函数单调性与最值教案

函数单调性与最值教案（精选3篇）

函数单调性与最值教案 篇1

学习目标：

1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。2.会用单调性求最值。

3.掌握基本函数的单调性及最值。知识重现

1、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；

（2）存在x0I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）

2、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（3）对于任意的xI，都有f(x) M；（4）存在x0I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimum value）理论迁移

例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18,那么烟花冲出后什么1 时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？

例2 已知函数f(x)=

22(x［2,6］),求函数的最大值和最小值。x1归纳基本初等函数的单调性及最值

1.正比例函数：f(x)=kx(k0)，当k0时,f(x)在定义域R上为增函数；当k0时,f(x)在定义域R上为减函数，在定义域R上不存在最值，在闭区间［a,b］上存在最值，当k0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k0时, ,最大值为f(a)=ka，函数f(x)的最小值为f(b)=kb。2.反比例函数：f(x)=k(k0)，在定义域（-，0）（0,+）上无单调性，也不存在x最值。当k0时，在（-，0），（0,+）为减函数；当k0时，在（-，0），（0,+）

为增函数。在闭区间［a,b］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(b)= 最大值为f(a)=

k,bkkk, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(a)=，最大值为f(b)=。aab3.一次函数：f(x)=kx+b(k0),在定义域R上不存在最值，当k0时，f(x)为R上的增，当k0时，f(x)为R上的减函数，在闭区间［m,n］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b，最大值为f(m)=km+b。4.二次函数：f(x)=ax+bx+c, 当a0时，f(x)在（-,-2bb）为减函数，在（-，+）为增函数，在定义域R上

2a2ab4acb2有最小值f()=,无最大值。

2a4a当a0时，f(x)在（-,-

bb）为增函数，在（-，+）为减函数，在定义域R上

2a2ab4acb2有最大值f()=,无最小值。

2a4a函数单调性的应用

1.利用函数的单调性比较函数值的大小

例1 如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。

例2 已知函数y=f(x)在［0,+）上是减函数，试比较f（22

32)与f(a-a+1)的大小。42.利用函数的单调性解不等式

例3 已知f(x)是定义在R上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)

（1）解方程 f(x)=f(1-x)

(2)解不等式 f(2x)f(1+x)

(3)求适合f(x)2或f(x)0的x的取值范围。

3．利用函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。

例3 已知f(x)=x-2(1-a)x+2在（-，4）上是减函数，求实数a的取值范围。

例4 已知A＝［1,b］(b1),对于函数f(x)=求b的值。

练习：已知函数y=f(x)=-x+ax-

2212(x-1)+1,若f(x)的定义域和值域都为A，2a1+在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值。

42求函数值域（最值）的一般方法

1.二次函数求最值，要注意数形结合

与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。例1：求函数y=-x2x2的最大值和最小值。

例2：求f(x)=x-2ax+x2,x［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。例3：求函数f(x)=2x在区间［2,5］上的最大值与最小值。x

5.分段函数的最值问题

分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。

12x,(x1)2例6：已知函数f(x)= 求f(x)的最大最小值。

函数单调性与最值教案 篇2

1. 函数[f（x）=lnxx-1+x12]的定义域为（ ）

A. [（0，+∞）] B. [（1，+∞）]

C. [（0，1）] D. [（0，1）?（1，+∞）]

2. 函数[f（x）=log2（x-1+1）]的值域为（ ）

A. R B. [（0，+∞）]

C. [（-∞，0）?（0，+∞）]D. [（-∞，1）?（0，+∞）]

3. 已知函数[f（x）=lgx，x>0，x+3，x≤0，]则[f（a）+f（1）][=0]，则实数[a]的值等于（ ）

A. [-3] B. [-1或3]

C. [1] D. [-3或1]

4. “[a≤0]”是“函数[f（x）=（ax-1）x]在区间[（0，+∞）]上单调递增”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

5. 设[y=（a-1）x]与[y=（1a）x（a>1且a≠2）]具有不同的单调性，则[M=（a-1）13]与[N=（1a）3] 的大小关系是（ ）

A. [M

C. [M>N] D. [M≤N ]

6. 已知函数[fx=log2x，x>0，3x，x≤0，]则[ff14]的值是（ ）

A. [9] B. [19] C. [-9] D. [-19]

7. 若函数[f（x）=x2+ax+1x]在[12，+∞]上是增函数，则[a]的取值范围是（ ）

A. [-1，0] B. [-1，+∞]

C. [0，3] D. [3，+∞]

8. 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个小孔以相同的速度注入其中，注满为止. 用下面对应的图象显示该容器中水面的高度[h]和时间[t]之间的关系，其中不正确的是（ ）

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

9. 某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一个代表名额.那么各班代表人数[y]与该班人数[x]之间的函数关系用取整函数[y=[x]]（[[x]]表示不大于[x]的最大整数）可表示为（ ）

A. [y=[x10]] B. [y=[x+310]]

C. [y=[x+410]] D. [y=[x+510]]

10. 已知函数[f（x）=x2-2（a+2）x+a2]，[gx=][-x2+2a-2x-a2+8.][H1（x）=maxf（x），g（x），][H2（x）][=minf（x），g（x）]，（[maxp，q]表示[p，q]中的较大值，[minp，q]表示[p，q]中的较小值），记[H1x]的最小值为[A，][H2x]的最小值为[B]，则[A-B=]（ ）

A. [a2-2a-16] B. [a2+2a-16]

C. [-16] D. [16]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知函数[f（x）]=[x-1]，若[f（a）=3]，则实数[a]= .

12. 函数[f（x）=2|x-1|]的递增区间 .

13. 已知函数[f（x）]的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数[f（x+2）]的定义域为 ，值域为 .

14. 函数[f（x）]的定义域为[D]，若存在闭区间[[a，b]?D]，使得函数[f（x）]满足：（1）[f（x）]在[[a，b]]上是单调函数；（2）[f（x）]在[[a，b]]上的值域为[[2a，2b]]，则称区间[[a，b]]为[y=f（x）]的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是 （填函数序号）.

①[f（x）=x2（x≥0）] ②[f（x）=ex（x∈R）]

③[f（x）=1x（x>0）] ④[f（x）=4xx2+1（x≥0）]

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知函数[g（x）=x+1]， [h（x）=1x+3]，[x∈（-3，a]]，其中[a]为常数且[a>0]，令函数[f（x）=g（x）?h（x）].

（1）求函数[f（x）]的表达式，并求其定义域；

（2）当[a=14]时，求函数[f（x）]的值域.

16. （10分）运货卡车以每小时[x]千米的速度匀速行驶130千米（50≤[x]≤100）（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油[2+x2360]升，司机的工资是每小时14元.

（1）求这次行车总费用[y]关于[x]的表达式；

（2）当[x]为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用.

17. （12分）已知函数[g（x）=ax2-2ax+1+b][（a>0）]在[[2，3]]上有最大值4和最小值1. 设[f（x）=g（x）x].

（1）求[a，b]的值；

（2）若不等式[f（2x）-k?2x≥0]在[x∈[-1，1]]上有解，求实数[k]的取值范围.

18. （12分）设函数[fx=ln x-ax]，[gx=ex][-ax]，其中[a]为实数.

（1）若[fx]在[1，+∞]上是单调减函数，且[gx]在[1，+∞]上有最小值，求[a]的范围；

（2）若[gx]在[-1，+∞]上是单调增函数，试求[fx]的零点个数，并证明你的结论.

函数单调性与最值教案 篇3

第一课时 单调性

【教学目标】

1.知识与能力目标

（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质.。

（3）理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别。2.过程与方法目标

（1）逐步借助图像、表格、自然语言和数学符号语言，建立增（减）函数的概念。（2）学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养，借助函数图象的直观性得出函数的最值，（3）培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力。3.情感态度与价值观目标

（1）通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯.（2）通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣；学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习的信心。【教学重点难点】

重点：函数的单调性和最值及其几何意义．

难点：增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 【教学过程】 导入新课

如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

图1-3-1-8 随x的增大，y的值有什么变化？ 引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课 新知探究 提出问题

问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=化规律.如图1-3-1-9所示:

1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变x 1

图1-3-1-9 问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知.问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+和减函数吗？

2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数x

图1-3-1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？

设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上 y随x的增大而减小.(3)函数y=

1，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增x大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x1

例1课本P29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤: ①画函数的图象；

②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练

课本P32练习4.例2课本P32页例2.思路分析：按题意，只要证明函数p=

k在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明.V点评：本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（定义法）①任取x1、x2∈D，且x1

③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.易错分析：错取两个特殊值x1、x2来证明.答案：略.变式训练

判断下列说法是否正确： ①已知f(x)=1,因为f(-1)

课本P32练习2.拓展提升 试分析函数y=x+1的单调性.x活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.答案：略.课堂小结

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.(3)数学思想方法：数形结合.(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.【作业】