，为了避免上述问题，笔者在课前通过微视频的方式呈现了罗马帝国时期斐波拉契宫廷数学竞赛的故事，即判断三次方程x2+2x2+10=20的解，要求学生列举出类似lg+x-3=0，0.84x=0.5等没有求解公式的方程，并以此为契机，鼓励学生将函数与方程联系起来，采用几何画板的方式呈现出y=lg+x-3，y=0.84x-0.5等上述没有求解公式的函数图像，要求学生观察随着函数的变化，相应的函数图像与x轴交点个数的关系，促使学生初步体会用函数思想解决方程问题. 显然，上述问题情境教学方法不仅能够帮助学生加深对概念本质的认识，而且能提升学生的数学抽象、数学模型等素养.
融入数学文化，揭示概念本质
数学核心概念所包含的数学思想不仅贯穿了模块知识的始末，并且往往会在课程模块初始章节呈现，而数学史是众多数学家们为了一个理念的进步共同努力的过程，能够很好地体现数学核心概念的发展. 因此，在高中数学核心概念教学中，教师应有意识地将与之相应的数学文化联系起来，通过数学史的引入帮助学生揭示核心概念的本质，促使学生感悟数学所存在的价值，有效提升学生的科学精神及人文素养.
例如，在组织学生学习“函数的概念”知识时，由于初中数学学习中已经学习过函数概念，相当数量的教师仅是简单地提及“变量说”，并不注意函数概念的演变，致使部分学生不能理解“变量说”与“对应说”之间的联系与区别，甚至出现“变量说”不全面而应该被舍弃的误区. 显然，这种教学方式不利于揭示函数概念的本质.
因此，为了有效地揭示函数概念的本质，笔者及时地引入了函数的发展史，要求学生体会函数概念的形成就是不断舍弃函数非本质属性的过程，就是在一系列问题的推动下逐步修订、补充和完善;并引导学生从物理运动、天体运动规律中抽象出具体的函数模型，深刻理解函数就是将生活中的数学问题去除其物理背景而抽象出来的.
把握概念内涵，整体构建概念
以学生为主体的教学模式能够充分发挥学生的主观能动性，但相对于高中抽象的数学知识体系而言，其认知程度较低. 因此，在高中数学核心概念教学中，教师应发挥自己在课堂教学中的主导作用，引导学生思考“核心概念是什么”“核心概念与非核心概念之间存在着什么样的逻辑关系”“怎么样提炼核心概念”，并要求学生不拘泥于概念本身，从数学核心素养的角度简练表达核心概念，整体把握核心概念结构.
例如，在组织学生学习“必然事件”概念时，笔者并未将教学内容局限在必然事件教学内容上，而是针对教学内容，要求学生对所有与概率相关的概念进行分析，建立了如图1所示的核心概念图，并从中分析出随机事件的概率是这些概念中最为核心的内容，其他教学内容都是沿着随机事件是否发生这一可能性进行展开的. 显然，通过上述对概念整体上的把握，以及日常生活中常见的实例，则能够帮助学生归纳总结、推理、分析實际问题，有效提升学生的逻辑推理、数学建模、数据分析等素养.
总之，高中数学核心概念在教学中数学核心素养的培养并不是一蹴而就的，需要教师摒弃实用主义的干扰，不断整体把握核心概念结构、创设问题情境、制订突出核心素养教学目标、引入数学文化等，并密切关注学生对核心概念的构建和理解，只有这样，才能促进学生对数学核心概念的深层次理解，使学生在数学核心概念的构建的过程中提升思维，形成更加完整的数学概念整体观，不断提升学生的数学核心素养，真正促进学生数学学习能力的发展.
参考文献：
[1] 刘奕爽. 高中数学核心概念教学中数学核心素养的培养研究[D].哈尔滨师范大学，2019(06).
[2] 于雷. “指数函数及其性质(第1课时)”教学设计与反思[J] .云南教育(中学教师)，2019(02).
[3] 孙静. 核心素养视角下的概念课教学初探——以“三角函数周期性”一课为例[J]. 中国数学教育，2019(06).
作者：刘继益
[摘 要] 核心素养已经成为一个最热门概念，一线教师对核心素养及其下位的学科核心素养如何理解，直接影响着其能否有效实现核心素养培育. 史宁中教授对核心素养以及高中数学学科核心素养做出了精辟的判断，基于这些判断并结合数学教学实例，可以让一线教师获得更为科学的核心素养理念，从而为一线教师的实践提供直接的指导.
[关键词] 高中数学;教学视角;核心素养;教学理解
核心素养及学科核心素养培育已经成为当下基础教育界的一个最热门概念，核心素养对一线课堂带来什么样的影响，这很大程度上取决于教师对核心素养以及学科核心素养的理解. 应当注意到的是，对于核心素养的普及化，目前尚没有像此前的课程改革那样风生水起，或者说核心素养目前尚停留在教育专家、学者以及一线教师的理论研究以及经验对应上(看已有的教学实践中哪些地方符合核心素养培育的需要). 这是对课程改革中某些“激进”行为的矫正，同时也赋予了一线教师更充足的理解核心素养及学科核心素养的时间与空间. 笔者结合自己所从教的高中数学学科，对两者也有自己的理解，在此总结出来，希望能够为高中数学教学中的核心素养及培育起到一定的帮助作用.
高中数学教学视角下的核心素养
世界范围内核心素养研究已经有近二十个年头，核心素养最早由经合组织于1997年提出，后联合国教科文组织、美国、欧盟、新加坡等组织或国家陆续开始研究，我国于2016年由北师大林崇德领衔发布了《中国学生发展核心素养》，将核心素养明确界定为“学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力”. 其下有社会参与、自主发展和文化基礎三个方面，另有六个条目与十八个具体指标. 目前，对于核心素养的关注更多的还是在必备品格与关键能力上.
著名数学教育家史宁中教授在回答“核心素养及数学学科核心素养的具体含义是什么”的问题时，曾经对核心素养的理解给出了这样的答案：核心素养就是后天形成的、与特定情境有关的，通过人的行为表现出来的知识、能力与态度，并强调这涉及“人与社会、人与自己、人与工具”三个方面. 我们都知道，核心素养是一个宏观概念，如何理解核心素养这个概念，决定着包括数学学科在内的教学的方向. 基于这样的判断，笔者从数学学科教学出发，对核心素养提出这样的三个观点：
第一，核心素养是可培育、必须培育的. 这意味着学科教学有着核心素养培育的任务，而当前高中数学教学中核心素养的培育相对于其要求而言，显然还不够充分. 当前高中数学的主要目的还是学生的解题能力的培养，而核心素养由于其是面向学生的终身发展的，且一些素养还是不太好量化评价的，因而核心素养的培育并不具有迫切性，这意味着核心素养在数学教学中极有可能是一种可有可无的状态，这种状态无法对教学形成“倒逼”，因而是否“必须”培育，是一个现实问题. 而这实际上是对一线教师教学理念的挑战：能否在日常教学中为核心素养的培育开辟一个空间，本质上需要教师建立核心素养可培育、必须培育的理念，进而实施教学.
第二，核心素养最终体现在一定情境当中. 核心素养并不会显性存在于学生身上，而将核心素养与特定情境联系起来时，意味着核心素养在特定情境中才会体现. 由于核心素养的滞后性，在当前的高中教学中判断学生的核心素养是否得到有效培育时，就可以结合情境来判断，比如说看学生在新的情境中能够将前面形成的素养进行有效迁移，就是一个重要的途径，即情境是判断学生核心素养形成与否的重要方式.
第三，核心素养是一种行为表现. 笔者以为，核心素养与行为表现可以比喻为“内功”与“招式”的关系，在一定的情境中，核心素养最终通过行为体现，而行为又是受知识、能力与态度驱动的，数学学习的结果是数学知识、数学思想方法以及此过程中形成的情感态度价值观，其会让学生具有理性思想、模型意识，而这些思想与意识在特定情境中，有可能演绎为学生观察事物的眼光与方法，这就是核心素养的体现. 从评价的角度讲，行为表现就是核心素养培育的评价维度.
总的来说，数学教学视角下，教师要建立的核心素养理解是核心素养培育的意识、情境与行为表现. 基于这三点再去理解数学学科核心素养，有高屋建瓴之效.
基于经验理解数学学科核心素养
数学学科核心素养是核心素养作为上位概念的具体学科体现，史宁中教授对数学学科核心素养的理解与常规理解有所不同，尽管都是从数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据运算等角度来界定的，但史教授认为其实只要从数学抽象、逻辑推理、数学建模建立数学学科核心素养的认识即可，因为直观想象是数学抽象的基础，因此直观想象可纳入数学抽象这一因素之内;因为数学运算隶属于逻辑推理，因此数学运算可纳入逻辑推理这一因素之内;因为数据分析往往是在数学模型中进行运用的，因此数据分析可纳入数学建模这一因素之内.
那么，从数学教学经验的角度来观照数学学科核心素养，又可以获得哪些理解呢?笔者试以“函数的单调性”为例进行说明.
函数的单调性隶属函数的简单性质，其反映的是在一定区间内，函数的值随自变量的变化而变化的趋势. 通常情况下，函数的单调性是由具体的数学例子分析而建立的. 比如说可以让学生去观察、比较y=x和y=x2的图像，结果学生会发现函数y=x的图像从左至右是上升的;而函数y=x2的图像在y轴的左侧由左向右是下降的，在y轴的右侧由左向右则是上升的. 于是通过这样的比较就发现了不同，为了描述这种不同，数学中就引入了单调性的概念. 在这里，比较就是一种方法，其中运用到逻辑推理，而用单调性来分析函数，实际上是在原有作为模型的函数基础之上，丰富了函数的模型内容，让函数具有了更有意义的一面.
这个意义可以体现在函数的单调性对现实生活的分析作用上，例如，对某一区域的国民经济数据进行分析，总可以发现在一定的时间段内(对应着函数的区间)，经济数据可能是上升的，也可能是下降的，这种变化就对应着单调增或单调减，而这里的增减，可以让宏观调控部门提前准备调控工具并确定调控时间. 尽管实际的经济运行与决策要比这个分析复杂得多，但不可否定的是，函数的单调性在此具有基本的工具性作用.
在这里，函数的单调性作为一个工具，对现实中的经济生活数据具有分析功能，对人们做出决定具有参考作用，此过程中具有单调性的函数模型的作用功不可没.
实际上，高中数学的函数知识，很多都可以与现实生活对应起来，如果教师在函数知识教学中更多地引入生活实例，然后通过剥离非数学因素，以让其中的数学因素体现出来，那学生就可以经历很多的数学抽象的过程. 而数学抽象一旦成功，必然可以发现其与数学知识学习中的很多内容对应起来，于是逻辑推理必然出现，最后数学模型也一定可以形成. 至于其中的数学运算、直观想象等，自然会出现，而数据分析既可以是基于不同呈现形式(如坐标或表格)，也可以是基于当下的大数据理念. 总之，生活实例的引入，可以为数学学科核心素养的培育提供广阔的空间，而这实际上就是为学生准备了一个特殊的情境，以让学生的数学学科核心素养能够通过一定的行为表现出来，如结合电信资费套餐，可以形成一个函数，然后寻找合适的套餐，这个就是核心素养在电信资费套餐选择情境中的行为表现.
核心素养的培育与数学知识教学
无论是核心素养还是学科核心素养，都面临着一个重要的问题，那就是核心素养的培育与知识的教学之间的关系如何协调?
或许这本来不是一个问题，但课程改革中知识地位论曾经是长期争论不休的问题，笔者预计在核心素养及培育的过程中也有可能成为一个热门话题，故对其做进一步的思考.
笔者以为，任何教学改革与教育观念的更新，都不能忽视知识学习的基础性作用，核心素养固然是指向学生的终身发展的，是指向社会发展的需要的，但核心素养的培育依然离不开知识教学. 无法想象，高中数学中不去努力建构集合、函数的知识，还能够让学生具有对数据或不同类别的对象进行分类，还能够让学生基于函数的思想去分析生活事物，并用函数的观念去判断事物的变化规律. 因此，数学知识教学一定是个基础，而基于核心素养培育需要所进行的知识教学，更多地需要教师创造能够让学生进行数学抽象、逻辑推理或数学建模的机会，更多地要让学生在问题解决的特殊情境中通过一定的行为，去体现、强化已有的数学学科核心素养，以让它们更牢固，更容易遷移.
从这个角度来讲，知识教学将承载着教育理念而不断递进，即使是核心素养亦不能摆脱这个规律，唯有如此，核心素养及其培育才能寻找到一个坚实的基础.
作者：刘健玲
【摘要】数学是高中阶段一门重要的基础课程，在推动高中数学教学改革的过程中，教师应当充分重视对核心素养的有效培养，基于学生数学学科核心素养的发展状况，制定具有针对性的教学策略。文章从高中数学学科核心素养的特點出发，提出了有效培养学生核心素养的教学策略供参考。
【关键词】高中数学;核心素养;培养策略
引言：
高中数学教学中培养学生核心素养是数学教育的基本要求，但是现阶段的数学教学工作存在一定的偏向性，过分强调分数而没有将核心素养放在首位。面对高中数学教学存在的不足，教师应当积极转变工作思路，充分尊重学生主观能动性的同时对学生进行全方位的指导，让高中数学教学发挥应有的作用。
一、高中数学学科核心素养的基本内涵
(一)数学抽象
数学抽象是核心素养的重要组成部分，主要强调对数量关系图形关系的有效总结，学生能够脱离事物的具体背景，对规律和结构进行总结，并以相应的数学符号给予表征。数学抽象思想能够直观反映数学的本质特征，在开展教学活动时，教师应当注重对学生思维的引导，由具体事物到抽象的概念做好相应转换，让学生能够更好地理解数学的本质。
(二)数学建模
数学建模主要强调在实际情境中以数学的视角发现问题、分析问题，并且建构模型，最终解决问题，数学模型本身是数学与外部世界的桥梁，同时也是应用数学知识的基本形式，通过数学建模核心素养的培养教师，能够帮助学生学会将复杂的真实事件转化为能够有效解决的数学问题，以此为基础，促进学生知识应用能力的提升。
(三)直观想象
高中阶段学生已经具备一定的思维基础，通过对直观想象核心素养的培养，教师能够将学生的形象思维和逻辑思维融合在一起，让学生的空间想象力得到充分保障。空间想象是实现数形结合的重要基础和前提，通过对空间几何的有效分析学生能够更好地认知事物的位置关系以及运动规律，并且学会借助图形客观的描述和分析数学问题，让数与形之间的联系更加紧密，确保学生从多角度分析和解决问题。
(四)逻辑推理
逻辑推理能够很好的体现数学的严谨性，通过逻辑推理得到的数学结论更具科学性，在高中数学教学过程中，教师应当通过对问题的有效讲解和分析引发学生的深刻思考，让学生通过逻辑推理主动发现问题并且提出命题在分析和思考的过程中理解数学知识之间的内在联系，为知识体系的有效建构提供保障。
(五)数据分析
数据分析是指依据已有的数据，采用科学的统计方法，对信息进行有效总结，并且基于已有的信息进行推断。数据分析的主要流程，包括收集数据、整理数据、获取信息、通过推断得到结论，数据分析核心素养能够真正帮助学生适应现代化的社会环境，将大数据应用于数学学习中。
二、高中数学教学视角下核心素养的有效培养策略
(一)围绕核心素养设置教学目标
设置教学目标时，教师必须要具备较强的统筹和协调能力，将核心素养与教学目标设计融合，让数学教学中的核心素养培养工作贯穿于数学教学全过程。教师还应将长期规划和短期目标放在一起，将培养学生核心素养贯穿于高中数学教学，并且根据具体的教学内容，对核心素养的培养目标进行分解，让每项教学活动都能体现核心素养的相关要求，以目标为导向，促进数学教学的不断优化与创新。
(二)基于学生学习基础开展综合实践活动
综合实践活动能够体现数学学科的深层次要求，开展生活实践可以引导学生的有效思考，并且在此过程中渗透核心素养的本质内涵。这就要求教师能够具备较强的组织和协调能力，在对高中数学知识内容进行分析的同时，以学生核心素养的发展状况为基础，对综合实践的有效落实进行优化。教师设计的综合实践活动应当体现出一定的难度，能够将数学知识融合于综合实践，一方面巩固理论性知识，另一方面也要体现对学生实践能力的培养和锻炼，让学生能够在解决实际问题的过程中实现灵活运用核心素养。教师需要充分考虑到学生的现实生活经验，在实施教育的过程中，能够从高中生的生活环境出发，比如在讲解人教版高中数学“随机事件与概率”的相关知识教学中，教师可以要求学生利用课余时间制作模型，模拟现实生活中抽奖的活动，制作数量不等的奖券，并设置相应的奖励，在此基础上邀请身边的亲朋好友参与抽奖，对抽奖的数据进行统计。通过简单的实践活动，学生能够学会灵活运用概率的相关知识，并且有效解决生活实际问题。
(三)在评价活动中突出核心素养的培养需求
教学评价能够对学生的认知观念产生直接影响，在培养学生核心素养的过程中，教师应当通过实施教学评价的方式帮助学生转变思想观念，让学生能够意识到核心素养培养对个人发展的重要性。深入分析高中数学学科核心素养理念的基础上，教师应当将教学评价活动和核心素养培养需求相结合，能够根据学生核心素养的发展状况进行行之有效的评价与指导，让每位学生都能够在学习过程中转变对数学学科的态度，并且真正将培养核心素养放在首位。教师还应采用鼓励和赞美的语言，充分肯定学生在数学学习中的表现，能够从学生的考试成绩、学习能力等多个角度出发，分析核心素养的培养状况，在评价学生的同时做出相应的指导，让每位学生都能保持高度的专注投入于数学课程学习。
总结：
总之，培养学生核心素养是高中数学教学的基础性要求，高质量的数学教育必须把握好学生的个性，让核心素养贯穿于教育的全过程，教师需要对教学形式进行有效优化，以核心素养为导向对教育形式作出合理创新，确保每位学生都能够在不断培养核心素养的同时提高数学知识应用能力。
参考文献：
[1]王朝海.素养导向 实践探路——数学核心素养理念下的平面解析几何教学实践探索[J].新课程，2021(49)：72.
[2]王庆锋.学科核心素养视角下的高中数学教学研究[J].中华少年，2019(24)：287.
[3]宋扣兰.基于发展学生核心素养的高中数学核心概念教学设计研究[J].数理化解题研究，2021(33)：18-19.
作者：桂安生
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上世纪60年代以来，在重视“双基教学”的口号下，一些学校大搞题海战术，只顾成绩，不管其它，加重了师生负担，造成应试教育和片面追求升学率的严重后果。为了改变这种情况， “三基教学”和“四基教学”的概念相继出现，目的是在继承双基教学传统的基础上，进一步适应和体现时代的要求。三基教学即在基础知识和基本能力技能之外，增加“基本思想和基本方法”，四基教学则指在三基之外再增加一项“基本活动经验”。
新一轮基础教育课程改革实施以来，新的思潮和观点不断涌现，其中影响较大的，一是素质教育的口号，二是情感态度价值观的培养。围绕这两个主题，多年来，教育工作者进行了艰苦的探索实践，取得了一定的成绩，推动了我国基础教育事业的发展。
然而，素质教育和情感态度价值观是较为宏观的概念，如何使其落到实处，便于操作，易于实施呢?学科核心素养的提出很好地解决了这个问题。2014年4月，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，要求统筹各方面的力量，根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容细化，研究制定各学段学生发展的核心素养体系。
各学科核心素养的内容和要求既相互区别又相互联系，不能截然分开。就数学学科而言，研究表明，数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施。
第一，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。数学核心素养的六个方面在小学要仔细推敲，准确把握，切实贯穿到学科教学活动中去。
第二，研究性学习综合实践活动课程是数学学科素养培养的重要途径。由于研究性学习属于综合课程，所以必然包含数学学科的相关知识内容，又由于其实践活动课程的特点，对数学建模、数学抽象、数学推理等方面都有较高的要求。
第三，青少年科技创新活动是数学学科素养培养的很好途径。全国青少年科技创新大赛是一项具有20多年历史的全国性青少年科技创新成果和科学探究项目的综合性科技竞赛，是面向在校中小学生开展的具有示范性和导向性的科技教育活动之一,是目前我国中小学各类科技活动优秀成果集中展示的一种形式。大赛竞赛具有科学性、先进性、实用性的特点。在活动中培养和提高相关的数学学科素养，可以起到单纯的学科教学难以起到的作用。
从双基教学的产生，到素质教育、情感态度价值观、学生学科核心素养等一系列理念的提出、研究和实施，不难发现，在这个变化发展的过程中，教育教学目标的实施一步步具体、明确、可操作，充分体现了基础教育科学研究的不断深入，体现了教育研究水平的不断提高。我们要深刻体会这种变化，最大限度地提高教学效率和教育质量，为现代化建设事业培养全面发展的合格接班人。
数学核心素养，是指把所的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西，即能从数学的角度看问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力。从教学过程的维度看，数学核心素养的培养应从教学设计、课堂教学、教学评价等方面展开：教学设计，应体现“数学文化背景下的思维活动”的价值取向;课堂教学，应追求思维与能力的提升;教学评价，应立足维度、梯度和相关度进行最优化设计。
什么是数学素养?什么又是数学核心素养呢?
一、数学素养的培养
数学核心素养，就是把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西。具体说来，就是能从数学的角度看问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力。从专业 的角度讲，指的是：主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养;熟练地运用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想的素养;以良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养;对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多个角度探寻解决问题的方法的素养;善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。
二、数学核心素养的培养
教学设计的价值取向，一般指知识取向(这里的知识是“与时俱进的双基”，包括一般意义上的基础知识与基本技能)与文化取向。知识取向的教学设计，是以知识为中心的教学设计。其所关注的，是如何采用有效的方法使学生准确无误地获取知识――教师的职责是最有效地向学生传递知识，学生的任务是最大限度地从教师和教材那里获得知识。文化
取向的教学设计关注的不仅是知识，而且是包括知识在内的整个文化。数学教学应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神，等等。数学教学应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。 事实上，知识取向与文化取向是相互融合的，知识是部分，文化是整体，文化教育涵盖了知识教育，两者本身并没有根本的冲突。“数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识都具有基础性的作用。”因此，数学教学应当是以知识教学为核心的文化教学，是数学文化背景下的思维活动。
2.课堂教学：追求思维与能力的提升
数学是思维的体操，思维是数学的灵魂。没有思维，数学就失去了生命与活力。以思维为基础，能力提升才能得到有效的落实。
3.教学评价：立足维度、梯度和相关度进行最优化设计
(作业)是教学评价的基本形式(当然还有课堂表现性评价等)，如何设计，才能比较准确地测试与评价学生的数学核心素养，进而有利于形成正确的数学核心素养导向?(作业)设计要遵循课程标准的要求，准确地反映该学科对学生知识、技能的要求，立足维度、梯度和相关度进行最优化设计。维度，是指要考查哪些知识、技能;梯度，是指要有递进性，对不同的解答能给出相应的具有阶梯性的合理评价;相关度，是指要在知识的交汇处，既可以是章节内的知识点的交汇处，也可以是学科内的知识点的交汇处，甚至可以是跨学科的知识点的交汇处以及与实际生产、生活的交汇处等。
(一)
作者：史宁中(东北师范大学数学系教授，博士生导师)
数学核心素养和小学数学教学，因为你们在讨论常态的数学教学，后来张老师让我讲核心素养，我就把这两个放在一起了，“数学核心素养与小学数学教学”。我先讲个前言就是小学数学教学和数学核心素养怎么能挂上钩，我的第一个观点你们一定不同意，但是我坚持我的想法。教无定法，绝对不能说哪种教学方法是最好的办法，教育教学是个艺术，艺术就是在不同的场合、不同的情况下会采取不同的方式，所以根据你讲课内容的不同，根据听众的不同，甚至根据你那天讲的心情的不同，你可以用不同的教学方法，比如一个新概念的引入，你可能会举一些例子来说明这个概念是怎么回事;如果要是接续以前的概念，你可能就不要引入很现实的例子，直接就讲下去了，我认为都可以，教无定法，但是教书得有一个基本的规则，所以我希望经过新常态的讨论能定下一个原则，就是说课堂教学应该遵循的原则是什么，或者说评价一堂课好或不好的标准是什么，教书是一门艺术，艺术同科学的最大区别是什么?科学是无论是谁，无论在哪里，无论在什么时候得到的结论都是一样的，这就叫做科学。艺术是会随着人的不同、时间的不同、场合的不同有所改变，因此艺术的好坏有一个标准，基本标准就叫做价值观，由你的价值观来判断这个艺术是好或是不好，有人认为好，有人认为非常不好。价值观是什么，就是一堂课的评判标准是什么，在此，中国的《义务教育法》中，国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量，就是不管你怎样教书，采用怎样的办法，一定要启发学生思考，启发式教学，在法律中只有这句话，因此在修改《普通高中数学课程标准》明确指出，数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，启发学生思考是非常重要的。
现在在讨论核心素养，核心素养就很难讨论特别清楚，但是有一句话是非常好的，就是培养一个孩子，这个孩子可能未来不从事数学，那培养的终极目标是什么呢?终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，眼光、思维、语言，你在讲课的过程当
中，在备课的过程之中，这个是很重要的，我认为是终极目标。因此在这样一个终极目标下，我们好的教学质量应该是怎样的呢?就是把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，在教师的启发下，提一个好的情境、好的问题引发学生思考，学生让他自然而然的学会思考是很难的，教师的责任之一就是要他学会思考，敢于思考，善于思考，这是教师的责任，让学生在情境中掌握知识技能，感悟数学内容的本质，积累数学思维的经验，这就是课标说的四基：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。孩子是否会想问题不是老师教会的，是自己领悟出来的，是一种经验的积累，所以老师要帮这孩子积累经验，一个是思维的经验：会想问题;一个是做事的经验：会做事情，这两个经验是很重要的。最后加上一句话，形成数学的核心素养。这样的话你们就记住三件事情，第一个就是让孩子们掌握知识，这是必须的;第二个提高能力;第三个发展素养。素养是终极目标，这样我就把常态教学和核心素养结合在一起了，终极目标是最难实现的。下面我来谈三个问题，
一、什么是数学核心素养;
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养;
三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养。什么是数学核心素养，原来我不知道这个词，所以在写课标时写的是核心概念，我们国家在教育部文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》中提到了核心素养，并且要求修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终，“数学素养”我知道，但是我不知道“数学核心素养”。学科核心素养的概念在这个文件中体现出来的，这个标准出来之后，北师大组成专家团队在研究核心素养，他们是这样定义的，是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，那么变成数学核心素养就是：具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维品质。必备品质是比较难理解的，在此我提出的核心素养供你们参考和理解。我理解的核心素养是后天形成的，是在特定场合才能表现出来的，是跟人的行为有关的知识能力和态度。涉及三方面：人与社会、人与自己、人与工具，这是我脑袋中想的，只供参考。不是后天的，怎么还会在学校里?学习时刻东西表现是本能，这不用你教，是特定场合表现出来的，是和人的行为有关的，是思维习惯，是智商，说到底是一种习惯，有点像修养式的一个习惯，是在特定场合表现人的行为有关的。我估计在这个课标公布后都会讨论，我是根据经合组织、科教文组织、欧盟组织等相关资
料，进行总结合并出这几句话，你要是查原文的话，我建议去查经合组织和欧盟，那是我归拢总结出来的。
现在根据这个想法，我们高中阶段的核心素养定了六个方面，最本质的是数学抽象、逻辑推理、数学建模，剩余的虽不是本质，但是高中阶段表现的是直观想象、数学运算、数据分析，在写义教课标的时候给了八个核心词，正好和义务教育的数学核心素养刚好相应：数感和符号意识正好对上数学抽象;数学抽象在小学阶段主要表现在符号意识和数感，推理能力及逻辑推理，模型思想及数学建模，直观想象在义务教育中体现的就是几何直观和空间想象，几何直观比较好建立，代数直观非常难建立，还有统计直观更难建立。所以义教阶段只提了几何直观，我在会上提出过任何学科应该把这个学科的直观作为培养终极目标，但是义教阶段是不能都建立起来的，把整个数学直观都建立是很难的一件事情，所以只强调几何直观，在高中时候就多了一点，在大学时候要都建立起来。数学的直观是看出来了的，不是证出来的。小学老师教直观就是教孩子把结论看出来，是培养这个直观。
这三个是很重要的：应用意识、创新意识和学会学习。原来十个关键词的时候有应用意识和创新意识，在义教阶段我不知道怎么样，反正在高中阶段学会学习是很重要的。那么为什么定这几个核心词呢?它的理由同我终极培养目标是有关的。刚才说会用数学的眼光观察现实世界，数学的眼光就是学过数学的人看世界同没学过数学的人看世界有什么差异呢?学过数学的人看世界会抽象，会一般地看问题，因此就是抽象，包括直观想象。其实抽象是看出来的，感情色彩很多是靠直观想象的，那么引发的数学特征是什么?就是数学具有一般性，我们数学研究的东西不是个案的，是一般的。一定记住你反复做题时你培养技巧是不行的，技巧是个案的，你要培养技能，但是很多老师培养的是技巧，对这道题好使，数学培养的是对很多题都好使。小学数学老师经常会碰到这样的问题：3x+2=5，直接就看出X=1，直接就得出结论x=1，我说不行，你必须用解方程的方法一步步算，通信通法往往比你解一道题的方法更重要。第二个，数学的思维是什么?学过数学的人想问题和没学过数学的人想问题的本质是什么，一般人都认为学过数学的人想问题有逻辑，这就是数学的逻辑，引发的数学特征就是数学的严谨性。
数学的语言是什么?数学有直接应用，数学真正应用到化学和物理这些学科是靠模型，义教阶段比较少，因为模型的原因，它引发数学的特征是数学的广泛性。
现在我进入我要谈的主要内容，在小学数学中如何教核心素养，主要谈三件事情。第一如何教数学的抽象，我认为义教阶段的符号意识、数感甚至把几何直观和空间想象都归到数学抽象;第二讲逻辑推理，小学核心词中提到的运算能力和推理能力;第三讲数学模型的模型思想、数据分析观念。
先谈数学抽象。什么是数学抽象?数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究的对象，数学研究对象来自两点，一个是数量与数量关系，一个是图形与图形关系。你们记住这件事情，光记住概念是不够的，也没有什么意义的，得到概念的同时，要不得到概念的性质，要不得到概念的之间的关系，这是很重要的，舍去一切物理属性，说起来容易，做起来并不是很容易。我们在讲课的过程中经常会忘记这句话，课标上有一个例子：天安门城门是一个轴对称图形，有的学生就提出不对，旗帜没有对称。对称是指什么呢，数学要抽象，主要是教材有缺陷，其实应该把所有的物理属性都剔除，就剩下轮廓同颜色也没有关系，天安门城楼的轮廓是轴对称图形，所以数学应该是去除一切物理属性的。抽象的对象，我现在就干一件事情就是把每件事情说得特别仔细，绝不含糊，我也不跟你云山雾罩，可能说得不全，容易让人挑毛病，所以一般人都愿意说得云山雾罩，让你挑不出毛病，但是对于小学老师则不行，我必须把话说透，所以我写了书《基本概念与运算法则30问题》，谈得非常仔细。今天我也采取这块原则，抽象的对象，一个是数量，一个是图形。抽象之后得到了数学研究的对象，得到了概念、关系和规律。现在我提出一个问题，就是在小学教学的过程当中，抽象大概要经过哪几个必要的步骤?我不是很清楚，这是你们的事，我就往下具体谈了，义教阶段先谈数、再谈运算和几何。
不仅小学数学，整个数学，抽象本质上两种方法，第一个方法是对应的方法，第二个方法是内涵的方法。对应的方法的方法就是起个名字，但是这个起名字是极为重要的，我建议小学
一、二年级用对应的方法，有的概念一开始引入得用对应的方法，然后用内涵的方法，现在我提第一个问题：数是什么?数的本质是什么?表示数的关键是什么?这个问题比较泛，我不知道，曾问过东北师范大学研
究教育的一位老先生，他回答不上，我就比较着急，因为最根本的问题答不上，我就开始研究了。数是什么?关于理解它涉及到两个素养，一个涉及符号意思，另一个涉及到数感。数是符号，是对数量的抽象，光有概念不很重要，关系很重要，既然是从数量中抽象出来的，那么数的关系来自于数量的关系。你们仔细想想数量关系的本质是什么，数量关系的本质是多少。我讲一个例子：来了一只狼，一只狗敢对付;来一群狼，狗是不是掉头就跑。动物知道多还是少，所以动物知道就是本质的，最根本的。数量的本质是多和少，抽象到数就是大和小，数的大和小是数的本质。你光教数字“2”是没有意义的，你要教2比3小，比1大，怎么教呢?你们教科书上都是这样教的：三个苹果，三只鸡对应三个小方块，然后用一个拐弯的符号表示3，就是这样抽象出来的，所以3就是个符号，对不对?记住，这个叫做模式，三只鸡、三个苹果对应三个小方块这是重要的，这是一个开始的模式，因为有一个研究数学教育的老师曾经问我为什么有的孩子老也分不清楚3和4，我就问他是不是讲3的时候讲3个苹果，讲4的时候讲4个梨呢，他说是。这就不行了，孩子小，他不知道你讲的3跟苹果无关，你讲的4跟梨无关，他不知道这件事情。因此我同师大附小的老师说，基于孩子比较小，在一学期中你用小方块就老用小方块，别一堂课用小方块，下堂课用圆，再下堂课用小长条，把孩子的脑袋搞乱了，要怎么简洁怎么来，慢慢地就懂得了。关于负数，我都呼吁好几次了，负数按我这么讲，你们一般是加完等于0的那个就是负数。我给你们讲个故事，以后用这个故事讲负数。在小学课本中是不是这样讲的：负数最早出现于中国的《九章算术》。我干什么都比较较真，就把《九章算术》翻来了，方程篇第八题，它讲这样一个事：一个人卖马卖牛挣的钱，之后又买羊交了钱，就出现了这么一个情况。文字形式有收入有支出，收入算正的，支出算负的，负数就是这么出来的。负数和正数是什么关系：数量相等、意义相反，因此负数也是对数量的抽象，如果你把挣的钱算正，交的钱就算负，往东算正，往西就算负，往上就算正，往下的就意义相反，数量相等这个事的意义很重要，因此绝对值是表示它的数量，这还谈了中国传统文化挺好。还有一个对数的认识是内涵的方法，内涵的方法是数，是一个个多起来的这个叫后继数，这个是皮亚诺的算术工艺体系，数是一个个多起来的，一个个多起来按+1表示，所以加法同时定义出来的，这是数学的公理，这是皮亚诺公理，是自然数公理。那么现在就有一个问题了，我有一次听课说是讲10000，那么10个1000是10000，我说十千
为什么是一万呢，后来我问我们附小，我们附小也是这样讲，课本上也是这样讲的，10个1000是10000，是乘法，那个时候教乘法了吗?10000是怎么回事?在千以内最大的是9999，如果又来一个数，我们怎么叫新的数呢?中国老祖宗出面起个名字叫万，西方的老祖宗不是特别聪明就叫它10千，一万是起个名字，数是一个个多起来的，这就是内涵的方法理解，所以一开始用对应的方法，然后用内涵的方法来教这个事情。不管你怎么教符号，表达是一致的，所以符号表达很重要。
读数怎么读，我也是听一堂课。一开始我看孩子们上课前眼睛发光，听完这堂课眼睛就迷离了，我说终于把孩子们讲糊涂了。读数有0不好读，是不是?后面有一个0怎么办?后面有两个0怎么办?中间有一个0怎么办?中间有2个0怎么办?一堂课下来孩子们都弄糊涂了。下课我就问老师你读数就这么读啊。老师回答说我不这么读，我说你不这么读你为什么让孩子们这么读，我说读数的关键是什么，他说不知道，我说你们这么教书不行。我认为读数的关键就两条，一个是符号，0-9;第二个是数位，个位的2和十位的2是不一样的。那么怎么读呢?就用它的符号读它的数位就完了，2002(2000零百零10，2个)就是这样读，你不嫌麻烦就这么读，你要嫌麻烦就读2002，这堂课就讲完了，还用讲一堂课吗?五分钟肯定讲完了。还有一件事情就是数位和数没有分出来“十”个个是“十”，“十”个十是“百”，“十”个百是“千”，“十”个千是“万”，是指数位，为什么是“十”呢?因为是十进制，数不是，数是一个个多起来的，所以万是计数单位。
运算也有两个方法，我这边讲两个最基础的，再往下你们自己想去。加法怎么讲?加法的本质怎么讲?加法是最重要的，你们都这样讲的有3个小方块再加上1个小方块，4个小方块，所以3+1+4，对不对?我说为什么等于4，他也说不出来，我说是不是4=3+1，所以3+1=4。是的，但是这里有两个事情没有说出来，什么叫加?什么叫等?他问我怎么讲，我说你这么讲，我们附小老师现在按我说的讲：这头有3个小方块，这头有4个小方块，问小孩哪头多，小孩说那头多，这头再加上一个小方块，问哪头多，说一样多，所以3+1=4。什么叫加得清楚?什么叫等要清楚?什么叫等?等有两个概念，一个是运算的结果，还有一个表示量相等。等号有这么一个功能，就是等号在讲两个故事，两个故事量相等，
这就是建立方程。什么是方程呢?就是方程必须讲两个故事，讲一个故事怎么来列出方程呢，讲两个故事，两个故事量相等，所以就这样讲。我后来对小学老师佩服得五体投地，我讲课讲得干巴巴的，而我们附小老师这样讲：猴哥哥同猴妹妹去摘桃，猴哥哥摘了4个，猴妹妹摘了3个，谁摘的多，猴哥哥摘的多，那么我在猴妹妹这加上一个，一样多，所以3+1=4。你看人家讲的比我好多了，就是所有的符号，你跟孩子讲可能讲的不是很清楚，但是你给孩子创设一个情境，让孩子去悟。所以这块就涉及到这样一个事了，方程。
什么是方程?含有未知数的等式是方程，这句话对吗?我就问编书的， 2x-x=x是方程吗?那是运算，怎么叫方程呢?等号有两个功能，一个是运算，一个是量相等。那么什么是方程?方程应该是讲两个故事，两个故事量相乘，因此应该是含有未知数的表示量相等的等式是方程，不把本质体现出来，纠结表面也没用，含有2的等式是方程，你怎么不说含有加法的等式是方程呢，所以小学老师不好当就在这里。这些概念是最基本的概念，这些概念是没法用其他的词无法形容的概念，这些概念你得让孩子们悟出来，这就难了，所以我说教大学好教，教研究生好教，这个概念他都不懂，你都可以批评他了，你批评小孩子怎么批评呢?
数学核心素养和小学数学教学
(二)
作者：史宁中(东北师范大学数学系教授，博士生导师)
就是根据核心素养抓住最本质的东西，计算最本质的还在数位上，只有相同数位的才能进行计算，个位只能在个位加，十位只能在十位加，包括乘法。通分是为了单位，只有化成同样单位才能比较大小，换成同样单位才能进行加法运算，所以要通分就是这个道理。小数的乘法也同样最本质的是数量与数量的运算，单位同单位的运算。我有一个学生问我是竖式重要，还是横式重要，我跟他讲竖式一点也不重要，横式重要，竖式是计算程式，横式表达的是计算算理，计算的道理和计算的程式应该搞清楚，这个就是课程标准说的应该懂得算理。我们通常的
运算是这样的，25×15是用分配率来算的，从上往下和从下往上是一个道理，只要你了解算理，你光教数是不行的，你得教理，所以我们的小学老师，我希望我们的孩子们慢慢知道为什么会这样，说不清楚不要紧，创设背景能够感悟就行了，也不用着急。点、线、面，过去先讲点、线、面，后讲体，是根据难易程度来的，世界上看见的东西都是三维的，都是立体的，必须从立体的把点、线、面抽象出来，要有一个抽象的过程。什么是角?这是个大问题，书上说的是由一个点出发引出两条射线所组成的图形叫做角，但是这个定义我想半天也没想明白，是角的哪一块啊?是整个图形是角，还是哪个地方是角?第二个，三角形有没有角?三角形是射线，三角形如果没有角怎么叫三角形呢?三角形是三个角的意思，有一个方法叫做对应法，我说要这样讲，你画一个图形，这样的图形叫做角，这就是对应的方法，就是起个名，把这个图形叫成角。接着往下说，角并不重要，重要的是它的度量，角是由两个线段组成的，一个端点重合，角的大小与线段长度无关。那么角的大小跟什么有关?后来上了这么一节课，画一个角，让孩子画出同样大小的角，一开始用量角器，但是不许用，就把这个角挪到这边，比哪个在外头哪个大，后来画弧，那么单位圆就出来了，弦长就决定了角，几何的度量是非常重要的，几何度量的本质是长度，我下面再讲长度这个事情，度量的本质是长度，面积也是同长度有关的，体积也是同长度有关的，现在我说了角也是同长度有关的，所以线的长度是最本质的，教几何位置关系是重要的，度量是重要的，度量关键是长度，抓住长度做文章就不会出任何问题。我带过一个藏族的学生叫卓玛，现在是西藏大学最年轻的教授，她问过我这么一个问题，说：“老师，世界上的知识分几种?”我一下就被问住了，我还挺机敏的说世界上的知识分三种，小学老师必须得会的，有一种是不教也会的，有一种知识是教了也不会的，我们要教那种教了能会的知识，但是有时候不教也会的知识，比如说怎么认钱，该教的时间长的得花时间教，这是基本概念。我们一直不注意概念的理解，一直只注意怎么算，这样是不行的，所以我建议关于角度大小这点，你花点时间用它一堂课，大家画画看，慢慢就知道了，角的大小是由长度决定的，这件事情很重要，平面几何最重要的全等概念，全等概念的核心就是长度不变，这是最重要的。
数感是怎么回事呢?刚才我说的是抽象的，抽象是最后用符号表达，是一种符号意识。抽象是舍去现实背景，数是
对数量的抽象，它的要害是舍去了现实背景，舍去了所有的物理背景;数感是对数的感悟，它要回归现实背景。估算和精算有什么区别?精算是对数的运算，估算是对数量的运算，这个是小学义务教育阶段估算最核心的事情。估算是要有背景的，要有背景的就是要有数量，让孩子得知道在桌上估一个长度要用厘米，在教室上是用米，县城之间的距离要用公里。在哪个单位上估是要有背景的，只要选择了合适的单位，在这个单位估还是往下小数点一位估，就是对的，都是好的。要不然你不知道估算往哪里估，在合适的背景单位上估是第一条，第二条，估算就是大一点估，小一点估，够不够的问题，能不能的问题，在课标第26李阿姨买鱼就是一个例子。一开始有些人反对在小学里讲估算，但是在现实中有用，我当场就举了一个例子，后来就写成课标了，估算在现实中是有用的，因此抽象现在对象也知道，功能也知道，现在在脑中形成这样一个印象，抽象的东西是不存在的，现实2是不存在的，只有具体的2匹马，2头牛，这个是第一个事件。如果你想说存在的话就是抽象的存在，是你头脑中的存在，你看到皮球看到苹果你知道是个圆。根据你的印象，你可以在黑板上画出一个圆，甚至可以定义圆研究圆，因此我们老师应该知道这么一个事情，这就是数学的一般性。我讲课，讲圆，不是我黑板上画出的圆，不是讲具体的圆，而是讲大家头脑中的圆，那个叫抽象的存在。我就找了郑板桥的话，大家都知道郑板桥画竹子有名，难得糊涂这句话大家都知道，他说：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹，我讲的不是我黑板上的圆而是大家心里共同认可的圆，这就是抽象的功能，使得数学的研究具有了一般性。
研究对象的关系得到数学的结论，主要有两种形式的推理，一种是从小范围到大范围的推理，另一种是从大范围到小范围的推理，一种或是叫做特殊到一般的推理或者叫一般到特殊的推理。在数量上有正比例，反比例;方程、不等式这些东西。推理，这是高中课标准备给的定义，是指从一些事实的命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。依据规则，数学的推理是有规则的，我下面讲规则是什么，主要是两类，一类是从特殊到一般的推理;一类是一般到特殊的推理。这和传统的合情推理有点不一样，我的想法是把数学能够培养讲得细一点，所以不包括联想和想象，联想和想象有点漫无边际，不是数学逻辑性所要求的东西。你
看看这几句话推理得对还是不对?第一句话：因为两个点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边;第二个推理：三角形内角和180度，因为180度是平角，所以三角形是平角;第三：因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。错在什么地方?这个可较劲了。
时候他们自己也说不清楚想得对和错，而我们老师要教给孩子们会想，你得知道哪块想得对，哪块想得不对，错是哪块错，为什么错，不然就不好办。我们稍微定一下，什么叫做推理呢?推理就是一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。什么是命题呢?就是可以判断正确或者错误的陈述句。所以数学的所有结论是一句话，这句话你能说他对还是不对，这个就是数学的命题，因此可以判断这句话是不是数学的命题，这个三角形是美的，或者这个三角形是白的，不是数学命题。为什么?我说了，抽象是舍去了所有的物理属性，因此后面是形容词的全部是数学命题，形容词有物理属性，我们把物理属性全部干掉。命题的两种形式，命题经常用一个连接词“是”，A是B，这叫做系词结构;还有一个是关系命题：如果是怎样，那么怎样;若怎样则怎样。数学命题基本上就这两种形式，要不然是性质命题，要不然是关系命题。两种形式推理，这句话是有逻辑的，叫演绎推理。“凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死”，这句话是对的，这是从一般到特殊的，这是正常人思维。“苏格拉底是人，苏格拉底有死;柏拉图是人，柏拉图有死，所以凡人都有死”，这句话是对的，叫做归纳推理。我们过去很少教这样的推理，我们教那样的推理，归纳推理有个毛病，结论不一定对。你看苏格拉底不到80岁就死了，柏拉图不到80岁就死了，所以凡人不到80岁死去，这句话就不对了，是不是?所以归纳推理不一定对。我这回修课标的时候忘了代数也有基本事实了，就是光记得几何也有基本事实了。几何这个基本事实很重要，“两点间直线最短”，这个基本事实是最重要的一个基本事实，几乎证明不了的，但是代数有基本事实，以后修改课标可能就会把这两个基本事实加进去了，一个叫做传递性：a=b，b=c，那么a=c;a>b，b>c，那么a>c;第二个，等号的两边加、减、乘、除(除不能是0)同一个数，等号不变，不等号也不变，用这个可以证明什么事情呢?可以证明这件事情：加上一个正数比原来的数大。这个孩子们应该感悟出来，你们知道初中关于有理数的加法是怎么定义的?两个数相加，
如果符号相同，用这个符号，和等于绝对值得和，符号不同，用绝对值较大的数的符号，和等于这两个绝对值的差。它说最本质的应该是这么几件事，就是加上一个正数比原来大，你们回去尝试一下，你们在教研室的时候尝试一下什么叫对一个概念懂了还是没懂，就是能不能够举例说明，凡是能够举出例子就是懂了，举不出例子就是不懂。好比这一句话，加上一个正数比原来的数大，这句话你能不能用符号表示出来呢?我觉得小学老师都能表示出来。这句话用数学的语言怎么表达呢?证明是很好证明，什么叫加上一个数比原来的数大呢?就是对任意的数a和正数b，a+b>a，为什么这样呢?第一个，b>0，是正数，两面都加上a，刚才我说的命题2，这些结果都是可以证明出来的。减去一个正数等于加上这个正数的相反数，所以减去一个正数比原来的数小，都用我刚才说的两个命题都可以做;减去一个负数等于加上这个负数的相反数，减去一个负数等于加上一个正数，减去一个负数比原来的数大，这就是演绎推理。演绎推理有个毛病，已知a，求证b，a和b都是确定性命题，这样的话不能用于发现真理，发现真理是用一种归纳的方法来做的。培养创意性人才，比如这件事情，我们要一开始知道计算的道理，我们一开始讲课不能只讲程式，就是如何去算，一开始就通分，一开始要知道这个分数的加法如何变成同样的单位，然后才能进行运算。在运算过程中你可以省去几个单位，但是，教课的时候一开始必须讲道理，这个就是从归纳的方法得到程式。我在北师大，有一个老先生问我为什么先乘除后加减，比如这个问题：3+2×6=3+12=18，我刚才说了对一个问题最好的理解就是举例说明，根据这个问题举一个例子，之后你看看这个计算的缘由。这句话是很重要的：现在的同学数=原来的同学数+后来的同学数。从头开始想问题，你就发现了混合运算时在讲两个或者两个以上的故事，因此先乘除后加减是一个故事一个故事地讲完这种运算，这都是归纳推理，探究成因。
题是多少种类型，13种类型是不是。我说怎么这么多类型呢，他同我讲，他发现就两种类型，一种是加法一种是乘法。所以现在课标里就写两种，一种是加法模型一种是乘法模型，加法模型为了应用起见，写了总量模型，一种是路程模型，数学模型是讲现实世界中的故事，是用数学的语言讲述现实世界的故事，因此在讲述数学模型的时候一定要讲述现实世界的故事，因此模型也是一个基本的素养。
有两种模型，模型是很重要的，就是与时间有关的，现在=过去+变化，将来=现在+变化，这个是预测模型，这个模型我认为是很有意义的。
现在我讲最后一个问题，如何在评价中考查数学核心素养，这件事是最大的事。这件最大的事第一个是教育质量检测。教育质量检测是小学四年级和初中八年级要进行教育质量检测，这个设置在北师大，北师大让我当数学教育质量检测的专家，我很认真参加了三年多。我发现一个问题就是小学要求计算速度，是没有道理的，所以这次把计算速度取消了。我听一个校长说，他对他们的老师要求是一看就会，一做就对。我说这不是数学了，这是培养熟练工种了，数学是需要思考的，所以一定不要去练速度，所以这次教育质量检测题量减少或者是时间拉长。部里让我关注浙江、上海的高考改革，我建议在不增加题的情况下，从两个小时增加到三个小时，第一个就是教育质量检测把时间延长到很长了。第二个，过去你们出题，大概是这么出的，就是考知识点该不该考。现在你们出题稍微改一下，我认为这么加四个就行，一个对于概念的理解，第二个逻辑推理怎么样，第三个运算能力怎么样，第四个想象力怎么样。就是出题的时候再换个角度，关于概念占多少，计算占多少，空间想象占多少，这么交叉地出题，这是第二个。
关于推理，我这题是在北京试的，试完之后我发现，能考出孩子的生活经验是很重要的一件事。例：五年一班和二班举行跳绳比赛，每个班派10人参加比赛，已经赛完9人，将派最后1名出场，五年一班可以在甲、乙两名同学中选出，两名同学最近的成绩是这样：平均数是一样，甲的学生跳跃比较大，乙学生比较稳定，这个题的答案很有意思，好学生或者城里的学生都选的是乙，为什么?理由是比较稳定。结果有一些郊区的学生就同生活经验有关了，那就得看第九次的成绩，如果五年一班赢的话，派乙，五年一班输的话派甲，冲一冲么，我倒是建议考它的思维，而且在这样的时候发现，思维是同生活阅历有关的。还有第三件事情就是你们尝试着出一道开放题，开放题叫做加分原则，教育质量检测一开始的开放题都是我出的。小学老师这点厉害，整完之后都比我好，但是一开始我告诉你们大概应该怎么处理，我给小学四年级出这么一道题，“两个居民点中间有一条路连接起来，我想建个超市，建在哪里?为什么?”大部分孩子答了应该建在中间，因为大家走的一样远，答得有道理，满分;有一个孩子说看看居民点人的多少，居民点人多的近一点，答得更好了，加两分;还有的孩子更精了，调查
一下哪个居民点的人上超市多少，再加两分。记住一件事必须知道不光是对与错的问题，你一定思维的事情往往是好和坏的事情，不是对和错的问题，因此我们要学会不光是对错的还要是好坏的，这是第一个。第二个，对于孩子来说，他思维的过程同结论是一致的，就是好样的，你教会他想么，他想的过程和要他得到的结论是一致的，就是对的。讲得更好或者更深刻的你再加分。我想从现在开始基于核心素养的教学吗，它的考核很重要，一次就出一道，所以这次我给教育质量要求出一道，这次国家让我帮助研究高考，高考也出一道，出一道开放题，开放题就是答案不一样的，答案可以变化的，但是这对老师的要求是很高的，第一个出题，第二个你是判断对还是不对的，但我们老师都会有这样的想法，为了孩子的未来发展，咱们吃点苦不要紧。第四个，一定要说孩子能懂的话，所以这次教育质量检测尽可能花很大的功夫让孩子们理解。谢谢大家。
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