初一数学应用题分类（推荐12篇）
1.甲、乙两辆火车相向而行，甲车的速度是乙车速度的5倍还快20km/h，两地相距298km，两车同时出发，半小时后相遇。两车的速度各是多少？
2、甲、乙两地相距300km，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40km，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80km，已知慢车先行1.5h，快车再开出，问快车开出多长时间与慢车相遇？
3、一队学生去校外进行训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员需多少时间可以追上学生队伍？
4、甲乙两个人在400米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？
5、.甲乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分.（1）若两人从同一地点同时反向跑，多少分钟后两人第3次相遇？（2）若两人从同一地点同时同向跑，多少分钟后两人第2次相遇？
6.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
二、工程类问题
1、有水桶两只，甲桶的容量是400升，乙桶的容量是150升，如果从甲桶放出的水是乙桶放出的2倍，那么甲桶剩的水是乙桶所剩的4倍。问每桶放出了多少升水？
2、一项任务由甲完成一半以后，乙完成其余的部分，两人共用2小时。如果甲完成任务的4、某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数，甲和乙的比是3：4，乙和丙的比是2：3。若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件，问每个工人各生产多少件？
5、一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成。开始时三队合作，中途甲队另有任务，有乙、丙两队完成，用了6小时完工。甲做了几小时？
6、一个水池上有两个进水管，单开甲管，10小时可把空池注满，单开乙管，15小时可把空池注满。现先开甲管，2小时候后把乙管也打开，再过几小时池内蓄有四分之三的水？
1以后，由乙完成其余部分，则两人共用1小时50分钟。间由甲、乙两人单3独完成分别要用几小时？
3、车工班原计划每天生产50个零件，改进操作方法后，实际上每天比原计划多生产6个零件，结果比原计划提前5天，并超额8个零件，间原计划车工班应该生产多少个零件？
三、数字、年龄、几何问题
1.一个两位数的十们数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，试求原两位数是多少？
132.将连续的奇数1，3，5，7，9„，排成如下的数表：
1113（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？
（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，21233133这五个数的和能等于315吗？
若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.3.有一批课外书分给若干个儿童，若每人6本，最后缺2本；若每人分5本，最后多3本，请问有几名儿童呢？
4.在一只底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？
579***9353739
5.如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的四分之一，阴影部分的面
2积为224cm，求重叠部分面积。
四、利润问题
1．某商场甲、乙两个柜组12月份营业额共64万元，1月份甲增长了20%，乙增长了15%，营业额共达到75万元，试求两柜组1月份各增长多少万元？
2、某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可降多少元出售此商品？
3、某商场将某种DVD产品按进价提高35%, 然后打出“九折酬宾，外送50元打的费”的广告，结果每台DVD仍获利208元，则每台DVD的进价是多少元？
4某种商品进货后，零售价定为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价），问这种商品的进价为多少元？
5、一件商品按成本价提高20%标价，又以9折销售，售价为270元，这各商品的成本价是多少？
五、调配、分配、配套问题
1．某商店今年共销售21英寸，25英寸，29英寸3种彩电共360台，它们的销售数量的比是1：7：4，这三种彩电各销售多少台？
2．某镇粮食仓库中,1号仓库存粮200t，２号仓库存粮70t,现在1号仓库每天运出15t,2号仓库每天运进25t粮,问几天后,2号仓库的存粮是1号仓库存粮的两倍?
3.某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个。应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？
4.学校组织植树活动，已知在甲处植树的有27人，在乙处植树的有18人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，需要从乙队调多少人到甲队？
5.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
6.某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应该怎样安排人员，正好能使挖的土及时运走？
7、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套.现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
8.包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？
9.某车间有28名工人,生产一种螺栓和螺帽,平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个,两个螺栓要配三个螺帽,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺帽,才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套?
六、积分问题
1、某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，这个人选错了多少道题？
2、某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
2.育才中学需要添置某种教学仪器, 方案1: 到商家购买, 每件需要8元;方案2: 学校自己制作, 每件4元, 另外需要制作工具的月租费120元, 设需要仪器x件.(1)试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用;(2)当所需仪器为多少件时, 两种方案所需费用一样多?（3）当所需仪器为多少件时, 选择哪种方案所需费用较少? 说明理由.八.浓度问题：
1.今需将浓度为80％和15％的两种农药配制成浓度为20％的农药4千克，问两种农药应各取多少千克？
2.甲、乙两块合金，含银和铜的比分别是甲为4：3，乙为7：9，今从两块合金中各取多少千克，能得到含银84千克、含铜82千克的新合金？
3.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，两种合金应各取多少？
七、资费问题（哪个更合算）：
一、直线型中的分类讨论
例1: (1) 如图1, 在△ABC中, ∠B、∠C均为锐角, 其对边分别为b、c, 求证:;
(2) 在△ABC中, , ∠B=45°, 问满足这样的△ABC有几个?在图2中画出来 (不写作法, 不述理由) 并利用 (1) 的结论求出∠ACB的大小.
解析:本题第一小题是课本上的原题, 第二小题则要分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况, 而初中学生很容易忽视钝角三角形的情况, 因为课本上只讲锐角三角函数, 导致解题不完整.
解 (2) :满足条件的△ABC有两个 (如右上图)
若∠ACB为锐角, 由 (1) 的结论有,
∴, ∴∠ACB=60°,
若∠AC'B为钝角, ∵AC=AC',
∴∠AC'C=∠ACC'=60°, ∴∠AC'B=120°.
例2:操作:如下图, 在正方形ABCD中, P是CD上一动点 (与C、D不重合) , 使三角尺的直角顶点与点P重合, 并且一条直角边始终经过点B, 另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.
探究: (1) 观察操作结果, 哪一个三角形与△BPC相似?并证明你的结论;
(2) 当点P位于CD的中点时, 你找到的三角形与△BPC的周长比是多少?
解析:第一问:如下图 (1) , 另一条直角边与AD交于点E, 则△PDE∽△BCP, 证明:在△PDE和△BCP中, ∵∠1+∠3=90°, ∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠2, 又∠PDE=∠BCP=90°, ∴△PDE∽△BCP;或如下图 (2) 若另一条直角边与BC的延长线交于点E, 同理可证△PCE∽△BCP或△BPE∽△BCP;
第二问和第一问也要分两种情况, 如下页左上图 (3) 、 (4) .
例3:如下图, 正方形ABCD的边长为2, AE=EB, MN=1, 线段MN的两端在CB、CD上滑动, 当CM=＿＿＿＿＿＿＿时, △AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.
解析:本题要求△AED与△MNC相似时, 没有具体指明边和角的对应关系, 因此要分类讨论, 当AD与CM对应时, ;当AE与CM对应时, , 可以求出.
二、方程中的分类讨论
例4:关于x的方程kx2-4x-3=0有实数根, 求k的值.
解析:本题首先要考虑到的x2系数是字母k, 因此要对字母k讨论: (1) 当k=0时, 原方程为一元一次方程, 它有实数根, 所以k=0; (2) 当k≠0时, 原方程为一元二次方程, 要使它有实数根, 须Δ≥0, 得到k≥, 所以且k≠0;综合 (1) 、 (2) 得到k的取值为.
例5:已知方程2x2+3x-m=0, 用实数m的代数式表示.
解析:本题首先要对方程的Δ进行讨论,
(2) 当Δ<0时, 方程没有实数根, 不能够用m表示x12+x22.
三、圆中的分类讨论
例6:矩形ABCD中, AB=5, BC=12, 如果分别以A、C为圆心的两圆相切, 点D在圆C内, 点B在圆C外, 那么圆A的半径r的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
解析:本题首先要确定圆C的半径范围是5<Rc<12, 然后要明确圆A与圆C可以内切, 也可以外切, 而AC=13, 当圆A与圆C外切时圆A的半径范围是1<Ra<8;圆A与圆C内切时圆A的半径范围是18<Ra<25;因此圆A的半径范围是1<Ra<8或18<Ra<25.
例7:如下图, 在平面直角坐标系中, P是经过O (0, 0) 、A (0, 2) 、B (2, 0) 的圆上一个动点, (P与O、B不重合) , 则∠OAB=＿＿＿＿＿, ∠OPB=＿＿＿＿＿＿＿.
解析:本题源于课本, 但是又高于课本, 人教版几何第三册习题7.2里第六题是求一条弦所对的圆周角的度数, 如果对这个题理解深刻的话, 可以用同样的方法解决这个问题.∠OAB=45°, 当点P在优弧OAB上运动时, ∠OPB=45°;当P在弧OB上运动时, ∠OPB=135°, 所以∠OPB=45°或135°;
随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。
一、渗透分类思想，养成分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
例如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。
二、学习分类方法，增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。
分类的方法常有以下几种：
1、根据数学的概念进行分类
有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。
例：绝对值的代数定义：|a|=a（a>0）、|a|=-a（a<0）、|a|=0（a=0）
意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类
例，解关于x的不等式：ax+3>2x+a
分析通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。
当a-2>0，即a>2时，不等式的解是x>
当a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=-1。因为0>-1，所以不等式的解是一切实数。
当a-2<0，即a<2时，不等式的解是x<
1、甲乙两辆汽车分别从AB两地出发，相向而行，当甲车行至距B地处时，乙车超过中点30千米，这时甲车比乙车多行了4572
千米，AB两地相距多少千米？
2、一辆汽车从甲地开往乙地，当行到全程的处时，离乙地还有400
千米。已知这辆汽车行完全程需要8小时，求这辆汽车的平均速度？
3、甲乙两车分别从相距306千米的两地同时开出，相向而行，4.5
小时后相遇，甲乙两车的速度比为8：9，甲乙两车每小时各行多少千米？
4、甲乙两人同时从AB两地相向而行，已知甲单独行完全程要6
小时，乙2小时可行全程的，这样两个人经过几小时相遇？ 415、甲乙两车同时从A地去B地，甲车每小时行64千米，5小时后，甲车在乙车前面78千米，乙车每小时行多少千米？
6、AB两地相距280千米，甲乙两辆汽车同时从两地相向而行，经
过4小时相遇，甲车平均每小时行36千米，乙车每小时行多少千米？
7、两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，甲车每小时行
分析： 设AB距离为x，根据路程÷速度＝时间，时间和为3小时，列方程求解。解：设AB距离为x，由题意列方程得，x82x2823
解方程
x6x6x210x105315 38x3016x12答：两地距离为12千米。
2、一架飞机在两城之间飞行，风速为每小时24千米。顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。
分析：飞机的顺风速度＝无风时的速度＋风速；逆风速度＝无风时的速度－风速，此题应先求出飞机无风时的速度。
解： 设无风时飞机的航速为x千米/时，根据题意列方程得，(x+24)×2解方程
21656x683x725060=(X-24)×3 x140
x840(840-24)×3=2448千米
答：无风时飞机的航速是840千米/时，两城之间的航程2448千米。
3、轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回11小时才能到达甲地，已知水流速度是2千米每小时，求轮船在静水中的速度及甲乙两地的距离? 分析：轮船顺流航行与逆流航行的路程相等，均等于甲、乙两地间的距离，即：
顺流航行速度×顺流航行时间=逆流航行速度×逆流航行时间，而
顺流航速=船的静水速+水流速，逆流船速=船的静水速-水流速。
若设船的静水速为x千米/时，则顺流航速为(x+2)千米/时，逆流航速为(x-2)千米/ 时，列方程求出x即可。
解：设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
(x+2)×9=(x-2)×11
解这个方程，得x=20
∴甲、乙两地距离为：(x+2)×9=22×9=198 答：轮船在静水中的速度为20千米/时，甲、乙两地距离为198千米。说明：航行问题中有以下关系：
顺水航行速度=静水中航行速度+水流速度，逆水航行速度=静水中航行速度-水流速度。
4、在一条直的长河中有甲乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时，接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲乙两船在静水中的速度;每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，A,C两地间的距离为10千米，若乙船由A地经B地再到达C地共用4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地多远? 分析：甲、乙两船从A地到B地同行，在B地分开，要求甲船距B地有多远，就需要求出乙船从B地到C地的时间，但是由题意我们只能知道C地距A地10千米，所以C地有可能在A地上游，也可以在A地下游，所以本题要分为两种情况进行解题。另外： 船顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水流速度 船逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水流速度（1）当C地在A地下游时的示意图：
（2）当C地在A地的上游时的示意图：
解：设乙船由B地返回C地用x小时，则由A地到B地用(4－x)小时（1）当C地在A地下游时（A、B之间），列方程：(7.5＋2.5)(4－x)－(7.5－2.5)x＝10 解得：x＝2
∵乙船到达B地后甲船继续顺流航行
∴乙船到达C地时，甲船距B地为： 2×(7.5＋2.5)＝20（千米）
（2）当C地在A地上游时，列方程：
(7.5－2.5)x－(7.5＋2.5)(4－x)＝10
解得：x＝103
∴乙船到达C地时，甲船距B地为：
103(7.52.5)＝1003千米
1003答：乙船从B地到达C地时，甲船距B地20千米或千米。
5、一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？
解：设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得
(x＋5)V2＋x(V1-V2)＝5(V1＋V2)，xV2+5V2＋xV1-xV2＝5V1+5V2，xV1＝5V1，∵V1≠0，∴x＝5.答：乘客5分钟后发现掉了物品.注：这里的辅助未知数是V1和V2.6、小李和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度约4千米/时.到B地后沿原路返回,速度增加了50%,回到A码头比去时少花了20分钟.求A,B两地之间的路程.分析：
解:设A、B两地之间的路程为x千米,据题意得
x6＝x4－2060
解得：x＝4
7、某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A、B两码头之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为7.5千米时，水流速度为2.5千米/时。A、C两码头之间的航程为10千米，求A、B两码头之间的航程。
解：设A,B码头之间的航程为x千米 由题意可知：
刘跃：个子不高，志向却很高;年级不大，胸怀却很大。还记得你第一节语文上的自我介绍：与三国的刘备同姓，名字是“跨越”中的一个字。是呀，你不仅在跳绳比赛中是我班的“巾帼英雄”(一分钟209个的成绩让老师望尘莫及)，在期中考试中跻身年级前十也令大家对你刮目相看。找准方向，找对方法，老师祝你飞得更高。
靳雅晨：这一学期，你的进步最显著，不仅学习成绩一直在进步，你的.性格，你的待人接物的态度都有进步。你的日记既有内容又有诗情，你的演讲不仅流利而且有趣，很像一位评书演员。你在小组里听从组长指挥，为组长分忧解难，表现的善解人意，像这样的性格最容易交到朋友。希望你继续做你的阳光男孩，同时在集体里发挥出你的正能量。
郭代铭：你聪慧的大脑被懒惰打败了，你学习的时间被游戏侵占了，否则，你的成绩还会有更大提升。作为学校的纪律检查员，你很认真(老师希望下学期更敬业，同时对怎样管好我班纪律提出你自己的观点)。你还能知错就改，不逃避责任，那次不小心弄坏同学的自行车就是证明，后来的事证明你解决的很好。下学期你最该向李旺学学如何自己管理自己。
王蕊：你特别会利用时间，比如在别人谈笑的时候，你已经完成了某科作业，这是其他同学都要向你学习的。你还特别爱向数学老师问问题，这说明你爱思考。老师最想告诉你的事，初中阶段，学习很重要，学会与别人相处和合作也很重要，再有，青春就是美，所以就不需要再用衣服来点缀了。最近上课爱走神也要注意呀。
余乐：从没见你大笑或大喊过，你也是我班的淑女呀。对老师交代的任务，你总能一丝不苟的完成好。性格文静，做事认真。老师最想教你一招与其他同学交往的诀窍――坦诚、热情。在学习方法上，如果你能多问、多与其他人合作交流，会比现在更好。
首先, 我们要有分类讨论的意识.很多知识点是分类讨论的常客, 对于这些知识点, 同学们在考试时要保持高度的敏感, 时刻紧绷分类讨论的弦, 以免掉进出题老师的陷阱.
其次, 分类讨论是要有一定原则, 不要东一榔头西一棒子的试, 要具备一定的条理.
分类的原则: (1) 分类中的每一部分是相互独立的; (2) 一次分类按一个标准; (3) 分类讨论应逐级有序进行.
以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说, 如果给定两个点A、B, 需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形, 这个时候同学们可以线段来分类讨论:AB为斜边时, AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标.这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性, 并且效率较高.当然也可以按照角来讨论, 但是注意不要两种分类方法穿插进行.有些时候有可能会进行二次讨论, 这个时候对于同学们的条理性要求就更大了, 例如探讨含有30°角的直角三角形时, 要先讨论那个角是直角, 在讨论哪个角是30°或60°.
第三, 在列出所有需要讨论的可能性之后, 要仔细审查是否每种可能性都会存在, 是否有需要舍去的, 最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根, 那么我们就要看看是不是这两个根都能保留.同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复, 需要进行合并.例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标, 如果按照一定的原则分类讨论后, 有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况, 这种情况下就要进行合并.也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的.
【例1】 解方程|4x-4|-|2x+2|=14
解: (1) 当x≥1时, 原方程化为 (4x-4) - (2x+2) =14, x=10
当-1≤x≤1时, 原方程化为4-4x-2x-2=14, x=-2, 应舍去.
当x≤-1时, 原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4
∴x=10或-4
【例2】 解不等式 (k-1) x>k (2-1)
如果不加区分, 得x>k+1, 那就不对了, 因为既可以k-1>0, 或k-1=0, 也可以k-1<0.不同的情况下有不同的答案.正确的解答应该如下:
解:当k-1>0 即k>1时, 则x> k+1
当k-1=0 即k=1时, 原不等式为0·x>0, 不等式无解
当k-1<0 即k<1时, 则 x< k+1
综上所述:当k>1时, x>k +1;当k=1时, 不等式无解;
当k<1时 x<k+1
以下几点是需要大家注意分类讨论的:
第一, 熟知直角三角形的直角, 等腰三角形的腰与角以及圆的对称性, 根据图形的特殊性质, 找准讨论对象, 逐一解决.在探讨等腰或直角三角形存在时, 一定要按照一定的原则, 不要遗漏, 最后要综合.
第二, 讨论点的位置, 一定要看清点所在的范围, 是在直线上, 还是在射线或者线段上.
第三, 图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题, 对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
第四, 代数式变形中如果有绝对值、平方时, 里面的数开出来要注意正负号的取舍.
第五, 考查点的取值情况或范围.这部分多是考查自变量的取值范围的分类, 解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
第六, 函数题目中如果说函数图像与坐标轴有交点, 那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点.
第七, 由动点问题引出的函数关系, 当运动方式改变后 (比如从一条线段移动到另一条线段) 时, 所写的函数应该进行分段讨论.
【关键词】分类思想；小学数学；应用
数学学习离不开思维，数学探索更需要通过思维来实现。在数学学习的过程中需要数学思想的慢慢渗透，学生才能一点一点掌握数学的思想方法。数学分类思想，就是把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，得出结论。
小学数学学习的目的，在于传授知识与培养能力。若是教师在教学中向学生传授数学的应用分类能力，能让学生更好地归纳、类比学习，在解答某些问题时，分为几类去进行探究思考，之后归纳总结为一种解题方法，让学生的思维得到锻炼，能力得到提高。
一、分类思想在小学数学中的应用
1.应用分类思想理解概念
通常在教学中我们很难定义出有理数、整式这种抽象名词的概念，尤其是小学阶段的学生，对数学的思想架构还不是很了解。利用分类思想可以让学生懂得一个有理数可以分为正有理数、负有理数，整式还可以分为单项式和多项式。通过研究整体，就可以分析出单项之间的关系。
在小学数学的教学中，需要引进“概念数学”的学习方法，将小学生脑海中抽象的思维方式变得立体。学生很容易混淆“奇数、偶数、合数”等概念，而这几种数是按照不同的标准进行分类的，教师需要利用较为简便的出发点，对这几类数字的标准进行阐释，明白各自的数学定义处于什么种类。
2.应用分类思想挖掘内涵
根据分类思想，可进一步探究数学教学中的内涵意义，在掌握概念后，更熟练应用。学习数学的目的是为了学以致用，老师应该结合生活事实，对数学概念进行分类阐释，让学生在掌握概念后，更能熟悉在生活中的应用。例如：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做“角”。教师在讲解“角”的时候，同时引入射线，再根据不同概念的“角”，教会学生在生活中可以利用锐角、直角观察常见现象，为今后学习三角形做铺垫。
二、分类思想在小学数学中的整体感知
教材在编排上并不是按分类思想的形式进行编排，而老师可以进行分类思想调整，这便于学生更好的吸收概念，而且在接下来的学习汇总，可以通过分类思维区别相似概念中的区别与联系。老师也可以利用树状图的方式对学习内容进行分类，保持概念之间的联系，也便于学生的复习。
概念、性质、公式等都是组成数学基础知识的元素，学习时进行合理分类，学生更易掌握。当学习周长、面积、体积等计算公式时，因公式过多学生很难掌握。为不让学生对公式混淆，可以通过分类处理，学生也便于理解记忆。
三、应用分类思想方法进行小学数学学习的优点
教师在组织学生完成课内课外的任务时，要布置适量的练习题，以巩固知识和训练思维。而掌握方法远比增加练习题量更有利于素质教育的发展，因此教师需要帮助学生熟练地掌握数学的外部结构和内在联系，整理总结解题思路，归纳管理学习方法。通过分类，让学生明确各个练习题之间的联系，再通过对比让学生更清楚解题的方法。学生在学习四则运算时，应进行简单的分类归纳整理，教师运用自己的逻辑思维能力将数学的架构串联起来会让学生更牢固的掌握计算方法，同时熟悉计算法则的应用知识，并达到事半功倍的作用。
分类思想方法在代数中的应用十分广泛，教师可以组织学生进行分类讨论，而学生可以结合自身对概念的理解，然后进行学习和讨论，仔细分析遇到的问题并进行分类，在对所涉及的问题上，将所有的基本概念、性质等进行分解，最后逐一突破。分类思想在几何中也可以应用，在对于三角形分类、四边形分类都可以通过相关定理得到证明。教师在教学中，应该采取分类对比的方式，对习题的分析也可以进行合并和梳理，以便学生可以熟练掌握各个题目类型的解题方法。数学成绩的好坏，归功在学习方法的制定，好的学习方法可以帮助学生积累学习经验，增强克服困难的意志力。
四、结语
分类思想是一种在数学教学中广泛应用的思想方法，可以将科学的方法渗透入学生的逻辑思维能力中，小学阶段，将分类思想融入数学知识学习中，能够全面提高学生的思维方式，培养学生的能力，为全面提高学生素质，培养跨世纪人才做出贡献。
参考文献：
[1]陈文水.分类思想在初中数学教学中的渗透与培养[J].中国科教创新导刊，2008（12）
[2]唐晓艳.分类思想在初中教学中的运用[J].中学生数理化（教与学），2009（08）
在日常学习、工作抑或是生活中，大家都有写作文的经历，对作文很是熟悉吧，作文是通过文字来表达一个主题意义的记叙方法。相信很多朋友都对写作文感到非常苦恼吧，下面是小编为大家收集的我身边的垃圾分类故事初一范文作文，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
有一天，它们聚集在一起，展开了“出生”大讨论。塑料瓶率先发话了，它摇摇摆摆地走到众垃圾中间，说到：“嘿，我美丽的肚子里原来装满了可口的果汁，孩子们都抢着要我。”说到这，塑料瓶子得意地笑了笑，可随后又伤心了起来。“你们知道么，美丽，那都是曾经的，当孩子们喝完了后，我就被抛弃在大马路上了。这对我来说是多残忍!他们把我踢来踢去，脚从我身上踩过，车轮从我上面碾过……”说着说着，塑料瓶放声大哭了起来。
易拉罐上前搂住它，安慰道：“唉，朋友，你的心情我很理解，当我被人扔到草丛曝晒数日，又被踢到湖里时，我的心情也和你一样。其实我们并不是毫无价值!如果人类把我们二次利用的话，我们的用处可大啦!垃圾，只有混在一起的时候才是垃圾，一旦分类回收就是宝贝!我听说呀，废塑料处理后可制成纽扣、笔筒等用品，还是炼油的好原料，有人曾经形象地将它们比作“二次油田”。废纸回收能再制成纸，即可节省填埋空间，又可以减少水污染;而我回收后也可以重新制成其他用品。我们的.价值还不小呢。”
易拉罐短短的几句话，立刻引起了朋友们的共鸣。“是呀，我们这些厨房垃圾虽然臭烘烘的，但我们是高质量的有机肥料。通过生物垃圾处理机，可将生物垃圾烘干、粉碎，制成高效的有机肥，产生经济效益。人类可以用它种花、养草，用它施肥种出的蔬菜，比起化肥食品来，既安全又健康呢!”“我们虽然从汽车、摩托车那‘退役’了，但废旧轮胎也能被还原成价格不菲的燃油!”……众垃圾七嘴八舌地兴奋起来。
“既然我们这么有价值，那一定要告诉人类!”经过商议，垃圾们一致同意派瓶子当“使者。
主讲人：徐丽
设计意图：
在秋天这个美丽的季节里，处处都蕴涵着教育契机，秋风起来了，五颜六色的秋叶飞舞起来了。颜色、形状各异的树叶不仅可以让幼儿感受到秋天的美，还是幼儿进行数学活动的好素材。《纲要》中指出：“科学教育应密切联系幼儿的实际生活进行，利用身边的事物与现象作为科学探索的对象。”及“为幼儿的探究活动创造宽松的环境，让每个幼儿都有机会参与尝试；提供丰富的可操作的材料。”《树叶分类》就是结合季节特征，与主题活动中的内容相结合，充分调动幼儿的已有经验，根据树叶的大小颜色的差异，让幼儿通过操作游戏进入树叶的世界，去探究、去发现、去思索，去学习分类。
一、活动目标
1.学习按一定特征给物体多次分类并统计、记录。
2.能用恰当的语言表达分类的方法和结果。
二、活动准备
1.幼儿游戏树叶卡片人手一个。
2.不同大小、颜色、形状的树叶模切卡片6套，分类记录卡。3.课件PPT、音乐《找朋友》。
二、活动过程 1.组织教学 歌曲《小树叶》 2.分组过程实物各种各样的树叶，请幼儿共同观察讨论树叶有什么相同和不同。
3.情景教学《树叶找妈妈》
（1）给每位幼儿发放一片树叶卡片带着胸前。（2）幼儿讨论分类标准（颜色、大小和形状）（3）进行闯关游戏送树叶宝宝回家。4.幼儿分组操作，分类并做记录
（1）幼儿操作模切卡片，将树叶抠下，仔细观察，讨论这些树叶的大小、颜色、形状有什么不同，如果把这些树叶分成两组，有几种不同的分法。
（2）清幼儿给树叶分类，并记录分类结果。（3）汇报交流，分享成果。
请2-3名幼儿给大家讲讲是怎么分类的，分的结果如何。鼓励幼儿大胆连贯讲述。
5.游戏：“我的朋友在哪里”。
(1)玩法：《找朋友》音乐开始，幼儿随音乐节奏拍手，找朋友的幼儿边拍手边找和自己有相同特征的幼儿手拉手成为好朋友，音乐结束时请幼儿说一说找到的好朋友是谁?有什么相同的地方?(2)教师提醒幼儿按衣着、性别、头发等特征来找好朋友。
四、活动延伸
关注生活中的分类现象，如家庭中橱柜的物品、超市中各种物品的摆放等。活动小结：
在教学过程中，幼儿的参与性特别高，能够积极的回答问题。给树叶分类是活动的主要部分，我遵循了层层深入，循序渐进的原则：“树叶宝宝都一样吗?有什么地方不一样？”先是引导幼儿从最简单的按颜色特征开始分类，为后面活动打好基础。帮助幼儿理解分类的含义。通过情景游戏，幼儿观察颜色大小不同的树叶，让幼儿自由探索按树叶的一种特征分类，循序渐进，每个孩子都有游戏的机会。同时运用分类图表让幼儿更形象直观地感知分类的方法。这样层层递进，让幼儿能更好地掌握按物体特征分类的方法。在活动中我通过游戏化的情境，操作活动、游戏活动积极主动的引导幼儿动脑、动手。
【摘要】分类讨论能够更好地区分同类知识点，避免混淆相似的知识点，有利于学生把握数学知识，培养学生的学习能力，并做好知识的迁移。结合目前高考的题型，若能够做好分类讨论，在高考中就可以获得一定的机会。教师在数学教学中应重视对分类讨论思想的运用，帮助学生有效掌握学习数学的有效方式，促进学生数学能力的提高。对此，本文结合具体的数学题目，就分类讨论在高中数学中的应用问题进行简要的剖析。本文作者结合多年来的工作经验，对分类讨论思想在高中数学解题中的应用进行了研究，具有重要的参考意义。
【关键词】高中数学 分类讨论思想
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）20-0143-01
一、全面讨论，层次分类
分类讨论运用于数学教学中，最为重要的一点就是要能够根据题目提供的数据和条件来确定要讨论的参数，并据此进行合理的分类，做到不重复且没有遗漏，讨论时层次应清晰明确，做到不越级讨论。教师在灌输分类讨论思想的时候，应将这些要素一一交代清楚，这样解题时才能够全面而且充分，没有遗漏。很多学生解题时出现差错原因就在于没有按层次分类并全面地讨论。
例题1 存在函数y=x2—2x，x∈[-2，a]，求函数的最小值。
解析：在二次函数的解题中经常会使用到分类讨论，如例题1所示的题目，也是较为常见的二次函数求最值题。在解答这一问题时，学生根据所学知识，首先会想到该函数的对称轴为直线x=1，但是x=1是不是在区间[-2，a]之内，就需要进行分类讨论。在讨论过程中，据题目提供的条件，需要明确讨论的对象参数并进行合理的分类讨论，从分类讨论的过程可以发现，分类讨论需要做到全面且有层次，不能重复也不能有所遗漏，任何一项失误都会导致最后的结果错误。在分类中，还需要统一标准，有层次、分阶段地讨论，不能盲目随意地分类讨论，否则也容易出差错。也就是说，在进行分类的时候，应根据题目条件和问题的性质，尽可能少地、精准地分类，在不重复不缺漏的情况下，有了层次分明的分类后，自然能够正确地解答问题。
二、掌握定理，正确分类
在高中数学中有很多公式定理其实都与分类讨论相关，这是因为在公式以及定理中本身就存在严格的限制条件，故而根据定理或公式进行解题的时候就需要依据这些定理的限制条件进行相关的分类讨论，以避开讨论结果不严谨的情况。不少学生不能争取让运用分类讨论的思想解题，很大一部分原因也在于对定理、公式的掌握不透彻，解题时没能充分考虑到所使用的定理和公式的限制条件。根据定理、公式运用的分类讨论，在等比数列的求和公式、绝对值的定义以及二次函数的定义等方面十分常见，教师教学时要注意引导学生透彻掌握定理、公式。
例题2 存在二次函数y=（a-1）xb+1+x2+1，试求a和b的取值范围。
解析：解这道题时主要是根据二次函数的性质定理来进行相应的分类讨论，因为y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函数，那么x的指数明显不能超过2，据此（b+1）的值就可以分成三种情况：（b+1）=1或（b+1）=0或（b+1）=2，根据这三种情况讨论b的取值范围，对a的取值范围的讨论也根据二次函数的定义及性质理论进行同样的分类讨论。又如，在求等比数列前n项和的题目中，主要依据的也是等比数列的求和公式，就需要分q=1和q≠1两种情况进行讨论了。这些都是根据定理或公式展开的分类讨论，可见在数学教学或解题中使用分类讨论的思想，主要定理与公式是必须掌握的。这一类型的分类就是数学概念上的知识运用，利用概念进行解题的时候，分类是十分重要的。此外，有一些数学定理和公式在定义的时候所要求的范围已经有了限制，对于这种前提也需要使用分类讨论的思想，这点教师在教学中需要注意。
三、准确理解，确定分类
结合近年来的高考题目不难发现，分类讨论思想愈发成为重点考查的知识点，尤其是往后的大题中，使用分类讨论解题更加普遍。其中，那些需要根据不同的参数来确定分类标准的题目，其确定的过程更直接决定着整道题目能否正确解开，这就要求教师在教学中应引导学生把握好分类讨论，正确认识分类标准并能做出合理的分类，以应对考试中的各种变化。
例题3实数k为何值时，方程kx2 +2|x|+k=0有实数解？
对于数学题目何时需要分类讨论，则要根据题中所给条件而定，并没有硬性的规定，更没有直接可以套用的公式和规律。我们只有在教学时不断积累经验，不断改进方法，才能使学生正确合理地应用分类讨论。在解题时，应注意挖掘题目中的极个别情形进行分类讨论。例如：“方程ax2 +bx+c=0有实数解”转化为Δ= b2 -4ac时忽略了个别情形：当a=0时，方程虽然有解但不能转化为Δ ≥ 0；又如：设直线方程时，不能直接设直线的斜率为k，当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑，这样直线方程要分有斜率和没有斜率两类情形讨论；再如：等比数列{an}的前n项和公式也是分为q=1和q≠1两类情形给出的，等等类似问题都需要分类考虑。
四、合作学习，深化讨论
分类讨论在高中数学中的运用是多方面的，其学习的组织形式上也可以是多种多样的，小组合作的形式是经过证明后比较有效地一种学习方式。同样的，将小组合作学习的形式与分类讨论的教学相结合，指导学生通过分类讨论相关知识，可以促使学生互相交换不同的学习意见，既能够及时解决学生在学习当中的困惑，也可以在讨论中获得一个比较明确的答案。
在分类讨论的教学中，小组合作的活动形式可以是多样的，如教师可以让学生将新旧知识结合起来进行分类讨论，像方程、不等式等就可以进行分类讨论；也可以将同类的高考题目或者月考题型集中起来进行分类讨论；还可以就数学概念之间的相似与不同进行分类讨论与归类，加深对数学概念的印象等。可以说，分类讨并不只是运用在具体的某一类题型的解答中，而是可以渗透在数学的方方面面，它可以是抽象的，也可以是具象的。同时，小组的合作学习能够打破个体学习的局限性，增强学生学习的趣味性，提高学生的学习自信心，引导学生将来主动地分类、思考。
综上所述，分类讨论思想在高中数学中的运用相当广泛，它不仅可以帮助学生理清思路、快速解题，提高解题的正确率，同时还能够有效锻炼学生的解题思维，对学生数学学习中的严密性和灵活性之训练也有帮助。从高考来看，很多问题也是离不开分类讨论思想的。因此，在教学中，教师要结合自己的教学经验，总结出更多更有效的方法，帮助学生充分使用分类讨论思想来解题。
参考文献：
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[2]王先国.浅谈数学解证题中逻辑思维能力的培养[J].现代阅读（教育版），2013（3）.
[3]李洪刚.谈新形势下怎样引导学生学习高中数学[J].现代教育，2011（5）.
一、函数方程中分类讨论问题
分类讨论思想是将一个问题细分成几个小问题, 然后对每个小问题进行讨论, 实现将问题化整为零, 从而简化解题过程。由于数学知识涉及范围广, 比如说曲线、不定式方程等都是多变的, 不同的情况有不同的答案, 同样数值的负数与正数带入方程所得到的结果会完全不一样, 探究问题可能出现的答案要将每个情况都考虑进去, 要能对数学问题深入分析, 深入讨论。而在此基础上要将相关理论理解透彻, 才能游刃有余地解题。
在解决函数方程中分类讨论问题时要充分结合函数图形, 从四个象限分别探讨, 不要漏掉原点等特殊情况, 注意按照题目要求, 推理得出x值能否为负数或者为小数, 进而根据x值限定范围得出y值的范围。分类讨论要结合具体的题目内容, 不能盲目地进行, 否则很难得出正确答案。
二、解析几何中分类讨论问题
所有需要进行分类讨论的问题首先要有一个确定的对象, 即要讨论的是那个因变量, 特别是在含参数的不等式中, 一般讨论的是参数的大小, 参数为正数或负数, 其解答方程的过程都是完全不同的。另外, 在进行解析几何等这类图形与方程结合的数学问题时, 往往以建立目标函数为突破口, 结合函数与点的关系, 设点为未知数, 代入进方程中, 进而解出表达式方程值。
以苏教版高中数学教学为例, 在解析几何中分类讨论的问题, 例如在x Oy平面上给定曲线y2=2x, 设点A (a, 0) , a为整数, 那么求出曲线上的点至点A点距离最小的函数表达式。在解决这类解析几何问题时, 首先要懂得曲线图形的基本含义, 以及各种曲线图形的表达式, 学生可以随机定点大致画出图形, 以便进行解题。在针对有平方的函数中, 要注意进行正负数讨论, 设在曲线图形上任意一点为M (x, y) , 那么点A至曲线上点的距离表达式为|MA|2= (x–a) 2+y2, 将y2等换成2x则有|MA|2= (x–a) 2+2x, 这个方程可简化成|MA|2=[x– (a–1) ]2+ (2a–1) , 由题意函数方程可知, x取值范围在正数范围中, 且大于等于零, 那么进行分类讨论时, 就可以a–1是否大于等于零做讨论。若a–1大于零, 则大括号内的方程表达式为x-a+1, x=0时, MA距离为a2, 对不同方面进行讨论, 从而得到完整的函数表达式, 另外在解题时注意找到分类的标准。找出题中隐藏的限定范围值。
三、排列组合中分类讨论问题
在排列组合中分类讨论问题上, 要了解组合的含义, 另外这类题目比较复杂, 对学生的思维能力考验较强, 需要很强的逻辑思维能力, 将组合的各种可能因素都要考虑到。且这类题目解答比较烦琐, 很容易引起学生厌烦, 但只要把握解决题目的规律就能确保结果正确。
以苏教版高中数学为例, 排列组合中分类探讨问题上, 例如四个男孩和三个女孩站成一排, 在男孩小明前面必须站有一个女孩, 且前面的女孩数量一定小于后面的男孩数量, 那么有几种排法?解排列问题时, 要注意何为一种排法, 像此类排列问题, 每个男孩女孩站位不同都是不同的排法。因此, 对每一个人排列都要进行分类探讨。在讨论时可以按照前面的女生个数进行讨论, 由题可知女生只有三个人, 且最多情况是小明前有两个女生。那么第一, 小明前面只有一个女生, 那么就有A3A5种方案;第二, 小明前面有两个女生, 那么就有A3A4, 第三, 小明前面有一个女生和一个男生, 那么就有C3C4A3A4, 将以上三类情况加起来, 得到最终结果。在做排列组合题时, 要充分结合题意, 将每种情况都考虑进行, 防止漏掉等情况。
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