对数函数教案

作为一位杰出的教职工，时常需要用到教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。那么什么样的教案才是好的呢？以下是小编为大家收集的《对数函数教案》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

第一篇：对数函数教案

人教A版高中数学必修1教案-2.2对数函数教案

课题：§2.2.1对数 教学目的：(1)理解对数的概念; (2)能够说明对数与指数的关系; (3)掌握对数式与指数式的相互转化.

教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解. 教学过程： 引入课题

(对数的起源)价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性; 设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神. 尝试解决本小节开始提出的问题. 新课教学

1.对数的概念

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数(Logarithm)，记作：

— 底数，— 真数，— 对数式

说明： 注意底数的限制，且;

;

注意对数的书写格式.

思考： 为什么对数的定义中要求底数，且;

是否是所有的实数都有对数呢?

设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备. 两个重要对数：

常用对数(common logarithm)：以10为底的对数;

自然对数(natural logarithm)：以无理数为底的对数的对数. 对数式与指数式的互化

对数式

指数式 对数底数 ←

→ 幂底数 对数

←

→

指数 真数

←

→

幂 例1.(教材P73例1) 巩固练习：(教材P74练习

1、2)

设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念. 说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题. 对数的性质 (学生活动)

阅读教材P73例2，指出其中求的依据;

独立思考完成教材P74练习

3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质

(1)负数和零没有对数; (2)1的对数是零：; (3)底数的对数是1：; (4)对数恒等式：; (5).

归纳小结，强化思想

引入对数的必要性;

指数与对数的关系;

对数的基本性质. 作业布置

教材P86习题2.2(A组) 第

1、2题，(B组) 第1题. 课题：§2.2.1对数的运算性质 教学目的：(1)理解对数的运算性质;

(2)知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数; (3)通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.

教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用. 教学过程： 引入课题 对数的定义：; 对数恒等式：; 新课教学

1.对数的运算性质

提出问题：

根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：

设，，求;

设，，试利用、表示·.

(学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质1，并引导学生仿此推导其余运算性质)

运算性质：

如果，且，，，那么：

·+;

-;

.

(引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质) 学生活动：

阅读教材P75例

3、4，;

设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质.

完成教材P79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识. 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值

设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法.

思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解的值?从而引入换底公式. 换底公式

(，且;，且;). 学生活动

根据对数的定义推导对数的换底公式.

设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系.

思考完成教材P76问题(即本小节开始提出的问题);

利用换底公式推导下面的结论

(1);

(2).

设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用.

说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数. 课堂练习

教材P79练习4 已知

试求：的值。(对换5与2，再试一试)

设,，试用、表示 归纳小结，强化思想

本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法. 作业布置

基础题：教材P86习题2.2(A组) 第3 ~

5、11题; 提高题：

设,，试用、表示;

设,，试用、表示;

设、、为正数，且，求证：. 课外思考题： 设正整数、、(≤≤)和实数、、、满足： ，， 求、、的值.

课题：§2.1.2对数函数

(一) 教学任务：(1)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型;

(2)能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点; (3)通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法. 教学重点：掌握对数函数的图象和性质.

教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用.

教学过程： 引入课题 1.(知识方法准备)

学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法?

设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质.

对数的定义及其对底数的限制. 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备. 2.(引例) 教材P81引例

处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表： 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001

生物死亡年数t

然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” .(进而引入对数函数的概念) 新课教学

(一)对数函数的概念

1.定义：函数，且叫做对数函数(logarithmic function) 其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).

注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

对数函数对底数的限制：，且. 巩固练习：(教材P68例

2、3)

(二)对数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗? 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质.

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究：

在同一坐标系中画出下列对数函数的图象;(可用描点法，也可借助科学计算器或计算机) (1)

(2)

(3)

(4)

类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：

图象特征 函数性质

函数图象都在y轴右侧

函数的定义域为(0，+∞)

图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R

函数图象都过定点(1，1)

自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0

思考底数是如何影响函数的.(学生独立思考，师生共同总结)

规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

(三)典型例题 例1.(教材P83例7). 解：(略)

说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解.

巩固练习：(教材P85练习2). 例2.(教材P83例8) 解：(略)

说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法. 注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式. 巩固练习：(教材P85练习3). 例2.(教材P83例9) 解：(略)

说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题. 注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象. 巩固练习：(教材P86习题2.2 A组第6题). 归纳小结，强化思想

本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点. 作业布置

必做题：教材P86习题2.2(A组) 第

7、

8、

9、12题. 选做题：教材P86习题2.2(B组) 第5题. 课题：§2.2.2对数函数

(二)

教学任务：(1)进一步理解对数函数的图象和性质;

(2)熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题;

(3)通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点：对数函数的图象和性质.

教学难点：对对数函数的性质的综合运用.

教学过程： 回顾与总结

函数的图象如图所示，回答下列问题.

(1)说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么?

(2)函数与

且有什么关系?图象之间 又有什么特殊的关系?

(3)以的图象为基础，在同一坐标系中画出的图象.

(4)已知函数的图象，则底数之间的关系：

. 教 完成下表(对数函数且的图象和性质)

图 象

定义域

值域

性 质

根据对数函数的图象和性质填空.

已知函数，则当时，

;当时，

;当时，

已知函数，则当时，

;当时，

;当时， 当时，

. 应用举例

比较大小： ，且;

，. 解：(略)

例2.已知恒为正数，求的取值范围. 解：(略)

[总结点评]：(由学生独立思考，师生共同归纳概括).

例3.求函数的定义域及值域.

解：(略)

注意：函数值域的求法.

例4.(1)函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值;当时，

.当时，

;

.

;

;

(2)求函数的最小值.

解：(略)

注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法.

例5.(2003年上海高考题)已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

解：(略)

注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤.

例6.求函数的单调区间. 解：(略)

注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”. 练习：求函数的单调区间. 作业布置 考试卷一套

课题：§2.2.2对数函数

(三) 教学目标：

知识与技能

理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解.

过程与方法

通过作图，体会两种函数的单调性的异同.

情感、态度、价值观

对体会指数函数与对数函数内在的对称统一.

教学重点：

重点

难两种函数的内在联系，反函数的概念. 难点

反函数的概念.

教学程序与环节设计：

教学过程与操作设计： 环节

呈现教学材料 师生互动设计

创

设

情

境

材料一：

当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系.回答下列问题：

(1)求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数?

(2)已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数? (3)这两个函数有什么特殊的关系?

(4)用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系? (5)由此你能获得怎样的启示?

生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果.

师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论： (1)P和t之间的对应关系是一一对应; (2)P关于t是指数函数;

t关于P是对数函数，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系;

(3)本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系(碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系)的不同数学模型.

材料二：

由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：

表一

.

环节

呈现教学材料 师生互动设计

„ -3 -2 -1 0 1 2 3 „

„

1 2 4 8 „

表二

.

„ -3 -2 -1 0 1 2 3 „

„

1 2 4 8 „

在同一坐标系中，用描点法画出图象. 生：仿照材料一分析：与的关系.

师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念.

组织探究

材料一：反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数. 由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数.

材料二：以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系? 师：说明：

(1)互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数; (2)由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”;

(3)互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型.

师：引导学生探索研究材料二.

生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳.

尝试练习

求下列函数的反函数： (1);

(2) 生：独立完成.

巩固反思

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结.

作业反馈

求下列函数的反函数：

1 2 3 4

3 5 7 9

环节

呈现教学材料 师生互动设计

1 2 3 4

3 5 7 9 2.(1)试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) .”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?

(2)试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) .”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?

答案： 1.互换、的数值. 2.略.

课外活动

我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢?运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧!

问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗?

问题2 取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么? 问题3 如果P0(x0，y0)在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么?

问题4 由上述探究过程可以得到什么结论? 问题5 上述结论对于指数函数

，且及其反函数，且也成立吗?为什么? 结论：

互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.

第二篇：指数函数、对数函数、幂函数教案

一、指数函数

1.形如yax(a0,a0)的函数叫做指数函数，其中自变量是x，函数定义域是R，值域是(0,).

2.指数函数yax(a0,a0)恒经过点(0,1). 3.当a1时，函数yax单调性为在R上时增函数; 当0a1时，函数yax单调性是在R上是减函数.

二、对数函数 1. 对数定义：

一般地，如果a(a0且a1)的b次幂等于N, 即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作 logaNb，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

b 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，aN与blogaN所表示的是a,b,N三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质：

(1)零和负数没有对数;(2)loga10;(3)logaa1

这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 log10N简记为lgN ②自然对数：以e作底(为无理数)，e= 2.718 28…… ， loge4.对数恒等式(1)logaabb;(2)alogaNN简记为lnN.

N

b 要明确a,b,N在对数式与指数式中各自的含义，在指数式aN中，a是底数，b是指数，N是幂;在对数式blogaN中，a是对数的底数，N是真数，b是以a为底N的对数，虽然a,b,N在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求b对数logaN就是求aN中的指数，也就是确定a的多少次幂等于N。

1

三、幂函数

1.幂函数的概念：一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数;

注意：幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质：

(1)幂函数的图象都过点(1,1);

(2)当0时，幂函数在[0,)上单调递增;当0时，幂函数在(0,)上 单调递减;

(3)当2,2时，幂函数是 偶函数 ;当1,1,3,时，幂函数是 奇函数 .

四、精典范例 例

1、已知f(x)=x·(

31311); x221(1)判断函数的奇偶性; (2)证明：f(x)>0. 【解】：(1)因为2-1≠0，即2≠1，所以x≠0，即函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0} . x

x11x32x1)=·x又f(x)=x(x，

2212123(x)32x1x32x1··f(-x)==f(x)， 22x122x1所以函数f(x)是偶函数。

x32x10. (2)当x>0时，则x>0，2>1，2-1>0，所以f(x)=·x2213

x

x又f(x)=f(-x),当x<0时，f(x) =f(-x)>0. 综上述f(x)>0.

2 a·2xa2(xR),若f(x)满足f(-x)=-f(x). 例

2、已知f(x)=x21(1)求实数a的值;(2)判断函数的单调性。

【解】：(1)函数f(x)的定义域为R，又f(x)满足f(-x)= -f(x)， 所以f(-0)= -f(0)，即f(0)=0.所以

2a20，解得a=1， 22(2x12x2)2x112x21(2)设x1

3、已知f(x)=log2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(，)在函数y=g(x)的图象上运动。 (1)写出y=g(x)的解析式;

(2)求出使g(x)>f(x)的x的取值范围;

(3)在(2)的范围内，求y=g(x) -f(x)的最大值。 【解】：(1)令

xy32xys,t，则x=2s,y=2t. 32因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动，所以2t=log2(3s+1)，

11log2(3s+1)，所以g(x)= log2(3s+1) 221(2)因为g(x)>f(x)所以log2(3x+1)>log2(x+1)

2即t=3x1(x1)23即0x1 (3)最大值是log23-

2x10x2. 例

4、已知函数f(x)满足f(x-3)=lg2x62(1)求f(x)的表达式及其定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性;

(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值. 解：(1)设x-3=t，则x=t+3, 所以f(t)=lg2

2

t3t3lg

t36t3x3x30，得x<-3，或x>3. 解不等式x3x3x3所以f(x)-lg，定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞). x3所以f(x)=lg

3 x3x3x3lglg=-f(x). x3x3x3x3(3)因为f[g(x)]=lg(x+1)，f(x)=lg，

x3(2)f(-x)=lg所以lgg(x)3g(x)3lg(x1)，

所以g(x)3g(x)3x1,

(g(x)3g(x)30,x10). 解得g(x)=3(x2)x, 所以g(3)=5

第三篇：对数函数教学设计

河北省沙河第二中学 周延杰 15830490116

一、教材分析

本节课是新课标高中数学必修①中第三章对数函数内容的第二课时，也就是对数函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难.而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用.通过本节课的学习，可以让学生理解对数函的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.

二、学情分析

大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数函与指数函数的学习，学生已多次体会了对立统

一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.因此，学生已具备了探索发现研究对数函数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法. 教具及软件运行环境说明 教具采用多媒体，黑板等形式展开

信息技术设备设置：通过借助计算机多媒体呈现指数函数与对数函数图像 应用环境及软件的说明：软件为在windows下运行的matlab7.0

三、设计思路

学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动.本节课我利用多媒体辅助教学,利用几何作图软件运行各种指数函数及对数函数，通过比较/类比等方法使学生对对数函数的认识更加深刻。教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的

.在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权.

四、教学目标

1、知识与技能，理解对数函数的概念,了解对数函数与指数函数的关系;理解对数函数的性质，掌握以上知识并形成技能.

2、过程与方法，通过学生分组探究进行活动，掌握对数函数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一.

3、情感态度与价值观，通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想。培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的科学意识.

五、重点与难点

重点 ：(1)对数函数的概念;(2)对数函数的性质. 难点 ：(1)对数函数与指数函数之间的关系.

六、过程设计及师生互动

(一) 复习导入

(1)复习提问：什么是指数函数?指数函数的图象和性质如何?

学生回答，并用课件展示 指数函数的图象和性质。

设计意图：设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，为学生理 解新知识清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力。

(2)导言：指数函数有没有反函数?如果有，如何求指数函数的反函数?它的 反函数是什么?

设计意图：这样的导言可激发学生求知欲，使学生渴望知道问题的答案。

(二) 讲授新课 (1)对数函数的概念

引导学生从对数式与指数式的关系及反函数的概念进行分析并推导出，指数函数有反函数，并且y=ax(a>0且a≠1)的反函数是 y=logax，见课件。把函

数

y=logax叫做对数函数，其中a>0且a≠1。从而引出对数函数的概念，展示课件。

设计意图：对数函数的概念比较抽象，利用已经学过的知识逐步分析，这样引出对数函数的概念过渡自然，学生易于接受。因为对数函数是指数函数的反函数 让学生比较它们的定义域、值域、对应法则及图象的关系，培养学生参与意识，通过比较充分体现指数函数及对数函数的内在联系。 (2)对数函数的图象

提问：同指数函数一样，在学习了函数的定义之后，我们要画函数的图象，应如 何画对数函数的图象呢

让学生思考并回答，用描点法画图。教师肯定，我们每学习一种新的函数都可以 根据函数的解析式，描点画图。再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢?

让学生回答，画出指数函数关于直线y=x对称的图象，就是对数函数的图象。 教师总结：我们画对数函数的图象，既可用描点法，也可用图象变换法，下边我 们利用两种方法画对数函数的图象。

h(x)log2x,f(x)log3x,方法一(描点法)首先列出x,y(q(x)logx,g(x)logx)

1123值的对应表，因为对数函数的定义域为x>0,因此可取x=··· , , ,1，2，4，

8···，请计算对应的y 然后在坐标系内描点、画出它们的图象. 方法二(图象变换法)因为对数函数和指数函数互为反函数, 图象关于直线y=x对称，所以只要画出y=ax的图象关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=logax.的图象。学生动手做实验，先描出y=2x的图象，画出它关于直线y=x对称的曲线，它就是y=log2x的图象;类似的从y=( )x 的图象画出y=log x的图象,再

演

示课件,教师加以解释。

设计意图：用这种对称变换的方法画函数的图象，可以加深和巩固学生对互为反函数的两个函数之间的认识，便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和

性质对照，但使用描点法画函数图象更为方便，两种方法可同时进行，分析画法之后，可让学生自由选择画法。这样可以充分调动学生自主学习的积极性。 (3)对数函数的性质

在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本节的重点，关键在于抓住对数函数是指数函数的反函数这一要领，讲对数函数的性质，可先在同一坐标系内画出上述两个对数函数的图象，根据图象让学生列表分析它们的图象特征和性质，然后出示课件，教师补充。作了以上分析之后，再分a>1与0

设计意图：这种讲法既严谨又直观易懂，还能让学生主动参与教学过程，对培养 学生的创新能力有帮助学生易于接受易于掌握,而且利用表格,可以突破难点。

由于对数函数和指数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，为了揭示这两种函数之间的内在联系，列出指数函数与对数函数对照表(见课件) 设计意图：通过比较对照的方法,学生更好地掌握两个函数的定义、图象和性质， 认识两个函数的内在联系提高学生对函数思想方法的认识和应用意识。

(三) 巩固练习 P42-P45

(四)纳小结强化思想

引导学生对主要知识进行回顾，使学生对本节有一个整体的把握，因此，从 三方面进行总结：对数函数的概念、对数函数的图象和性质、比较对数值大小的方法。

课后反思：美好的时光总是短暂的请学生总结自己有何收获和体验，并交流。

七、教学评价方案

课堂教学是教学过程的中心环节，是教师和学生进行教学活动的主要形式，为了促进课堂教学改革，提高课堂教学质量，特制定本课堂教学评价方案： (1)、教学目标评价

教师能针对所教内容，结合《课程标准》科学、准确地设计教学目标，做到：

、目标明确，符合学生实际。目标的设置不可过高或过低。

2、“三维目标”全面、具体、适度，有可操作性，并能使知识目标，能力目标、情感、态度、价值观目标有机相融，和谐统一。

量化评价标准每项5分，总计10分。 (2)、教学内容评价

1、教师能准确把握所教学科内容的重点、难点，教授内容正确。

2、教学内容紧密联系学生的生活实际，激发学生去积极思维。

3、教师能从教学实际出发，转变教材观念，对教材进行科学有效的整合，以促进学生的学习，不唯教材，创新适用教材。

量化评价标准：第

1、2项各4分，第3项2分，总计10分。 (3)、教师行为评价

1、课堂上教师作为学生学习的组织者，是否能够有效地组织学生进行学习;作为学生学习的指导者，是否对学生的学习指导得有法、到位。培养了学生良好的学习习惯;是否创造了生动有趣的教学情境来诱发学生学习的主动性;作为学生学习的引导着，是否成为学生和课本之间的桥梁纽带，在教学活动中，发挥了自己的聪明才智和应有的作用;作为学生学习的合作者，是否能和学生一起学习，探究、倾听、交流。

2、教师能以学生为主体，重视知识的形成过程，重视学生学习方法的培养，重视学生的自学能力、实践能力，创新能力的发展。

3、课堂上能营造宽松、民主、平等的学习氛围，教态自然亲切，对学生学习的评价、恰当、具体、有激励性。

4、能够根据教材的重点、难点之处，精心设计问题，所提出的问题能针对不同层次的学生，问题的提出，恰到好处。能启发学生思考，促进学生知识的构建，并能给学生留有充分思考的时间，同时注重学生的“问题”意识，引导学生主动提出问题。

5、根据教学内容和学生实际，恰当地选择教学手段，合理运用教学媒体。

、课堂上，教师的讲解语言准确简练，示范操作规范，板书合理适用，教学有一定的风格和艺术性。

量化评比标准：第1项8分;第2项5分;第3项2分;第4项4分;第

5、6项各3分，总计25分。 (4)、学生行为评价

主要针对学生在课上的学习状态来评价。

1、看学生的学习状况，学生学习的主动性是否被激起，能积极地以多种感观参与到学习活动之中，精神振奋，有强烈的求知欲望。

2、看学生的参与状态，学生参与学习活动中的数量、广度和深度是衡量主体地位发挥的主要标志，学生要全员参与，有效参与。

3、看学生的学习方式。是否由被动学习变为主动学习，是否由个体学习到主动合作学习;是否由接受性学习变为探究性学习。

4、看学生在自主、合作、探究学习上的表现。 学生在学习过程中，是否全身心地投入、是否发现问题，提出问题，积极解决问题，是否敢于质疑，善于合作、主动探究并有实效，是否围绕某一问题彼此间能交流、讨论、倾听，提出有效建议。

5、看学生学习的体验与收获。 学生在学习过程中，90%以上的学生能够相互交流知识、交流、体会，交流情感由自悟——觉悟——感悟——醒悟，在获取丰富知识的同时形成了一定的学习能力。

量化评价评价标准：第1项8分;第2项3分;第3项6分;第4项8分;第5项2分;第6项8分，总计35分。 (5)、教学效果评价

1、看教学目标达成度如何，教师是否高度关注学生的知识 与能力、过程与方法、情感态度价值观的全面发展。

2、看教学效果的满意度，学生在教师的指导下，积极主动参与，90%以上的学生掌握了有效的学习方法，获得了知识，发展了能力，有积极的情感体验。

3、看课堂训练题设计，检测效果好。

量化评价标准：第1项4分;第2项7分;第3项4分。总计15分。 (6)、教学特色评价

教师在教学方式、方法上，知识的生成点上，教学机智与智慧上的闪光点，有不同寻常之处。

评价标准：具备上述中的某一点或几点评价。

分数：2---5分。

八、教学反思

在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上45分钟的学习效率，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化。注意知识前后的衔接及联系，形成知识框架，其次要了解学生认知规律，知识水平，以便因材施教，再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。 1 要有明确的教学目标 2 要能突出重点、化解难点 3 要善于运用现代化教学手段 4 根据具体内容，选择恰当的教学方法 5 关爱学生，及时鼓励

6 充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性

第四篇：对数函数第一课时教学设计

教学设计

课例名称： 高中数学必修一 对数函数及其性质 讲课教师： 王英娟(石家庄市第十五中学 ) 【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书数学必修

(一)》(人教版)第二章基本初等函数( 1 ) 2.2.2 对数函数及其性质(第一课时)，主要 内容是学习 对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 2. 教学目标的确定及依据

结合课程标准的要求，参照教材的安排，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，我制定了如下教学目标：

( 1 )通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。

( 2 )能画出具体对数函数的图象，学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力。

( 3 )通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养。 3. 教学重点、难点

重点：掌握对数函数的图象和性质。

难点：难点是探究底数对对数函数图象及性质变化的影响。

二、学生学习情况分析

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于 函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。尤其作为对数函数的第一课时，教师在教学中要控制难度，关注学生学习过程的体验。

三、设计思想

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对 学生现有的认知水平 ，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，让学生充分体验到数学的应用价值;其次，激发学生的学习热情，引导他们找到学习对数函数的思路(类比学习指数函数的思路)，然后把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，改以前满堂教的方式为让学生满堂学，让学生学会学习。

四、教学基本流程：

五、教学过程：

根据新课标的要求我将本节课分为五个环节：创设情境，形成概念。

(一)创设情境，形成概念

本节课我是从课本中给出的“考古实例”和学生熟悉的“细胞分裂”实例这样两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点。我的引入材料是这样的： 1 .请同学们认真阅读材料，解决材料中提出的问题： 材料 1 ：考古实例(材料 1 给出 后面的观察提供必要的感性材料) 材料 2 ：细胞分裂实例。

过程，既化解难点，又为第一问引导学生有目的用生成细胞个数 x 表示出细胞分裂次数 y ，紧接着问学生：这是一个函数吗?将知识迁移到函数的定义，即对于任意一个 y 是否都有唯一的 x 与之相对应，为了帮助学生理解，可以借助指数函数图像加以解释，从而得到 x=log2 y 是一个函数，但它又和我们平时所见过的函数形式不一样，我们习惯上用 x 来表示自变量， y 表示函数，所以将其改写成 y=log2 x , 这样的函数称之为对数函数，引出本节课题。

2 .这两个函数有什么共同特征?( 引导学生观察这两个函数的特征) 有了学习指数函数的经验，再结合以上两个实例，学生不难归纳总结出对数函数的一般定义。

3 .给出对数函数的定义(提炼出对数函数的概念，明确对数函数的结构特征) 想一想：字母 a 、 x 、 y 的含义及取值范围。

总结出三点：( 1 )对数符号前系数为 1 ;( 2 )底数是不为 0 的正常数;( 3 )真数是一个自变量 x 的形式。 ( 二 ) 合作探究，总结规律

1 .你能类比指数函数的研究思路，说说对数函数的研究思路吗?

引导学生回顾指数函数的研究思路，强调数形结合，强调函数图象在研究性质中的作用。

关于如何得到对数函数图像我的想法是这样的：一方面描点法画图是学生需要掌握的一类重要的画图方法，而且让学生去亲身经历画出对数函数图像的过程，这样记忆会更深刻，所以我决定将课堂交给学生，让他们自主探究，然后通过实物投影全班同学一起交流，对学生们的共同问题集中解决。 2 .在同一坐标系中作出下列对数函数的图象：

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )

我们估计学生可能遇到的困难是对数运算，所以我们坐标纸上附了列表(列表的用意：多描点，使图像更准确;便于底数分部规律、对称性等的发现 . ) 请完成 x,y 的对应值表，并用描点法画出函数图像 .

第五篇：对数函数及其性质教学案例

朝阳四高 姜明丽

一、教材分析

本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修

(一)》(人教版)第二章基本初等函数对数函数及其性质(第一课时)，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。

二、学生学习情况分析

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

三、设计理念

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标

1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型;

2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点;

3.通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点

重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响.

六、教学过程设计

教学流程：背景材料→ 引出课题 → 函数图象→

函数性质 →问题解决→归纳小结

(一)熟悉背景、引入课题 1.让学生看材料：

材料1(幻灯)：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份?第

二：是什么环境使尸体未腐?其中第一个问题与数学有关。

那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年?上 面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用

估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系， 生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数;

如图4—2材料2(幻灯)：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 „„， 如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 „„，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即 ;

1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+∞).

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如： ，

都不是对数函数.2 对数函数对底数的限制： ，且 .

3.根据对数函数定义填空;

例1 (1)函数 y=logax2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

(2) 函数y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)

说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]

(二)尝试画图、形成感知

1.确定探究问题

教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题? 学生1：对数函数的图象和性质

教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗? 学生2：先画图象，再根据图象得出性质

教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类? 学生3：按 和 分类讨论

教师：观察图象主要看哪几个特征?

学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图

教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象： 步骤一：(1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 (2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

步骤二：观察对数函数 、 与 、 的图象特征 ，看看它们有那些异同点。

步骤三：利用计算器或计算机，选取底数 ，且 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征? 步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象 步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较

2.学生探究成果

(1)如图 4—

3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数 、 、

、 的图象

(2)如图4—5学生选取底数 =1/

4、1/

5、1/

6、1/

10、

4、

5、

6、10，并推荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数 是如何影响函数 ，且 图象的变化。

(3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = loga x (a>1)、y = loga x (01)

y = loga x (0

1、0)点;③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升;当0

3.拓展探究：(1)对数函数

与

、

与

的图象有怎样的对称关系? (2)对数函数y = loga x (a>1)，当a值增大，图象的上升“程度”怎样?

说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。 [设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样处理学生虽然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的;这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受]

(三)理性认识、发现性质 1.确定探究问题

教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有哪些途径?

教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质

2.学生探究成果

在学生自主探究、合作交流的的基础上填写表格：

[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成]

(四)探究问题、变式训练

问题一：(幻灯)(教材p79 例8) 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 28.5

(2)log 0.31.8 , log 0.32.7 (3)log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , 且a≠1 )

独立思考：1。构造怎样的对数函数模型?2。运用怎样的函数性质? 小组交流：(1) 是增函数 (2)

是减函数

(3)y = loga x，分 和 分类讨论

变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106

log108

⑵ log0.56

log0.54

⑶ log0.10.5

log0.10.6

⑷ log1.50.6

log1.50.4 2.已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：

(1) log 3 m < log 3 n

(2) log 0.3 m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0 log a n (a>1) 问题二：(幻灯)(教材p79 例9)溶液酸碱度的测量。

溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH= —lg[

]，其中

[

]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)已知纯静水中氢离子的浓度为[

] = -

摩尔/升，计算纯静水的pH 独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型?运用什么函数性质?

小组交流：pH=-lg[

]=lg[

]=lg1/[

], 随着[

]的增大，pH 减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大

[设计意图：1。这个环节不做为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，渗透函数的观点(数形结合)解决问题的思想方法;2。旧教材在图象与性质之后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然要预计到，实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导]

(五)归纳小结、巩固新知

1.议一议：(1)怎样的函数称为对数函数? (2)对数函数的图象形状与底数有什么样的关系? (3)对数函数有怎样的性质?

2.看一看：对数函数的图象特征和相关性质(表格略)

(六)作业布置、课后自评

1.必做题：教材P82习题2.2(A组) 第

7、

8、

9、12题. 2.选做题：教材P83习题2.2(B组) 第2题.

七、教学反思

从教多年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时也有遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点。高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，希望能引起大家的广泛关注并深入探讨!

第六篇：数学：2.3《对数函数》教学案(人教A版必修1)

世纪金榜 圆您梦想 必修1 2.3对数函数

重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简;理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.

考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;

②理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点; ③知道对数函数是一类重要的函数模型; ④了解指数函数与对数函数

互为反函数

.

经典例题：已知f(logax)=，其中a>0，且a≠1.

(1)求f(x); (2)求证：f(x)是奇函数; (3)求证：f(x)在R上为增函数.

当堂练习： 1.若A.,则

B.

( )

C.

D.

2.设表示的小数部分，则的值是( )

A.

B.

C.0

D.的值域是( )

3.函数A.

B.[0,1]

C.[0,

D.{0} 4.设函数的取值范围为( )

D.

A.(-1，1)

B.(-1，+∞)

C.第1页(共4页)

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世纪金榜 圆您梦想 5.已知函数，其反函数为，则是( )

A.奇函数且在(0，+∞)上单调递减

B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增 C.奇函数且在(-∞，0)上单调递减

D.偶函数且在(-∞，0)上单调递增 6.计算= .

7.若2.5x=1000,0.25y=1000,求8.函数f(x)的定义域为[0,1],则函数

.

的定义域为 .

9.已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是 . 10.函数过定点

.

11.若集合{x，xy，lgxy}={0，|x|，y}，则log8(x2+y2)的值为多少.

图象恒过定点

，若

存在反函数

，则

的图象必12.(1) 求函数在区间上的最值.

(2)已知

求函数的值域.

13.已知函数(2)判断f(x) 在

的图象关于原点对称. (1)求m的值;

上的单调性,并根据定义证明.

第2页(共4页)

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14.已知函数f(x)=x2-1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称. (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M;

(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)-h(x2)|≤a|x1-x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数.

参考答案：

经典例题：(1)解：设t=logax，则t∈R，∴x=at(x>0).则f(t)==(at-a-t).

(2)证明：∵f(-x)=(a-x-ax)=-(ax-a-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数. (3)证明：设x

1、x2∈R，且x1

=;(a-a)+a-a-(a-a)]=(a-a)(1+a-a-).

若0a若a>1，则a2-1>0，a

，∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在R上为增函数;

.∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在R上为增函数.

综上，a>0，且a≠1时，y=f(x)是增函数. 当堂练习：

1.A ; 2. A ; 3. B ;4. D ;5. D ; 6. 0;7. ;8. [0,2];9. 1

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世纪金榜 圆您梦想 12.(1) 解:

=,当时,, 而得 ,所以当时,y有最小值;当时, y有最大值3. (2)由已知，

=

13.由图象关于原点对称知它是奇函数,得f(x)+f(-x)=0,即

, 得m= -1; (2)由(1)得,定义域是, 设在,得上单调递增.

,所以当a>1时，f(x) 在上单调递减;当0

，∴f-1(x)= (x≥0)，

，M={x|x≥0}.

(2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1-x2≠0，x1≥0，x2≥0.

∴|g(x1)-g(x2)|=|-|=<|x1-x2|.

∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=

.

第4页(共4页)

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