关于辅助函数法与高等数学解题关系的分析

辅助函数法属于高等数学中常见的一种思维方式和解题思路, 具有逻辑较强、专业性较强、规范性较强的特点。在实际的高数解题过程中, 一些问题看似和函数没有关联, 但是仔细观察会发现其中的内在联系, 此时, 解题者便可以应用数学转换等思想, 构造出适合题目的辅助函数, 以此来明确高等数学解题思路。

一、辅助函数法在新定理证明中的应用

通过辅助函数法和构造函数的方式, 解题者可以将高等数学问题中需要正式的新定理转换成已经被证实的定理, 这样能够极大程度的简化解题难度, 并且能够提高解题效率。应用实例证实, 通过闭区间连续函数中的应用连续函数, 可以证实介值定理、拉格朗日定理、柯西定理, 即通过构造函数的方式, 解题者可以将高数问题转换为已知定理, 进而起到了解决现有高数问题的作用, 下面将对辅助函数在证明新定理中的应用进行进一步分析[1]。

1、辅助函数法在介值定理证明中的应用

现通过函数ϕ (x) =f (x) -c来证明介值定理, 此时, ϕ (x) 在函数闭合区间[a, b]上呈现连续形式, 且ϕ (a) 和ϕ (b) 为异号, 上述条件满足了零点定理, 这样解题者通过构函数的方式将介值定理证明问题转换成零点定理问题。

2、辅助函数法在拉格朗日定理证明中的应用

二、辅助函数在讨论方程根中的应用

有关方程跟的高等数学题目大致可以分为两类, 其一为结合闭区间上的连续函数的零点定理去思考, 其二则是在已知函数的基础上论证导函数方程根的情况, 这就涉及到了罗尔定理的应用。

分析:函数f (x) =a0+a1x+a2x2+.....+anxn虽然在[0, 1]上连续, 但是想要验证f (x) 在[0, 1]上的某个子去区间端点处的函数值是否异号却存在较高的难度。但是经过一定的分析却发现f (x) 的原函数F (x) =a0x+x2+x3+.....+xn+1在x=1处的函数值F (1) 恰好是式子 (*) , 因此该命题可以通过罗尔定理来证明。

总结:首先, 由f (x) 在[a, b]或是 (a, b) 上连续, 同时未说明f (x) 是否可导, 一般情况下使用闭区间上连续函数的零值定理进行证明。其次, 作出f (x) 的一个原函数F (x) , 证明F (x) 满足罗尔定理的条件, 即可得出f (x) 的零点的证明。

具体的解题过程可以归纳为以下几点:首先, 将问题转化为可应用闭区间上连续函数的零点定理。其次, 将问题转化为可应用的闭区间上连续函数的介值定理。再次, 将问题转化为可应用罗尔定理。最后, 将问题转化为可讨论导函数的零点[3]。

三、辅助函数在证明等式中的应用分析

辅助函数在证明等式中进行广泛应用, 能够使解题过程较为简单, 便于学生对证明等式的理解, 从而提高学生数学水平。其一, 利用中值定理构造辅助函数。罗尔中值定理:若f (x) 在[a, b]连续, 在 (a, b) 可导, 且f (a) =f (b) 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使f’ (ξ) =0。原理是利用微积分中值定理求解介值问题时, 要证明的结论往往是某个函数的导函数的零点, 所以可以通过不定积分反求出原函数作为辅助函数[4]。

在有些问题中, 有时很难用积分构造法直接构造出符合题设要求并且满足中值定理条件的辅助函数, 在这种情况下, 可以构造含有待定因子p (x) 的辅助函数F (x) , 再根据已知条件求出p (x) , 这样就能求出辅助函数F (x) , 这种方法叫做待定因子法。

四、结语

本文主要对辅助函数法与高等数学解题关系进行全面论述, 辅助函数法在高等数学中具有重要作用, 因此, 学生要加强对辅助函数法的重视, 掌握罗尔中值定理, 明白解题思路, 提高解题速度。构造辅助函数的内涵较为丰富, 不受固定方法的限制, 能够充分发挥学生思维能力, 辅助函数法在证明不等式、证明等式中具有显著优势, 不但能够培养学生数学思维, 还有利于提高学生解决实际问题的能力, 调动学生学习数学的积极性, 让学生感受到数学的乐趣, 从而提高学生数学水平。

摘要：构造函数是高等数学中经常应用的一种解题方式, 此方式应用的主要目的是将函数的应用范围扩展, 并在此基础上将函数的解题思想应用到其他类型问题的解决上, 以此来丰富高等数学的解题思路, 并提高解题效率和准确性, 为此, 本文详细分析了辅助函数法在一些类型高等数学题目中的应用方式。

关键词：辅助函数法,高等数学,解题关系

参考文献

[1] 胡建.辅助函数的构造方法[J].科技视界, 2014 (18) :132-133+200.

[2] 胡守华.谈高等数学解题技巧[J].科技信息, 2011 (12) :499.