函数的基本性质习题课

函数的基本性质习题课（共7篇）

函数的基本性质习题课 篇1

教学目标：

1、掌握函数的基本性质；

2、能灵活运用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目 教学重点：能用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目 教学难点：灵活运用函数的单调性、奇偶性 教学方法：讲练结合 教学过程：

一、复习

1、增函数、减函数的定义，如何判断一个函数的单调性？步骤是什么？

2、如何求一个函数的最值？

3、奇函数、偶函数的定义，如何判断一个函数的奇偶性？步骤是什么？

4、奇函数、偶函数的性质分别是什么？

二、典例析评

例

1、设函数f(x)是R上的偶函数，在区间(-,0)上递增，且有f(8)-f(3a2-2a)0求a的取值范围。

解：f(8)-f(3a2-2a)0

f(8)f(3a2-2a)

又函数f(x)在R上的偶函数，在区间(-,0)上递增

2-83a-2a8

得a-或a2

43评：根据题意和偶函数的定义大致画出函数f(x)的图像，然后再解不等式

例

2、证明函数f(x)xax(a0)在（0，a）上是减函数，在（a，）上是增函数.证明：任取x1,x2(0,a),令x1x2，则

f(x1)-f(x2)(x1aaaa)-(x2)(x1-x2)(-)x1x2x1x2a)x1x2a0 x1x

2=(x1-x2)(1-

0x1x2a

x1-x201-

(x1-x2)(1-a)>0

即f(x1)f(x2)x1x2ax

故函数f(x)x

(a0)在（0，a）上是减函数 同理：函数f(x)在(a,)上是增函数

例

3、已知函数f(x),g(x)在R上是减函数，求证函数 f（g(x))在R上也是增函数。

证明：任取x1,x2R,令x1x2

g(x)在R上是减函数

g(x1)g(x2)

又f(x)在R上是减函数

f(g(x1))f(g(x2))

函数f（g(x))在R上也是增函数

评：定义法是证明函数单调性的常用方法，对于复合函数求单调性就有“同增异减” 变式：

1、已知函数f(x),g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上也是增函数。

2、已知函数f(x)在R上是减函数,g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

3、已知函数f(x)在R上是增函数,g(x)在R上都是减函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

例

4、已知函数f(x),g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是什么函数？

解：f(x)是奇函数

f(-x)-f(x)

同理：g(-x)-g(x)

f(-x)g(-x)f(x)g(x)故f(x)g(x)是偶函数

例

5、已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？ 解：略

例

6、已知函数f(x),g(x)都是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？ 解：略

三、课堂练习

1、已知f(x)ax2bx3ab是R上的偶函数，且定义域为[a-1,2a]，则ab

<1>

32、判断下列函数的奇偶性

1-x2(1)f(x)

(2)f(x)1-x2x2-1

2-x2

(3)f(x)x1x-

1(4)f(x)xx[-1, 4]

参考答案：(1)奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数

(3)偶函数(4)非奇非偶函数 评：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点成中心对称，然后判断f(-x)是否与-f(x)相等或是否互为相反数。

四、课堂小结

本节课复习了函数的基本性质的概念 ②用定义法证明或判断函数的单调性或奇偶性以及解题步骤

函数的基本性质习题课 篇2

函数$y=ax\pm \frac{b}{x}$是一例常见而又特殊的函数, 在求某些函数最值问题时, 其性质及其类似函数的性质应用比较广泛.现从$y=x+\frac{1}{x}$的本身性质入手, 给出其类似函数的相关性质及其应用.

一、问题本身

函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质 (图1) :

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 函数是奇函数. (2) 在区间 (-∞, -1]∪[1, +∞) 上是增函数. (3) 在区间 (-1, 0) ∪ (0, 1) 上是减函数. (4) 在区间 (-∞, 0) 上, 当x=-1时, y取最大值, ymax=-2;在区间 (0, +∞) 上, 当x=1时, y取最小值, ymin=2. (5) 函数的图像是双曲线, 两个顶点的坐标为M (-1, -2) , N (1, 2) .

例 求函数$y=\frac{x{}^2+5}{\sqrt{x{}^2+4}}$的最小值.

解$y=\frac{x{}^2+5}{\sqrt{x{}^2+4}}=\sqrt{x{}^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}$, 其定义域为x∈R, 令$t=\sqrt{x{}^2+4}$, 则

$\begin{array}{l}t\ge 2.\\ \because y=t+\frac{1}{t}\end{array}$

在[1, +∞) 为单调递增.又t≥2,

∴当t=2时, 即x=0时, $y{}_{\min }=\frac{5}{2}.$

说明 在解题时要防止出现以下错误:

由均值不等式$(a+b\ge 2\sqrt{ab})$, 得

$\begin{array}{l}y=\sqrt{x{}^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}\ge 2.\\ \therefore y{}_{\min }=2.(\because \end{array}$

上式取等号的条件是$\sqrt{x{}^2+4}=\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}$, 即x2+4=1, ∴x不存在.)

总结 解此类题易犯“运用均值不等式”的错误, 而利用函数单调性解决较方便.

二、问题的引申

关于函数$y=ax\pm \frac{b}{x}(a,b$为常数, 且a, b∈R+) 的性质.

(一) 函数$y=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$的性质 (图2)

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 函数$y=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$是奇函数.

(2) 函数在区间$\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]{\displaystyle \cup \left[\sqrt{\frac{b}{a}}‚+\infty \right)}$上是增函数.

(3) 在区间$\left[-\sqrt{\frac{b}{a}}‚0\right){\displaystyle \cup \left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right]}$上是减函数.

(4) 在区间 (-∞, 0) 上, 当$x=-\sqrt{\frac{b}{a}}$时, y取最大值, $y{}_{\max }=-2\sqrt{ab}$;在区间 (0, +∞) 上, 当$x=\sqrt{\frac{b}{a}}$时, y取最小值, $y{}_{\min }=2\sqrt{ab}.$

(5) 函数图像是双曲线, 两个顶点坐标为

${\rm M}\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚-2\sqrt{ab}\right)‚{\rm N}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚2\sqrt{ab}\right).$

(二) 函数$y=ax-\frac{b}{x}(a>0,b>0)$的性质 (图3)

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 函数是奇函数.

(2) 在区间 (-∞, 0) 上是增函数.

(3) 在区间 (0, +∞) 上是增函数.

(4) 函数图像是双曲线.

三、问题的推广

(一) 函数$y=\frac{x{}^2}{x+a}(a>0)$的性质

将函数式变为$y=\frac{x{}^2-a{}^2+a{}^2}{x+a}=(x+a)+\frac{a{}^2}{x+a}-2a$, 设t=x+a, 得$y=t+\frac{a{}^2}{t}-2a.$

不难得出函数$y=\frac{x{}^2}{x+a}(a>0)$的性质:

(1) 定义域x∈ (-∞, -a) ∪ (-a, +∞) .

(2) 函数在 (-∞, -2a]∪[0, +∞) 上是增函数.

(3) 函数在[-2a, -a) ∪ (-a, 0]上是减函数.

(4) 在 (-∞, -a) 上, 当x=-2a时, y取最大值, ymax=-4a;

在 (-a, +∞) 上, 当x=0时, y取最小值, ymin=0.

(二) $y=\frac{ax}{b+cx{}^2}(a,b,c>0)$的性质

将$y=\frac{ax}{b+cx{}^2}$转化为$y=\frac{a}{cx+\frac{b}{x}}(x\ne 0)$, 易得下列性质:

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) .

(2) 函数在$x\in \left[-\sqrt{\frac{b}{c}},0\right){\displaystyle \cup \left(0,\sqrt{\frac{b}{c}}\right]}$上是增函数.

(3) 函数在$x\in \left(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{c}}\right]{\displaystyle \cup \left[\sqrt{\frac{b}{c}},+\infty \right)}$上是减函数.

(4) 在 (-∞, 0) 上, 当$x=-\sqrt{\frac{b}{c}}$时, 有$y{}_{\min }=-\frac{\sqrt{ab}}{2b}$;

在 (0, +∞) 上, 当$x=\sqrt{\frac{b}{c}}$时, 有$y{}_{\max }=\frac{a}{2\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2b}.$

(三) 关于函数$y=\frac{x+c}{ax{}^2+bx}$的性质

采用换元法, 设t=x+c, 则x=t-c, 于是得到

$\begin{array}{l}y=\frac{t}{a(t-c){}^2+b(t-c)}=\frac{t}{at{}^2+(b-2ac)t+(ac{}^2-bc)}\\ =\frac{1}{at+\frac{ac{}^2-bc}{t}+(b-2ac)}.\end{array}$

这样就化成了我们能解决的形式, 然后再依据a, b, c的情况进行分析、判断, 就可达到目的.

关于基本函数$y=x+\frac{1}{x}$的推广类型还有其他形式, 上面介绍的只是几种常见类型.读者不妨一试.

参考文献

[1]Shorey T N, TLJDEMAN R.Exponential Diophantine equations[M].Cambrideg;Cambrideg University Press, 1986, 340-368.

[2]Bencze M.Proposed problem 7508 (J) .Octogon Math Mag, 2005, 13 (1B) , 678.

[3]乐茂华.形如【math936z】的平方数[J].海南大学学报 (自然科学版) , 2007, 3 (1) .

分数的基本性质练习题 篇3

1、分数的分子和分母（），分数的大小不变．这叫做分数的基本性质。

52、把12的分子扩大3倍，要使分数的大小不变，它的分母应该（）． 73、把8的分母缩小4倍，要使分数的大小不变，它的分子应该（）．

4、把一个分数的分子扩大5倍，分母缩小5倍，这个分数的值就（）． 25、7的分母增加14，要使分数的大小不变，分子应该增加（）． 38 的分子加上6，要使分数大小不变，分母应加上（）

106、一个分数的分子扩大10倍，分母缩小10倍是19，原分数是（）．7、8、213159、3=（）3=（）

7=

12÷48=（分数）

一、把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数．

二、把下面的分数化成分子是4而大小不变的分数.2．

一、填空题。

1、分母是7的真分数有（）。112、1里面有（）个3 ；3里面有（）个4。

73、有一个分数 a，当a（）时，它是假分数；当a（）时，它是真分数；当a（）时，它无意义；当a（）时，它是整数。

5、分子是5的所有假分数是（）；分子是7的最小带分数是（），最小假分数是（），最大真分数是（）。

a6、已知分数 8，当a（）时，它是真分数；当a（）时，它

是假分数；当a（）时，它等于1。

7、一个带分数，它的分数部分的分子是3，把它化成假分数后，分子是28。这个带分数可能是（）。

8、所有的偶数都有公因数（）。

19、一个最简分数，如果分子扩大2倍，分母缩小2倍，就得到了3，3这个最简分数是（）。

310、给分数 4 的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上（）。

511、等于 6 而分母小于30的所有分数有（）个。

12、在括号里填上适当的分数。

《分数基本性质》练习题参考 篇4

一、单选题

1.因为===，所以的分数单位是

2.两个分数,分数单位大的分数值

A.大B.小C.不一定

二、填空题

1.分数单位是的真分数有()。

2.把的分子扩大3倍，分母要加上()，分数的大小不变。

3.在括号里填上合适的分数。

(1)21厘米=米(2)14角=()元

4.在括号里填上适当的分数。

4025毫升=()升

2750克=()千克

5.

6.在括号里填上适当的分数.

7平方米50平方分米=()平方米

136分=()小时

7.3个是()，2是()个，()个是2，是8个()组成的`。

8.在括号里填上“>”、“<”、“=”。

三、应用题

1.一个面粉厂,用200千克小麦磨出170千克面粉.磨出的面粉占小麦总数的几分之几?

2.用300千克黄豆可榨油39千克,平均1千克黄豆可榨油多少千克?

3.王师傅12天做了一批零件,每天完成这批零件的几分之几?4天做了这批零件的几分之几?

平行线的判定及性质习题课 篇5

一、概念复习与回顾

1、两条直线平行有哪些性质吗？ ⑴根据平行线的定义： ⑵平行线的性质公理： ⑶平行线的性质定理1： ⑷平行线的性质定理2： ⑸平行线间的距离．

2、判定两条直线平行有哪几种方法吗？ ⑴平行线的定义： ⑵平行线的传递性： ⑶平行线的判定方法1： ⑷平行线的判定定理2： ⑸平行线的判定定理3：

二、练习、如图，已知：∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数．

2、已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？

3、如图，已知直线AB∥CD，求∠A+∠C与∠AEC的大小关系并说明理由．

4、如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．

5、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？

6、如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D．试问BD是否与CE平行？为什么？

7、已知：如图BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD

8、如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，那么AE与DF有什么位置关系？试说明理由．

9、已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．

10、完成下列推理说明：

如图，已知AB∥DE，且有∠1=∠2，∠3=∠4，试说明BC∥EF．

11、如图AB∥DE，∠1=∠2，问AE与DC的位置关系，说明理由．

12、如图，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1=∠2．

（1）用尺规作图作出光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD；（2）试判断AB与CD的位置关系；（3）你是如何思考的．

13、已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．

14、：已知：如图，EF⊥CD于F，GH⊥CD于H． 求证：∠1=∠3．

15、如图所示，已知∠1=72°，∠2=108°，∠3=69°，求∠4的度数．

16、如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．

17、如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED=∠BDE，求证EF也是∠AED的平分线．

18、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D． 试说明：AC∥DF．

19、已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，求证：∠BDC+∠DGF=180°．

函数的基本性质习题课 篇6

它具有五个显著的特征:重复性、概括性、系统性、综合性与提升性.复习课课堂教学选取的参照点过低, 学生会觉得索然无味.如果课堂教学参照点长期选择过高, 学生将会产生畏惧数学的心理, 导致学生学习数学的自信心不足, 参照点的选取标准应遵循“够不着, 跳起来能摘下”的原则.

笔者依据复习课的有关原则与学生的心理特征, 采用层层设疑、深入探究的方式, 以“圆的基本性质”为复习课的载体, 向本区的全体数学教师展示了一节有效的复习课.

以下就是笔者对浙教版《数学》九年级上册第三章“圆的基本性质”的复习课的看法和处理:

一、圆的基本性质的复习课的总体的认识与分析

圆属于空间与图形这部分内容, 在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质, 会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质, 通过本章的学习, 能使学生获得对圆的概念及其有关的性质理解与掌握, 也是以后学习圆的其他内容的基础.但笔者以为通过复习, 对知识进行系统梳理, 提高归纳、概括、总结的能力.强化以下几点: (1) 对称思想:圆的轴对称性、中心对称性; (2) 推理思想:由对称性及其他方法来验证圆的有关结论; (3) 分类归纳思想:将圆周角和圆心角之间的关系归结为同弧上圆周角与圆心角的关系, 让学生形成分类讨论的思想, 最终提高分析问题和解决问题的能力.

在“够不着, 跳起来能摘下”原则的指导下, 建构开放性的知识体系, 强化知识体系, 辨析知识, 反思知识, 拓展与提升知识, 总之, 一道数学题 (或知识) 通过或联想, 或类比, 或推广, 通过易错、概念辨析、拓展引申, 让学生概括基本规律, 反思解题过程与知识的应用能力, 培养迁移能力, 使学生会学习、会思考.

二、复习课的安排

呈现开放问题, 建构知识体系

(一) 知识回顾

说一说:观察图形, 你想到了我们学过的哪些定理呢?

写一写:请用几何语言表述你的结论.

___________________________

填一填:如图所示, ⊙O中, OC⊥AB, OC′⊥A′B′,

∵___________________________

∴AB=A′B′ (填写一个条件, 你有几种不同的填法?你的根据是什么?)

强化定理, 提高认知水平

(二) 辨一辨 (概念辨析)

(若命题错误请举出反例.)

1.垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. ()

2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ()

3.弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ()

反思______________

4.相等的圆心角所对的弧相等. ()

5.等弧所对的圆周角相等. ()

反思___________

查漏洞, 完善认知结构

(三) 练一练 (易错题)

1.在⊙O中, 圆心角∠AOB的度数是100°, 则弦AB所对的圆周角的度数是___________.

分析

2.已知, 点O是△ABC的外心, ∠AOB=100°, 则∠C的度数为____________.

分析

反思____________

3.已知⊙O的半径为5, 弦AB的长为8, 点P是弦AB上的一动点 (点P可以运动至弦的两个端点) , 若OP的长为整数, 则满足条件的点有个____________.

分析

4.在⊙O中, 直径为2, 弦CD∥AB, 若则弦AB与弦CD的距离是.

分析

5.在⊙O中, 直径为2, 弦长为的两条弦相交于圆上一点, 则这两条弦的夹角是________.

分析

反思_______

提升思维

(四) 想一想 (提升思维)

如图, AB为⊙O的直径, CD为弦, 且CD⊥AB, 垂足为H.

(1) 若⊙O的半径为4, CD=4, 求∠BAC的度数.

(2) 若点E为的中点, 连接OE, CE, 求证:CE平分∠OCD.

(3) 在 (1) (2) 的条件下, 直径AB上是否存在一动点P使△PDE的周长最小?若存在, 求出最小值;若不存在, 则说明理由.

反思请你说出本题综合运用了哪些知识点:__________.

(五) 课后作业

1.判断: (1) 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. ()

(2) 相等的圆周角所对的弧相等. ()

2.有下列四个命题: (1) 直径是弦; (2) 经过三个点一定可以作圆; (3) 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; (4) 半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有 () .

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.在半径为5的圆周上, 到一条直径距离为3的点有_____个;到一条长为8的弦距离为3的点有个, 到此弦距离为2的点有______个.

4.在⊙O中, 直径AB为2, 弦CD⊥AB, 垂足为点E, 若则AE=______.

5.已知在直径为2的半圆上有一点C, CD⊥直径AB, 垂足为D, 且则AD=_________.

6.如图, AB是⊙M的直径, 弦CD⊥AB于点E, 点F是上的一点, 且AC=CF.

(1) 求证:∠1=∠2.

(2) 如图, 建立平面直角坐标系, 当AG=2, CD=6时, 求证:CF∥AB.

(3) 在 (2) 的条件下, 点P是x轴上的一个动点, 连接PG, PF, 问在x轴上是否存在一点P, 使得PG+PF的值最小, 若存在, 请画出P点的位置, 并求出最小值.若不存在, 请说明理由.

函数的基本性质习题课 篇7

教学目标：

使学生掌握角平分线的性质和判定定理，并能应用它解决有关的证明问题。教学内容与过程：

一、情境创设

一个Ｓ区有一货易市场，在公路与铁路所成角的平分上的Ｐ点要从Ｐ点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短，这两条路在数量上有何关系？

这节课让我们再次走进“角平分线的性质和判定”（板书课题）

二、学生探究（过渡语：老师这有个题目，看谁能又快又正确的做出来）例

1、△ABC中，AD是它的角平分线。且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC。垂足分别为E、F。求证：EB=FC

三、展示归纳 例题学生做后，解答过程生说老师写，发动学生纠正和完善，教师画龙点睛强调，最后指出这就是今天的两个例题。

四、变式练习

学生按要求完成相关练习；师安排学生到黑板前解答相关问题；师生共同纠错，并强调注意事项。

变式1：如图：△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC ,垂足分别为E、F。求证：DE=DF

A FE

BDC

变式2：在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：点D在∠A的平分线上。

变式3：已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

CDF

B

AE

五、反馈补救

在每个变式练习处理完后如有问题都进行补救，强调和画龙点睛。此环节一般在变式练习环节同步进行。

六、小结与归纳

引导学生先进行自主小结，再进行概括总结。

七、布置作业

师布置作业，学生完成作业。

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F，连接E,F，交AD于点G，AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。

A