一题多变培养发散思维

一题多变是指在保持命题的本质属性不变的情况下,改变命题的非本质特征。一题多变的教学在初中数学教学中尤其重要。一题多变的教学可以培养学生思维的广阔性、灵活性、创造性等良好的发散思维品质。因此,我们在数学教学中应根据学生的认知特点,适时、适度地进行一题多变教学。一题多变的基本形式有:改变结论、改变条件、改变条件和结论、改变情景,等等。

1改变结论,拓广延伸,培养学生思维的深刻性

问题是数学的“心脏”,解题是数学的“动脉”。充分挖掘结论,可以达到一题多变的目的。同一题设,常有多种结论,通过更改结论,实现变式,达到深化题意外延,培养学生发散思维的目的。

【例1】如图,△ABD和△ACE都是等边三角形,且A、B、C在同一直线上,AE、DB分别与CD、CE交于M、N两点,连接MN求证:△ACE≌△DCB。

变式一、已知不变,求证:AE=DB;

变式二、已知不变,求证:△ACM≌△DCN或△ECM≌△BCN;

变式三、已知不变,求证:AM=DN或EM=BN;

变式四、已知不变,求证:∠AOD=60°或∠AOB=120°;

变式五、已知不变,求证:点C在∠AOB的角平分线上;

变式六、已知不变,求证:CM=CN;

变式七、已知不变,求证:△CMN是等边三角形;

变式八、已知不变,求证:MN∥AB。

2改变条件,或增强或减弱,有利于提高学生的探究能力

在例题教学和习题讲解时,不能就题论题,而应该启发学生将思路延伸下去。从题目的各个方面进行联想、类比、猜测,通过变换条件,引入新问题,激发学生主动探究的兴趣。

【例2】如图,已知△ABD和△ACE都是等边三角形,求证:①CD=BE,②∠BFD=60°,③点A在∠DFE的角平分线上。

变式一、如图,已知△ABCD和△AEFG都是正方形,BE、DG交于点H,求证:①CD=BE,②BE⊥CD,③点A在∠BHC的角平分线上;

变式二、如图,已知△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,求证:①CD=BE,②BE⊥CD;③点A在∠DFE的角平分线上;

变式三、如图,已知△ABD和△ACE都是等腰三角形,AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠ACE=α,求证:①CD=BE,②∠BFD=α;③点A在∠DFE的角平分线上。

3同时改变条件与结论,双管齐下,培养学生数学思维的逻辑性和严密性

命题的条件与结论同时适当更改,也可实施变式。通过调整考查的对象,使学生学会“异中求同”、“同中求异”,培养学生数学思维的逻辑性和严密性。

【例3】求证:顺次连接四边形各边中点的四边形是平行四边形。

变式一、求证:顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形。

变式二、求证:顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形。

变式三、求证:顺次连接正方形各边中点的四边形是正方形。

变式四、求证:顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点的四边形是矩形。

变式五、求证:顺次连接对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形。

变式六、求证:顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形。

4改变情景,探究同一问题,培养学生多题归一的数学思想

问题在不同的背景、场合、情形中,可以达到变式的目的。这样不但可以增加知识的新鲜感,激发学生的学习兴趣,吸引学生自主探究,而且可以训练学生在纷繁复杂的情景中抓住问题的本质,使学生学会了抽象与概括,培养了学生的数学思维能力和解决问题能力。

【例4】人民教育出版社·义务教育教科书《八年级上册·数学》的第85页“最短路径问题”中

【问题】如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地牧马,牧马人到什么地方饮马,可使所走的路径最短?

变式一、已知:如图,正方形ABCD的周长为8,点E是线段AB的中点,点P是对角线AC上的一个动点,连接PB、PE,求PB+PE的最小值。

变式二、如图,菱形ABCD的周长为8,∠BAC=60°,点E是线段AB的中点,点P是对角线AC上的一个动点,连接PB、PE,求PB+PE的最小值。

变式三、已知:如图,等边△ABC的周长为6,点D是线段AB的中点,点P是AC边上的一个动点,连接PB、PD,求PB+PD的最小值。

变式四、已知:如图,⊙O的半径6,点C、D是半圆上的两个三等分点,点P是直径AB上的一个动点,连接PC、PD,求PC+PD的最小值。

变式五、已知:如图,有一个圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离。

变式六、已知:如图,点A(-4,8)和点B(-2,n)在抛物线y=ax2上,P是y轴上一动点,连接PA、PB,求PB+PE的最小值及P的坐标。

变式七、如图,已知点A是锐角∠MON内的一点,且∠BAC=30°,OA=5cm,点B、点C分别是OM、ON上的动点,连接AB、AC,求△ABC的周长最小值。

变式八、如图,在平面直角坐标系中,有两个点A(3,4)、B(4,2),C是x轴上一动点,D是y轴上一动点,顺次连接ABCD,当四边形ABCD的周长最短时,求四边形ABCD的周长的值及C、D两点的坐标。

以上探索了一题多变的四种基本形式。除此之外,一题多变的形式还有,条件与结论互相交换;考查命题的特例;生根伸枝,图形变换;解法的多变;题组训练,等等。运用好一题多变的基本规律、方法和技巧,可以解决许多数学中的实际问题。一题多变可以对已知信息进行多方向、多角度的思考,不局限于既定的理解,从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式,它的特点是思路广阔,方法灵活,寻求变异,对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息。它对推广原命题、引伸旧知识,发现新方法、发现新结论等有积极的开拓作用。这恰恰符合发现思维的特点。所以,数学发散思维的培养可以在教学中通过“一题多变”的形式来实现。

在数学教学中,一题多变得循序渐进,自然流畅,使学生思维得到充分发散,而又不会感到突然。所以,在在数学教学中,选用一些恰当的习题,采用一题多变的形式进行教学,有助于启发学生分析思考,逐步把学生引入胜境,使学生开拓知识视野,增强解题能力,培养发散思维;同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的进行深刻理解。

摘要：随着新课改的进一步推进,初中数学教学如何改革创新、与时俱进,是我们初中数学教师一直思考着的问题。经过多年数学教学发现,一题多变是促进数学教学的有效途径之一。首先,一题多变的教学可以激发学生的学习兴趣,发挥学生的学习主体性、自觉性;其次,一题多变的教学有利于提高学生运用数学知识去分析问题、解决问题的能力;更重要的是一题多变的教学可以培养学生思维的广阔性、灵活性、创造性等良好的发散思维品质,提高学生的发散思维能力和学习能力。

关键词：一题多变,数学教学,发散思维

参考文献

[1] 黄东坡·等边三角形·探究数学新思维(数学8年级),2013.

[2] 司志本、秦玉金·一题多变训练思维.中学数学杂志,2012.