高考构造函数法

高考构造函数法（推荐12篇）

高考构造函数法 篇1

：题设条件多元-构造一次函数

B：题设有相似结构-构造同结构函数主要介绍

C：题设条件满足三角特性-构造三角函数 D：其它方面——参考构造函数解不等式

A、题设条件多元时，选择构造一次函数

例

1、已知x.y.z(0,1).求证：x(1y)y(1z)z(1x)1（第15届俄罗斯数学竞赛

题）

分析 此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。可构造一次函数试解本题.证法一 函数图像性质法、构造函数f(x)(yz1)x(yzyz1)因为y,z(0,1)，所以

f(0)yzyz1(y1)(z1)0

f(1)yz1(yzyz1)yz0

而f(x)是一次函数，其图象是直线，所以由x0,1恒有f(x)0，即(yz1)x(yzyz1)0，整理可得x(1y)y(1z)z(1x)

1证法二函数单调性法、构造一次函数f(x)x(1y)y(1z)z(1x)整理，得：

f(x)(1yz)x(yzyz).(0x1)

因为0x1，0y1,0z1 所以11yz

1(1)当01yz1时,f(x)在0,1上是增函数，于是f(x)(2)当

11yz0

f(x)1yz1；

时,f(x)

在1,0上是减函数，于是

f(x)f(x)=yzyz=1(1y)(1z)1；

(3)当1yz0时，即yz1时，f(x)

成立。

yzyz1yz1。综上所知，所证不等式

小结(1)为了利用所构造的一次函数的单调性，将11yz1分成“01yz1,11yz0,1yz0”三种情况讨论，使问题得以解决。

(2)解决本题有两个核心的地方，一是将证式构造成一次函数，二是对一次项系数进行逻辑划分。

(3)本题也可以构造关于y或z的一次函数，这就需要真正理解函数的实质概念。

例

2、已知1a,b,c1：，求证:abcabc

2证明 构造一次函数y(bc1)x2bc，易知bc10，在1又x

则由一次函数的性质不难得知当1

x1时，y0；又1a1所以xa

1时,y(bc1)12bc

x1时，y

为减函数；

=bc1bc(1b)(1c)0

时，y0，即(bc1)a2bc0 命题得证

B、题设条件有相似结构时-构造同样结构的函数

例

1、a、b、c, R，求证

abc1abc



a1a



b1b



c1c

.证明：构作函数f(x)当任意x1，x2满足0

f(x2)f(x1)

x21x

2x1x

x1x，x[0,)，则研究这个函数性质如下：

时，0

x1x2



x11x

1

x2x1

(1x1)(1x2)，所以函数f(x)在[0,)是递增函数.f(|a||b||c|).因为|abc||a||b||c|，所以f(|abc|)即

|abc|1|abc|



|a||b||c|1(|a||b||c|)

|a|1|a|

|b|1|b|



|a|

1|a||b||c|



|b|

1|a||b||c|



|c|

1|a||b||c|



|c|1|c|

.不等式得证.例

2、解方程(6x+5)(1+

(6x5)4)x(1

x4)0．

为f(6x+5)=-f(x).只要证明f(x)是奇函数且是单调函数，就能简单的解出此题．

解：构造函数

f(x)=x(1+

原方程化为

f(6x+5)+f(x)=0．

显然f(-x)=-f(x)，f(x)是奇函数.再证f(x)具有单调性.x4))，f(x)在（-∞,+∞）上是增函数.所以f(6x+5)=f(-x)x=－

5C、题设条件满足三角函数的特性时-构造三角函数

例

1、已知a.b.x.yR.且a2b

21，xy1.求证：1axby

1证明 已知x

y

由a2b21，xy1，可设

bsin,acos.xcos,ysinaxbycoscossinsincos()1所

以1axby1

例

2、分析 由根号里面的代数式可以看出有这样的关系：x1x1且0故想到三角函数关系式并构造xsin2

所以ysinxcosx

D、其它-参考构造函数解不等式

在解决不等式的证明题时常常通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性等性质来解决。

例

1、求证不等式：

证明：构造函数：f(x)

x1

2x

x1.(0

)



)，当



即x时,ymax



x12

x



x2

(x0)



x2

(x0)

x2x2

x

x

f(x)

x12

x

2

1

x2

所以

f(x)的图像关于y



xx

1(12)x212x12

x

x

x

x2

f(x).轴对称。当x0时，12x

0，故f(x)0；当x0时，依图象的对称性知f(x)0.故当x0时，恒有f(x)0.即

x12

x



x2

(x0).例

2、已知x0，求证：x

1x



1x

1x



52证明：构造函数f(x)

x

1x

(x0)，则x

1x

2，设2,由

f()f()

1

(

11()(1)

)()



1显然：因为2

，所以-＜0，＞1，所以f()

f()0，所以f(x)在2,上是单调递增的，所以

x

1x

1x

1x

f(2)

高考构造函数法 篇2

一、构造法必须考虑适用的范围

当导数问题的证明是关于自然数n的求和式时, 此种方法宜用构造法.

二、构造函数必须巧设函数, 必要时适当换元

有些题目, 即使构造了函数由于函数求导非常复杂, 因此函数的构造应该以容易求出导数为主, 有时可以适当的换元.

利用构造函数法求解不等式问题 篇3

[关键词] 构造函数法 不等式

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0056

构造函数法是解决不等式问题的有效方法，如何构造函数显得尤为重要.下面举例谈谈构造函数法在解不等式问题中的应用.

一、比较函数值大小

这类题型主要采用从结论入手来构造函数的方法，即分析结论的结构特点，建立可导的函数f（x），再利用f（x）的导函数，判断函数的单调性，从而比较出函数值的大小.

【例1】 若定义在 R 上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）>f（x），则f（2011）与f（2009）e2的大小关系为（ ）.

A.f（2011）>f（2009）e2

B.f（2011）=f（2009）e2

C.f（2011）

D.不能确定

分析： 构造函数，令F（x）=e-xf（x），则F′（x）=e-xf′（x）-e-xf（x）=

e-x（f′（x）-f（x））>0，∴F（x）

单调递增，

∴F（2011）>F（2009），即e-2011f（2011）>e-2009f（2009）

，

∴f（2011）>f（2009）e2，故答案为A.

二、求函数不等式的解集

对于形如f（x）>g（x）（或f（x）

化为f（x）-g（x）>0（或<0），再构造新函数h（x）=f（x） -g（x），利用h′（x）来求解.

【例2】 定义在 R 上的函数f（x）满足：f′（x）>1-

f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，求不等式exf（x）>ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集.

分析： 由题意可知，不等式为exf（x）-ex-5>0，构造函数，设g（x）=exf（x）-ex-5，

∴g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=

ex[f（x）+f′（x）-1]>0，

∴函数g（x）在定义域上单调递增.

又∵g（0）=0，

∴g（x）>0的解集为{x|x>0}.

三、求参数的取值范围

求函数不等式中参数的取值范围是一类重点、热点问题.虽然函数不等式问题有多种解法途径，但通过分离参数，可把问题转化为a>f（x）（或a

【例3】 已知f（x）=lnx-x+a+1，若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范围.

分析： 由题意知，当x>0时，

f（x）=lnx-x+a+1≥0，

∴a≥-lnx+x-1.

构造函数，令g（x）=-lnx+x-1，

则g′（x）=- 1 x +1= x-1 x .

令g′（x）=0，解得：x=1.

∵当0

当x≥1时，g′（x）>0，∴g（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴g（x）min=g（1）=0，

∴a≥g（1）=0.

∴a的取值范围为[0，+∞）.

四、证明不等式

对于不等式的证明，大部分学生都望而生畏，找不到解决问题的突破口.很多不等式都有函数的背景，如果能挖掘已知函数与不等式的关系，根据所要证明的不等式，恰当地构造函数，利用函数的单调性、最值、有界性等，可以达到证明不等式的目的.

【例4】 当x≥1时，x-lnx-1≥0，

求证： 1 2 x2+ax-a≥xlnx+ 1 2 .

证明： 原不等式可化为 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0（x≥1，a≥0）.

构造函数，令G（x）= 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ，则G′（x）=x+a-lnx-1且G（1）=0.

由题意可知，当x≥1时，x-lnx-1≥0，

则G′（x）=x+a-lnx-1≥x-lnx-1≥0，

∴G（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴G（x）≥G（1）=0，

∴ 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0，故原不等式成立.

可以看出，对于不等式的问题，我们可以通过构造恰当的函数，使问题迎刃而解.其关键是如何构造函数；构造什么样的函数.这就要求我们结合函数的性质和特点，发展思维，反复总结、提炼构造规律.比如，对于左右两边结构相同（或者可化为左右两边结构相同）的不等式，构造函数f（x），使原不等式成为形如f（a）>f（b）的形式；对于形如f（x）>g（x）的不等式，构造函数F（x）=f（x）-g（x）；等等.

高考构造函数法 篇4

杨利辉

(成都纺织高等专科学校人文社科与基础部，成都 611731)

作者：杨利辉（1970-），女，助教，主要从事大学数学教学及研究。

摘要：关于不等式的证明方法有很多种，而运用函数构造法证明不等式使得问题简单化，本文阐述了数学中构造法的含义及其应用所产生的影响，用实例介绍了函数构造方法的几种应用情形。关键词：函数构造法；不等式；证明

Abstract： There are various methods can be applied to prove the inequalities.Especially, the method of construction can make the problems of inequalitybe simplified.We first state the meaning of the method of construction which applies effectively to resolve the problems of inequality in advanced mathematics.Then, construction of function, graphic solution, inequality equation and so on will be introduced.And a soundly explanation of various method of construction will be given by illustration.Keywords：The method of structure；Inequality；Constructing function;continuous1、构造法及其意义

学习数学在于善于寻求解题方法，发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，实现从已知到未知的转化，在解题过程中，由于某种需要，要把题设条件中的关系构造出来，将关系设想在某个模型之上得以实现，将已知条件经过适当的逻辑组合而创造出一种新的形式，从而使问题得到解决.构造法是根据问题的有关信息确定特定的映射关系构造出数学模型，将问题转化为对数学模型的数理机制的研究，从而达到解题的一种化归方法。化归是一种间接解决问题的方法，它在解决数学问题中的作用在于转化，就是把待解决或未解决的问题进行变形，分割，映射，或者简单化，或熟悉化，或具体化，直到归纳到一类已经能够解决或者比较容易解决的问题中去.运用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解问题A，而是构造一个与问题A有关 的辅助问题B，通过解答问题B 而达到解决问题A的目的.构造法是数学中最具有挑战 性的解题思路，它的合理使用使复杂问题简单化.特别是对于解决不等式问题，因为不 第1页

等式是两个数值或两个代数式或两个函数大小的比较，不等式的证明方法有很多种，而采取构造法证明不等式不仅可以提高解题速度，同时也拓宽了解题思维.构造法作为一种创造性的思维活动，对思维能力的培养和提高也有很大的益处，它作为一种重要的数学思想和常用数学方法，具有广泛的应用，在证明过程中，既能逢难化易，又能活跃思维，是培养创造性思维的一个极好的切入点.本文通过几个实例，阐述如何运用函数构造法来证明不等式的问题.2、几种常见的函数构造方法

在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者作适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质去证明不等式，这种证明不等式的方法就叫做函数构造法。

2.1 利用函数的单调性构造辅助函数：

若fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且对于任何x∈(a,b)有fx0 则fx 在[a,b]上单调增加；若fx0，则fx在[a,b]上单调减小.例1已知m、n、都为正整数,且1mn，证明：(1m)n(1n)m.分析利用不等式左右两端形成一致构造函数，并结合单调性来解决问题.证设fxln1x(x2)，x

1xln(1x)

则fx，因为x2，2x

x1,ln(1x)lne1，所以1x

所以fx0，故f(x)在(2,+∞)时是减函数, 即ln(1m)ln(1n)，mn

所以ln(1m)nln(1n)m,故原不等式成立.例2设实数a,b,c，满足|a|1,|b|1,|c|1，求证：abc2abc.证构造函数faabc2abcbc1acb2，因为|b|1,|c|1,所以bc10，故f(a)为关于变数a的一次函数，且f(a)在（-1，1）上为单调函数，而f1bc1cb2b1c1，由|b|1,|c|1知f(1)0故f(a)为减函数，当1a1时，有f(a)f(1)0.从而题设条件下有abc2abc.2.2利用函数的局部保号性

例3已知|a|1,|b|1,|c|1,求证：abbcac1.证原不等式形为bcabc10，构造函数f(a)bcabc1，若bc0，不等式成立，若bc0，则fa是a的一次函数,又－1＜a＜1，而f1bcbc11b1c0，f1bcbc11b1c0,由单调函数的局部保号性有 fa0，从而得到abbcac1.2.3利用整函数多项式的性质

20062006

例

4是整数.分析:分子中两个幂底数的第二项与分母都相同，联想到函数值的求法。

证明：构造函数 fx1x

因fxfx，故f(x)是一个只含有 x 奇次项且不含常数项的整系数多项式函数，因此f(x)是一个只含有偶次项的整系数多项式函数，x20061x2006，又因为x

故原式是整数.2.4利用函数的凹凸性

设函数yfx在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两个值x1和x2（x1x2），恒有f(x1x2f(x1)f(x2))，则称yf(x)在[a，b]上是上凸的；若恒有2

2xxf(x1)f(x2)f(12)则称yf(x)在[a，b]上是上凹的.22

b]上是上凸的，若yf(x)在[a，则对该区间内任意n个自变量的值x1,x2,x3,,xn

有不等式

f(x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))成立 nn

而且仅当x1x2x3xn 时等号成立.例

5、在ABC中，求证：sinAsinBsinC

证明：设x1x2且x1、x2(0,)，令f(x)sinx，因为f(x1)f(x2)sinx1sinx2xxxxxxxxsin12cos12sin12f(12)，22222233.2所以ysinx在[0，]上是上凸的，因为A，B，C(0,)根据定理有

故sinAsinBsinC

3.2sinAsinBsinCABCsinsin，3333、小结

本文介绍了运用函数构造法证明不等式的一些方法。利用函数构造法证明不等式需要认真分析要证明的不等式所具有的特点，引用不同的构造法，然后运用其特性对不等式加以证明。

构造法在数学中的应用非常的广泛，运用构造法解决不等式问题培养了学生具有创

造性的数学能力和解决实际问题的能力，而创造性的能力的体现是创造性思维。

对于数学思维的培养及数学方法的培养也有一定的加强作用，有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，把学生和教师从题海中解放出来，从而减轻教与学的过重负担。

参考文献

高考构造函数法 篇5

python 有一个相应的特殊解构器(destructor)方法名为__del__，然而，由于python具有垃圾对象回收机制(靠引用计数)，这个函数要直到该实例对象所有的引用都被清除掉后才会被执行。python中的解构器是在实例释放前提供特殊处理功能方法，它们通常没有被实现，因为实例很少被显式释放。

在下面的例子中，我们分别创建(并覆盖) __init__()和__del__()构造器及解构函数，然后，初始化类并给同样的对象很多别名。id()内建函数可用来确定引用同一对象的三个别名。最后一步是使用del语句清除所有的别名，显示何时调用了多少次解构器。

代码如下:

#!/usr/bin/env python

#coding=utf-8

class P():

def __del__(self):

pass

class C(P):

def __init__(self):

print ‘initialized‘

def __del__(self):

P.__del__(self)

print ‘deleted‘

c1 = C()

c2 = c1

c3 = c1

print id(c1), id(c2), id(c3)

del c1

del c2

del c3

python没有提供任何内部机制来跟跟踪一个类有多少个实例被创建了，或者记录这些实例是什么东西，

如果需要这些功能，可以显式加入一些代码到类定义或者__init__()和__del__()中去。最好的方式是使用一个静态成员来记录实例的个数。靠保存它们的引用来跟踪实例对象是很危险的，因为你必须合理管理这些引用，不然你的引用可能没办法释放(因为还有其他的引用)!看下面的例子：

代码如下:

class InstCt(object):

count = 0

def __init__(self):

InstCt.count += 1

def __del__(self):

InstCt.count -= 1

def howMany(self):

return InstCt.count

a = InstCt()

b = InstCt()

print b.howMany()

print a.howMany()

del b

print a.howMany()

del a

print InstCt.count

所有输出：

代码如下:

initialized

4372150104 4372150104 4372150104

deleted

********************

2

2

1

高考构造函数法 篇6

一、类的设计

1.类的声明

class 类名

{

private://私有

...public://公有

...};

2.类的成员

一般在C++类中，所有定义的变量和函数都是类的成员。如果是变量，我们就叫它数据成员如果是函数，我们就叫它成员函数。

3.类成员的可见性

private和public访问控制符决定了成员的可见性。由一个访问控制符设定的可访问状态将一直持续到下一个访问控制符出现，或者类声明的结束。私有成员仅能被同一个类中的成员函数访问，公有成员既可以被同一类中的成员函数访问，也可以被其他已经实例化的类中函数访问。当然，这也有例外的情况，这是以后要讨论的友元函数。类中默认的数据类型是private，结构中的默认类型是public。一般情况下，变量都作为私有成员出现，函数都作为公有成员出现。

类中还有一种访问控制符protected，叫保护成员，以后再说明。

4.初始化

在声明一个类的对象时，可以用圆括号()包含一个初始化表。

看下面一个例子：

#include “iostream.h”

class Box

{

private:

int height,width,depth;//3个私有数据成员

public:

Box(int,int,int);

~Box();

int volume();//成员函数

};

Box::Box(int ht,int wd,int dp)

{

height=ht;

width=wd;

depth=dp;

}

Box::~Box()

{

//nothing

}

int Box::volume()

{

return height*width*depth;

}

int main()

{

Box thisbox(3,4,5);//声明一个类对象并初始化

cout<

return 0;

}

当一个类中没有private成员和protected成员时，也没有虚函数，并且不是从其他类中派生出来的，可以用{}来初始化。(以后再讲解)

5.内联函数

内联函数和普通函数的区别是：内联函数是在编译过程中展开的。通常内联函数必须简短。定义类的内联函数有两种方法：一种和C语言一样，在定义函数时使用关键字inline。如：

inline int Box::volume()

{

return height*width*depth;

}

还有一种方法就是直接在类声明的内部定义函数体，而不是仅仅给出一个函数原型。我们把上面的函数简化一下：

#include “iostream.h”

class Box

{

private:

int height,width,depth;

public:

Box(int ht,int wd,int dp)

{

height=ht;

width=wd;

depth=dp;

}

~Box();

int volume()

{

return height*width*depth;

}

};

int main()

{

Box thisbox(3,4,5);//声明一个类对象并初始化

cout<

return 0;

}

这样，两个函数都默认为内联函数了。

二、构造函数

什么是构造函数？通俗的讲，在类中，函数名和类名相同的函数称为构造函数。上面的Box()函数就是构造函数。C++允许同名函数，也就允许在一个类中有多个构造函数。如果一个都没有，编译器将为该类产生一个默认的构造函数，这个构造函数可能会完成一些工作，也可能什么都不做。

绝对不能指定构造函数的类型，即使是void型都不可以。实际上构造函数默认为void型。

当一个类的对象进入作用域时，系统会为其数据成员分配足够的内存，但是系统不一定将其初始化。和内部数据类型对象一样，外部对象的数据成员总是初始化为0。局部对象不会被初始化。构造函数就是被用来进行初始化工作的。当自动类型的类对象离开其作用域时，所站用的内存将释放回系统。

看上面的例子，构造函数Box()函数接受三个整型擦黑素，并把他们赋值给立方体对象的数据成员。

如果构造函数没有参数，那么声明对象时也不需要括号。

1.使用默认参数的构造函数

当在声明类对象时，如果没有指定参数，则使用默认参数来初始化对象。

#include “iostream.h”

class Box

{

private:

int height,width,depth;

public:

Box(int ht=2,int wd=3,int dp=4)

{

height=ht;

width=wd;

depth=dp;

}

~Box();

int volume()

{

return height*width*depth;

}

};

int main()

{

Box thisbox(3,4,5);//初始化

Box defaulbox;//使用默认参数

cout<

cout<

4return 0;

}

2.默认构造函数

没有参数或者参数都是默认值的构造函数称为默认构造函数。如果你不提供构造函数，编译器会自动产生一个公共的默认构造函数，这个构造函数什么都不做。如果至少提供一个构造函数，则编译器就不会产生默认构造函数。

3.重载构造函数

一个类中可以有多个构造函数。这些构造函数必须具有不同的参数表。在一个类中需要接受不同初始化值时，就需要编写多个构造函数，但有时候只需要一个不带初始值的空的Box对象。

#include “iostream.h”

class Box

{

private:

int height,width,depth;

public:

Box(){ //nothing }

Box(int ht=2,int wd=3,int dp=4)

{

height=ht;

width=wd;

depth=dp;

}

~Box();

int volume()

{

return height*width*depth;

}

};

int main()

{

Box thisbox(3,4,5);//初始化

Box otherbox;

otherbox=thisbox;

cout<

return 0;

}

这两个构造函数一个没有初始化值，一个有。当没有初始化值时，程序使用默认值，即2，3，4。

但是这样的程序是不好的。它允许使用初始化过的和没有初始化过的Box对象，但它没有考虑当thisbox给otherbox赋值失败后，volume()该返回什么。较好的方法是，没有参数表的构造函数也把默认值赋值给对象。

class Box

{

int height,width,depth;

public:

Box()

{

height=0;width=0;depth=0;

}

Box(int ht,int wd,int dp)

{

height=ht;width=wd;depth=dp;

}

int volume()

{

return height*width*depth;

}

};

这还不是最好的方法，更好的方法是使用默认参数，根本不需要不带参数的构造函数。

class Box

{

int height,width,depth;

public:

Box(int ht=0,int wd=0,int dp=0)

{

height=ht;width=wd;depth=dp;

}

int volume()

{

return height*width*depth;

}

};

三、析构函数

当一个类的对象离开作用域时，析构函数将被调用(系统自动调用)。析构函数的名字和类名一样，不过要在前面加上 ~。对一个类来说，只能允许一个析构函数，析构函数不能有参数，并且也没有返回值。析构函数的作用是完成一个清理工作，如释放从堆中分配的内存。

高考构造函数法 篇7

一、巧用抽象函数关系式构造熟悉函数并解决问题

有的函数问题没有具体的函数关系式, 只是一些抽象的函数式, 而往往要求研究该函数的有关性质。

例1:已知函数f (x) 的定义域为R, 对任意的x, y∈R, 都有f (x+y) =f (x) +f (y) , 且x>0时, f (x) <0, f (1) =-2, 则f (x) 在[-3, 3]上的最大值为____, 最小值为____。

解析:构造函数f (x) =kx, 由已知条件知k=-2。数形结合得最值。

类似题:已知函数f (x) 的定义域为R, 对任意的x, y∈R, 都有f (x+y) =f (x) +f (y) , 且f (1003) =2, 则f (1) +f (2) +f (3) +…+f (2005) =2006。

解析:构造函数f (x)

例2:设f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 且f (x/y) =f (x) -f (y) , 若f (2) =1, 则f (4) =2。

解析:构造函数f (x) =log2x, 则f (4) =log24=2。

类似题:已知定义域为R的函数f (x) 对任意的实数x, y满足f (x+y) +f (x-y) =2f (x) cosy, 且f (0) =1, f (π/2) =0。给出下列结论: (1) f (π/4) =21; (2) f (x) 为奇函数; (3) f (x) 为周期函数; (4) f (x) 在 (0, π) 内为单调函数。其中正确的结论是 (3) (4) 。 (填上所有正确结论的序号)

解析:构造函数f (x) =cosx。

上面的函数只是题设函数的特殊情况, 用以推测题设函数的性质, 具体问题还要用一般方法解决 (如赋值法、抽象函数关系式变式反复使用等解题技巧) 。

二、利用换元后转化为熟悉函数解决问题

许多问题所给函数解析式是一种复合函数, 可以通过换元, 利用内、外函数的复合转化为熟悉的函数解决问题。 (复合函数单调性法则是“同增异减”, 即内、外函数单调性相同, 复合函数为增函数, 否则为减函数。)

三、引进恰当的变量构建函数解决问题, 特别是实际问题

客观世界从某种意义上讲是变量的世界, 许多实际问题可以通过收集与分解数据、引进变量、构造合理的函数关系式、研究构造的函数关系式等方法来解决。

例4:请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱, 上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥 (如右图所示) 。试问当帐篷的顶点O到底面中心O的距离为多少时, 帐篷的体积最大?

解析:设OO1为xm, 则1

四、利用题设条件巧妙构造熟悉性质的函数, 解决问题

许多问题所给函数关系式复杂, 就其本身很难研究。但只要合理变形, 就能构造新的我们熟悉的函数, 利用它们的性质研究所给函数的性质方便、快捷。

例5:如果 (1+sin4θ) sinθ> (1+cos4θ) cosθ, 且θ∈ (0, 2π) , 那么角θ的取值范围是____。

解析:构造函数f (x) = (1+x) x=x+x, 则f′ (x) =5x+1>0, f (x) 为R上的增函数。故由题知sinθ>cosθ, 而θ∈ (0, 2π) , 所以

类似题:使 (log23) x- (log53) x≥ (log23) y- (log53) y, 则x, y的大小关系是____。

解析:构造函数f (x) = (log23) x- (log53) x, 由于y1= (log23) x为增函数, y2= (log53) x为减函数, 故f (x) 为增函数, 由题知f (x) ≥f (y) , 知x≥y。

例6:已知函数f (x) =lnx, g (x) =x。当x>1时, 求证:f (x) >

解析:构造函数利用导数知h (x) 在 (1, +∞) 是增函数, 故h (x) >h (1) , 得证。

高考构造函数法 篇8

利用函数单调性证明不等式常用的是构造辅助函数的方法.构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用以下几种方法.1.用不等式两边“求差”构造辅助函数

例1证明当x>1时，2x>3-1x.

分析利用“求差”法构造辅助函数f（x）=

2x-（3-1x），x>1.则将要证明的结论转化为要证f（x）>0，而f（1）=0.因而只需证明当x>1时，f（x）>f（1）.

证明令f（x）=2x-（3-1x），则f ′（x）=1x-1x2=1x2（xx-1）>0.所以当x>1时，f（x）>f（1），又由于f（1）=0，所以f（x）>f（1）=0，即2x-（3-1x）>0.

故2x>3-1x（x>1）.

2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数

例2当02πx.

分析如果用“求差”构造辅助函数f（x）=2πx-sinx， f ′（x）=2π-cosx，在区间（0，π2）内f（x）的单调性无法判断.利用“求商”构造辅助函数f（x）=sinxx，再根据f（x）在区间（0，π2）的单调性来证明.

证明令f（x）=sinxx，则f ′（x）=cosx（x-tanx）x2（0f（π2）.即sinxx>2π，故sinx>2πx，（0

3.用参数变易法构造辅助函数解题

取一个端点为自变量构造函数，含双字母的不等式，可以考虑以其中一个字母为自变量，另外一个为常数来构造相应函数.

例3已知g（x）=xlnx，0

分析本题是在一个区间上证明不等式，而不等式涉及的变量就是区间的两个端点，因此设辅助函数时把其中的一个端点设为自变量.

证明设F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），则

F′（x）=g′（x）-2g′（a+x2）=lnx-lna+x2，

当x=a时F′（x）=0，F（x）取得极小值F（a），所以F（b）>F（a），即0

设G（x）=F（x）-（x-a）ln2，则G′（x）=lnx-ln（a+x），当x>0时，G′（x）<0，G（x）是减函数.G（b）

4.根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数.

例4求证|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析不等式两边有相同的形式A1+A，利用“形似”将某个字母换成x，构造辅助函数f（x）=x1+x（x≥0），再利用函数的单调性证明不等式.

高考构造函数法 篇9

ALGraph::ALGraph(T a[ ], int n, int e){

vertexNum=n;arcNum=e;

for(i=0;i

adjlist[i].vertex=a[i];

adjlist[i].firstedge=NULL;}

for(k=0;k

cin>>i>>j;//输入边所依附的两个顶点的序号s=new ArcNode;s->adjvex=j;//生成一个边表结点ss->next=adjlist[i].firstedge;//将结点s插入到结点i的边表的表头

adjlist[i].firstedge=s;

}

关于中值定理中构造函数的方法 篇10

n先举个例子：已知f(x)在（0,1）可导，在[0,1]内连续。而且f(1)=0.证明：存在§∈（0，1），使得nf(§)+§f´(§)=0.证明:设F(x)=xf(x)

则F（0）=F（1）=0

∴存在§使得F´（§）=0§∈（0，1）

即：§n1[nf(§)+§f´(§)]=0

原式得证。

本题中函数的构造方法：将要证式子变形，f´(§)／f(§)=-n／§,两边取不定积分。㏑|f(§)|=-n㏑§

即§f(§)=1

浅谈:构造函数解决数学之“最” 篇11

一、合理选取参变量,构造f(x)或f(θ)求解

例1:(2008,江苏高考改编)如图某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处;AB=20km,BC=10km.为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO,记排污管道的总长度为y km

(1)设∠BAO=θ(rad)将y表示或θ的函数

(2)请确认污水厂的位置:使铺设的排污管道的总长度最短

解析:(1)如图,延长PO交AB与Q,由题设可知

BQ=AQ=12AB=10

AO=BO;PO=10-OQ

在Rt△AOQ中,AO=10cosθ,OQ=10tanθ

所以y=AO+BO+PO=2•10cosθ+10-10tanθ

=20cosθ-10tanθ+10

又易知0≤θ≤π4,故y用θ表示的函数为

y=20cosθ-10tanθ+10(0≤θ≤π4)

(2)由(1)中的函数关系式y=20cosθ-10tanθ+10(0≤θ≤π4)来确定符合要求的污水处理厂的位置

y′=20sinθcos2θ-10•cos2θ+sin2θcos2θ

令y′=0得sinθ=12,又0≤θ≤π4

∴θ=π6

当θ∈[0,π6)时,y′<0,当θ∈(π6,π4]时,y′>0

所以y在θ=π6时取得极小值,这个极小值就是函数在[0,π4]上的最小值

当θ=π6时,AO=BO=10cosπ6=2033

因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A,B两点的距离均为2033km的时候,铺设的排污管道的总长度最短

另解:(2)设AO=x则BO=x

由题设可知

AQ=12AB=10

∴PO=10-OQ=10-x2-100

∴y=AO+BO+PO

=2x+10-x2-100

又易知 10

∴y=2x+10-x2-100 (10

y′=2-xx2-100

令y′=0得x=2033

当x∈(10,2033)时,y′<0,当x∈(2033,102]时y′>0

所以y在x=2033时取得极小值,这个极小值就是函数在(10,102]上的最小值.

因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A,B两点的距离均为2033km时,铺设排污管道的总长度最短.

评注:解决函数实际应用题的关键有两点,一是认真读题,二是要合理选取参变量,设参变量之后,就要寻找他们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系建立相应的函数模型,要注意定义域的确定.

变式:如图,苏北古城窑湾骆马湖畔有一块边长2a的等边三角形草坪,要在这块草坪内安装灌溉水管DE,使DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上

(1)设AD=x(x>0),DE=y,求y关于x的函数关系式;

(2)为节约成本,应如何安装,能使灌溉水管DE最短,最短是多少?

解析:(1)S△ABC=2a•3a•12=3a2

.

S△ADE=12S△ABC=32a2

12x•AE•sin60°=32a2

∴AE=2a2x

∴y=x2+4a4x2-2a2(0

(2)由(1)的关系式y=x2+4a4x2-2a2(0

得y≥2x2•4a4x2-2a2=2a

当且仅当x2=4a4x2时,即x=2a时,ymin=2a

因此当D,E分别距A均为2a时,水管DE最短,最短为2a.

二、用代入法构造关于某变量的函数求最值

例2:(2008.徐州模拟)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)•(b+2)的最小值为.

解析:由ab-4a-b+1=0得b=4a-1a-1代入(a+1)•(b+2),得

(a+1)•(b+2)=(a+1)•(4a-1a-1+2)=(a+1)•6a-3a-1

设f(a)=(a+1)(6a-3)a-1=6a2+3a-3a-1(a>1)

f′(a)=(12a+3)•(a-1)-(6a2+3a-3)(a-1)2=6a2-12a(a-1)2

令f′(a)=0得6a2-12a=0,由于a>1

所以a=2,

当12时f′(a)>0

所以f(a)在(1,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增

因此:当a=2时(f(a))min=f(2)=27

变式:设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0则y2xz的最小值是

解析:由x-2y+3z=0得y=x+3z2则

y2xz=(x+3z2)2xz=x2+9z2+6xz4xz=x2+9z24xz+32

令f(x,z)=x2+9z24xz+32≥2x2•9z24xz+32=3

当且仅当x=3z时,f(x,z)的最小值为3.

所以y2xz的最小值为3

评注:在某条件下求某式最值,可把条件进行恒等变形,用一个参量表示另一个参量,代入式子从而把式子转化为一元函数,通过求函数的最值,来求式子的最值

三、利用构造函数求最值来解决恒成立问题

例3:若当a∈[1,3]时,不等式ax2+(a-2)x-2>0恒成立,求实数x的取值范围.

解析:由ax2+(a-2)x-2>0得

a(x2+x)-(2x+2)>0

设f(a)=a(x2+x)-(2x+2)

由于当a∈[1,3]时,f(a)>0故只要(f(a))min大于0即可

(1)当x2+x≥0时,(f(a))min=f(1)>0即x2+x≥0x2+x-(2x+2)>0得

x<-1或x>2

(2)当x2+x<0时(f(a))min=f(3)>0即x2+x<03(x2+x)-(2x+2)>0得x值不存在

由(1)(2)得x的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞)

评注:由恒成立求参数的范围在高考中经常考查,对于此类问题通常可转化为求函数的最值来完成,要注意构造的函数为关于哪个变量的函数

函数在平时的学习中比较难,但又作为高中数学的一个重点,在学习时,不仅要熟练地掌握函数的图像与性质,而且要能够把函数作为一个解题工具来使用.

例谈构造函数关系 篇12

函数是高中数学的主线, 它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系, 形成变量数学的一大重要基础和分支.函数思想以函数知识做基石, 用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系, 使函数知识的应用得到极大的扩展, 丰富并优化了数学解题活动, 给数学解题带来一股很强的创新能力, 因此越来越成为数学高考长考不衰的热点.

函数思想与方程思想的联系十分密切.解方程f (x) =0就是求函数y=f (x) 当函数值为零时自变量x的值.求综合方程f (x) =g (x) 的根或根的个数就是求函数y=f (x) 与y=g (x) 的图像的交点或交点个数.合参数的方程f (x, y, t) =0和参数方程更是具有函数因素, 属于能随参数的变化而变化的动态方程, 它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点, 而是具有某种共性的几何曲线.正是这些联系, 促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换, 丰富了数学解题的思想宝库.

在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中, 将非函数问题的条件或结论, 通过类比、联想、抽象、概括等手段, 构造某些函数关系, 利用函数思想和方法使原问题获解, 是函数思想解题的更高层次的体现, 构造时, 要深入审题, 充分发掘题设中可类比、联想的因素, 促进思维迁移.以下是笔者对构造函数关系的举例.

例1 a为何值时, 不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2对任意实数x都成立.

分析 易想到分离变量a和x, 转化为a的二次函数的最值解决, 但实际解题中却无法直接从原不等式中分离出参数a, 深入审题知思维屏障产生于sin2x与cosx的不和谐性.以此为突破口, 利用整体思想、换元, 将原不等式先转换为cosx的二次不等式, 再利用新构造的函数关系求解.

略解 令t=cosx, 则sin2x=1-t2, t∈[-1, 1], 不等式化为t2-2at+a2+2a-3>0在t∈[-1, 1]上恒成立.

设f (t) =t2-2at+a2+2a-3= (t-a) 2+2a-3.

当a≤-1时, f (t) min=f (-1) =a2+4a-2;

当-1<a<1时, f (t) min=f (a) =2a-3;

当a≥1时, f (t) min=f (1) =a2-2.

原问题等价于当t∈[-1, 1]时f (t) min>0.即所求的a值为下列不等式组的解.

依次解得$a＜-2-\sqrt{6}$或a≠0或$a＞\sqrt{2}$, 故所求a的取值范围是$a＜-2-\sqrt{6}$或$a>\sqrt{2}.$

点拨解疑 ①不等式恒成立问题的基本解法是转化为函数最值问题, 利用函数性质解决, 但本题无法分离参数, 不能转化为例2中的较简单情形, 只好对含参数a的二次函数最值依对称轴位置分情况讨论, 利用函数性质:f (t) >0, 对t∈[-1, 1]恒成立等价于f (t) min>0, t∈[-1, 1], 使问题解决.

②在解题中综合使用了函数思想、数形结合思想.分类讨论思想和化归思想及换元法, 对思维品质要求较高.

例2 如图, 已知ABCD是边长为4的正方形, E, F分别是AB, AD的中点, GC垂直于ABCD所在平面, 且GC=2, 求点B到平面EFG的距离.

分析 距离的概念常由最小值定义, 故可设法将点B到平面的距离通过构造函数关系, 建立一个二次函数关系式, 转化为二次函数的最值解决.

解 连接AC, BD, EF, FG, 分别交AC于H, O.因ABCD为正方形, 故BD⊥AC, 由已知易得BD与平面GEF内的直线GH是异面直线, 由此可将点B到平面GEF的距离转化为两异面直线BD, GH的距离, 建立两异面直线上任意两点距离的一个二次函数关系式.

在GH上任取一点K, 作KL⊥AC, 垂足为L, 连接KO, 设KL=x.

利用Rt△KLH∽Rt△GCH, 可得

所以KO的最小值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$, 即点B到平面EFC的距离.

点拨解疑 函数最值法求距离是函数思想应用的较高层次, 解题的关键是在于选取变元构造恰当的二次函数, 应注意积累有关技巧.

总之, 函数与方程思想是最重要的一种数学思想, 高考中所占比重较大, 综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式抑或构造中间函数, 结合初等函数的图像与性质, 加以分析、转化, 解决有关求值、解 (证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.