矩阵及其运算的应用教学方法

矩阵是线性代数中一个重要内容, 是解决众多实际问题的有力工具。下面我们以线性经济模型为例, 说明矩阵及其加法, 数与矩阵相乘, 矩阵乘法三个基本运算的来源与意义, 从而帮助学生形象地认识矩阵基本概念及其基本运算, 加强这种应用教学方法在《线性代数》教学中的作用。

1 矩阵概念

例1:某企业生产4种产品, 第一年各种产品的季度产量 (单位:吨) 如表1。

这个表中数据排成4行4列的产量阵列

此阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产量, 同时也揭示了产量随季节变化规律的季增长率及年产量等情况。这种阵列在实际的应用中会经常遇到的, 我们称这种矩形阵列为矩阵。下面就给出矩阵定义。

定义1:由m×n个数aij (i=, 1, 2Λ, m;j=, 1, 2Λn) 排成的m行n列的矩形数表, 称为m行n列的矩阵, 记作:

其中aij称为矩阵第i行第j列的元素。

这种用实例引入定义的方法使学生易于接受, 并使了学生矩阵的生活实际来源, 从而加深了学生对所学知识点的具体地, 形象地认识。

2 矩阵加法、数与矩阵相乘运算

矩阵的意义不仅在于将一些数据排成矩形阵列形式, 而且在于对它定义了一些理论意义和实际意义的运算, 从而使它成为进行理论研究或解决实际应用问题的有力工具。

下面先给出矩阵的加法和数乘矩阵两种运算的定义, 然后再举实例来说明它们的意义。

定义2:两个m×n矩阵A= (a ij) 和B= (b ij) 对应位置元素相加得到的m×n矩阵称为矩阵A与B的和, 记为A+B。

定义3:数λ与矩阵A的乘积记作λA, 规定为:

那么A+B, λA有什么实际用途呢?

例2:例1中设企业第二年各季度各产品的产量都是第一年的

λ (λ=0.) 8倍, 则:

这个企业第二年产量为矩阵:

这个企业两年的总产量为矩阵:

上面实例揭示了A+B和λA, 即矩阵的加法和数乘矩阵的实际意义。

3 矩阵乘法运算

矩阵加法, 数与矩阵相乘运算都与实数相应的运算较为一致, 但矩阵乘法与学过的各种乘法相差很大, 这无疑增大了学生对此运算的认识的难度。然而, 矩阵乘法具有它的实际意义, 下面用一个实例来说明。

例3:例1中记产量矩阵, 此企业各种产品的每吨价格 (元) 及产品每吨利润 (元) 记为矩阵B= (b kj) 4×2, 其中bk1表示企业生产的4种产品的每吨价格, bk2表示企业生产的4种产品的每吨利润。那么, 企业的第一年的各季度总收入及总利润记为矩阵C= (c ij) 4×2, 其中, (i=, 1Λ, 4;j=, 1) 2。我们把这种矩阵之间的关系定义为矩阵的乘法, 即

定义3:设矩阵A= (a ij) m×s, B= (b ij) s×n, 则由元素

称为矩阵A与矩阵B的乘积, 记作:C=AB。

这就是线性代数中为什么规定这样的矩阵乘法的实际根源所在。

4 结语

回顾本文, 矩阵的定义及基本运算都是利用实际生活中的例子来说明的。这样处理的好处就是降低了矩阵概念、运算的抽象性;加深了学生对所学知识点的具体地, 形象地认识;增加了学生对《线性代数》应用的了解, 提高他们的知识应用能力。从实际的教学效果来看, 这无疑是一种改善《线性代数》教学效果的可供借鉴的教学方法。

摘要：本文以实际经济模型为例, 探讨了矩阵及其运算的应用教学方法, 提高了《线性代数》教学效果。

关键词：线性代数,矩阵,矩阵运算,应用教学方法

参考文献

[1] 同济大学数学系, 工程数学, 线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2007, 5.

[2] 李长明.矩阵乘法的来源和意义[J].贵州教育学院学报, 2002, 13 (4) :13～15.

[3] 刘东.浅析基矩阵在线性代数教学中的应用[J].高等数学研究, 2010, 13 (1) :106～107.