二次函数学案

二次函数学案（精选11篇）

二次函数学案 篇1

课型：新授课 时间： 2010.12.7 主备：单宝珍 审核： 顾友梅

一、学习目标

1、经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2、会用二次函数的定义解决简单的问题。

二、自学指导

带着如下问题阅读课本6-7页，带着你的疑惑和问题走进课堂。

1、回顾我们学习过的函数有哪几种？试写出它们的定义。

2、课本从生活实际中得到的三个函数与一次函数和反比例函数有何不同？这三个函数有什么共同特征？

像这样，形如的函数称为二次函数。

3、二次函数yax2bxc自变量的取值范围是

，课本从生活实际中得到的三个函数的自变量的取值范围分别是

、、。（你是怎么得到的？）

三、检测自学效果

1、判断：下列函数是否为二次函数？如果不是二次函数，请说明理由？(1)y＝1— 3x(2)y＝x(x－5)

(3)y＝

123x－22x＋1

(4)y＝3x(2－x)＋ 3x2

(6)y＝x5x6

(7)y＝ x4＋2x2－1

(8)y＝ax2＋bx＋c 23x2x122、课本P7练习（若是二次函数，请将结果化为yaxbxc的形式）答案写在下面：(5)y＝

题1：

题2：

题3：

题4：

你在自学中遇到的问题是：。

四、探究：当k为何值时，函数

y(k1)xk2k2kx1（1）为二次函数？(2)为一次函数？

巩固案

A组

1、下列函数中，是二次函数的有（）Ａ．y=

131.x25x1 Ｂ．yax2bxc Ｃ.y=x2x1 D.y=222x2x

32、一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式。

3、一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式。

4、已知函数yx2x2 当x=0，y= 当y=0，x=。

yax2，当x=2时，y=-12，当x=-3时，求y的值．

5、已知二次函数

6、已知函数

B组 y(m3)xm7是二次函数，求m的值.21、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

2、某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式.作业:课本第8页 3、4、5题。

6.1二次函数(2)教案

课型：新授课 时间：2010-12-8 主备：单宝珍 审核： 顾友梅

一、教学目标

1、经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2、会用二次函数的定义解决简单的问题。

二、教学过程

1、学生分组讨论和交流学案二、三部分，教师巡视、指导。寻找展示素材。约10分钟。

2、组织学生展示交流：约10分钟

（1）对学过的函数分类；

（2）分析从生活实际中得到的三个函数的共同特征，得出二次函数的定义。若对二次函数的特征分析不够准确全面，可以通过定义和检测题1后，进一步深化理解。

（3）引导学生对定义中a,b,c的取值范围的准确认识。

3、师生共同探究 约10分钟

当k为何值时，函数y(k1)xk2k2kx1（1）为二次函数？(2)为一次函数？

2（1）先由学生发表意见，讲解题方法。系数（k-1）≠0，次数 且 k

（2）分两种情况①当k2k>1时，有k-1=0 且2k≠0②当k4、巩固练习

（1）学生独立做巩固案。10分钟

(2)组内批改，全班反馈、交流。

2k =2

k=1时，有k2k=1 且k-1+2k≠0

二次函数学案 篇2

掌握二次函数最值问题.

学习目标 (一)

二次函数y=ax2+bx+c在自变量取任意实数时的最值情况:

当a>0时, 函数在x=处取得最小值

当a<0时, 函数在x=处取得最大值

练习:

1. 抛物线y=2 (x+4) 2+7的开口方向是____, 顶点坐标为____, 对称轴是直线____, 当x=_____时, y有最____值为_____.

2. 抛物线y=-x2+6x+5的开口方向是________, 顶点坐标为_____, 当x=____时, y有最____值为____.

3.抛物线y=中, 当x=____时, y有_______值是________.

4. 二次函数y=-x2+mx中, 当x=2时, 函数值最大, 则其最大值是_______.

5. 已知二次函数y=x2-2x+c的最小值是-4, 则c=_______.

6. 二次函数y=ax2-4x+a的最大值是3, 则a=______.

学习目标 (二)

当自变量x在某个范围内取值时, 函数的最值问题.

练习:

7. 已知二次函数的图像 (0≤x≤3) 如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 () .

A.有最小值0, 有最大值3

B.有最小值-1, 有最大值0

C.有最小值-1, 有最大值3

D.有最小值-1, 无最大值

8. 已知抛物线y=当1≤x≤5时, y的最大值是______, 最小值是______.

学习目标 (三)

二次函数的最值问题在实际生活中的应用.

练习:

9. 某学校要在围墙旁建一个长方形的生物苗圃园, 苗圃的一边靠围墙 (墙的长度不限) , 另三边用木栏围成, 建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.已知木栏总长为120米, 设AB边的长为x米, 长方形ABCD的面积为S平方米.

(1) 求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围.

(2) 当x为何值时, S取得最大值?并求出这个最值.

10. 某工艺厂设计了一款成本为每件20元的工艺品, 投放市场进行试销后发现每天的销售量y (件) 是售价x (元/件) 的一次函数y=-10x+1000.

(1) 设该工艺品每天获得的利润为w元, 求出w与x的函数关系式.

(2) 如果该工艺品售价最高不能超过每件30元, 那么售价定为每件多少元时, 工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?

略谈二次函数 篇3

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应,记为f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

类型1:已知f(x)= 2x2+x+2,求f(x+1)

这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型2:设f(x+1)=x2-4x+1,求f(x)

这个问题理解为,已知对应法则f下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素x的象,其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

①把所给表达式表示成x+1的多项式。

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6

②变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。

令t=x+1,则x=t-1∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而f(x)=x2-6x+6

二、二次函数的单调性,最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,- ]及[- ,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型3:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

①y=x2+2|x-1|-1

②y=|x2-1|

③y=x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。

类型4:设f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并画出 y=g(t)的图象

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t-1

当t<0时,g(t)=f(t+1)=t2-2

t2-2, (t<0)

g(t)=-2,(0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。

三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维

类型5:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0

①当x∈(0,x1)时,证明x

②设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0< 。

解题思路:本题要证明的是x

①先证明x

因为00,又a>0,因此f(x)>0,即f(x)-x>0。至此,证得x

根据韦达定理,有x1x2= ∵0f(0),所以当x∈(0,x1)时f(x)

②∵f(x)=ax2+bx+c=a(x+-)2+(c-),(a>0)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=- ,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-,∵x2-<0,∴x0=- = (x1+x2- )< ,即x0= 。

三角函数专题学案 篇4

考纲要求：

1、任意角的概念、弧度制

（1）了解任意角的概念和弧度制的概念；

（2）能进行弧度与角度的互化.2、三角函数

（1）理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

（2）能利用单位园中的三角函数线推导出

2,的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出

ysinx,ycosx,ytanx的图像，了解三角函数的周期性；

（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等），理解正切函数在区间(,)内的单调性； 2

222（4）理解同角三角函数的基本关系式：sinxcosx1,sinxtanx； cosx

（5）了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图像，了解参数A,,对函数图像变化的影响；

（6）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题；

3、三角恒等变换

（1）两角和与差的三角函数公式

①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；

②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；

③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

（2）简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括汇出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）；

4、解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

（2）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.学习过程

一、探究高考，把握规律

（表一）近五年全国新课标卷三角函数部分对比

规律总结：

（表二）2011年全国高考试题三角函数部分对比

规律总结：

二、网络构建，知识打包

三、教材回归，高考链接

1、（必修四69页A8）已知tan3,计算

4sin2cos

;（2）sincos;（3）(sincos)2.5cos3sin

sin2

高考链接：（2011福建卷3）若tan=3，则的值等于

cos2a

（1）

A.2B.3C.4D.6

2、（必修四39页例5）求函数ysin(x高考链接（2011安徽9）

已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)f()对xR恒成立，且f()f()，),x[2,2]的单调递增区间.

2则f(x)的单调递增区间是

（A）k



,k





（B）(kZ)k,k(kZ)62

（C）k







6,k

2

（D）k,k(kZ)(kZ)23

3、（必修四127页例2）

4

5,(,),cos,是第三象限角，求cos()的值.521

31

高考链接：（2011广东卷16）已知函数f(x)2sin(x),xR.36

5

（1）求f()的值；

已知sin（2）设,0,106,f(3a),f(32),求cos()的值． 21352

四、题海拾贝，提升能力

1．（2007宁、海卷9）若

cos2cossin的值为（）

π

sin

4

2Ｃ．

Ａ．

Ｂ．

Ｄ．

2．（2008宁、海卷1）已知函数y2sin(x)(0))在区间0，2的图像如下： x

那么

＝（）A．

1B．

2C．

D．

33．（2009宁、海卷5）有四个关于三角函数的命题：

p1：xR, sin2p3: x0,其中假命题的是

x12x+cos=p2: x、yR, sin(x-y)=sinx-siny

2p4: sinx=cosyx+y=

2（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p

44．（2010宁、海卷9）若cos，是第三象限的角，则

51tan1tan



（A）

1（B）（C）2（D）2 2

25．（2011宁、海卷5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2=（A）

4334（B）（C）（D）5555

6．（2011北京卷15）（本小题共13分）已知函数f(x)4cosxsin(x



6)1.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：



（Ⅱ）求f(x)在区间,上的最大值和最小值。

二次函数反思 篇5

二次函数反思贾翠颖

二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课,通过实例引入二次函数的概念,并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.、给学生提供丰富的实例,让学生体会数学来源于生活,并为生活所用.学习二次函数的知识,可以解决许多实际问题,真正体会学习数学的意义,产生用数学意识.调动学生积极主动参与到数学活动中,同时让学生感到求函数的最值在本章中处于非常重要的地位.在教学中我注重从身边的实例入手，让学生充分认识数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣，达到愿学想学的愿望。

二次函数利润问题 篇6

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

解：（1）根据题意，得y=（2400-2000-x）（8+4×），即；

（2）由题意，得

整理，得x2-300x+20000=0，解这个方程，得x1=100，x2=200，要使百姓得到实惠，取x=200，所以，每台冰箱应降价200元；

（3）对于 当时，y最大值=（2400-2000-150）（8+4×）=250×20=5000，所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000元。

．

2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0≤x≤15且x为整数）；

（2）配方法，有y=-10（x-5.5）2+2402.5∵a=-10<0

∴当x=5.5时，y有最大值2402.5

∵0≤x≤15，且x为整数

当x=5时，50+x=55，y=2400

当x=6时，50+x=56，y=2400

∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；

（3）当y=2200时，-l0x2+110x+2100=2200

解得x1=1，x2=10。

∴当x=1时，50+x=5

1当x=10时，50+x=60

∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润恰为2200元

当51元≤售价≤60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价为51，52，53，54，55，56，57，58，59或60元时，每个月的利润不低于2200元）。

3、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售

经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；

（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是______________________个；（用含x的代数式表示）（4分）

（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）

解：（1）.(10+x)（500-10x）

（2）.500-10x

（3）.由(10+x)（500-10x）=-10x2+400x+5000=-10（x-20）2+9000得最大利润9000

此时售价604、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上

涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

(1)y=(210-10x）(50+x-40)=-10x^2+110x+2100=-10(x-5.5)^2+2402.5(0≤x≤15)

(2)∵X为正整数∴最大利润代入X=5（或者6），y=2400

(3)根据题意，得（210-10x）（10+x）=2200．

整理，得x2-11x+10=0，解这个方程，得x1=1，x2=10

∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．

二次函数学习三步骤 篇7

第一步、明意义

1. 函数“明意义”的基本体现

对函数相关的问题, 能够从以下两个方面来观察、认识和把握:

1能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题;

2能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题;

例1 ( 2012年辽宁铁岭中考) 如图1, ABCD的AD边长为8, 面积为32, 四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上, 它们的各边与ABCD的各边分别平行, 且与ABCD相似. 若小平行四边形的一边长为x, 且0 < x≤8, 阴影部分的面积的和为y, 则y与x之间的函数关系的大致图象是 ( )

解析: ∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上 .

∴阴影部分的面积的和等于一个小平行四边形的面积 .

∵ABCD的AD边长为8, 面积为32, 小平行四边形的一边长为x, 阴影部分的面积的和为y, 且小平行四边形与

∴y/32= (x/8) 2, 即 y =1/2x2.

又∵0 < x≤8, ∴纵观各选项, 只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象. 故选D.

说明: 对函数“明意义”, 就要善于从自变量与函数值的对应关系入手, 从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题.

2.“明意义”的更高体现

对于函数意义的掌握, 不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究, 更为重要的是遇到具体问题时, 能够而且善于把函数作为研究与解决的工具, 即确立了这样的意识: 凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题, 就要想到用函数来研究和解决, 这才是“明意义”的更高体现, 才是“函数思想”深刻与强烈的表现.

例2 ( 2012年山东省荷泽市中考) 2012年牡丹花会前夕, 我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销, 经过调查, 得到如下数据:

( 1) 把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标, 在下面的平面直角坐标系中描出相应的点, 猜想y与x的函数关系, 并求出函数关系式;

( 2) 当销售单价为多少时, 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大? 最大利润是多少? ( 利润 = 销售总价 - 成本总价)

( 3) 荷泽市物价部门规定, 该工艺品销售单价最高不能超过35元/件, 那么销售单价定为多少时, 工艺厂试销工艺品每天获得的利润最大?

分析: 把表格中的点在平面直角坐标系出描画出来, 可知这个函数是一次函数, 所以设函数的关系式y = kx + b, 利用待定系数法求出函数的解析式, 利润的最大问题是通过二次函数的知识来解决, 列出利润与销售单价的二次函数关系式, 然后根据最值问题求解.

解: ( 1) 画图如图2:

由图可猜想y与x是一次函数关系, 设这个一次函数为y = kx + b ( k≠0) ,

∵这个一次函数的图象经过 ( 20, 500) 、 ( 30, 400) 这两点,

∴函数关系式是y = - 10x + 700.

( 2) 设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元, 依题意得:

W = ( x - 10 ) ( - 10x + 700 ) = - 10x2+ 800x - 7000 = - 10 ( x -40) 2+ 9000,

当时x = 40时, W有最大值9000.

( 3) 对于函数W = - 10 ( x - 40) 2+ 9000, 当x≤35时, W的值随着x值的增大而增大,

∴销售单价定为35元∕件时, 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大.

点评: 一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题, 实际应用问题注要集中在利润、面积、体育运动或桥梁设计等问题.

说明: 时时刻刻都注意从函数的角度来认识研究问题中变量之间的关系, 恰当地建立函数关系, 并运用函数的性质将问题解决, 这样的“主动精神”和“自觉行动”正体现了“函数思想”的极好确立.

第二步、定关系式

1. 用待定系数法确定函数关系式

用待定系数法确定函数关系式, 应具备以下两个条件:

条件一、已知知道这个函数是二次函数;

条件二、知道该函数满足的若干组对应值 ( 二次函数需三组) .

实际上, 待定系数法就是通过构造关于函数关系表达式中各项系数的方程, 求出它们的值, 从而使函数关系的表达式确定下来.

例3 ( 2012年黔东南州中考) 如图3, 已知抛物线经过点A ( - 1, 0) 、B ( 3, 0) 、C ( 0, 3) D三点.

( 1) 求抛物线的解析式.

( 2) 点M是线段BC上的点 ( 不与B, C重合) , 过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m, 请用m的代数式表示MN的长.

( 3) 在 ( 2) 的条件下, 连接NB、NC, 是否存在点m, 使△BNC的面积最大? 若存在, 求m的值, 若不存在, 说明理由. 点的纵坐标

分析: ( 1) 我们可以设一般式: y = ax2+ bx + c ( a≠0) 或坐标式: y =a ( x - x1) ( x - x2) ( a≠0) , ( 2) MN的长即N点的纵坐标减M点的纵坐标的值 ( 3) 因为S△BNC+ S△MNB=1/2·| MN |·| OB | , 所以当| MN |最大时, △BNC的面积最大.

解: ( 1) 设抛物线方程为: y = ax2+ bx + c ( a≠0) ,

把A ( - 1, 0) 、B ( 3, 0) 、C ( 0, 3) D三点代入方程得

∴ y = - x2+ 2x + 3

( 2) 设直线BC: y = kx + b ( k≠0) , 把B ( 3, 0) 、C ( 0, 3) 代入得

, ∴直线AB: y = - x + 3, ∴M ( m, - m + 3) .

又∵MN⊥x轴, ∴N ( m, - m2+ 2m + 3)

∴ MN = ( - m2+ 2m + 3) - ( - m + 3) = - m2+ 3m ( 0 < m < 3)

( 3) 如图4, S△BNC= S△CMN+ S△MNB=1/2·|MN |·| OB | , ∴当| MN |最大时, △BNC的面积最大.

MN = - m2+ 3m = - ( m2- 3m +9/4) +9/4=- ( m -3/2) 2+9/4,

所以当m =3/2时, △BNC的面积最大为:1/2×9/4×3 =27/8.

点评: 本题考查了二次函数和几何知识的综合应用, 难度较大.

2. 用“列式法”确定函数关系式

所谓用列式法确定函数关系的表达式, 就是根据问题中的数量关系直接列出用自变量的代数式来表示函数, 这样的情况也是很多的.

例4 ( 2012年四川成都中考) “城市发展交通先行”, 成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程, 建成后将大大提升二环路的通行能力. 研究表明, 某种情况下, 高架桥上的车流速度V ( 单位: 千米/时) 是车流密度 ( 单位: 辆/千米) 的函数, 且当0 < x≤28时, V = 80; 当28 < x≤188时, V是的一次函数. 函数关系如图5所示.

( 1) 求当28 < x≤188时, V关于的函数表达式;

( 2) 若车流速度V不低于50千米/时, 求当车流密度x为多少时, 车流量P ( 单位: 辆/时) 达到最大, 并求出这一最大值. ( 注: 车流量是单位时间内通过观测点的车辆数, 计算公式为:

车流量 = 车流速度×车流密度)

分析: 本题先用待定系数法求出V关于的函数表达式, 然后建立车流量关于车流密度的二次函数解析式, 最后将解析式化成顶点式, 得到函数的最大值.

( 2) 根据题意, 得

可见, 当车流密度x为94辆/千米时, 车流量P最大, 为4418辆/时.

点评: 待定系数法是中考出现频率比较高的知识点, 解题时要注意运算准确迅速, 格式正确; 将二次函数的一般式化成顶点式, 也要能正确运算, 避免出错.

第三步、用性质

函数的性质, 主要是指二次函数的增减性和图象的对称性, 以及二次函数图象的顶点坐标等.

对函数性质的考查, 主要有两个层面: 一是对给定的函数确定其某个方面的性质, 二是利用函数的性质, 解决某相关的问题.

1. 确定指定函数的性质

例5 ( 2012年山东泰安, 中考) 设A ( -2, y1) , B ( 1, y2) , C ( 2, y3) 是抛物线y = - ( x +1) 2+ m上的三点, 则y1, y2, y3的大小关系为 ( )

A. y1> y2> y3B. y1> y3> y2

C. y3> y2> y1D. y2> y1> y3

解析: 方法一: 把A、B、C三点的坐标分别代入y = - ( x + 1) 2+ m, 得y1= - 1 + m, y2= - 4 + m, y3= - 9 + m, 所以y1> y2> y3.

方法二: ∵函数的解析式是y = - ( x + 1) 2+ m, 如图6, ∴对称轴是x = ﹣1, ∴点A关于对称轴的点A'是 ( 0, y1) , 那么点A'、B、C都在对称轴的右边, 而对称轴右边y随x的增大而减小, 于是y1> y2> y3. 故选A.

点评: 代入法是比较函数值大小的一种常用方法; 数形结合法, 当抛物线开口向下的时候离对称轴越近, 对应的函数值越大, 当抛物线开口向上的时候离对称轴越近, 对应的函数值越小.

说明: 由本例看出, 熟练而恰当地运用函数的性质, 可使问题的解决思路明晰, 过程简捷.

2. 运用函数的性质解决相关的实际问题或数学问题

例6 ( 2012年山东省聊城中考) 某电子商投产一种新型电子产品, 每件制造成本为18元, 试销过程发现, 每月销量y ( 万件) 与销售单价x ( 元) 之间关系可以近似地看作一次函数y = - 2x + 100. ( 利润 =售价 - 制造成本)

( 1) 写出每月的利润z ( 万元) 与销售单价x ( 元) 之间函数解析式;

( 2) 当销售单价为多少元时, 厂商每月能够获得350万元的利润?当销售单价为多少元时, 厂商每月能够获得最大利润? 最大利润是多少?

( 3) 根据相关部门规定, 这种电子产品的销售单价不得高于32元. 如果厂商要获得每月不低于350万元的利润, 那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?

分析: ( 1) 根据利润 = 售价 - 制造成本, 其中售价 = 销售量×单价; ( 2) 相当于在问题 ( 1) 基础上, 根据函数值求自变量的值及二次函数最大值; ( 3) 结合函数图象解决.

解: ( 1) z = ( x - 18) y = ( x - 18) ( - 2x + 100) =- 2x2+ 136x - 1800.

∴z与x之间的函数解析式为 - 2x2+ 136x 1800.

( 2) 由 z = 350, 得 350 = - 2x2+ 136x - 1800,

解此方程, 得1= 25, x2= 43.

∴销售单价应定为25元或43元.

把z = - 2x2+ 136x - 1800配方, 得z = - 2 ( x - 34) 2+ 512.

因此, 当销售单价为34元时, 厂商每月能够获得最大利润, 最大利润是512元.

( 3) 结合 ( 2) 及函数z = - 2x2+ 136x - 1800的图象 ( 如图7所示) 可知, 25≤x≤43时, z≥350. 又由限价为32元, 得25≤x≤32.

根据一次函数的性质, 得y = - 2x + 100中y随x的增大而减小.

∴当x = 32时, 每月制造成本最低. 最低成本是18× ( - 2×32 +100) = 648 ( 万元) .

因此, 每月的最低制造成本需要648万元.

“二次函数”教学设计 篇8

【教材分析】

教学目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图像.

2．让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y=a(x－h)2的图像与二次函数y=ax2的图像的关系.

教学重、难点：

重点：会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图像，理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图像与二次函数y=ax2的图像的关系是教学的重点.

难点：理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图像与二次函数y=ax2的图像的相互关系是教学的难点.

【教学过程】

一、提出问题

（1）两条抛物线的位置关系.

（2）分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标.

（3）说出它们所具有的公共性质.

2.二次函数y=2(x-1)2的图像与二次函数y=2x2的图像的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图像之间有什么关系?

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?

(画出二次函数y=2(x-1)2和二次函数y=2x2的图像，并加以观察.)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图像吗?

教学要点：

1．让学生完成下表填空.

2．让学生在直角坐标系中画出图来.

3．教师巡视、指导.

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?

教学要点：

1．教师引导学生观察画出两个函数图像．根据所画出的图像，完成以下填空：

开口方向对称轴顶点坐标

y=2x2

y=2(x-1)2

2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y=2(x-1)2与y=2x2的图像、开口方向相同，对称轴和顶点坐标不同；函数y=2(x-1)2的图像可以看作是函数y=2x2的图像向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0).

问题4：你可以由函数y=2x2的性质，得到函数y=2(x-1)2的性质吗?

教学要点：

1.教师引导学生回顾二次函数y=2x2的性质，并观察二次函数y=2(x-1)2的图像；

2．让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______.

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图像，并比较它们的联系和区别吗?

教学要点：

1．在学生画函数图像的同时，教师巡视、指导；

2．请两位同学上台板演，教师讲评；

3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图像开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+1)2的图像可以看作是将函数y=2x2的图像向左平移1个单位得到的.它的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0).

问题6：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2(x+1)2的性质吗?

教学要点：

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜-1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞-1时，函数值y随x的增大而增大；当x=-1时，函数取得最小值，最小值y=0.

教学要点：

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜-2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞-2时，函数值y随x的增大而减小；当x=-2时，函数取得最大值，最大值y=0.

四、课堂练习

P11练习1、2、3.

五、小结

1．在同一直角坐标系中，函数y=a(x-h)2的图像与函数y=ax2的图像有什么联系和区别?

2．你能说出函数y=a(x-h)2图像的性质吗?

3．谈谈本节课的收获和体会.

六、作业

1．P19习题26．21（2）.

2．选用课时作业优化设计.

第二课时作业优化设计：

1．在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图像.

（4）分别说出各个函数的性质.

3．已知函数y=4x2，y=4(x+1)2和y=4(x-1)2.

（1）在同一直角坐标系中画出它们的图像；

（2）分别说出各个函数图像的开口方向，对称轴、顶点坐标；

（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x2的图像得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x-1)2的图像；

（4）分别说出各个函数的性质．

4．二次函数y=a(x-h)2的最大值或最小值与二次函数图像的顶点有什么关系?

（作者单位：兰西县第1中学）

编辑/张烨

二次函数复习教案 篇9

18课时 二次函数(二)

1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2.结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3.会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。4.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题。教学重点 二次函数性质的综合运用 教学难点 二次函数性质的综合运用 教法 讲练结合 教学过程

一、知识梳理: 1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y为0时的情况．

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）①当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，△>0；

②当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，△=0；

③当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，△<0.2.二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决优化问题，这类问题实际上就是求函数最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；

二、经典考题剖析: 例题1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x2-6x＋8=0的解是什么？

②x取什么值时，函数值大于0？

③x取什么值时，函数值小于0？

解：（1）由题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）(x－4）= 0，x1=2，x2=4．∴与x轴交点为（2,0）和（4，0）；当x=0时，y=8．∴抛物线与y轴交点为（0，8）；（2）抛物线解析式可化为y=x2－6x+8=(x-3)2-1；

∴抛物线的顶点坐标为（3，－1）

（3）如图所示．①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．

②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0． 例题

2、已知二次函数yx2(m2)xm1，(1)试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

分析：(1)要说明不论m取任何实数，二次函数yx2(m2)xm1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程x2(m2)xm10有两个不相等的实数根，即△＞0．

(2)两个交点都在原点的左侧，也就是方程x2(m2)xm10有两个负实数根，因而必须符合条件①△＞0，②x1x20，③x1x20．综合以上条件，可求得m的值的范围．

三、合作交流：

1、若二次函数y=-x+2x+k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程-x+2x+k=0的一个解x1 = 3,则另一个解x2 = _____。

2、抛物线y=kx-7x-7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是。

四、中考压轴题赏析：（分组合作）

已知：二次函数yx2(m1)xm的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点，2交y轴正半轴于点C，且x12x210。2（1）求此二次函数的解析式；

5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，2使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，说明理由。（2）是否存在过点D(0，-解：（1）∵x1+x2=10，∴（x1+x2）-2x1x2=10，根据根与系数的关系得：x1+x2=m+1, x1x2=m 222∴（m+1）2-2m=10，∴m=3，m=-3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m = 3，∴所求抛物线的解析式为：y=x-4x+3；（2）假设过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M（xM，yM）、N（xN，yN）两22点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．

5设直线MN的解析式：y=kx-，2则有：yM+yN=0，（6分）由 得x-4x+3=kx-，并同类项得x2-（k+4）x+11=0，2移项后

合52∴xM+xN=k+4．

∴52yM+yN=kxM-+kxN-=k（xM+xN）-5=0，即k（k+4）-5=0，∴k=1或k=-5．

当k=-5时，方程x-（k+4）x+11=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，2522∴k = 1，3

∴直线MN的解析式为y=x-5，2∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；

∴存在过点D（0，-5）的直线与抛物线交于M，N两点，与x轴交于点E．使得

2M、N两点关于点E对称．

点评：此题巧妙利用了一元二次方程根与系数的关系．在（2）中，将直线与抛物线的交点问题转化为根与系数的关系来解答，考查了同学们的整体思维能力．

五、反思与提高：

1、本节课主要复习了哪些知识，你印象最深的是什么？

2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？

六、备考训练：

二次函数教学反思 篇10

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教学反思:

今天，领着学生复习了二次函数的知识。本节知识是中考考点之一，往往与其他知识综合在一起作为中考压轴题，因此要求学生重点掌握的有以下几个内容：

1、二次函数图像的性质。

2、二次函数的实际应用。

在复习与练习的过程中，我发现学生存在着这样几个问题。

1、某些记忆性的知识没记住。

2、学生稍遇到点难题就失去做下去的信心。题目较长时就不愿意仔细读，从而失去读下去的勇气

3、学生的识图能力、读题能力与分析问题解决问题的能力较弱。

4、解题过程写得不全面，丢三落四的现象严重。

针对上述问题，需要采取的措施与方法是：

1、根据实际情况，对于中考升学有希望的学生利用课余时间做好他们的思

想工作。并对他们进行面对面的单独辅导，增强他们的自信心，以此来提高他们的数学成绩。

2、结合自己的学习经验对他们进行学法指导和解题技巧的指导。

3、根据不同的学生情况，搜集典型题让他们单独做，并给予及时的辅导与

矫正。

4、与其它任课教师联手一起想对策，指导学生读题的方法与分析问题，解

决问题的方法。

5、无论是做练习还是考试之前，都告诉学生要认真仔细的读题，从图形中

浅析二次函数的应用 篇11

一、深入理解函数概念

高中阶段函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，可以用学生已经有一定了解的函数，特别是以二次函数为例来更深的认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ：A→B，使得集合B中的元素y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），这里ax2＋bx＋c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知ƒ（x）＝2x2＋x＋2，求ƒ（x＋1）。

这里不能把ƒ（x＋1）理解为x＝x＋1时的函数值，只能理解为自变量为x＋1的函数值。

类型Ⅱ：设ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1，求ƒ（x）。

这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x＋1的象是x2－4x＋1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x＋1的多项式。

ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1＝（x＋1）2－6（x＋1）＋6，再用x代x＋1得ƒ（x）＝x2－6x＋6。

（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t＝x＋1，则x＝t－1，∴（t）＝（t－1）2－4（t－1）＋1＝t2－6t＋6，从而ƒ（x）＝x2－6x＋6。

二、二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y＝ax2

＋bx＋c在区间（－∞， ］及［ ，+∞）上的单调性的结

论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y＝x2＋2|x－1|－1 （2）y＝|x2－1| （3）y＝x2＋2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ：设ƒ（x）＝x2－2x－1在区间［t，t＋1］上的最小值是g（t），求g（t）并画出y＝g（t）的图象。

解：ƒ（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，在x＝1时取最小值－2。

当1∈［t，t＋1］时，即0≤t≤1，g（t）＝－2。

当t＞1时，g（t）＝ƒ（t）＝t2－2t－1，当t＜0时，g（t）＝ƒ（t＋1）＝t2－2。

t2－2（t＜0）

g（t）＝ －2 （0≤t≤1）

t2－2t－1（t＞1）

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y＝3x2－5x＋6（－3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维。

类型Ⅴ：设二次函数ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）方程ƒ（x）

－x＝0的两个根x1，x2满足0

1．当X∈（0，x1）时，证明X＜ƒ（x）＜x1。

2．设函数ƒ（x）的图象关于直线x＝x0对称，证明x0＜ 。

解题思路：

本题要证明的是x＜ƒ（x），ƒ（x）＜x1和x0＜ ，由题中所

提供的信息可以联想到：①ƒ（x）＝x，说明抛物线与直线y＝x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ（x）－x＝0可变为ax2＋（b－1）x＋1＝0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a、b、c之间的关系式，因此解题思路明显有三条：①图象法；②利用一元二次方程根与系数关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。現以思路②为例解这道题：

（1）先证明x<ƒ（x），令ƒ（x）＝ƒ（x）－x，因为x1，x2是方程ƒ（x）－x＝0的根，ƒ（x）＝ax2＋bx＋c，所以ƒ（x）＝a（x－x1）（x－x2）。

因为0＜x1＜x2，所以，当x∈（0，x1）时，x－x1<0，x－x2＜0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此ƒ（x）＞0，即ƒ（x）－x＞0。至此，证得x＜ƒ（x）。

根据韦达定理，有x1x2＝ ，∵0＜x1＜x2< ，c＝ax1x2＜x

＝ƒ（x1），又c＝ƒ（0），∴ƒ（0）<ƒ（x1），根据二次函数的性质，曲线y＝ƒ（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y＝ƒ（x）在闭区间［0，x1］上的最大值在边界点x＝0或x＝x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ（x1）>ƒ（0），所以当x∈（0，x1）时，ƒ（x）<ƒ（x1）＝x1，即x <ƒ（x）< x1。

（2）∵ƒ（x）＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋（c ）（a＞

0）。

函数ƒ（x）的图象的对称轴为直线x＝ ，且是唯一的一

条对称轴，因此，依题意，得x0＝ ，因为x1，x2是二次方程

ax2＋（b－1）x＋c＝0的根，根据违达定理得x1＋x2＝ 。

∵ x2－ <0；

∴ x0＝ ＝ （x1+x2－ ）< ，即x0＝ 。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。