变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式（共13篇）
在习题课中的 “ 一题多变 ” 是指从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使知识进一步精化的教学方法． 思维的变通性是指摆脱定势的消极影响，不局限于问题的某一方面，能够随机应变，举一反三，触类旁通。在二轮复习的解题过程中主动出击，运用变式，通过 “ 一题多变 ” 演绎问题的产生过程，能够摆脱由生活习惯中原有思维方式和平时解题所带来的思维定势，使思维具有变通性。
“ 一题多问 ” 培养思维的严密性
思维的严密性，主要表现在通过细致缜密的分析，从错综复杂的联系与关系中认识事物的本质。在题目解完后再通过 “ 一题多问 ” 自己考虑问题更全面细致，让自己的思维具有严密性。
例已知椭圆的两个焦点分别为F1, F2, 点P在椭圆上, 且PF1⊥PF2, 求点P至x轴的距离.
下面先与学生共同探讨得出几种常见的解题方法, 以作示例
解法一由得, c2=25-16=9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) , 设点P (x1, y1) 在椭圆上 , 则因为PF1⊥PF2, 所以, 所以, 则解得, 所以P至x轴的距离为16/3.
解法二由得 , c2 = 25 - 16 = 9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) .设点P (x1, y1) 在椭圆上, 则. 因为PF1⊥PF2, 所以, 所以, 又, 则解得|y1|=16/3, 所以P至x轴的距离为16/3.
解法三由得 , c2 = 25 - 16 = 9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) . 设点P (x1, y1) 在椭圆上, 以F1F2为直径做一个圆x2+ y2= 9, 因为PF1⊥PF2, 所以由圆的性质知, 点P (x1, y1) 也在圆上, 所以解得|y1| =16/3, 所以P至x轴的距离为16/3.
解法四由得 , a2 = 25, b2 = 16, c2 = 2516 = 9, a = 5, c = 3, 由椭圆的定义知……①, 因为PF1⊥PF2, 所以……②, ①2- ②得, , 所以所以, 解得d =16/3, 所以P至x轴的距离为16/3.
解法五由得, c2=25-16 = 9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) . 由椭圆的参数方程x = acosθ, y = b sinθ, 设点P (5cos θ, 4 sin θ) , 则因为PF1⊥PF2, 所以, 所以, 所以P至x轴的距离为|4sinθ| =16/3.
一题多解重在通过老师的引导, 让学生自己思考, 自觉的动脑、动手, 充分发挥学生自己的聪明才智, 得到解题方法.而不是多种方法一骨脑的由老师讲解, 让学生整理. 一题多解的有效性学习思路是老师引导, 学生想, 讨论, 最后老师将方法汇总, 学生通过一题多解让学生培养善于思考的学习习惯, 找到问题的最优解法.
数学课堂上, 适时地通过一题多解去激发出学生的智慧, 让学生从不同的方法、角度、思维方式去观察、联想、分析, 根据问题的特定条件探索出一系列的解题思路, 激发学生去发现和去创造的强烈欲望, 加深学生对所学知识的深刻理解, 有利于学生沟通知识间的联系, 训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用, 锻炼学生思维的广阔性和深刻性, 灵活性和独创性, 从而培养学生的思维品质, 发展学生的创造性思维, 培养学生的发散思维能力, 这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响.
在对本题几种常见方法探讨之后, 下面展示本题的变式与推广.
变式1:已知椭圆的两个焦点分别为F1, F2, 点P在椭圆上, 且PF1⊥PF2, 求点P至x轴的距离.
变式2:已知椭圆的两个焦点分别为F1, F2, 点P在椭圆上, 且PF1⊥PF2, 求△PF1F2的面积.
变式3:设F1, F2为椭圆的两个焦点, 点P在椭圆上, 已知PF1⊥PF2且|PF1| > |PF2|, 求|PF1|/|PF2|的值.
变式4:点A, B分别是椭圆的长轴的左右端点, 点F是椭圆的右焦点, 点P在椭圆上, 且位于x轴的上方, PA⊥PF, 求点P的坐标.
在中学数学习题变式教学中, 首先, 对习题的变式要从特殊到一般, 从简单到复杂, 从点到面, 循序渐进, 层层深入, 这符合学生认知规律的发展, 能有效培养学生的思维能力.其次, 对习题的变式要注意纵向联系, 要紧密联系以前所学知识, 让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高, 从而提高学习效率.
【关键词】高中数学；解题方法；教学策略
俗话说“熟能生巧”，因此很多学生为了学号数学，采用了“题海战术”，通过大量的做题去提高自己的数学成绩。但是殊不知，长此以往，会让学生呢对数学产生厌恶感，丧失对数学学习的兴趣。通过多年的数学教学，我认为要想提高教学水平和学生的数学成绩，关键一点要调动学生的数学学习兴趣。依据“源于课本，高于课本”的高考数学命题原则，教师要对课本中的数学例题进行研究，尽量采用“一题多解、一题多变”教学策略。
所谓“一题多解、一题多解”，指的是通过不同的思考角度来寻求不同的数学解题方法，在这些数学解题方法中，去选择最优解题方法。而在这个过程中，学生的数学思维能力得到锻炼，发散思维也得到显著提高。高中数学课本中所选的例题都是经过相关数学专家精心选择和确定的，因此在例题讲解中运用一题多解和一题多变，从一个题中获得解题的规律，技巧。下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
受篇幅限制，只提出了该例题的三种变式，具体的解题步骤需老师和同学们自行解答。
上述四种解题方法，反映了思维过程中的有特殊到一般的思维过程，通过这样一个训练，即提高了学生的综合分析能力，也让学生掌握了多种数学解题方法，学生也在这一过程中体会到数学解题的乐趣。因此，在高中数学教学中，应充分挖掘数学经典例题的“一题多解、一题多变”，实现高中数学的变式教学，进一步提高学生的数学学习兴趣。
参考文献：
[1]陈友兰. 深入挖掘教材注重一题多变——由必修3一道例题说开去[J]. 试题与研究：教学论坛， 2010， 第15期（15）：72-72.
[2]刘艳飞. 高中数学一题多变的教学方法[J]. 中学生数理化：教与学， 2015， （03）.
吉安县永和中心小学胡仁军
算法多样化是解决一个问题的多种多样的策略，而一题多解则是用多样化的策略来解决同一个问题，它们的共同点都能有效地培养学生的创新意识和创新思维，但两者又有着本质上的区别。一题多解关注的是少数群体的发展，是优等生的专利；算法多样化则是面向全体学生，它不要求每个学生都能用几种方法解决同一问题，因此，每个学生都能体验成功的喜悦，树立自信心。
数学课程标准明确提出：应提倡并鼓励算法多样化；实现不同的人在数学上得到不同的发展。因此，在教学中我们应鼓励、引导学生算法多样化，让学困生“吃饱”的同时让学优生“既吃饱又吃好”，多给学生提供思维的空间和时间，真正让不同的学生在数学上得到不同的发展。
教学295＋98时，一位老师并不按书中的“多加几要减几”这一思维方式去教，而是先让学生小组讨论，然后汇报，结果出现了以下几种算法： 1、295＋98=295＋100－2=393（书中做法）2、295＋98=295＋90＋8=393 3、295＋98=300＋98－5=393 4、295＋98=200＋95＋98=393 讲到这里，一般的老师都会很满意了，表扬学生后会接着讲解其它的教学内容，可这位老师却提出了新的问题，进行了有意识的启发诱导：“还有更好的方法吗？295和98分别接近哪个整百数？”在这位老师的点拨下，同学们兴致高涨，纷纷开动脑筋，展开了激烈的讨论，很快，一位学生举手回答：“295＋98=300＋100－7=393。”
多好的思维，多好的创新！教学中我们不要受教学进度、教学内容和教学时间的束缚，生怕教学内容完不成，教学进度跟不上，教学时间不够，不要向学生提统一的要求（如要求全体学生把所有的算法都做出来，即一题要多解），让学生有自由想象的时间，有自由发挥的空间，引导学生对多种算法进行优化，这样，既照顾了全体学生，又能让优等生的创新潜能得到最好的发挥，何乐而不为呢？
(2)修一条长千米的水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩多少千米没有修？
(3)修路队修一条公路,完成了全长的后,离中点还有16.5千米,这条公路长多少千米?
(4)两辆汽车同时从两地相对开出, 小时相遇,甲车每小时行138千米,乙车的速度比甲车慢6千米,两地相距多少千米?
(5)两个工人加工机器零件, 甲每小时加工48个,乙每小时加工的个数只有甲的, 两人一起工作4小时可以加工零件多少个?
六年级数学(一题多解)练习成绩____________(1)师徒二人加工机器零件, 徒弟每小时加工24个, 师傅每小时加工的比徒弟多,两人一小时共加工零件多少个?
(2)自行车厂有工人1312个,其中是女工,女工比男工少多少人?
(3四年级学生植树329棵,比五年级少,五年级学生比四年级多植树多少棵?
(4)甲乙两个商店出售电视机,甲商店售出980台,比乙商店多售出,甲商店比乙商店多售出多少台?
(5)食堂去年计划烧煤240吨,实际只烧了180吨,节约了百分之几?
六年级数学(一题多解)练习成绩____________(1)机床厂计划五月份生产32台机床,改革后,实际生产机床44台,超产了百分之几?
(2)制鞋厂六月份计划生产鞋25000双,实际比原计划多生产5000双,增产百分之几?
(3)300千克蓖麻子榨出蓖麻油135千克,蓖麻的出油率是多少?
(4)红星村前年水稻每公顷产量是51200千克,去年亩产量比前年增产15%,去年水稻每公顷产量是多少千克?
(5)胜利小学五年级学生有84人,四年级学生比五年级多25%,这个学校四.五年级共有学生多少人?
六年级数学(一题多解)练习成绩____________（1）胜利小学五年级学生有84人，四年级学生有比五年级多25%这个学校四无年级共有学生多少人？
（2）修 一条长1400米的.水渠，第一天修了全长的25%，第二天修了全长的60%，第二天比第一天多修了多少米？
（3）有一份稿件单独一个人抄，甲要15小时抄完，乙要18小时抄完，两人合抄3小时后，没抄的部分占这份稿件的几分之几？
（4）一块地，用第一台拖拉机6小时可以耕完，如果用第二台拖拉机小时可以耕完，两台拖拉机一起耕了1小时30分，这块地还剩几分之几没有耕？
（5）修一段路，单独修，甲队需10天完成，乙队需8天完成，两队合修几天修完？
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______________________班
班
通过“一题多解”“一题多变”训练学生从不同的角度思考问题、分析问题、解决问题. 它们在教学过程中都要以“一题多问”或“一题多思”作为启发诱导以生成解法链和命题链. 从思维方式的构成来看,“一题多解”是命题角度的集中———集中目标是证题或解题,解法角度的发散———发散对象是解题方法. 而“一题多变”则是命题角度和解法角度两个方面的同时发散. 由此可见,“一题多变”的发散性更强,在数学教学中恰当地适时地加以运用,更容易诱发和培养学生的创造性思维.
例如: 在“怎样探求点的轨迹”教学中设计了这样一个问题:
如图1,C是定圆A内的一个定点,D是圆上的动点,求线段CD的垂直平分线与AD的交点F的轨迹方程.
分析注意EF是CD的垂直平分线,由线段垂直平分线的性质,点F到D的距离与F到C的距离相 等,即. 这样,其中R是定圆的半径,是定值. 由于点C是圆A内的一点,所以根据椭圆的定义,点F的轨迹是以A,C为焦点,R为长轴长的椭圆. ( 解法略)
变题1如图1,E是CD中点,求E的轨迹.
解法1由于,是定值,所以E是以O为圆心,a为半径的圆. 其方程为
变题2如图2,变“E是CD中点”为“G是直线CD上的一点”,求G点的轨迹.
解法1过G作AD的平行线,交AC 于 H,,若是一个定值,则就是一个定值,所以G点的轨迹是以H为圆心、为半径的一个圆.
变题3如图3,探求线段CF中点K的轨迹,并求其方程.
变题4在直线CF上任意取一点L( 不是C) ,探求点L的轨迹,并求出方程.
一、一题多解
一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.
【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）
变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.
解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.
联立y=x-3，
x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.
由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.
图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.
解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，
即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.
又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，
求得AF、BF，进而AB=AF+BF.
该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：
1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.
2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.
解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.
x21+4y21=4，（1）
x22+4y22=4.（2）
（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）
又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）
由（3）（4）得x0=4215.
MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，
即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.
二、一题多变
一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.
图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）
变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：
（1）x1x2=p214；
（2）11|AF|+11|BF|=21p；
（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；
（4）S△ABO=p212sinθ；
（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.
（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.
（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.
（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.
（10）求证：存在实数使得.
实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.
2.题设变更变式
（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.
将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.
（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.
实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.
积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.
总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.
（责任编辑金铃）endprint
教学中紧扣课本，挖掘教材中的经典练习题潜在的内涵，让学生进行对比、联想，采取一题多解与一题多变是一种有效的教学手段.巧用典型题的多解与多变，既能加深学生对各章节基础知识的理解，又可培养学生的探索问题和解决问题的能力.本文将通过教材中两个例题的教学，谈谈对一题多解与一题多变的认识.
一、一题多解
一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.
【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）
变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.
解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.
联立y=x-3，
x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.
由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.
图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.
解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，
即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.
又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，
求得AF、BF，进而AB=AF+BF.
该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：
1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.
2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.
解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.
x21+4y21=4，（1）
x22+4y22=4.（2）
（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）
又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）
由（3）（4）得x0=4215.
MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，
即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.
二、一题多变
一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.
图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）
变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：
（1）x1x2=p214；
（2）11|AF|+11|BF|=21p；
（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；
（4）S△ABO=p212sinθ；
（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.
（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.
（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.
（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.
（10）求证：存在实数使得.
实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.
2.题设变更变式
（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.
将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.
（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.
实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.
积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.
总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.
（责任编辑金铃）endprint
教学中紧扣课本，挖掘教材中的经典练习题潜在的内涵，让学生进行对比、联想，采取一题多解与一题多变是一种有效的教学手段.巧用典型题的多解与多变，既能加深学生对各章节基础知识的理解，又可培养学生的探索问题和解决问题的能力.本文将通过教材中两个例题的教学，谈谈对一题多解与一题多变的认识.
一、一题多解
一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.
【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）
变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.
解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.
联立y=x-3，
x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.
由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.
图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.
解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，
即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.
又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，
求得AF、BF，进而AB=AF+BF.
该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：
1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.
2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.
解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.
x21+4y21=4，（1）
x22+4y22=4.（2）
（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）
又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）
由（3）（4）得x0=4215.
MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，
即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.
二、一题多变
一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.
图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）
变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：
（1）x1x2=p214；
（2）11|AF|+11|BF|=21p；
（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；
（4）S△ABO=p212sinθ；
（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.
（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.
（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.
（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.
（10）求证：存在实数使得.
实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.
2.题设变更变式
（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.
将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.
（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.
实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.
积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.
总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.
一、学生生物学习离考纲要求相差甚远的原因
1.知识、概念、理论掌握不准。
2.基本生物知识体系不清。
3.审题不准。
4.理论知识与实际相脱节。
二、结合学生实际，用一题多问方法，能收到“一箭四雕”的良好效果
如：北极的雪兔在冬季下雪的季节毛色变白这一生物学事实，可以从生物学各方面知识体系设立问题来检测同学们双基掌握情况，培养同学的生物学综合能力。
1.问：这一现象在生物学上称为 。
解析：这一问是问雪兔毛色变化现象与下雪季节这一环境的关系。涉及的知识体系——生态学范畴；基本概念——适应性。
2.问：到下雪季节引起雪兔毛色变白的过程在生物学上称为 。
解析：因季节变化引起雪兔毛色变白反应过程。涉及的知识体系——生理学内容；基本概念——应激性。
3.问：到了下雪季节末下雪或下雪推迟了，雪兔的毛色是否变白，雪兔毛色变白是由 决定的。
解析：这一问涉及的是雪兔毛色变白的决定因素。即内在或根本原因。涉及的知识体系——遗传学；基本概念——生物遗传性。
4.问：影响雪兔毛色变白的环境因素是 。
解析：影响生物环境因素很多，受题干扰因素（冬季、雪）的影响，同学们误答成温度、雪等。其实季节的变化是有光照时间或光照周期决定的。涉及的知识体系——生态学；基本知识——影响生物的环境因素。
5.问：到了下雪季节，下雪推迟或未下雪，雪兔的毛色仍变白，造成雪兔的体色与环境形成明显反差，这一现象在生物学上称 。
解析：雪兔毛色变白是适应冬季有雪的环境。冬季未下雪，雪兔毛色仍变白，这里由遗传性决定的。同时证明生物适应性是有条件的，条件变了，原有的适应性就不存在了。涉及的知识体系——生态学；基本概念——适应相对性。
6.问：北极雪兔这一物种是 形成的。
解析：雪兔这一物种的形成，涉及知识体系——生物进化论；基本概念——长期的自然选择。
7.问：雪兔毛色变白的生理学基础是 。引起其生物学过程改变的决定性因素是 。
解析：审题关键是雪兔毛色变白生理学基础和引起其改变的决定性因素。前者考查的知识体系——新陈代谢过程；基本概念——新陈代谢。后者考查的知识体系——遗传学内容；基本理论知识——基因有选择表达的结果。
综上所述，通过一件生物学实例设题，从生物学不同知识角度设问。既检测了学生对生物学基础知识、基本概念的掌握情况，同时也培养了他们归纳总结及升华知识的能力。注意引导学生将课本知识迁移，进行理论和实际相结合。从而达到学以致用的教学目的。这样的教学方法，既达到考纲中要求的能力培养，又与当前的育人机制相适应，充分拓展学生的发散式思维，提高学生从不同角度和层次分析和解决问题的能力。
一、重个体、轻整体
一题多解教学对学生的思维能力有一定的要求,思维能力水平较差的学生很难跟上教师的教学思路.而学生的学习方式、思维方式、已有的知识水平及知识结构存在差异,一题多解教学只能兼顾部分学生的需求,无法满足所有学生的需求.
从解题过程上看,解法1利用三角函数的最高点或最低点特征进行求解,讲解过程中应重点分析切入点,让学生吃透.教师板书也应详细规范,让学生能够基本掌握关键知识点.而解法2的解答过程很简单,但是对学生的理解能力有较高的要求,只适合部分基础扎实的学生,多数学生只能靠死记硬背.
二、增加学生的负担
一题多解体现了解题的不同思维和思想方法,但是教学大纲并未包含所有解题思想方法.教师将超大纲的知识作为解题方法,虽然可以拓展学生的知识面,但是也在无形中增加了学生的负担.
该例题主要利用正余弦定理进行边角转化.解法1主要考查学生已学的知识,学生可以清楚地了解解题思路,明确解题过程.而解法2虽然从新的角度解答问题,但是对学生的要求更高,需要用到“差化积公式”相关内容,学生使用解法2解题时容易“摸不着头脑”,使得教学活动成为教师的个人活动.
三、过于重视解题技巧
解题思路体现出解题的技巧,通性通法可以检验学生对知识的掌握程度,还能检验学生的数学思维和数学方法.但是,课堂教学过程中过于重视解题技巧、忽视基础知识与技能的教学行为属于本末倒置,容易导致学生对数学失去兴趣.因此,一题多解教学如果过于重视解题技巧,则难以收到预期效果,教学质量也难以提升.
【例3】在等差数列{an}中,Sn为等差数列的前n项和,已知S6=7,S15=16,求a11.
解法1:根据等差数列公式中a1、an、d、S、n之间的关系,结合通项公式和等差数列前n项和公式,根据条件S6=7,S15=16,即可求出a11的值.
解法2:将S6、S15作差,S15-S6=a7+…+a15=9,在根据,可求得9a11=9,a11=1.
例 如图1所示的电路, 两只小灯泡 L1、L2分别标有“6V 3W”和“4V 2W”, 电源电压不变。当只闭合开关 S1, 滑片 P 滑到变阻器的中点时, L1恰能正常工作;当只闭合开关 S2, 滑片 P 滑到变阻器的 b 端时, L2恰能正常工作。求电源电压和滑动变阻器的最大阻值。
分析:设电源电压为 U, 滑动变阻器的最大阻值为 R。
(1) 当只闭合 S1时, 等效电路如图2, 此时 L1与undefined串联, L1两端的电压为额定电压6伏, 电流为正常工作的电流 Iundefined, 电阻 Rundefined, 总电阻 R总undefined。
(2) 当只闭合 S2时, 等效电路如图3所示, 此时 L2与 R 串联, L2两端的电压为额定电压4伏, 电流为正常工作的电流
Iundefined, 电阻 Rundefined, 总电阻 R总=Rundefined。
下面根据串联电路的特点、欧姆定律、电功率的有关知识采用多种方法求解, 以培养同学们综合运用知识分析问题和解决问题的能力。
解法1 电流法 利用串联电路的电流处处相等, 根据图2, 图3可得方程组:
undefined
解之得:U=8V, R=8Ω。
解法2 电压法 利用串联电路总电压等于各部分电压之和, 且电源电压不变。列出等式:
undefined (Rundefined, U=IR
解之得:U=8V, R=8Ω。
解法3 电阻法 利用滑动变阻器接入电路中的电阻列出等式:
undefined
解之得:U=8V, R=8Ω。
解法4 利用欧姆定律 Iundefined列出方程组:
undefined
解之得:U=8V, R=8Ω。
解法5 功率法 利用电功率列出方程组, 由P=UI,
I=U/R得:
undefined
一、利用一题多解，震撼学生心灵，激发学生学习数学的学习兴趣
在学习一元二次方程根与系数的关系时，学生做了这样的一道习题：
例1.如果7是关于x的一元二次方程x2+mx-21=0的一个根，
求该方程的另一根及m的值。
讲解时我不动声色地认认真真地讲解大家所采用的常规方法，也就是将7代入原方程求得m的值，再将m的值代入原方程中求得两根，从中挑出另一根，并详细地板书在黑板上，细细想来利用这种方法解题有许多学生感到心理有点不顺畅。然后我再请出韦达先生来帮忙：设另一根为x1，依题意可得：7+x1=-m
7x1=-21，解得：x1=-3
m=-4。学生被这么简捷地解决一个感觉繁琐的问题而震撼了，怎么可以这么简单呢？当然在被震撼的同时，学生也就接受了根与系数的关系这一重要性质，并会主动去思考如何应用了。
二、利用一题多解，引导学生开拓思路，提高解题能力，培养良好的思维习惯
以鹭江出版社出版的《新课程中考复习指导丛书——数学》
一书中空间与图形中的一题为例：
例2.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，点
C是弧AE中点，CD⊥AB于D，交AE于F。
求证：AF=CF
很多同学在分析这道题时，感到题目所给条件简单，不知该从何处下手，下面是我在教学中利用一题多解的方法进行讲解并引导学生如何切入审题。
方法一：AB是⊙O的直径→（连结AC、BC）∠ACB=90°，又CD⊥AB（形成双直角三角形）∠ACD=∠B，结合条件“点C是弧AE中点”得到∠CAE=∠B，得∠ACD=∠CAE，从而得证。
这个证法是从第一条件推理“直径所对的圆周角等于90°”，并综合利用第三个条件“CD⊥AB”引发联想“双直角三角形”，再由弧的中点推理“等弧所对的圆周角相等”“等量代换”“等角对等边”思维简洁流畅。
方法二：点C是弧AE中点→（连结OC交AE于G）OC⊥AE，又CD⊥AB，→∠CDA=∠CGF=90°，而∠DFA=∠CFG→∠FAD=∠GCF，又OC=OA→∠CAO=∠OCA，得∠ACD=∠CAE，从而
得证。
这个证法是从第二个条件引发联想“连结OC”形成垂径定理推论的条件，并综合利用第三个条件“CD⊥AB”引发推理“等角的余角相等”“等边对等角”“等量减等量差相等”“等角对等边”思维流畅，就是图形有点复杂，角处在交错的线条之中。
方法三：CD⊥AB→（延长CD交⊙O于点H）弧AH=弧AC，又点C是弧AE中点，弧AE=弧AC，故弧CE=弧AC，→∠ACD=∠CAE，从而得证。
这个证法是从第三个条件引发联想“延长
CD”形成垂径定理，再利用推理“等量代换”“等弧所对的圆周角相等““等角对等边”，思维简洁流畅，学生进行对比后自然会发现方法三最为简洁明了。
本题题目仅给出了三个条件，以上方法中介绍了从每一个条件进行挖掘、联想都可产生不同的证法，思路都很顺畅，从而对学生的思维产生了震撼作用，在反思总结中，从这道题中有效地感受到了应该如何分析题目形成解题思路。
三、在进行题目讲解时，注意运用一题多解归纳出常规的推理，避免产生思维紊乱、走弯路的现象
以2009年龙岩市中考题为例：
例3.如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分∠BAC。求证：AC⊥BC。
从评卷结果来看，应该说是一道比较简单的几何证明题，按
理大部分同学应该能拿下这一题的，但从平均分看却让人比较不满意，只有5.58分，得分率仅为55.8%。存在证明思路紊乱、书写不规范、证明的条件不够就下结论，甚至变更题设条件：∠1=30°等错误。考生考卷中出现了九种证法之多，有些就难免出现条件累赘、反复，走弯路、绕圈子的现象。
下面这道题是人教版九年级上册第103页第14题的变式，原题如下：
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证AC平分∠DAB。
很明显，试题仅是把题设中的一个条件和结论进行了调换，而解题思路没有改变。
本题如果不作辅助线是无法解决问题的。首先条件“⊙O与DC相切于点C”无法用，而切线的常用辅助线有两种：①连半径，得垂直；②作垂直，得半径。指导学生归纳出这些知识并形成常规的推理，我想学生在考试时就不会出现“ 条件累赘、反复，走弯路、绕圈子”的现象了。
以上现象的发生提醒我们在平时教学中要多利用一题多解进行对比教学，让学生形成良好的审题习惯，培养思维的条理性，在审题中较快找到切入点，形成一些常规的推理，看到什么条件就联想到什么，例2就是一个典型的例子。
总之，一题多解是数学题解教学中的一种常用方法，是培养、提高学生思维能力、创新能力、分析问题、解决问题能力的有效方法。只要我们能善于运用，积极引导学生运用，就能培养学生创新能力和创造性的思维能力，而且也能减轻学生学习数学的负担，还
能提高学生学习数学的效率，从而增强学生学习数学的兴趣，让
学生感到“办法总比困难多”的信心和勇气，真正发挥一题多解在中学数学教学中应有的作用。
问题:若椭圆undefined上存在一点M, 使undefined分别为椭圆左, 右焦点, 求椭圆离心率 e 的取值范围.
解法一:巧用平面几何知识
由椭圆性质, 当点M运动到短轴顶点B时, ∠F1BF2最大.
undefined
undefined
在RT△BOF2中:
undefined,
所以 e 的取值范围是undefined
根据题目特征, 巧妙地运用平面几何的知识, 能给解题带来极大的便利.
解法二:利用重要不等式 (有两种解法)
解法1:因为∠F1MF2=90°,
所以|MF1|2+|MF2|2=4c2,
所以 (|MF1|+|MF2|) 2-
2|MF1||MF2|=4c2,
所以undefined,
所以 2 (a2-c2) ≤a2, 即 2c2≥a2.
故离心率 e 的取值范围为:undefined
解法2:对任意α>0, β>0, 易证undefined, 即undefined
当且仅当α=β时取等号, 所以undefined,
所以undefined, 所以△F1F2M为直角三角形, 所以|MF1|2+|MF2|2=4c2,
所以 4c2≥2a2, 即 2c2≥a2,
所以 e 的取值范围是undefined
评:充分利用不等关系构建不等式, 实现由等式向不等式转化, 直截了当, 方便快捷.
解法三:构建函数
令∠MF1F2=α,
则|MF1|=2ccosα|MF2|=2csinα,
所以|MF1|+|MF2|=2c (cosα+sinα) .
又因为|MF1|+|MF2|=2a,
undefined
因为undefined,
所以undefined,
所以undefined
所以离心率 e 的取值范围是undefined
评:通过引入变量构建目标函数, 转化为学生熟悉的求值域问题, 从而解决问题.
解法四:利用联立方程思想
设点M的坐标为 (x0, y0) , 由于在Rt△F1F2M中, O为斜边F1F2的重点,
所以|MO|=c, 即 x2+y2=c2,
所以 0≤x2<≤c2.
由
undefined
得undefined,
即undefined,
所以
undefined
②式可化为undefined,
即undefined恒成立.
由①得 c2≥b2, 即 c2≥a2-c2,
所以undefined
所以离心率 e 的取值范围是undefined
评:关于离心率 e 的取值范围问题, 思考的角度是捕捉显性或隐性的变量关系, 进而把问题逐步转化.
【关键词】小学数学 ； 小学生 ； 创造性 ； 自主性 ； 一题多解
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0258-01
“一题多解”模式在小学数学教学中的应用十分普遍，对于启迪小学生的智力水平具有积极意义。所谓一题多解，主要是针对学生在寻求解决问题的基本方法和答案过程中善于从多角度进行思考，培养自身的发散思维能力。小学教师的教学不应是一成不变的，而应充满多种可能性，善于从不同方面激发学生的潜力。在小学数学学习过程中，一题多解模式受到了师生的一致欢迎，学生是否真正掌握了一题多解的基本方法是衡量小学生学习水平的基本考量。教师首先要培养小学生一题多解的意识，在解题过程中加强探究，寻求不同的解决方法，引导小学生形成良好的学习习惯。在一题多解的基本框架下，教师要教会学生运用灵活多变的方法努力提升自己的发散思维能力，增强学习创新能力。
一、结合具体的案例引导学生一题多解
小学数学教师引导学生学习一题多解不能通过干瘪的理论形式进行授课，而是应结合具体的案例增强学生的感知能力，使学生切身体验到一题多解的具体应用方法及其范围，而不是利用空洞的理论堆砌出“空中楼阁”，脱离了学生的基本实际，不利于提升教学效率。具体来看，教师可通过数学教学中的各种例题将一题多解进行细化和“对号落座”，由此题延伸到彼题，加强学生迁移能力的培养，并设计相似的题型供学生练习，增强举一反三的能力。教师在教学过程中要善于引导学生从解题过程中总结一般规律，使学生在解答不同题型时要形成自己的思维模式，形成对此类问题的固有认识，并在此基础上进行发散。教师引导学生学习一题多解的根本途径就是要使学生掌握解决基本数学问题的各种方法，只有掌握了基本的学习方法，才能进行延伸和拓展。例如在学习人教版小学数学“运算定律和简便计算”的内容时，有如下例题：357+288+143、158+395+105、167+289+33和129+235+171+165，要求学生灵活运用结合律、交换律进行求解。求解357+288+143时，教师要求学生先进行观察，易知“357+143”比较容易求解，故先求的结果为500，再与143相加而得最终结果788，即357+288+143=（357+143）+288，教师帮助学生总结解决上述问题的一般方法，即先观察题目，再合理运用结合律。当再求解“129+235+171+165”时，学生首先观察题目，发现“129+171”和“235+165”可分别先求解，分别为300和400，进而求得最终结果，同样运用结合律，原式=（235+165）+（129+171）=700。
二、激发学生一题多解的兴趣
兴趣是学生最好的老师，小学数学教学引导学生学习一题多解需要全面激发学生的学习兴趣，只有吸引学生主动参与到课堂学习，才能顺利地实施相应的教学策略。学生主动学习一题多解需要培养探究精神，提升探究能力，在全面深化研究的基础上总结出适合自己的学习规律，而这一切的学习行为都需要以激发学生的主观能动性为基础，以增强学生的数学学习兴趣为前提。教师激发学生的学习兴趣需要从教学手段和教学氛围的营造两个方面加以研究。一方面，教师要创新教学手段，通过小组合作、组织学习活动，以及丰富课后学习生活等方法，吸引学生的主动参与；另一方面，教师需要创设合适的教学情境，营造和谐互动的教学氛围，增强课堂教学的魅力和吸引力。另外，教师既要成为学生的良师，也要成为学生的益友，建立平等交流的教学机制，对学生的学习行为及时予以评价，多以正面鼓励为主，调动学生的参与性。例如在学习人教版小学数学“多边形的面积”的内容时，由于小学生对多边形的认识并不是十分的清晰，于是教师在教学课堂上展示了相应的多边形模型，还将受到学生普遍欢迎的玩具“魔方”引入课堂。教师走下讲台，和学生一起玩起“魔方游戏”，在游戏开始前，教师要求学生先算出魔方各个面的面积，最后求出其表面积。学生在游戏过程中不停地变换魔方的形状，教师实时地提出问题：魔方的形状不停地发生着变化，在变化过程中，魔方的表面积有没有改变呢？学生纷纷加入讨论，形成了十分愉快的学习氛围。学生在解题过程中除了要掌握科学的方法外，还用培养解题的感觉，即一般性的解题常识。
三、勤于练习是形成一题多解能力的关键
小学数学引导学生学习一题多解是一个长期的过程，在教会学生基本的解題方法后，学生还需要通过反复的练习培养解题感觉，增强对相关问题的潜在认知，形成解决此类问题的“第一印象”。例如在学习人教版小学数学“图形的轴对称”的内容时，教师在引导学生辨析轴对称物体时，既要教会学生认识轴对称物体的一般特征，也要增强学生对轴对称物体的感性认知，即“轴对称图形就是将其沿着中间线折叠能完全重叠的图形”。当学生在遇到“下列哪些图形是轴对称图形时”的题目时，学生既可以根据自己的想象，找到一个对称轴，然后看对称轴两边的形状和大小是否一致，同时，学生也可以想象如果通过对称轴进行折叠是否能够完全重合。这种一题多解的能力需要学生长期的练习，形成对相关概念的一种清楚的认识。
四、总结
综上所述，小学数学教学引导学生学习一题多解应从培养学生的自主学习意识、自主学习方法入手，在学生自主学习过程中逐步引入一题多解模式。实践证明，一题多解模式有利于充分释放小学生的天性，将小学生的主观能动性激发出来，不断优化小学数学教学效果。一题多解需要小学生在学习过程中不断提升思考能力，既要富有想象力，又要富有执行力，对学习过程中遇到的难题不逃避，而是积极面对，想方设法地予以解决，在解决问题过程中开拓自己的视野，拓宽思维的广度。
参考文献
[1]冯克诚，肖坚强.小学数学——题型教学与解题方法训练.呼和浩特：内蒙古大学出版社
[2]苏棉花.小学数学兴趣教学策略探究——以“认识时间”教学为例[J]. 教育实践与研究（A）. 2013（07）
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