浅谈大学数学中美学研究以及应用

数学美并不诞生于现代社会, 更不是由现代人提出。在距今甚远的古希腊时代, 毕达哥拉斯就已经对数学与美学的关系做了基本的研究与论述。他本人作为著名的哲学家和数学家, 首次提出了“美是和谐与比例”的观点。可见, 在很早之前, 人们就已经在数学中发现了美以及美的作用, 并对数学美有了简单的认识。

发展到现今, 人们对数学美的认识已经具有了非常成熟的知识体系。我国当代著名的数学家徐利治曾经说过, “数学美的含义十分丰富, 如数学概念的简单性、统性、结构系统的协调性、对称性, 数学命题与数学模型的概括性、典型性与普通性、还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。”这样看来, 数学美贯穿于数学学科的整个知识体系。因此, 要想学习好数学必须真正地了解数学中的美, 提高学生对数学的审美能力, 让学生对数学美产生不同于其它科目的爱, 才会激起学生学习数学的兴趣, 进而产生良好的学习效果。

1 数学与美学

1.1 数学

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用, 由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。它是人类的一种思维模式和表达形式, 通过人们缜密周详的逻辑推理, 反应了人们对科学的严谨态度以及人们对美的追究。数学的诞生, 来自于人们对美的追求。正是人们对完美境界的不断追究, 才会诞生如此严密的逻辑推理思维模式, 构成了数学科学的生命力, 使其具有了非常崇高的可用性和科学价值。

1.2 美学

美学是从人对现实的审美关系出发, 以艺术作为主要对象, 研究美、丑、崇高等审美范畴和人的审美意识, 美感经验, 以及美的创造、发展及其规律的科学。因此, 美学也是哲学的一个分支, 是以对美的本质及其意义的研究为主要目的的学科。

什么是美?简单地说, 它是一种人类对某种事物直接或间接的感觉, 可以体现在现实生活中某种事物上, 也可以是人抽象化、形象化的感受。因感受的个体不同, 不同的人对美的认识也会有不同的理解。即使是同一件事物, 不同的人感受起来也会有不同的感觉。无论怎样, 美都是人内心深处一种非常重要的感受。正是对它的不断追求, 才使得人对很多事物的认识有了比较系统的和全面的掌握, 使其得到了进一步的发展。

1.3 数学美

对于数学中的美学, 很多人已经出版了很多书籍对其进行了论述。在古希腊原文中, 美学英语单词的意义是“感性、感受”。其实, 这特别适合应用在数学上。数学中的美并不普遍存在于视觉或者听觉上直观感觉, 它是在具体实践的过程中, 人对数学产生的一种感受。因而, 数学美是一种抽象的形式美和理性美, 这是只有具有一定数学基础的人才能够真正发现和感受到的。

提到数学, 很多人都会觉得它非常的枯燥和乏味, 并且理解和掌握起来十分困难。打个简单的比喻, 站在花园里面的人会说花园非常的漂亮, 可是站在花园外面的人, 因为没有进去就会说它不漂亮。如果还没有真正地走进数学, 了解和掌握数学美, 又怎么会学好数学呢?这就像吃葡萄的人说葡萄酸, 不吃葡萄的人说葡萄不酸, 是一样的道理。所以, 并不是数学中没有美, 而是曲高和寡, 极少有人能走进数学了解和掌握数学的美。

2 数学美的主要特征以及应用

数学美的主要特征可以简单概括为统一性、简洁性、对称性和奇异性等。由于大学高等数学中含有很多抽象化、形象化的概念和理论, 这就需要学生充分地认识数学美。如果学生不能掌握数学美, 是很难对其内容有深刻的理解。而且, 在具体的解题过程中掌握好数学美也可以很好地掌握解题原理, 减少解题的难度。因而, 数学美对于大学生而言, 不仅仅是一种理论, 它可以帮助其找到正确的解题方法以及得到正确的结论。

然而, 大学数学教师往往把数学美学作为课堂上的一种理论, 简单地讲解给学生, 却没有指导学生如何把数学美应用到具体的解题中去。这就好比在树下的狐狸看到了树上乌鸦嘴里的肉, 嘴角直流口水却吃不到一样。因而, 高等数学教师应该从数学美的角度重新把握教材, 将数学美贯穿于课堂讲授中。

2.1 统一性

数学知识体系作为人类的一种认识成果, 是对其内容做了系统地组织和划分, 组成了数学知识结构。希尔伯特曾经说过, “数学科学是一个必可分割的有机整体, 它的生命力正是各个部分之间的联系, 而数学的有机统一, 也正是这门学科固有的特点。”因而, 数学的统一性具体体现在各分支之间、分支内部以及分支与整体之间的互相贯通、和谐协调与相互转化上。具体体现在解题上就是利用各个条件、条件内部以及条件与结论之间的关联, 探索出具体的解题方法。这是一种从差异中看到统一, 在整体上找到数学题内在的联系与规律的解题方式, 是合理解决数学问题的有效途径。

举个简单的例子:某人去登山, 此人一步可登一个台阶也可登两个台阶, 问他登上n个台阶的方式有几种?如果是一个懂数学的人, 很快会想到用费波那契数列解题。数学的统一性在此起到了决定性的作用。这个命题当中有两种条件假设, 结论就必须是两种假设条件结论的综合, 才会得到我们想要的结论。正是从两种不同的条件看到了统一的结论, 才会找到有效的解题方式。

2.2 简洁性

数学学科作为一门科学有其独特的表现形式, 如何合理地应用数学的表达形式 (数学符号和数学公式) 来表达数学内容, 是数学家们追求的一种非常重要的数学美, 这就是简洁美。

符号和公式是数学学科独有的语言表达形式。如何在解题的过程中简单、巧妙地应用数学语言, 把它的解题步骤最简洁地体现出来, 是每个数学家以及数学爱好者最关心的问题。简捷的解题方法和明快的思维令人心旷神怡, 使人的心情无限的愉悦, 体会到数学真正的美。

例如, 高等数学的数列极限与函数极限的分析定义是用“ε-N”、“ε-δ”语言规定的, 并且定义中具有任意性与确定性。ε的任意性通过无限多个相对确定性来实现, ε的确定性决定了N和ε的存在性。这种定义精细地刻划了极限过程中变量之间的动态关系, 表达了极限概念的本质, 并且为极限运算奠定了基础。所以, 它才被评价为是微积分中最严密、最精炼的语言。而这种简练的数学语言, 可以很好地帮助学生理解数学内容, 并使解题的步骤简捷化。

2.3 对称性

对称性在数学中是非常显而易见的一种美, 具有极其重要的作用。无论是在解题过程中, 还是探索数学结论时, 对称性都会给人很多启发。对称性, 一般只是指外观或者表面的对称, 而数学中的对称性却是用变换、运动的不变性来本质地反映这个含义。因此才说数学美是理性、高层次的形式美。例如圆形被认为是最美的图形, 原因就是它具有对称性;波纹线也被认为是最美的曲线, 也是因为它的曲线本身所包含的数量关系起作用, 使曲线弯曲程度适宜, 曲率变化比较匀称, 在视觉上给人感觉非常舒服。

这是数学中我们用眼睛可以看到的对称美。同时, 对称性在探索结论方面也具有非常重要的作用。例如在用抛物线解题的过程中, 如果不理解抛物线的对称性, 是无法找到正确的解题方式和得到正确的结论。

2.4 奇异性

在数学中的很多理论与数学公式都是与人的直觉相背离的, 让人一下子感觉起来非常地不能理解, 尤其是大学高等数学。它有时会使人走入绝境, 有时又会给人以无尽的想, 令人进入“山穷水复疑无路, 柳岸花明又一春”的绝妙境界, 从来没有任何一个学科创造过这种“奇异”的境界。可也正是这种奇异性, 吸引着无数数学家以及数学爱好者的研究, 正好印证了著名数学家徐利治所说的一句话“奇异是一种美, 奇异到了极限更是一种绝佳的美”。

3 数学美的教学意义和现实意义

综上所述, 高等数学的数学美的内容是丰富多彩的, 始终贯穿于整个数学知识体系中。数学教师在教学过程中应经常揭示和展现出数学美, 让学生时刻体会到数学美, 并不断地提高学生对数学美的审美能力, 才会促使学生的数学水平有所推升。同时, 它也能够很好地培养了学生的数学思维能力和创造精神。

事实上在日常的生活中, 人们会经常地应用到数学知识, 只是人们没有从这简单的生活小事中发现自己已经用到了数学知识。例如, 我们经常会在闲暇时玩耍的猜币游戏。一枚被抛向空中的硬币, 猜它落地时是正面还是背面。就是这样一个简单的小游戏, 却涉及到了数学中的概率问题。如果你能很好地运用数学概率, 猜对的正确率将会非常的高。从这样的现象, 我们可以充分看到数学的应用价值, 体现了数学美具有非常重大的现实意义和科学价值。

4 结语

数学美, 无处不在, 只要我们留心观察就不难发现它的美。它的出现与应用, 不仅激发了学生的学习数学的兴趣, 提高了学生的数学水平, 同时也开拓了学生的思维逻辑, 对学生的学习具有非常重大的帮助效果。同时, 也对数学学科、自然科学的整体发展有着非常重要的推动作用。

摘要：美学广泛存在于每一个学科, 而存在于数学学科中的美学对于数学而言又具有怎样的意义呢?尤其是大学数学方面。本文从此目的出发, 详细阐述了数学与美学之间的关系, 仔细研究了数学美是如何体现及应用到数学中去的, 以及数学美的教学意义, 从而进一步了解数学美学的作用。

关键词：数学,美学,数学美,统一性,简洁性,对称性,奇异性

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